2014高考数学总复习(人教新课标理科)单元测试:第4章 三角函数 Word版含解析]
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2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形(逐题详解)第I 部分1.【2014年江西卷(理04)】在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ,若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷(理02)】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是( ).2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷(理04)】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象,可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=,故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位,得到y==的图象.故选:C .4.【2014年全国新课标Ⅱ(理04)】钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=2 ,则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得,使用余弦定理,符合题意,舍去。
为等腰直角三角形,不时,经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ(理08)】设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】:B【解析】:∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-,即22παβ-=,选B6.【2014年四川卷(理03)】为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+,故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷(03)】设0sin 33a =,0cos55b =,0tan 35c =,则( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >> D .c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos (90°﹣35°)=sin35°,由正弦函数的单调性可知b >a ,而c=tan35°=>sin35°=b ,∴c >b >a 故选:C8.【2014年辽宁卷(理09)】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( )A .在区间7[,]1212ππ上单调递减B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin (2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x ﹣)+].即y=3sin (2x ﹣).由,得.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:B9.【2014年湖南卷(理09)】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ,且⎰=3200)(πdx x f ,则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=,则56x π=是其中一条对称轴,故选A 10.【2014年重庆卷(理10)】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足,,面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为,记≤≤所对的边,则下列不等式成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤,故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈, 排除,C D ,因为b c a +>,所以()8bc b c abc +>≥,选择A第II 部分11.【2014年天津卷(理12)】在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =,所以23b c =,解得32cb =,2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷(理12)】在ABC V 中,已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ,当6A π=时,ABCV 的面积为 。
2014届高考数学(理)一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求) 1.【某某省某某一中2013届高三第二次高中新课程双基检测理】函数tan(2)y x ϕ=+的最小正周期是A .2πB .πC .2πD .4π2、(2013某某理)计算:4cos 50°-tan 40°=( )A. 2B.2+32C. 3 D .2 2-1 3、【某某省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】已知,135)4sin(-=+πx 则x 2sin 的值等于 A.169120 B.169119 C.169120- D.119169- 4、(2013高考某某理)将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5、【市丰台区2013届高三上学期期末理】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式可能是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+6、(2013高考某某))既是偶函数又在区间(0 )π,上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x = 7、(2013某某理)在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A .12πB .6πC .4πD .3π8、函数()3sin 2cos 2f x x x =+() A .在(,)36ππ--单调递减 B .在(,)63ππ单调递增C .在(,0)6π-单调递减 D .()f x 在(0,)6π单调递增 9、【某某省某某四中2013届高三第四次月考理】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中π0,2A ϕ><)的部分图象如右图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,则只需将()f x 的图象( )(A )向右平移π6个长度单位(B )向右平移π12个长度单位 (C )向左平移π6个长度单位 (D )向左平移π12个长度单位10、(2013某某理)在△ABC 中,∠ABC =π4,AB =2,BC =3,则sin∠BAC =( )A.1010 B.105 C.31010 D.55 11.(2013某某理)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sinB cos A =12b ,且a >b ,则∠B =( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π612、给出以下4个命题:①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π; ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈;③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位得到函数3sin 2y x =的图象;④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]π上是减函数. 其中真命题的个数是()A .1B .2C .3D .4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13、(某某某某市2013届高三期末) 在△ABC 中,sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C =▲. 14、(2013某某理)在△ABC ,∠C =90︒,M 是BC 的中点.若sin ∠BAM =13,则sin ∠BAC =.15.(2013某某理)若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=16.设()sin2cos2f x a x b x =+,其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立,则 ①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭; ②7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;③()f x 既不是奇函数也不是偶函数; ④()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦; ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交.以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号).三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) (2013某某理)已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.(本小题满分12分) (2013届某某奉贤区二模)位于A 处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处,135=AC .在离观测站A 的正南方某处E ,13132cos -=∠EAC (1)求θcos ; (2)求该船的行驶速度v (海里/小时);19.(本小题满分12分)(2013年高考某某理)设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值;(II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值20.(本小题满分12分) (2013高考某某卷(理))已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值X 围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.21.(本小题满分12分)【某某省某某一中2013届高三1月调研理】(本小题满分12分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , q =(a 2,1),p =(c b -2, C cos )且q p //.求:(I )求sin A 的值;(II )求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值X 围.22.(本小题满分12分)【某某省某某中学2013届高三第一次调研考试理】(本题12分)某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救,救生员没有直接从A 处游向B 处,而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处,然后游向B 处.若救生员在岸边的行进速度是6米/秒,在海中的行进速度是2米/秒.(不考虑水流速度等因素)(1)请分析救生员的选择是否正确;(2)在AD 上找一点C ,使救生员从A 到B参考答案: 1、【答案】C【解析】根据正切函数的周期公式可知最小正周期为2T ππω==,选C. 2、C[解析] 原式=4sin 40°-sin 40°cos 40°=4sin 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°=2cos (40°-30°)-sin 40°cos 40°=2(cos 40°cos 30°+sin 40°sin 30°)-sin 40°cos 40°=3cos 40°cos 40°=3,故选C.3、【答案】D【解析】因为,135)4sin(-=+πx 所以5cos )13x x +=-,两边平方得125(1sin 2)2169x +=,解得119sin 2169x =-,选D. 4、B 5、【答案】B 【解析】由图象可知52882T πππ=-=,所以函数的周期T π=,又2T ππω==,所以2ω=。
高中数学三角函数复习专题( 附参考答案 )一、知识点整理 :1、角的概念的推广:正负,范围,象限角,坐标轴上的角;2、角的集合的表示:①终边为一射线的角的集合:x x2k, k Z =|k360 , k Z②终边为一直线的角的集合:x x k, k Z ;③两射线介定的区域上的角的集合:x 2k x2k, k Z④两直线介定的区域上的角的集合:x k x k, k Z;3、任意角的三角函数:(1)弧长公式: l a R R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数,l为弧长。
(2)扇形的面积公式:S 1lR R 为圆弧的半径,l为弧长。
2(3)三角函数定义:角中边上任意一点 P 为( x, y),设| OP |r 则:sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来,角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为: P r cos, r sin 比如:公式 cos()cos cossin sin的证明(4)特殊角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存0不存03在在(5)三角函数符号规律:第一象限全正,二正三切四余弦。
(6)三角函数线:(判断正负、比较大小,解方程或不等式等)y T 如图,角的终边与单位圆交于点P,过点 P 作 x 轴的垂线,P 垂足为 M ,则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线,交角终边OP 于点 T,则M x。
(7)同角三角函数关系式:①倒数关系: tan a cot a 1sin a ②商数关系: tan acos a③平方关系: sin 2 a cos2 a1( 8)诱导公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值,前面-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时,原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号;即:函数名不变,符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值,前面2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时,原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即:函数名改变,符号看象限 :sin x cos x cos x比如444cos x sin x444.两角和与差的三角函数:(1)两角和与差公式:cos() cos a cos sin a sin s i na( ) s i na c o s c o as s i ntan a(atan a tan注:公式的逆用或者变形)1 tan a tan.........(2)二倍角公式:sin 2a 2 sin acosa c o 2sa2222c o sa s i n a 1 2s i n a 2 c o sa 1tan 2a2 tan a 1 tan 2 a(3)几个派生公式:①辅助角公式: a sin x bcosx a2b2 sin(x)a2b2 cos(x)例如: sinα±cosα=2 sin= 2 cos.44sinα±3 cosα= 2sin=2cos等.33②降次公式: (sin cos) 2 1 sin 2cos2 1 cos 2,sin 2 1 cos 222③ tan tan tan()(1tan tan)5、三角函数的图像和性质:(其中 k z )三角函数y sin x定义域( - ∞, +∞)值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2 k,2 k]22单调性单调递增[ 2 k,2 k 3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cos x(- ∞, +∞)[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k]单调递增[( 2k ,( 2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x ky tan xx k2( - ∞, +∞)T奇(k,k)22单调递增k(,0)x k2。
