基于非线性曲线拟合的经纬度测量方法
摘要
本文首先基于天体物理学知识，构造出地球上某处直杆的影长与时间的函数关系式；然后运用非线性曲线拟合的方法，求解缺省参数，再根据直杆影长的变化规律，推算出测量点的地理位置及所处的日期。
在问题一中，本文以北京时间为参考时间，对地球上某一点处直杆影长的影响因素进行分析，发现其与直杆所处纬度、太阳直射点处纬度、所处时刻及经度等因素有关，结合地理知识构造出影长与影响因素的函数关系式。在各项参数均已给定的情况下，即可作出题目所要求的影长-时间变化曲线。
对于问题二，本文由附件1给定的时刻及其影长，运用非线性曲线拟合的方法，利用问题一中建立的关系式，将时间与影长作为已知参数，利用lsqcurvefit函数拟合求解经纬度参数。联系实际，筛选出可能的4个位置，并认为海南省白沙黎族自治县是最有可能的地点。
问题三与问题二基本相似，本文仍然在附件所得的数据基础上进行lsqcurvefit非线性曲线拟合，得到经度、纬度以及赤纬的可行解，根据所求赤纬，通过查表可以得到可能的日期。由附件2得到3个可能的地点与6个可能的日期，并认为其中新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县是最有可能的地点，5月24日或7月20日是最有可能的日期；由附件3同样得到3个可能的地点与6个可能的日期，认为湖北省十堰市郧西县与陕西省商洛市山阳县均是可能的地点，可能的日期为2月6日或11月6日前后。
对于问题四，首先用MATLAB进行图像处理并得到等时间间隔的图片，然后经过筛选得到21张图片。经滤镜处理后，由所得帧的图像得到影长与杆长的比例关系，进而得到不同时刻下的影长。在日期已知的情况下，问题四应用非线性拟合函数fit得到可行解，筛选后得到最可能地点为内蒙古自治区乌兰察布市丰镇市；若未给日期条件，在本题上一问的基础上，将太阳赤纬设为未知，利用fit函数求出可行解，经筛选得到最可能的地点为内蒙古自治区乌兰察布市，日期为6月6日或7月8日，与准确日期相差无几。
本文通过误差分析，证明本文所得结果具有很高的可信度。
关键词：非线性曲线拟合测量经纬度
一、问题重述
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期
二、问题分析
1.对于问题一，依据地理学知识，直杆的影长与直杆长度以及太阳高度角有关，而太阳高度角又与赤纬、直杆所处纬度、测量时刻等参数有关。考虑到附件所给时间为北京时间，还应考虑经度带来的时差影响。基于以上考虑，构造出直杆的影长与赤纬、所处经度和纬度以及时刻之间的函数关系式，进而将题目所给参数代入关系式中，即可作出在给定时间天安门广场上给定直杆的影长随时间的变化曲线。
2.对于问题二，若想得到可能的地点，关键就在于得到直杆所处位置的经纬度坐标。由所给附件可以得到影长随时间的变化关系，因此可以代入问题一种建立的模型，通过最小二乘法迭代的方法估计出参数的可能取值，即直杆可能位置的经纬坐标。
3.对于问题三，仅是在问题二的基础上增多了日期这一未知量。这一未知量可以通过赤纬与日期对应表查询，因此同第二问一样，可以由附件得到影长随时间的变化关系，利用最小二乘法迭代估计出经纬度、赤纬三个参数可能取值，从而给出可能的地点和日期。
4.对于问题四，通过MATLAB导入视频，并等时间间距地21张截图。在经过滤镜处理后，可以由截图得到影长与杆长的比例关系，从而得到不同时间下的影长。在日期已知的情况下，问题可以利用问题二的模型；若日期未知，则可以利用问题三的模型，得到所求参量。
三、模型假设
1.地球是半径为R的均匀圆球，即忽略其表面地形及地球微小的椭球率带来的影响；
2.忽略太阳光在穿过地球大气层时产生的折射；
3.照射到地球的太阳光为平行光；
4.黄赤交角为一固定值。
四、 符号约定
太阳直射点纬度 测量点的纬度 测量点的经度 测量点的时角 太阳直射方向向量
地心指向测量点的方向向量
h 太阳高度 直杆长 影长 测量点地方时
测量点地方时对应的北京时间
五、模型建立与求解
（一）问题一
根据假设1，以如图所示的方式建立空间直角坐标系[1]。其中，以地心为坐标原点，垂直于赤道平面指向正北的轴为z 轴，沿赤道平面指向太阳方向的轴为x 轴，与二者成左手关系的轴为y 轴。假定此时太阳直射点为地球上一点A ，设其纬度为0ϕ（北纬为正，南纬为负，以下涉及纬度符号均同理）。显然，由于x 轴指向太阳方向，因此直射点A 位于oxz 平面内。设此时刻太阳直射方向为1e 。设测量点纬度为ϕ，其时角[2]为a ϕ，其与地心构成的向量为2e 。
图一模型推导示意图
根据以上设定，有
可求得1e 与2e 之间的空间θ的余弦值为
12
0012cos cos cos cos sin sin ||||
a e e e e θϕϕϕϕϕ⋅=
=+（1）
根据太阳高度角h 的定义，有2
h π
θ=
-，因此可得
00sinh cos cos cos sin sin a ϕϕϕϕϕ=+（2）
由图二所示的示意图可得，影长、直杆长之间存在关系
tanh
L L =
（3） 图二影长、杆长与太阳高度的关系
