2016年中考数学压轴题及解析分类汇编
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2016年中考数学压轴题70题精选(含答案)【001】如图13,二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为45。
(1)求该二次函数的关系式;(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴的垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由。
【002】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
【003】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ,与x 轴的交点为A 、B (点B 在点A 的右侧),△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。
(1)判断△ABM 的形状,并说明理由。
(2)当顶点M 的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形。
(3)若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点,以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切,求该圆的圆心坐标。
【004】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ,与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B .过点A 分别作AC x ⊥轴,AE y ⊥轴,垂足分别为,C E ;过点B 分别作BF x ⊥轴,BD y ⊥轴,垂足分别为F D ,,AC 与BD 交于点K ,连接CD . (1)若点A B ,在反比例函数ky x=的图象的同一分支上,如图1,试证明: ①AEDK CFBK S S =四边形四边形; ②AN BM =.(2)若点A B ,分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上,如图2,则AN 与BM 还相等吗?试证明你的结论.)【005】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A 的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式;(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S 与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.【006】如图,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于C 点,且经过点(23)a -,,对称轴是直线1x =,顶点是M . (1)求抛物线对应的函数表达式;(2)经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ,在抛物线上是否存在这样的点P ,使以点P A C N ,,,为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ,在线段BD 上任取一点E (不与B D ,重合),经过AB E ,,三点的圆交直线BC 于点F ,试判断AEF △的形状,并说明理由; (4)当E 是直线3y x =-+上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).【007】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ,. (1)求正比例函数和反比例函数的解析式;(2)把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ,,求m 的值和这个一次函数的解析式;(3)第(2)问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足:123S S?若存在,求点E 的坐标; 若不存在,请说明理由.【008】如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为1的圆的圆心O 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点.抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ,与直线y x =交于点M N 、,且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C .(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长. (3)过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上,说明理由.【009】如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得DCA △的面积最大,求出点D 的坐标.【010】如图,抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -,、(04)C ,两点,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线的解析式;(2)已知点(1)D m m +,在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点, 且45DBP ∠=°,求点P 的坐标.7),且顶点C的横坐标为4,该图象在【011】如图,二次函数的图象经过点D(0,39x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式;⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【012】如图,已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ,,(02)B ,两点,顶点为D . (1)求抛物线的解析式;(2)将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式;(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为1B ,顶点为1D ,若点N 在平移后的抛物线上,且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍,求点N 的坐标.(第26【013】如图,点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<,上一动点,过点P 作x 轴、y 轴的垂线,分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,交双曲线y =xk 2(0<k 2<|k 1|)于E 、F 两点. (1)图1中,四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示); (2)图2中,设P 点坐标为(-4,3). ①判断EF 与AB 的位置关系,并证明你的结论;②记2PEF OEF S S S ∆∆=-,S 2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1,在直角坐标系中,一条抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中B(3, 0),C(0, 4),点A在x轴的负半轴上,OC=4OA.(1)求这条抛物线的解析式,并求出它的顶点坐标;(2)联结AC、BC,点P是x轴正半轴上的一个动点,过点P作PM//BC交射线AC于M,联结CP,若△CPM的面积为2,则请求出点P的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”,拖动点P在x轴的正半轴上运动,可以体验到,有两个时刻,△CPM的面积为2.满分解答(1)由C(0, 4),OC=4OA,得OA=1,A(-1, 0).设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),代入点C(0, 4),得4=-3a.解得43a=-.所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+.顶点坐标为16 (1)3,.