黄洲区一中2014届 三角函数 检测卷(时间:120分钟 总分:150分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知α∈(π2,π),sin α=35,则tan(α+π4)等于( )A.17B.7C.-17D.-7 2. (2013年浙江高考)已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan ( ) A.34 B. 43C.43-D.34-3.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=54,sinβ=1312,则2cos βα-的值为( )A. -7B. 7C. 65657-D. 65657 4.若0<α<β<π2,则下列不等式不正确的是( )A .sin α+sin β<α+βB .α+sin β<sin α+βC .α·sin α<β·sin βD .β·sin α<α·sin β5.(2013·全国卷)已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 ( )A.()y f x =的图像关于(),0π中心对称B.()y f x =的图像关于直线2x π=对称C.()f xD.()f x 既奇函数,又是周期函数 6.曲线y =2sin(x +π4)cos(x -π4)与直线y =12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3、…,则|P 2P 4|等于( )A.πB.2πC.3πD.4π7.(2012·新课标卷)已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是( )A .15[,]24B .13[,]24C .1(0,]2D .(0,2]8.在△ABC 中,三边长a 、b 、c 与面积S 的关系式为S = 41(a 2+b 2-c 2), 则角C 的大小为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°9.(2012·天津卷)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =( ) A .725B .725-C .725±D .242510.函数f (x )=2|sin x |·sin ⎝⎛⎭⎫x -π4sin x -cos x 是 ( )A .最小正周期为π2的偶函数B .最小正周期为π的非奇非偶函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为π2的非奇非偶函数第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.已知sinθ=53-,3π<θ<27π,则2tan θ=_________. 12.(2012·江苏卷)设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为 .13. (2013·新课标Ⅱ卷)设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+= . 14.(2011·课标全国卷)在△ABC 中,B =60°,AC =3,则AB +2BC 的最大值为________.15.(2013·上海卷)若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (2013·安徽卷)已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. (1)求ϖ的值; (2)讨论()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性.17.已知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2cos 2cos sin 2)((其中0>b ,0>ω)的最大值为2,直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴,且||21x x -的最小值为2π. ⑴求b ,ω的值; ⑵若32)(=a f ,求)465sin(a -π的值.18.(2012·安徽卷)设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++ (1)求函数()f x 的最小正周期; (2)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.19.(2010·天津卷)已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值; (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求0cos 2x 的值。
第3讲 三角函数的图象与性质A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2011·山东)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减,则ω=( ).A.23B.32C .2D .3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x =π3,和它相邻的一个对称中心为原点,则f (x )的周期T =4π3,从而ω=32. 答案 B2.已知函数f (x )=sin(x +θ)+3cos(x +θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2是偶函数,则θ的值为( ).A .0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +θ+π3,若函数为偶函数,则必有θ+π3=k π+π2(k ∈Z ),又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,故有θ+π3=π2,解得θ=π6,经代入检验符合题意. 答案 B3.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ).A .2- 3B .0C .-1D .-1- 3解析 ∵0≤x ≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π6,∴-32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤1,∴-3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤2.∴函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2- 3. 答案 A4.(2011·安徽)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π3,k π+π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π2,k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )=sin(2x +φ),且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=±1,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6+φ=±1. ∴π3+φ=k π+π2(k ∈Z ).∴φ=k π+π6(k ∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∴-sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ=k π+π6(k ∈Z ),k 为奇数.∴f (x )=sin(2x +φ)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +k π+π6=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6.∴由2m π+π2≤2x +π6≤2m π+3π2(m ∈Z ), 得m π+π6≤x ≤m π+2π3(m ∈Z ),∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π+π6,m π+2π3(m ∈Z ).答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,f (x )=sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________. 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin π3=32.答案 326.若f (x )=2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上的最大值是2,则ω=________.解析 由0≤x ≤π3,得0≤ωx ≤ωπ3<π3,则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以2sin ωπ3=2,且0<ωπ3<π3, 所以ωπ3=π4,解得ω=34. 答案 34三、解答题(共25分) 7.(12分)设f (x )=1-2sin x . (1)求f (x )的定义域;(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值.解 (1)由1-2sin x ≥0,根据正弦函数图象知: 定义域为{x |2k π+56π≤x ≤2k π+13π6,k ∈Z }. (2)∵-1≤sin x ≤1,∴-1≤1-2sin x ≤3, ∵1-2sin x ≥0,∴0≤1-2sin x ≤3, ∴f (x )的值域为[0,3],当x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最大值.8.(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴;(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域.解 (1)f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=12cos 2x +32sin 2x +(sin x -cos x )(sin x +cos x ) =12cos 2x +32sin 2x +sin 2x -cos 2x =12cos 2x +32sin 2x -cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6. ∴最小正周期T =2π2=π,由2x -π6=k π+π2(k ∈Z ), 得x =k π2+π3(k ∈Z ).∴函数图象的对称轴为x =k π2+π3(k ∈Z ). (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2,∴2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6,∴-32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1.B 级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2012·新课标全国)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递减,则ω的取值范围是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 D .(0,2]解析 取ω=54,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⊆85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,排除B ,C.取ω=2,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,排除D. 答案 A2.已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ).A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4-π4=2π,故ω=1,∴f (x )=sin(x+φ),令x +φ=k π+π2(k ∈Z ),将x =π4代入可得φ=k π+π4(k ∈Z ),∵0<φ<π,∴φ=π4. 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2013·徐州模拟)已知函数f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |,则f (x )的值域是________.解析 f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x | =⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x ),sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象,可得函数的最小值为-1,最大值为22,故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,224.(2012·西安模拟)下列命题中:①α=2k π+π3(k ∈Z )是tan α=3的充分不必要条件; ②函数f (x )=|2cos x -1|的最小正周期是π;③在△ABC 中,若cos A cos B >sin A sin B ,则△ABC 为钝角三角形; ④若a +b =0,则函数y =a sin x -b cos x 的图象的一条对称轴方程为x =π4. 其中是真命题的序号为________. 解析 ①∵α=2k π+π3(k ∈Z )⇒tan α=3, 而tan α=3⇒/ α=2k π+π3(k ∈Z ),∴①正确. ②∵f (x +π)=|2cos(x +π)-1|=|-2cos x -1|=|2cos x +1|≠f (x ),∴②错误.③∵cos A cos B >sin A sin B ,∴cos A cos B -sin A sin B >0, 即cos(A +B )>0,∵0<A +B <π,∴0<A +B <π2, ∴C 为钝角,∴③正确. ④∵a +b =0,∴b =-a ,y =a sin x -b cos x =a sin x +a cos x =2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,∴x =π4是它的一条对称轴,∴④正确. 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5.(12分)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x ,g (x )=12sin 2x -14. (1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最大值,并求使h (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x -32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x +32sin x=14cos 2x -34sin 2x =1+cos 2x 8-3-3cos 2x 8=12cos 2x -14,∴f (x )的最小正周期为2π2=π. (2)由(1)知h (x )=f (x )-g (x )=12cos 2x -12sin 2x =22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,当2x +π4=2k π(k ∈Z ),即x =k π-π8(k ∈Z )时,h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时,对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k π-π8,k ∈Z. 6.(13分)已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1.(1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,又∵a >0,∴-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈[-2a ,a ].∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1,∴b =-5,3a +b =1, 因此a =2,b =-5.(2)由(1)得a =2,b =-5,∴f (x )=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +7π6-1 =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6>12,∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z . 综上,g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6(k ∈Z );递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3(k ∈Z ).。
