高中数学中的推出符号的使用

1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂探究探究一充分条件、必要条件的判断要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．(1)判定“若p，则q”的真假．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．【典型例题1】在下列各题中，判断p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．解：(1)因为x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为p q，而q p，所以p是q的充分不必要条件．探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．【典型例题2】已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．解：令命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，由x 2－8x －20＜0，得(x －10)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜10，所以A ＝{x |－2＜x ＜10}．又由x 2－2x ＋1－m 2＜0，得[x －(1＋m )][x －(1－m )]＜0，因为m ＞0，所以1－m ＜x ＜1＋m ，所以B ＝{x |1－m ＜x ＜1＋m ，m ＞0}．因为q 是p 的充分不必要条件，所以B A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，且两等号不能同时成立．解得0＜m ≤3. 经检验知m ＝3时符合题意．所以m 的取值范围是(0,3]．规律小结 用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：首先建立与p ，q 相对应的集合，即p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}. 若AB ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若BA ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件若A B ，B A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件要证明一个条件p 是否是q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p ，则q ”为真且“若q ，则p ”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p 与q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．【典型例题3】 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论． 证明：先证必要性：因为a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.再证充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，所以(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.由ab ≠0，即a ≠0，且b ≠0，所以a 2－ab ＋b 2≠0，只有a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.【典型例题4】 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解． 解：①a ＝0时，方程有一个负实根．②a ≠0时，显然方程没有零根．若方程有两个异号的实根，则a ＜0；若方程有两个负实根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1. 综上知：若方程至少有一个负实根，则a ≤1；反之， 若a ≤1，则方程至少有一个负实根． 因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 点评 若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由f (0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a ＝0的特殊情况进行讨论．探究四 易错辨析易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价【典型例题5】 已知p ：A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，q ：B ＝{x |－1＜x ＜2a }，且p 是q 的充分条件，求a 的取值范围．错解：由x 2－5x －6＜0，得－1＜x ＜6.因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.所以a的取值范围为a＞3.错因分析：“p是q的充分条件A B”，而错解用了“p是q的充分条件A B”，导致丢掉等号的错误．正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，因为p是q的充分条件，即A B，故2a≥6，即a≥3，所以a的取值范围为a≥3.。

以下是数学命题中常用的符号：
∀：全称量词，表示“对于所有”的意思。

∃：存在量词，表示“存在某个”的意思。

∈：属于符号，表示某个元素属于某个集合。

∉：不属于符号，表示某个元素不属于某个集合。

∪：并集符号，表示两个集合的并集。

∩：交集符号，表示两个集合的交集。

¬：否定符号，表示某个命题的否定。

→：推出符号，表示如果前面的命题成立，则后面的命题也成立。

↔：等价符号，表示两个命题等价。

∧：合取符号，表示两个命题同时成立。

∨：析取符号，表示两个命题中至少有一个成立。

∅：空集符号，表示没有任何元素的集合。

≠：不等于符号，表示两个数或两个集合不相等。

≤：小于等于符号，表示左边的数小于或等于右边的数。

≥：大于等于符号，表示左边的数大于或等于右边的数。

≈：近似符号，表示两个数或两个表达式近似相等。

≠≠：严格不等于符号，表示两个数或两个集合完全不相等。

⊂：子集符号，表示左边的集合是右边的集合的子集。

⊄：非子集符号，表示左边的集合不是右边的集合的子集。

∪：补集符号，表示某个集合在全集中的补集。

这些是数学命题中常用的符号，使用它们可以帮助我们更清晰地表达数学概念和逻辑关系。

1.3.1 推出与充分条件、必要条件
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课程目标学习脉络
1.了解推出的意义．
2．理解充分条件、必要条件、充要条件的意
义．
3．会具体判断所给条件是哪一种条件.
1．推出
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中p，q分别表示研究对象所具有的性质．p称做命题的条件，q称做命题的结论．
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说，由p成立可推出q 成立，记作p q，读作“p推出q”．
思考1推出是否具有传递性？
提示：推出具有传递性．若p q，且q r，则p r.
2．充分条件、必要条件
如果由p可推出q，我们称p是q的充分条件；q是p的必要条件．
思考2若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞10等也是x＞0的充分条件．思考3p是q的充分条件与q是p的必要条件有怎样的关系？
提示：p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件也反映了p q，所以p 是q的充分条件与q是p的必要条件表达的是同一个逻辑关系，只是说法不同．3．充要条件
思考4如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
提示：(1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足以保证结论成立的．例如，说“x＞8”是“x＞6”的一个充分条件，就是说“x＞8”这个条件，足以保证“x＞6”成立．
(2)必要条件：说条件是必要的，就是说该条件必须要有，必不可少．例如，如果x＞6，那么x可能大于8，也可能不大于8；但如果x不大于6，那么x不可能大于8.因此要使x
＞8必须要有x＞6这个条件．必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行．。