2014届高考数学(文)一轮复习单元测试第四章三角函数一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求)1、【某某省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若0sin2<θ,则角θ是 ( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角2、(2013年高考某某卷文)sincos 2αα==若( ) A .23-B .13-C .13D .233、【某某省某某外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】若点(,9)a 在函数3xy =的图象上,则tan6πa 的值为( )4、(某某市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题)已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于( )A .71.B .71-.C .7.D .7-. 5 .(2013年高考某某(文5))在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.3πB.4πC.6πD.12π6.(2013年高考某某卷(文4))已知51sin()25πα+=,那么cos α=( )A .25-B .15-C .15 D .257.(2013年高考某某卷(文7))ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =,则c =( ) A .23B .2C .2D .18、(2013年高考某某卷(文6))函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )A .1-B .22-C .22D .09、【市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式是(A) 2sin(2)4y x π=-(B) 2sin(2)4y x π=+(C) 32sin()8y x π=+ (D) 72sin()216x y π=+10.甲船在岛A 的正南B 处,以4 km/h 的速度向正北航行,AB =10 km ,同时乙船自岛A出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( )A.1507 minB.157 hC .21.5 min D .2.15 h 11.【某某省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】在,,ABC A B C ∆中,的对边分别为,,a b c ,若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,则B = A.6π B. 4π C. 3π D. 23π12、【四中2013届高三上学期期中测验数学(文)】已知函数,给出下列四个说法: ①若,则;②的最小正周期是;③在区间上是增函数;④的图象关于直线对称.其中正确说法的个数为( )A .1B .2C .3D .4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13、【市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】tan 225的值为________.14、(2013年高考某某卷(文14))设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.15.【某某师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)文】在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2b =,3B π=且sin 3cos c A a C =,则△ABC 的面积为.16.(2013年高考课标Ⅱ卷(文16))函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) (2013年高考某某(文))已知函数f(x)=(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合18.(本小题满分12分)(2013年高考某某卷(文))已知函数()2,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.(本小题满分12分) 【市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文】 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=.(Ⅰ)求)(x f 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ,上的最大值和最小值.20.(本小题满分12分) (2013年高考某某卷(文))已知向量1(cos ,),,cos 2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21.(本小题满分12分)(某某市奉贤区2013届高考二模数学(文)试题 )位于A 处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()0450<<θ的C 处,135=AC .在离观测站A 的正南方某处E ,13132cos -=∠EAC(1)求θcos ; (2)求该船的行驶速度v (海里/小时);北BAE22.(本小题满分12分)(某某某某市2013届高三期末)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心,AB =1,BC =2,现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ,其底边MN ⊥BC 。
第四章三角函数单元测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M={x|x=sin nπ3,n∈Z},N={x|x=cosnπ2,n∈N},则M∩N等于()A.{-1,0,1}B.{0,1} C.{0} D.∅答案 C解析∵M={x|x=sin nπ3,n∈Z}={-32,0,32},N={-1,0,1},∴M∩N={0}.应选C.2.已知α∈(π2,π),sinα=35,则tan(α+π4)等于()A.17B.7C.-17D.-7答案 A解析∵α∈(π2,π),∴tanα=-34.∴tan(α+π4)=-34+11+34=17.3. 已知函数f(x)=sin(πx-π2)-1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案 B解析 f (x )=-cosπx -1,周期为2,且为偶函数,故选B.4.把函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为( )A .1,π3 B .1,-π3 C .2,π3 D .2,-π3答案 D解析 由题知,14×2πω=7π12-π3,∴ω=2,∵函数的图像过点(π3,0),∴2(π3+π3)+φ=π.∴φ=-π3.故选D.5.函数y =2sin(x -π6)+cos(x +π3)的一条对称轴为 ( )A .x =π3 B .x =π6 C .x =-π3 D .x =-5π6答案 C解析 y =2sin(x -π6)+cos(x +π3) =2sin(x -π6)+sin[π2-(x +π3)] =2sin(x -π6)+sin(π6-x )=sin(x -π6). 方法一 把选项代入验证.方法二 由x -π6=k π+π2,得x =k π+23π(k ∈Z ).当k =-1时,x =-π3.6.(2013·湖北模拟)如图,一个大风车的半径为8 m ,每12 min 旋转一周,最低点离地面为2 m .若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A .h =8cos π6t +10 B .h =-8cos π3t +10 C .h =-8sin π6t +10D .h =-8cos π6t +10答案 D解析 排除法,由T =12,排除B ,当t =0时,h =2,排除A 、C.故选D. 7.设a >0,对于函数f (x )=sin x +asin x (0<x <π),下列结论正确的是 ( )A .有最大值而无最小值B .有最小值而无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值也无最小值 答案 B解析 令t =sin x ,则函数f (x )=sin x +a sin x (0<x <π)的值域为函数y =1+at ,t ∈(0,1]的值域,又a >0,所以y =1+at ,t ∈(0,1]是一个减函数.故选B.8.甲船在岛A 的正南B 处,以4 km/h 的速度向正北航行,AB =10 km ,同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157 h C .21.5 min D .2.15 h答案 A解析 如右图:设t 小时甲行驶到D 处AD =10-4t , 乙行驶到C 处AC =6t ,∵∠BAC =120°, DC 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC ·cos120°=(10-4t )2+(6t )2-2×(10-4t )×6t ×cos120°=28t 2-20t +100. 当t =514 h 时DC 2最小,DC 最小,此时t =514×60=1507min. 9.在△ABC 中,已知sin C =2sin(B +C )cos B ,那么△ABC 一定是( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等边三角形答案 B解析 C =π-(A +B ),B +C =π-A .有sin(A +B )=2sin A cos B ,sin A cos B +cos A sin B =2sin A cos B . 即sin A cos B -cos A sin B =0,sin(A -B )=0,则A =B . ∴△ABC 为等腰三角形.故选B.10.已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A .[k π-π3,k π+π6](k ∈Z ) B .[k π,k π+π2](k ∈Z ) C .[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ) D .[k π-π2,k π](k ∈Z ) 答案 C解析 因为当x ∈R 时,f (x )≤|f (π6)|恒成立,所以f (π6)=sin(π3+φ)=±1,可得φ=2k π+π6或φ=2k π-5π6.因为f (π2)=sin(π+φ)=-sin φ>f (π)=sin(2π+φ)=sin φ,故sin φ<0,所以φ=2k π-5π6,所以f (x )=sin(2x -5π6),函数的单调递增区间为-π2+2k π≤2x -5π6≤π2+2k π,所以x ∈[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ),故选C.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=________.答案 -35解析 由角θ的终边在直线y =2x 上可得tan θ=2,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35. 12.函数f (x )=sin 4x +cos 2x 的最小正周期为________. 答案 π2解析 法一:f (x )=(1-cos 2x )2+cos 2x =1+cos 4x -cos 2x =1+cos 2x (cos 2x -1)=1-cos 2x ·sin 2x =1-14sin 22x =1-14(1-cos4x 2)=78+18cos4x .法二:f (x )=(sin 2x )2+cos 2x =(1-cos2x 2)2+1+cos2x 2=34+14cos 22x =78+18cos4x .13.已知等腰△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b +a ,c -a ),若p ∥q ,则角A 的大小为________.答案 30°解析 由p ∥q ,得(a +c )(c -a )=b (b +a ),即-ab =a 2+b 2-c 2,由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-ab 2ab =-12.因为0°<C <180°,所以C =120°.又由△ABC 为等腰三角形得A =12(180°-120°)=30°.14.若1+tan α1-tan α=2 012,则1cos2α+tan2α=________.答案 2 012解析 1cos2α+tan2α=1cos2α+sin2αcos2α=(sin α+cos α)2cos 2α-sin 2α=sin α+cos αcos α-sin α=tan α+11-tan α=2 012.15.在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC =3BD ,AD =2,∠ADB =135°.若AC =2AB ,则BD =________.答案 2+ 5解析 如图,设AB =c ,AC =b ,BC =a ,则由题可知BD =13a ,CD =23a ,所以根据余弦定理可得b 2=(2)2+(23a )2-2×2×23a cos45°,c 2=(2)2+(13a )2-2×2×13a cos135°,由题意知b =2c ,可解得a =6+35,所以BD =13a =2+ 5.16.下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=k π2,k ∈Z }.③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图像和函数y =x 的图像有三个公共点. ④把函数y =3sin(2x +π3)的图像向右平移π6得到y =3sin2x 的图像. ⑤函数y =sin(x -π2)在[0,π]上是减函数.其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y =sin 2x -cos 2x =-cos2x ,所以最小正周期为π. ②k =0时,α=0,则角α终边在x 轴上.③由y =sin x 在(0,0)处切线为y =x ,所以y =sin x 与y =x 图像只有一个交点.④y=3sin(2x+π3)图像向右平移π6个单位得y=3sin[2(x-π6)+π3]=3sin2x.⑤y=sin(x-π2)=-cos x在[0,π]上为增函数,综上知①④为真命题.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.解析由cos2x≠0,得2x≠kπ+π2,解得x≠kπ2+π4,k∈Z.所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2+π4,k∈Z}.因为f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=6cos4(-x)+5sin2(-x)-4cos(-2x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x=f(x),所以f(x)是偶函数.当x≠kπ2+π4,k∈Z时,f(x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x=(2cos2x-1)(3cos2x-1)cos2x=3cos2x-1,所以f(x)的值域为{y|-1≤y<12或12<y≤2}.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin x cos x+sin(π2-2x).求:(1)f(π4)的值;(2)f(x)的最小正周期和最小值;(3)f(x)的单调递增区间.答案 (1)1 (2)π,-2 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z )解析 (1)f (π4)=2sin π4cos π4+sin(π2-2×π4) =2×22×22+0=1.(2)f (x )=sin2x +cos2x =2(22sin2x +22cos2x ) =2(sin2x cos π4+cos2x sin π4)=2sin(2x +π4). 所以最小正周期为π,最小值为- 2. (3)由-π2+2k π≤2x +π4≤π2+2k π(k ∈Z ), 可得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z ).所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z ).19.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =C,2b =3a .(1)求cos A 的值; (2)求cos(2A +π4)的值. 答案 (1)13 (2)-8+7218解析 (1)由B =C,2b =3a ,可得c =b =32a . 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =34a 2+34a 2-a 22×32a ×32a=13.(2)因为cos A =13,A ∈(0,π),所以sin A =1-cos 2A =223,cos 2A =2cos 2A -1=-79.故sin2A =2sin A cos A =429.所以cos(2A +π4)=cos 2A cos π4-sin 2A sin π4=(-79)×22-429×22=-8+7218.20.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足ac =a 2+c 2-b 2.(1)求角B 的大小;(2)若|BA→-BC →|=2,求△ABC 面积的最大值. 答案 (1)π3 (2) 3解 (1)∵在△ABC 中,ac =a 2+c 2-b 2, ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =12. ∵B ∈(0,π),∴B =π3.(2)∵|BA →-BC →|=2,∴|CA →|=2,即b =2. ∴a 2+c 2-ac =4.∵a 2+c 2≥2ac ,当且仅当a =c =2时等号成立. ∴4=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ,即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =34ac ≤ 3.∴当a =b =c =2时,△ABC 的面积取得最大值为 3.21.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,AB →·AC→=8,∠BAC =θ,a =4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围.(2)求函数f (θ)=23sin 2(π4+θ)+2cos 2θ-3的最值. 解析 (1)∵AB →·AC →=8,∠BAC =θ,∴bc ·cos θ=8. 又∵a =4,∴b 2+c 2-2bc cos θ=42,即b 2+c 2=32. 又b 2+c 2≥2bc ,∴bc ≤16,即bc 的最大值为16. 而bc =8cos θ,∴8cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π,∴0<θ≤π3.(2)f (θ)=23sin 2(π4+θ)+2cos 2θ- 3=3·[1-cos(π2+2θ)]+1+cos2θ- 3 =3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+π6)+1. ∵0<θ≤π3,∴π6<2θ+π6≤5π6. ∴12≤sin(2θ+π6)≤1.当2θ+π6=5π6,即θ=π3时,f (θ)min =2×12+1=2; 当2θ+π6=π2,即θ=π6时,f (θ)max =2×1+1=3.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(1+1tan x )sin 2x +m sin(x +π4)sin(x -π4). (1)当m =0时,求f (x )在区间[π8,3π4]上的取值范围; (2)当tan α=2时,f (α)=35,求m 的值. 解析 (1)当m =0时,f (x )=sin 2x +sin x cos x =12(sin2x -cos2x )+12=22sin(2x -π4)+12.又由x ∈[π8,3π4],得2x -π4∈[0,5π4],所以sin(2x -π4)∈[-22,1],从而f (x )=22sin(2x -π4)+12∈[0,1+22].(2)f (x )=sin 2x +sin x cos x -m 2cos2x =1-cos2x 2+12sin2x -m 2cos2x =12[sin2x -(1+m )cos2x ]+12,由tan α=2,得sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α=45,cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35.所以35=12[45+(1+m )35]+12,得m =-2.1.(2011·上海)若三角方程sin x =0与sin 2x =0的解集分别为E ,F ,则( ) A .E ∩F =E B .E ∪F =E C .E =F D .E ∩F =∅答案 A2.下列函数中,其中最小正周期为π,且图像关于直线x =π3对称的是( ) A .y =sin(2x -π3)B .y =sin(2x -π6)C .y =sin(2x +π6) D .y =sin(x 2+π6) 答案 B解析 ∵T =π,∴ω=2,排除D ,把x =π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值,故选B.3.函数y =tan(π4x -π2)的部分图像如图所示,则(OA →+OB →)·AB→=( )A .6B .4C .-4D .-6答案 A解析 由tan(π4x -π2)=0,得π4x -π2=k π(k ∈Z ),x =4k +2(k ∈Z ),结合图形可知A (2,0),由tan(π4x -π2)=1,得π4x -π2=π4+k π(k ∈Z ),∴x =3+4k (k ∈Z ),结合图形可知B (3,1),∴(OA →+OB →)·AB →=(5,1)·(1,1)=6.4.(本小题满分12分)如图(a ),一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶.在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ,再行驶a km 到达B 处,测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案,用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤; (2)函数f (x )=a sin(βx +φ)的部分图像如图(b )所示,θ=π6,求塔顶E 到公路的距离.解析 (1)第一步:求OA ,在△AOB 中,∠ABO =π-β,∠AOB =β-φ,AB =a ,由正弦定理,得OA =a sin (π-β)sin (β-φ)=a sin βsin (β-φ);第二步:求OE ,在Rt △EOA中,∠EAO =θ,∠EOA =90°,则OE =OA tan θ=a sin βtan θsin (β-φ).(2)由图像易得a =3,β=π3,φ=π6,又θ=π6,则 OE =3sin π3tan π6sin (π3-π6)= 3.过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ,连接OF ,因为AB ⊥OE ,又OE ∩EF =E ,所以AB ⊥平面EOF ,所以AB ⊥OF .在△AOB 中,∠OAB =∠AOB =π6,则OB =AB =a =3,在Rt △BFO 中,∠OBF =π3,则OF =OB sin π3=3×32=32,又在Rt △EOF 中,OE =3,所以EF =OE 2+OF 2=(3)2+(32)2=212.5.(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)=3sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点P (x ,y ),且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12,32),求f (θ)的值;(2)若点P (x ,y )为平面区域Ω:⎩⎨⎧x +y ≥1,x ≤1,y ≤1上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f (θ)的最小值和最大值.答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2,f (θ)最大值2,最小值1解析 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32,cos θ=12.于是f (θ)=3sin θ+cos θ=3×32+12=2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).于是0≤θ≤π2.又f (θ)=3sin θ+cos θ=2sin(θ+π6),且π6≤θ+π6≤2π3, 故当θ+π6=π2,即θ=π3时,f (θ)取得最大值,且最大值等于2; 当θ+π6=π6,即θ=0时,f (θ)取得最小值,且最小值等于1.。
第3讲三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1.考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性.2.考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用.对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).一点提醒求函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx +φ看作一个整体,代入y =sin t 的相应单调区间求解,否则将出现错误. 两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式,通过分析ωx +φ的范围,结合图象写出函数的值域;(2)换元法:把sin x (cos x )看作一个整体,化为二次函数来解决.考点自测1.(2011·新课标全国)设函数f (x )=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f (-x )=f (x ),则( ). A .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2单调递减B .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4单调递减C .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2单调递增D .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式: f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +φ+π4,∵f (x )的最小正周期为π,∴ω=2. ∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +φ+π4.由f (x )=f (-x )知f (x )是偶函数, 因此φ+π4=k π+π2(k ∈Z ).又|φ|<π2,∴φ=π4,∴f (x )=2cos 2x .由0<2x <π,得0<x <π2时,f (x )单调递减,故选A. 答案 A2.(2012·湖南)函数f (x )=sin x -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6的值域为( ).A .[-2,2]B .[-3,3]C .[-1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,32解析 因为f (x )=sin x -32cos x +12sin x = 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x -12cos x =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,所以函数f (x )的值域为[-3,3]. 答案 B3.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ).A .关于直线x =π3对称B .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称C .关于直线x =-π6对称D .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0对称解析 由题意知T =2πω=π,则ω=2,所以f (x )= sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π+π3=sin π=0. 答案 B4.(2013·郑州模拟)已知ω是正实数,且函数f (x )=2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4上是增函数,那么( ). A .0<ω≤32 B .0<ω≤2 C .0<ω≤247 D .ω≥2解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4且ω>0,得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-ωπ3,ωπ4.又y =sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上的单调增函数,则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2,-ωπ3≥-π2,解得0<ω≤32.答案 A5.(2012·全国)当函数y =sin x -3cos x (0≤x <2π)取得最大值时,x =________.解析 y =sin x -3cos x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x -32cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3的最大值为2,又0≤x <2π,故当x -π3=π2,即x =5π6时,y 取得最大值. 答案 5π6对应学生57考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________.(2)函数f (x )=2cos x (sin x -cos x )+1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8,3π4上的最大值为________,最小值为________.[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可;(2)先化成形如f (x )=A sin(ωx +φ)的形式,再由x 的范围求解. 解析 (1)sin x -cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4≥0,将x -π4视为一个整体,由正弦函数y =sin x 的图象和性质可知2k π≤x -π4≤π+2k π,k ∈Z ,解得2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z. (2)f (x )=2cos x sin x -2cos 2x +1=sin 2x -cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8,3π4,∴2x -π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,5π4,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,1,故f (x )max =2,f (x )min =-1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z (2)2 -1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式,也可借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y =A sin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域),或用换元法(令t =sin x ,或t =sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练1】 (1)函数y =1tan x -1的定义域为________;(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6时,函数y =3-sin x -2cos 2x 的最小值为________,最大值为________. 解析(1)由题意知:tan x ≠1,即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π,k ∈Z, 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2+k π,k ∈Z , 故函数的定义域为:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π且x ≠π2+k π,k ∈Z. (2)y =3-sin x -2cos 2x =3-sin x -2(1-sin 2x )=2sin 2x -sin x +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -142+78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6,∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1, ∴当sin x =14时,y min =78; 当sin x =-12时,y max =2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π且x ≠π2+k π,k ∈Z (2)78 2考向二 三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )=(sin x -cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递增区间.[审题视点] 求原函数的定义域,只要使得原函数式有意义即可;先化简原函数为f (x )=A sin(ωx +φ)的形式,再求周期及单调区间. 解 (1)由sin x ≠0,得x ≠k π(k ∈Z ), 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z }, 因为f (x )=(sin x -cos x )sin 2xsin x=2cos x (sin x -cos x )=sin 2x -cos 2x -1=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4-1,所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)函数y =sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ). 由2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,x ≠k π(k ∈Z ), 得k π-π8≤x ≤k π+3π8,x ≠k π(k ∈Z ). 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π-π8,k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+3π8(k ∈Z ).求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y =A sin(ωx +φ)形式,再求y =A sin(ωx +φ)的单调区间,只需把ωx +φ看作一个整体代入y =sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数. 【训练2】 求下列函数的单调递增区间: (1)y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6;(2)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2.解 (1)将2x +π6看做一个整体,根据y =cos x 的单调递增区间列不等式求解.函数y =cos x 的单调递增区间为[2k π-π,2k π],k ∈Z .由2k π-π≤2x +π6≤2k π,k ∈Z ,得k π-7π12≤x ≤k π-π12,k ∈Z .故y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的单调递增区间为k π-7π12,k π-π12(k ∈Z ).(2)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2=-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3,∴由π2+2k π≤x 2-π3≤2k π+3π2,k ∈Z , 得4k π+5π3≤x ≤4k π+11π3,k ∈Z . 故y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π+5π3,4k π+11π3(k ∈Z ). 考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0<α<π2,g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+α是偶函数,则α的值为________.(2)函数y =2sin(3x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ<π2的一条对称轴为x =π12,则φ=________.[审题视点] (1)只需令π4+α=π2+k π(k ∈Z ); (2)应满足3×π12+φ=k π+π2,k ∈Z .解析 (1)要使g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+α为偶函数,则需π4+α=k π+π2,k ∈Z ,α=k π+π4,k ∈Z ,∵0<α<π2,∴α=π4.(2)由y =sin x 的对称轴为x =k π+π2(k ∈Z ), 即3×π12+φ=k π+π2(k ∈Z ),得φ=k π+π4(k ∈Z ), 又|φ|<π2,∴k =0,故φ=π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )=A sin(ωx +φ)(ω≠0),(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ=k π(k ∈Z );为偶函数的充要条件为φ=k π+π2(k ∈Z ).(2)求f (x )=A sin(ωx +φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x ;如要求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z )即可.