高等数学符号大全及表达意思高等数学中常用的符号及其意义如下：1. ∞：无穷大。

2. π：圆周率。

3. x：绝对值。

4. ∪：并集。

5. ∩：交集。

6. ≥：大于等于。

7. ≤：小于等于。

8. ≡：恒等于或同余。

9. ln(x)：以e为底的对数。

10. lg(x)：以10为底的对数。

11. floor(x)：上取整函数。

12. ceil(x)：下取整函数。

13. x mod y：求余数。

14. x - floor(x)：小数部分。

15. ∫f(x)dx：不定积分。

16. ∫[a:b]f(x)dx：a到b的定积分。

17. P：真等于1否则等于0。

18. ∑[1≤k≤n]f(k)：对n进行求和，可以拓广至很多情况，如：∑[n is prime][n < 10]f(n)。

19. ≌：全等。

20. ⊥：垂直。

21. ∥：平行。

22. ∠：角。

23. △：三角形。

24. √：根号。

25. ∅：空集。

26. ⊂：包含于。

27. ⊃：包含。

28. ∀：任意。

29. ∃：存在。

30. E：对称过来。

31. ⇒：推出号。

32. ⇔：等价号。

33. sin(x)：正弦函数。

34. cos(x)：余弦函数。

35. tan(x)：正切函数。

36. f(x)：函数解析式。

37. f'(x)：导数。

38. a·b：a，b向量的积。

39. T；w：周期；角度变换。

40. Ααalphaalfa阿耳法: 希腊字母表的第一个字母，Alpha常用作形容词，以显示某件事情中最重要或最初的；有时也用作缩写； Alpha是一元羧酸的通式，都含有阿尔法氢原子．含有阿尔法氢的化合物，都可以跟乙醇进行酯化反应．酯化反应，是一类有机化学反应，是醇跟羧酸或含氧无机酸生成酯和水的反应．分为羧酸跟醇的酯化反应和无机含氧酸的酯化反应两类．羧酸跟醇的酯化反应是可逆的．多元羧酸跟醇的酯化反应是可逆的．多元羧酸跟醇的酯化反应是可逆的．含氧无机酸的酯化反应一般较快．乙醇发生消去反应的结构特点是与羟基所连碳上有一个氢原子．氢氧化钠、无机酸的酯化反应中一般使用碎瓷片或者玻璃片搅拌．乙酸乙酯的制备采用边反应边蒸馏的方法，用饱和碳酸钠吸收挥发出来的乙酸和乙醇，同时对混合液进行降温，乙酸在饱和碳酸钠溶液中的溶解度小，所以混合液比较容易分离．实验室一般使用长导管使冷凝回流，从而增大第一种反应物的利用率；导气管很短的话，不利于冷凝回流，导致第一种反应物利用率降低．乙酸乙酯制备的方程式为CH3CH2OH+CH3COOH→CH3COOCH2CH3+H2O；根据平衡常数K=c(CH3COOCH2CH3)c(H2O)/c(CH3COOH)c(CH3CH2OH)，乙酸乙酯的水解和制取时候的反应相同，方程式为CH3COOCH2CH3+H2O→CH3CH2OH+CH3COOH．长导管起冷凝回流作用，能防止盐酸和乙酸挥发；温度高时易发生副反应生成乙醚；乙酸、乙醇在NaOH溶液中能发生反应；导管起冷凝回流作用，能防止盐酸和乙酸挥发；温度高时易发生副反应生成乙醚；加过量的乙醇可提高乙酸的转化率；用碳酸钠吸收挥发出来的乙酸和乙醇；用碳酸钠吸收挥发出来的乙酸和乙醇．故答案为：A；B；C；D；E；F；G；H；I；J；K；L；M；N。