【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3π2 (x ∈R ),下面结论错误的是( ). A .函数f (x )的最小正周期为π B .函数f (x )是偶函数C .函数f (x )的图象关于直线x =π4对称 D .函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数解析 f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3π2=-cos 2x ,故其最小正周期为π,故A 正确;易知函数f (x )是偶函数,B 正确;由函数f (x )=-cos 2x 的图象可知,函数f (x )的图象不关于直线x =π4对称,C 错误;由函数f (x )的图象易知,函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数,D 正确,故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐,主要考查y =A sin(ωx +φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ,b ]上的值域(或最值),往往作为某一种答题的其中一问,题目难度不大. 【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a =(cos ωx -sin ωx ,sin ωx ),b =(-cos ωx -sin ωx,23cos ωx ),设函数f (x )=a ·b +λ(x ∈R )的图象关于直线x =π对称,其中ω、λ为常数,且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0,求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5上的取值范围.[教你审题] 一审 准确化成形如f (x )=A sin(ωx +φ)+h 的形式; 二审 充分利用对称轴x =π; 三审 确定λ的值.[规范解答] (1)f (x )=sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx ·cos ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π6+λ.(3分)由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴, 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π6=±1,所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),即ω=k 2+13(k ∈Z ), 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,k ∈Z ,所以k =1,故ω=56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y =f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,即λ=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2-π6=-2sin π4=-2,故f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6- 2.(9分)由0≤x ≤3π5,有-π6≤53x -π6≤5π6, 所以-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6≤1,得-1-2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6-2≤2-2,(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5上的取值范围为[-1-2,2-2].(12分)[阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )=A sin(ωx +φ)+h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分.(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心,导致失分.第一步:三角函数式的化简,一般化成形如y =A sin(ωx +φ)+h 的形式或y =A cos(ωx +φ)+k 的形式.第二步:根据题设条件求出y =A sin(ωx +φ)+h 中有关的参数.第三步:由x 的取值范围确定ωx +φ的取值范围,再确定sin(ωx +φ)的取值范围.第四步:求出所求函数的值域(或最值).【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )=4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6-1.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π4上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )=4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6-1=4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x +12cos x -1=3sin 2x +2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x +π6≤2π3.于是,当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值2; 当2x +π6=-π6,即x =-π6时,f (x )取得最小值-1.对应学生255A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2011·山东)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减,则ω=( ).A.23B.32C .2D .3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x =π3,和它相邻的一个对称中心为原点,则f (x )的周期T =4π3,从而ω=32. 答案 B2.已知函数f (x )=sin(x +θ)+3cos(x +θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2是偶函数,则θ的值为( ).A .0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +θ+π3,若函数为偶函数,则必有θ+π3=k π+π2(k ∈Z ),又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,故有θ+π3=π2,解得θ=π6,经代入检验符合题意. 答案 B3.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ).A .2- 3B .0C .-1D .-1- 3解析 ∵0≤x ≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π6,∴-32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤1,∴-3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤2.∴函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2- 3. 答案 A4.(2011·安徽)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π3,k π+π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π2,k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )=sin(2x +φ),且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=±1,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6+φ=±1. ∴π3+φ=k π+π2(k ∈Z ).∴φ=k π+π6(k ∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∴-sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ=k π+π6(k ∈Z ),k 为奇数.∴f (x )=sin(2x +φ)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +k π+π6=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6.∴由2m π+π2≤2x +π6≤2m π+3π2(m ∈Z ), 得m π+π6≤x ≤m π+2π3(m ∈Z ),∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π+π6,m π+2π3(m ∈Z ). 答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,f (x )=sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________. 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin π3=32.答案 326.若f (x )=2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上的最大值是2,则ω=________.解析 由0≤x ≤π3,得0≤ωx ≤ωπ3<π3,则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以2sin ωπ3=2,且0<ωπ3<π3, 所以ωπ3=π4,解得ω=34. 答案 34三、解答题(共25分) 7.(12分)设f (x )=1-2sin x . (1)求f (x )的定义域;(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值.解 (1)由1-2sin x ≥0,根据正弦函数图象知: 定义域为{x |2k π+56π≤x ≤2k π+13π6,k ∈Z }. (2)∵-1≤sin x ≤1,∴-1≤1-2sin x ≤3, ∵1-2sin x ≥0,∴0≤1-2sin x ≤3, ∴f (x )的值域为[0,3],当x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最大值.8.(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴; (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域.解 (1)f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4 =12cos 2x +32sin 2x +(sin x -cos x )(sin x +cos x ) =12cos 2x +32sin 2x +sin 2x -cos 2x =12cos 2x +32sin 2x -cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6.∴最小正周期T =2π2=π,由2x -π6=k π+π2(k ∈Z ), 得x =k π2+π3(k ∈Z ).∴函数图象的对称轴为x =k π2+π3(k ∈Z ). (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2,∴2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6,∴-32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1.B 级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2012·新课标全国)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递减,则ω的取值范围是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 D .(0,2]解析 取ω=54,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⊆85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,排除B ,C.取ω=2,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,排除D. 答案 A2.已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ).A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4-π4=2π,故ω=1,∴f (x )=sin(x+φ),令x +φ=k π+π2(k ∈Z ),将x =π4代入可得φ=k π+π4(k ∈Z ),∵0<φ<π,∴φ=π4. 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2013·徐州模拟)已知函数f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |,则f (x )的值域是________.解析 f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |=⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x ),sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象,可得函数的最小值为-1,最大值为22,故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,224.(2012·西安模拟)下列命题中:①α=2k π+π3(k ∈Z )是tan α=3的充分不必要条件; ②函数f (x )=|2cos x -1|的最小正周期是π;③在△ABC 中,若cos A cos B >sin A sin B ,则△ABC 为钝角三角形; ④若a +b =0,则函数y =a sin x -b cos x 的图象的一条对称轴方程为x =π4. 其中是真命题的序号为________. 解析 ①∵α=2k π+π3(k ∈Z )⇒tan α=3, 而tan α=3⇒/ α=2k π+π3(k ∈Z ),∴①正确. ②∵f (x +π)=|2cos(x +π)-1|=|-2cos x -1|=|2cos x +1|≠f (x ),∴②错误. ③∵cos A cos B >sin A sin B ,∴cos A cos B -sin A sin B >0, 即cos(A +B )>0,∵0<A +B <π,∴0<A +B <π2, ∴C 为钝角,∴③正确.④∵a +b =0,∴b =-a ,y =a sin x -b cos x =a sin x +a cos x =2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,∴x =π4是它的一条对称轴,∴④正确. 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5.(12分)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x ,g (x )=12sin 2x -14.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最大值,并求使h (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x -32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x +32sin x =14cos 2x -34sin 2x =1+cos 2x 8-3-3cos 2x 8=12cos 2x -14,∴f (x )的最小正周期为2π2=π. (2)由(1)知h (x )=f (x )-g (x )=12cos 2x -12sin 2x =22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,当2x +π4=2k π(k ∈Z ),即x =k π-π8(k ∈Z )时,h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时,对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k π-π8,k ∈Z. 6.(13分)已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1.(1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,又∵a >0,∴-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈[-2a ,a ].∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1,∴b =-5,3a +b =1, 因此a =2,b =-5.(2)由(1)得a =2,b =-5,∴f (x )=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +7π6-1 =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6>12,∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z . 综上,g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6(k ∈Z );递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3(k ∈Z ).。
2014年高考数学试题汇编 三角函数三.解答题2. (2014湖北)(本小题满分11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位:h )的变化近似满足函数关系:(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温? (Ⅰ)因为)12sin 2112cos 23(210)(t t t f ππ+-==)312sin(210ππ+-t ,由0≤t <24,所以373123ππππ<+≤t ,1)312sin(1≤+≤-ππt .当t=2时,1)312sin(=+ππt ;当t=14时,1)312sin(-=+ππt .于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃. (Ⅱ)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温. 由(Ⅰ)得)312sin(210)(ππ+-=t t f ,故有)312sin(210ππ+-t >11,即)312sin(ππ+t <21-.又0≤t <24,因此61131267ππππ<+<t ,即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温.3. (2014江苏) (本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值; (2)求)265cos(απ-的值.7、(2014广东)(12分)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf ,(1)求A 的值; (2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f.55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44coscos sin ))cos cos()sin )44443sin 42cos (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=+∴+-+-++-+-==∴=∈解由得sin 33()sin())444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+-==8、(2014四川) (本小题满分12分) 已知函数()sin(3)4f x x π=+(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若α是第二象限角,4()cos()cos 2354f απαα=+,求cos sin αα-的值。
第3讲 三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1.考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性. 2.考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用.对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k ∈Z ). 函数 y =sin xy =cos xy =tan x图象定义域RR{x | x ∈R ,且x ≠⎭⎬⎫k π+π2,k ∈Z值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性2k π-π2,2k π+π2为增;2k π+π2,2k π+3π2为减[2k π,2k π+π]为减;[2k π-π,2k π]为增 k π-π2,k π+π2为增对称中心 (k π,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π2,0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2,0 对称轴 x =k π+π2x =k π无一点提醒求函数y =A sin(ωx +φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx +φ看作一个整体,代入y =sin t 的相应单调区间求解,否则将出现错误. 两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式,通过分析ωx +φ的范围,结合图象写出函数的值域;(2)换元法:把sin x (cos x )看作一个整体,化为二次函数来解决.考点自测1.(2011·新课标全国)设函数f (x )=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f (-x )=f (x ),则( ). A .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2单调递减B .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4单调递减C .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2单调递增D .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式: f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +φ+π4,∵f (x )的最小正周期为π,∴ω=2. ∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +φ+π4.由f (x )=f (-x )知f (x )是偶函数, 因此φ+π4=k π+π2(k ∈Z ).又|φ|<π2,∴φ=π4,∴f (x )=2cos 2x .由0<2x <π,得0<x <π2时,f (x )单调递减,故选A. 答案 A2.(2012·湖南)函数f (x )=sin x -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6的值域为( ).A .[-2,2]B .[-3,3]C .[-1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,32解析 因为f (x )=sin x -32cos x +12sin x = 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x -12cos x =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,所以函数f (x )的值域为[-3,3]. 答案 B3.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ). A .关于直线x =π3对称 B .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称C .关于直线x =-π6对称D .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0对称解析 由题意知T =2πω=π,则ω=2,所以f (x )= sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π+π3=sin π=0. 答案 B4.(2013·郑州模拟)已知ω是正实数,且函数f (x )=2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4上是增函数,那么( ). A .0<ω≤32 B .0<ω≤2 C .0<ω≤247 D .ω≥2解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4且ω>0,得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-ωπ3,ωπ4.又y =sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上的单调增函数,则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2,-ωπ3≥-π2,解得0<ω≤32.答案 A5.(2012·全国)当函数y =sin x -3cos x (0≤x <2π)取得最大值时,x =________.解析 y =sin x -3cos x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x -32cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3的最大值为2,又0≤x <2π,故当x -π3=π2,即x =5π6时,y 取得最大值. 答案 5π6对应学生57考向一 与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________.(2)函数f (x )=2cos x (sin x -cos x )+1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8,3π4上的最大值为________,最小值为________.[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可;(2)先化成形如f (x )=A sin(ωx +φ)的形式,再由x 的范围求解. 解析 (1)sin x -cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4≥0,将x -π4视为一个整体,由正弦函数y =sin x 的图象和性质可知2k π≤x -π4≤π+2k π,k ∈Z ,解得2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z. (2)f (x )=2cos x sin x -2cos 2x +1=sin 2x -cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8,3π4,∴2x -π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,5π4,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,1,故f (x )max =2,f (x )min =-1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z (2)2 -1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式,也可借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y =A sin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域),或用换元法(令t =sin x ,或t =sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练1】 (1)函数y =1tan x -1的定义域为________;(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6时,函数y =3-sin x -2cos 2x 的最小值为________,最大值为________. 解析(1)由题意知:tan x ≠1,即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π,k ∈Z, 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2+k π,k ∈Z , 故函数的定义域为:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π且x ≠π2+k π,k ∈Z . (2)y =3-sin x -2cos 2x =3-sin x -2(1-sin 2x )=2sin 2x -sin x +1=2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -142+78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6,∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,∴当sin x =14时,y min =78; 当sin x =-12时,y max =2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4+k π且x ≠π2+k π,k ∈Z (2)78 2考向二 三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )=(sin x -cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递增区间.[审题视点] 求原函数的定义域,只要使得原函数式有意义即可;先化简原函数为f (x )=A sin(ωx +φ)的形式,再求周期及单调区间. 解 (1)由sin x ≠0,得x ≠k π(k ∈Z ), 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z }, 因为f (x )=(sin x -cos x )sin 2xsin x=2cos x (sin x -cos x )=sin 2x -cos 2x -1=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4-1,所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)函数y =sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ). 由2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,x ≠k π(k ∈Z ), 得k π-π8≤x ≤k π+3π8,x ≠k π(k ∈Z ). 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π-π8,k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+3π8(k ∈Z ). 求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y =A sin(ωx +φ)形式,再求y =A sin(ωx +φ)的单调区间,只需把ωx +φ看作一个整体代入y =sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数. 【训练2】 求下列函数的单调递增区间: (1)y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6;(2)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2. 解 (1)将2x +π6看做一个整体,根据y =cos x 的单调递增区间列不等式求解.函数y =cos x 的单调递增区间为[2k π-π,2k π],k ∈Z .由2k π-π≤2x +π6≤2k π,k ∈Z ,得k π-7π12≤x ≤k π-π12,k ∈Z .故y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的单调递增区间为k π-7π12,k π-π12(k ∈Z ).(2)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2=-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π3,∴由π2+2k π≤x 2-π3≤2k π+3π2,k ∈Z , 得4k π+5π3≤x ≤4k π+11π3,k ∈Z . 故y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π+5π3,4k π+11π3(k ∈Z ). 考向三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0<α<π2,g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+α是偶函数,则α的值为________.(2)函数y =2sin(3x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ<π2的一条对称轴为x =π12,则φ=________.[审题视点] (1)只需令π4+α=π2+k π(k ∈Z ); (2)应满足3×π12+φ=k π+π2,k ∈Z .解析 (1)要使g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+α为偶函数,则需π4+α=k π+π2,k ∈Z ,α=k π+π4,k ∈Z ,∵0<α<π2,∴α=π4.(2)由y =sin x 的对称轴为x =k π+π2(k ∈Z ), 即3×π12+φ=k π+π2(k ∈Z ),得φ=k π+π4(k ∈Z ), 又|φ|<π2,∴k =0,故φ=π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )=A sin(ωx +φ)(ω≠0),(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ=k π(k ∈Z );为偶函数的充要条件为φ=k π+π2(k ∈Z ).(2)求f (x )=A sin(ωx +φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x ;如要求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z )即可.【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3π2(x ∈R ),下面结论错误的是( ). A .函数f (x )的最小正周期为π B .函数f (x )是偶函数C .函数f (x )的图象关于直线x =π4对称 D .函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数解析 f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3π2=-cos 2x ,故其最小正周期为π,故A 正确;易知函数f (x )是偶函数,B 正确;由函数f (x )=-cos 2x 的图象可知,函数f (x )的图象不关于直线x =π4对称,C 错误;由函数f (x )的图象易知,函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数,D 正确,故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐,主要考查y =A sin(ωx +φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ,b ]上的值域(或最值),往往作为某一种答题的其中一问,题目难度不大. 【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a =(cos ωx -sin ωx ,sin ωx ),b =(-cos ωx -sin ωx,23cos ωx ),设函数f (x )=a ·b +λ(x ∈R )的图象关于直线x =π对称,其中ω、λ为常数,且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0,求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5上的取值范围.[教你审题] 一审 准确化成形如f (x )=A sin(ωx +φ)+h 的形式; 二审 充分利用对称轴x =π; 三审 确定λ的值.[规范解答] (1)f (x )=sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx ·cos ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π6+λ.(3分) 由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴, 可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π6=±1,所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),即ω=k 2+13(k ∈Z ), 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,k ∈Z ,所以k =1,故ω=56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y =f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,即λ=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2-π6=-2sin π4=-2,故f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6- 2.(9分)由0≤x ≤3π5,有-π6≤53x -π6≤5π6, 所以-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6≤1,得-1-2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6-2≤2-2,(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5上的取值范围为[-1-2,2-2].(12分) [阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )=A sin(ωx +φ)+h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分.(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心,导致失分.第一步:三角函数式的化简,一般化成形如y =A sin(ωx +φ)+h 的形式或y =A cos(ωx +φ)+k 的形式.第二步:根据题设条件求出y =A sin(ωx +φ)+h 中有关的参数.第三步:由x 的取值范围确定ωx +φ的取值范围,再确定sin(ωx +φ)的取值范围.第四步:求出所求函数的值域(或最值).【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )=4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6-1.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π4上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )=4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6-1=4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x +12cos x -1=3sin 2x +2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x +π6≤2π3.于是,当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值2; 当2x +π6=-π6,即x =-π6时,f (x )取得最小值-1.对应学生255A 级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2011·山东)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减,则ω=( ).A.23B.32C .2D .3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x =π3,和它相邻的一个对称中心为原点,则f (x )的周期T =4π3,从而ω=32. 答案 B2.已知函数f (x )=sin(x +θ)+3cos(x +θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2是偶函数,则θ的值为( ).A .0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +θ+π3,若函数为偶函数,则必有θ+π3=k π+π2(k ∈Z ),又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,故有θ+π3=π2,解得θ=π6,经代入检验符合题意. 答案 B3.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ).A .2- 3B .0C .-1D .-1- 3解析 ∵0≤x ≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π6,∴-32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤1,∴-3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x -π3≤2.∴函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2- 3. 答案 A4.(2011·安徽)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π3,k π+π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π,k π+π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π2,k π(k ∈Z ) 解析 由f (x )=sin(2x +φ),且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=±1,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6+φ=±1. ∴π3+φ=k π+π2(k ∈Z ).∴φ=k π+π6(k ∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∴-sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ=k π+π6(k ∈Z ),k 为奇数.∴f (x )=sin(2x +φ)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +k π+π6=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6.∴由2m π+π2≤2x +π6≤2m π+3π2(m ∈Z ), 得m π+π6≤x ≤m π+2π3(m ∈Z ),∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π+π6,m π+2π3(m ∈Z ).答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,f (x )=sin x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin π3=32.答案 326.若f (x )=2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上的最大值是2,则ω=________.解析 由0≤x ≤π3,得0≤ωx ≤ωπ3<π3,则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以2sin ωπ3=2,且0<ωπ3<π3, 所以ωπ3=π4,解得ω=34. 答案 34三、解答题(共25分) 7.(12分)设f (x )=1-2sin x . (1)求f (x )的定义域;(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值.解 (1)由1-2sin x ≥0,根据正弦函数图象知: 定义域为{x |2k π+56π≤x ≤2k π+13π6,k ∈Z }. (2)∵-1≤sin x ≤1,∴-1≤1-2sin x ≤3, ∵1-2sin x ≥0,∴0≤1-2sin x ≤3, ∴f (x )的值域为[0,3],当x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最大值.8.(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴; (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域.解 (1)f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=12cos 2x +32sin 2x +(sin x -cos x )(sin x +cos x ) =12cos 2x +32sin 2x +sin 2x -cos 2x =12cos 2x +32sin 2x -cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6.∴最小正周期T =2π2=π,由2x -π6=k π+π2(k ∈Z ), 得x =k π2+π3(k ∈Z ).∴函数图象的对称轴为x =k π2+π3(k ∈Z ). (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2,∴2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6,∴-32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1.B 级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2012·新课标全国)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递减,则ω的取值范围是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 D .(0,2]解析 取ω=54,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⊆85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,排除B ,C.取ω=2,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,排除D.答案 A2.已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ).A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4-π4=2π,故ω=1,∴f (x )=sin(x+φ),令x +φ=k π+π2(k ∈Z ),将x =π4代入可得φ=k π+π4(k ∈Z ),∵0<φ<π,∴φ=π4. 答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2013·徐州模拟)已知函数f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |,则f (x )的值域是________.解析 f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |=⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x ),sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象,可得函数的最小值为-1,最大值为22,故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,224.(2012·西安模拟)下列命题中:①α=2k π+π3(k ∈Z )是tan α=3的充分不必要条件; ②函数f (x )=|2cos x -1|的最小正周期是π;③在△ABC 中,若cos A cos B >sin A sin B ,则△ABC 为钝角三角形; ④若a +b =0,则函数y =a sin x -b cos x 的图象的一条对称轴方程为x =π4. 其中是真命题的序号为________. 解析 ①∵α=2k π+π3(k ∈Z )⇒tan α=3, 而tan α=3⇒/ α=2k π+π3(k ∈Z ),∴①正确. ②∵f (x +π)=|2cos(x +π)-1|=|-2cos x -1|=|2cos x +1|≠f (x ),∴②错误. ③∵cos A cos B >sin A sin B ,∴cos A cos B -sin A sin B >0, 即cos(A +B )>0,∵0<A +B <π,∴0<A +B <π2, ∴C 为钝角,∴③正确.④∵a +b =0,∴b =-a ,y =a sin x -b cos x =a sin x +a cos x =2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,∴x =π4是它的一条对称轴,∴④正确. 答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5.(12分)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x ,g (x )=12sin 2x -14.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最大值,并求使h (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x -32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x +32sin x =14cos 2x -34sin 2x =1+cos 2x 8-3-3cos 2x 8=12cos 2x -14,∴f (x )的最小正周期为2π2=π. (2)由(1)知h (x )=f (x )-g (x )=12cos 2x -12sin 2x =22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,当2x +π4=2k π(k ∈Z ),即x =k π-π8(k ∈Z )时,h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时,对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k π-π8,k ∈Z. 6.(13分)已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1.(1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,又∵a >0,∴-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈[-2a ,a ].∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1,∴b =-5,3a +b =1, 因此a =2,b =-5.(2)由(1)得a =2,b =-5,∴f (x )=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +7π6-1=4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6>12,∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6,k ∈Z .又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z . 综上,g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6(k ∈Z );递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3(k ∈Z ).。
第四章单元测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M={x|x=sin nπ3,n∈Z},N={x|x=cosnπ2,n∈N},则M∩N等于()A.{-1,0,1}B.{0,1} C.{0} D.∅答案 C解析∵M={x|x=sin nπ3,n∈Z}={-32,0,32},N={-1,0,1},∴M∩N={0}.应选C.2.已知α∈(π2,π),sinα=35,则tan(α+π4)等于()A.17B.7C.-17D.-7答案 A解析∵α∈(π2,π),∴tanα=-34.∴tan(α+π4)=-34+11+34=17.3. 已知函数f(x)=sin(πx-π2)-1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案 B解析 f (x )=-cosπx -1,周期为2,且为偶函数,故选B.4.把函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为( )A .1,π3 B .1,-π3 C .2,π3 D .2,-π3答案 D解析 由题知,14×2πω=7π12-π3,∴ω=2,∵函数的图像过点(π3,0),∴2(π3+π3)+φ=π.∴φ=-π3.故选D.5.函数y =2sin(x -π6)+cos(x +π3)的一条对称轴为 ( )A .x =π3 B .x =π6 C .x =-π3 D .x =-5π6答案 C解析 y =2sin(x -π6)+cos(x +π3) =2sin(x -π6)+sin[π2-(x +π3)] =2sin(x -π6)+sin(π6-x )=sin(x -π6). 方法一 把选项代入验证.方法二 由x -π6=k π+π2,得x =k π+23π(k ∈Z ).当k =-1时,x =-π3.6.如图,一个大风车的半径为8 m ,每12 min 旋转一周,最低点离地面为2 m .若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A .h =8cos π6t +10 B .h =-8cos π3t +10 C .h =-8sin π6t +10D .h =-8cos π6t +10答案 D解析 排除法,由T =12,排除B ,当t =0时,h =2,排除A 、C.故选D. 7.设a >0,对于函数f (x )=sin x +asin x (0<x <π),下列结论正确的是 ( )A .有最大值而无最小值B .有最小值而无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值也无最小值 答案 B解析 令t =sin x ,则函数f (x )=sin x +a sin x (0<x <π)的值域为函数y =1+at ,t ∈(0,1]的值域,又a >0,所以y =1+at ,t ∈(0,1]是一个减函数.故选B.8.甲船在岛A 的正南B 处,以4 km/h 的速度向正北航行,AB =10 km ,同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157 h C .21.5 min D .2.15 h答案 A解析 如右图:设t 小时甲行驶到D 处AD =10-4t , 乙行驶到C 处AC =6t ,∵∠BAC =120°, DC 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC ·cos120°=(10-4t )2+(6t )2-2×(10-4t )×6t ×cos120°=28t 2-20t +100. 当t =514 h 时DC 2最小,DC 最小,此时t =514×60=1507min. 9.在△ABC 中,已知sin C =2sin(B +C )cos B ,那么△ABC 一定是( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等边三角形答案 B解析 C =π-(A +B ),B +C =π-A .有sin(A +B )=2sin A cos B ,sin A cos B +cos A sin B =2sin A cos B . 即sin A cos B -cos A sin B =0,sin(A -B )=0,则A =B . ∴△ABC 为等腰三角形.故选B.10.已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A .[k π-π3,k π+π6](k ∈Z ) B .[k π,k π+π2](k ∈Z ) C .[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ) D .[k π-π2,k π](k ∈Z ) 答案 C解析 因为当x ∈R 时,f (x )≤|f (π6)|恒成立,所以f (π6)=sin(π3+φ)=±1,可得φ=2k π+π6或φ=2k π-5π6.因为f (π2)=sin(π+φ)=-sin φ>f (π)=sin(2π+φ)=sin φ,故sin φ<0,所以φ=2k π-5π6,所以f (x )=sin(2x -5π6),函数的单调递增区间为-π2+2k π≤2x -5π6≤π2+2k π,所以x ∈[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ),故选C.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=________.答案 -35解析 由角θ的终边在直线y =2x 上可得tan θ=2,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35. 12.函数f (x )=sin 4x +cos 2x 的最小正周期为________. 答案 π2解析 法一:f (x )=(1-cos 2x )2+cos 2x =1+cos 4x -cos 2x =1+cos 2x (cos 2x -1)=1-cos 2x ·sin 2x =1-14sin 22x =1-14(1-cos4x 2)=78+18cos4x .法二:f (x )=(sin 2x )2+cos 2x =(1-cos2x 2)2+1+cos2x 2=34+14cos 22x =78+18cos4x .13.已知等腰△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b +a ,c -a ),若p ∥q ,则角A 的大小为________.答案 30°解析 由p ∥q ,得(a +c )(c -a )=b (b +a ),即-ab =a 2+b 2-c 2,由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-ab 2ab =-12.因为0°<C <180°,所以C =120°.又由△ABC 为等腰三角形得A =12(180°-120°)=30°.14.若1+tan α1-tan α=2 012,则1cos2α+tan2α=________.答案 2 012解析 1cos2α+tan2α=1cos2α+sin2αcos2α=(sin α+cos α)2cos 2α-sin 2α=sin α+cos αcos α-sin α=tan α+11-tan α=2 012.15.在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC =3BD ,AD =2,∠ADB =135°.若AC =2AB ,则BD =________.答案 2+ 5解析 如图,设AB =c ,AC =b ,BC =a ,则由题可知BD =13a ,CD =23a ,所以根据余弦定理可得b 2=(2)2+(23a )2-2×2×23a cos45°,c 2=(2)2+(13a )2-2×2×13a cos135°,由题意知b =2c ,可解得a =6+35,所以BD =13a =2+ 5.16.下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=k π2,k ∈Z }.③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图像和函数y =x 的图像有三个公共点. ④把函数y =3sin(2x +π3)的图像向右平移π6得到y =3sin2x 的图像. ⑤函数y =sin(x -π2)在[0,π]上是减函数.其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y =sin 2x -cos 2x =-cos2x ,所以最小正周期为π. ②k =0时,α=0,则角α终边在x 轴上.③由y =sin x 在(0,0)处切线为y =x ,所以y =sin x 与y =x 图像只有一个交点.④y=3sin(2x+π3)图像向右平移π6个单位得y=3sin[2(x-π6)+π3]=3sin2x.⑤y=sin(x-π2)=-cos x在[0,π]上为增函数,综上知①④为真命题.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.解析由cos2x≠0,得2x≠kπ+π2,解得x≠kπ2+π4,k∈Z.所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2+π4,k∈Z}.因为f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=6cos4(-x)+5sin2(-x)-4cos(-2x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x=f(x),所以f(x)是偶函数.当x≠kπ2+π4,k∈Z时,f(x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x=(2cos2x-1)(3cos2x-1)cos2x=3cos2x-1,所以f(x)的值域为{y|-1≤y<12或12<y≤2}.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin x cos x+sin(π2-2x).求:(1)f(π4)的值;(2)f(x)的最小正周期和最小值;(3)f(x)的单调递增区间.答案 (1)1 (2)π,-2 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z )解析 (1)f (π4)=2sin π4cos π4+sin(π2-2×π4) =2×22×22+0=1.(2)f (x )=sin2x +cos2x =2(22sin2x +22cos2x ) =2(sin2x cos π4+cos2x sin π4)=2sin(2x +π4). 所以最小正周期为π,最小值为- 2. (3)由-π2+2k π≤2x +π4≤π2+2k π(k ∈Z ), 可得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z ).所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z ).19.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =C,2b =3a .(1)求cos A 的值; (2)求cos(2A +π4)的值. 答案 (1)13 (2)-8+7218解析 (1)由B =C,2b =3a ,可得c =b =32a . 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =34a 2+34a 2-a 22×32a ×32a=13.(2)因为cos A =13,A ∈(0,π),所以sin A =1-cos 2A =223,cos 2A =2cos 2A -1=-79.故sin2A =2sin A cos A =429.所以cos(2A +π4)=cos 2A cos π4-sin 2A sin π4=(-79)×22-429×22=-8+7218.20.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足ac =a 2+c 2-b 2.(1)求角B 的大小;(2)若|BA→-BC →|=2,求△ABC 面积的最大值. 答案 (1)π3 (2) 3解 (1)∵在△ABC 中,ac =a 2+c 2-b 2, ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =12. ∵B ∈(0,π),∴B =π3.(2)∵|BA →-BC →|=2,∴|CA →|=2,即b =2. ∴a 2+c 2-ac =4.∵a 2+c 2≥2ac ,当且仅当a =c =2时等号成立. ∴4=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ,即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =34ac ≤ 3.∴当a =b =c =2时,△ABC 的面积取得最大值为 3.21.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,AB →·AC→=8,∠BAC =θ,a =4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围.(2)求函数f (θ)=23sin 2(π4+θ)+2cos 2θ-3的最值. 解析 (1)∵AB →·AC →=8,∠BAC =θ,∴bc ·cos θ=8. 又∵a =4,∴b 2+c 2-2bc cos θ=42,即b 2+c 2=32. 又b 2+c 2≥2bc ,∴bc ≤16,即bc 的最大值为16. 而bc =8cos θ,∴8cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π,∴0<θ≤π3.(2)f (θ)=23sin 2(π4+θ)+2cos 2θ- 3=3·[1-cos(π2+2θ)]+1+cos2θ- 3 =3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+π6)+1. ∵0<θ≤π3,∴π6<2θ+π6≤5π6. ∴12≤sin(2θ+π6)≤1.当2θ+π6=5π6,即θ=π3时,f (θ)min =2×12+1=2; 当2θ+π6=π2,即θ=π6时,f (θ)max =2×1+1=3.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(1+1tan x )sin 2x +m sin(x +π4)sin(x -π4). (1)当m =0时,求f (x )在区间[π8,3π4]上的取值范围; (2)当tan α=2时,f (α)=35,求m 的值. 解析 (1)当m =0时,f (x )=sin 2x +sin x cos x =12(sin2x -cos2x )+12=22sin(2x -π4)+12.又由x ∈[π8,3π4],得2x -π4∈[0,5π4],所以sin(2x -π4)∈[-22,1],从而f (x )=22sin(2x -π4)+12∈[0,1+22].(2)f (x )=sin 2x +sin x cos x -m 2cos2x =1-cos2x 2+12sin2x -m 2cos2x =12[sin2x -(1+m )cos2x ]+12,由tan α=2,得sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α=45,cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35.所以35=12[45+(1+m )35]+12,得m =-2.1.(2011·上海)若三角方程sin x =0与sin 2x =0的解集分别为E ,F ,则( ) A .E ∩F =E B .E ∪F =E C .E =F D .E ∩F =∅答案 A2.下列函数中,其中最小正周期为π,且图像关于直线x =π3对称的是( ) A .y =sin(2x -π3)B .y =sin(2x -π6)C .y =sin(2x +π6) D .y =sin(x 2+π6) 答案 B解析 ∵T =π,∴ω=2,排除D ,把x =π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值,故选B.3.函数y =tan(π4x -π2)的部分图像如图所示,则(OA →+OB →)·AB→=( )A .6B .4C .-4D .-6答案 A解析 由tan(π4x -π2)=0,得π4x -π2=k π(k ∈Z ),x =4k +2(k ∈Z ),结合图形可知A (2,0),由tan(π4x -π2)=1,得π4x -π2=π4+k π(k ∈Z ),∴x =3+4k (k ∈Z ),结合图形可知B (3,1),∴(OA →+OB →)·AB →=(5,1)·(1,1)=6.4.(本小题满分12分)如图(a ),一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶.在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ,再行驶a km 到达B 处,测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案,用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤; (2)函数f (x )=a sin(βx +φ)的部分图像如图(b )所示,θ=π6,求塔顶E 到公路的距离.解析 (1)第一步:求OA ,在△AOB 中,∠ABO =π-β,∠AOB =β-φ,AB =a ,由正弦定理,得OA =a sin (π-β)sin (β-φ)=a sin βsin (β-φ);第二步:求OE ,在Rt △EOA中,∠EAO =θ,∠EOA =90°,则OE =OA tan θ=a sin βtan θsin (β-φ).(2)由图像易得a =3,β=π3,φ=π6,又θ=π6,则 OE =3sin π3tan π6sin (π3-π6)= 3.过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ,连接OF ,因为AB ⊥OE ,又OE ∩EF =E ,所以AB ⊥平面EOF ,所以AB ⊥OF .在△AOB 中,∠OAB =∠AOB =π6,则OB =AB =a =3,在Rt △BFO 中,∠OBF =π3,则OF =OB sin π3=3×32=32,又在Rt △EOF 中,OE =3,所以EF =OE 2+OF 2=(3)2+(32)2=212.5.(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)=3sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点P (x ,y ),且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12,32),求f (θ)的值;(2)若点P (x ,y )为平面区域Ω:⎩⎨⎧x +y ≥1,x ≤1,y ≤1上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f (θ)的最小值和最大值.答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2,f (θ)最大值2,最小值1解析 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32,cos θ=12.于是f (θ)=3sin θ+cos θ=3×32+12=2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).于是0≤θ≤π2.又f (θ)=3sin θ+cos θ=2sin(θ+π6),且π6≤θ+π6≤2π3, 故当θ+π6=π2,即θ=π3时,f (θ)取得最大值,且最大值等于2; 当θ+π6=π6,即θ=0时,f (θ)取得最小值,且最小值等于1.。