(2)如图2,设P(m, 0),那么AP=m+1.所以S△CP A=12AP CO⋅=1(1)42m+⨯=2m+2.由PM//BC,得CM BPCA BA=.又因为CPMCPAS CMS CA=△△,所以S△CPM =(22)BPmBA+.①如图2,当点P在AB上时,BP=3-m.解方程3(22)4mm-+=2,得m=1.此时P(1, 0).②如图3,当点P在AB的延长线上时,BP=m-3.解方程3(22)4mm-+=2,得1m=±P(1+.图2 图3如图1,已知矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,点E 是BC 边上一点(不与B 、C 重合),过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ,过点B 作BG ⊥AC ,垂足为G ,BG 交AE 于点H .(1)求证:△ABH ∽△ECM ; (2)设BE =x ,EHEM=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3)当△BHE 为等腰三角形时,求BE 的长.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”,拖动点E 在BC 上运动,可以体验到,有三个时刻,△BHE 可以成为为等腰三角形.满分解答(1)如图2,因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角,所以∠1=∠2. 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角,所以∠BAH =∠CEM . 所以△ABH ∽△ECM .图2 图3(2)如图3,延长BG 交AD 于N .在Rt △ABC 中,AB =6,BC =8,所以AC =10. 在Rt △ABN 中,AB =6,所以AN =AB tan ∠1=34AB =92,BN =152. 如图2,由AD //BC ,得92AH AN EH BE x ==. 由△ABH ∽△ECM ,得68AH AB EM EC x ==-. 所以y =EHEM=AH AH EM EH ÷=6982x x ÷-=12729x x -. 定义域是0<x <8.(3)如图2,由AD//BC,得92NH ANBH BE x==.所以292BN xBH x+=.所以215292xBHx=⨯+=1529xx+.在△BHE中,BE=x,cos∠HBE=35,1529xBHx=+.分三种情况讨论等腰三角形BHE:①如图4,当BE=BH时,解方程1529xxx=+,得x=3.②如图5,当HB=HE时,1cos2BE BH B=⋅∠.解方程11532295xxx=⨯+,得92x=.③如图6,当EB=EH时,1cos2BH BE B=⋅∠.解方程11532295xxx⨯=+,得74x=.图4 图5 图6如图1,二次函数y=x2+bx+c的图像经过原点和点A(2, 0),直线AB与抛物线交于点B,且∠BAO=45°.(1)求二次函数的解析式及顶点C的坐标;(2)在直线AB上是否存在点D,使得△BCD为直角三角形,若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”,可以体验到,以BC为直径的圆恰好经过点A,直角三角形BCD存在两种情况.满分解答(1)因为抛物线y=x2+bx+c与x轴交于O、A(2, 0)两点,所以y=x(x-2)=(x-1)2-1.顶点C的坐标为(1,-1).(2)如图2,作BH⊥x轴于H.设B(x, x2-2x).由于∠BAH=45°,所以BH=AH.解方程x2-2x=2-x,得x=-1,或x=2.所以点B的坐标为(-1, 3).图2①∠BDC=90°.如图3,由A(2, 0)、C(1,-1),可得∠CAO=45°.因此∠BAC=90°.所以当点D与点A(2, 0)重合时,△BCD是直角三角形.②∠BCD=90°.由A(2, 0)、B(-1, 3),可得直线AB的解析式为y=-x+2.【解法一】如图4,过点C作BC的垂线与直线AB交于点D.设D(m,-m+2 ).由BD2=BC2+CD2,得(m+1)2+(-m-1)2=22+42+(m-1)2+(-m+3)2.解得73m=.此时点D的坐标为71(,)33-.【解法二】构造△BMC∽△CND,由BM CNMC ND=,得4123mm-=-+.解得73m=.图2 图3 图4如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =5,BC =3,点D 是斜边AB 上任意一点,联结DC ,过点C 作CE ⊥CD ,联结DE ,使得∠EDC =∠A ,联结BE .(1)求证:AC ·BE =BC ·AD ;(2)设AD =x ,四边形BDCE 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式,并写出定义域;(3)当S △BDE =14S △ABC 时,求tan ∠BCE 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”,拖动点E 在AD 边上运动,可以体验到,△ABC 与△DEC 保持相似,△ACD 与△BCE 保持相似,△BDE 是直角三角形.满分解答(1)如图2,在Rt △BAC 和Rt △EDC 中,由tan ∠A =tan ∠EDC ,得BC ECAC DC=. 如图3,已知∠ACB =∠DCE =90°,所以∠1=∠2. 所以△ACD ∽△BCE .所以AC BCAD BE=.因此AC ·BE =BC ·AD .图2 图3(2)在Rt △ABC 中,AB =5,BC =3,所以AC =4.所以S △ABC =6.如图3,由于△ABC 与△ADC 是同高三角形,所以S △ADC ∶S △ABC =AD ∶AB =x ∶5. 所以S △ADC =65x .所以S △BDC =665x -. 由△ADC ∽△BEC ,得S △ADC ∶S △BEC =AC 2∶BC 2=16∶9.所以S △BEC =916S △ADC =96165x ⨯=2740x . 所以S =S 四边形BDCE =S △BDC +S △BEC =6276540x x -+=21640x -+.定义域是0<x <5.(3)如图3,由△ACD ∽△BCE ,得AC BCAD BE=,∠A =∠CBE . 由43x BE =,得BE =34x . 由∠A =∠CBE ,∠A 与∠ABC 互余,得∠ABE =90°(如图4).所以S △BDE =1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--. 当S △BDE =14S △ABC =13642⨯=时,解方程33(5)82x x --=,得x =1,或x =4.图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H .①如图5,当x =AD =1时,在Rt △ADH 中,DH =35AD =35,AH =45AD =45. 在Rt △CDH 中,CH =AC -AH =416455-=,所以tan ∠HCD =DHCH =316.②如图6,当x =AD =4时,在Rt △ADH 中,DH =35AD =125,AH =45AD =165.在Rt △CDH 中,CH =AC -AH =164455-=,所以tan ∠HCD =DHCH=3. 综合①、②,当S △BDE =14S △ABC 时, tan ∠BCE 的值为316或3.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B (点B 在点A 的右侧),与y 轴交于点C ,tan ∠CBA =12. (1)求该抛物线的表达式;(2)设该抛物线的顶点为D ,求四边形ACBD 的面积; (3)设抛物线上的点E 在第一象限,△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形,请直接写出点E 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”,可以体验到,以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个.满分解答(1)由y =ax 2+bx +3,得C (0, 3),OC =3. 由tan ∠CBA =OC OB =12,得OB =6,B (6, 0). 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y =ax 2+bx +3,得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =,b =-2.所以221123(4)144y x x x =-+=--. (2)如图2,顶点D 的坐标为(4,-1).S 四边形ACBD =S △ABC +S △ABD =1123+2122⨯⨯⨯⨯=4.(3)如图3,点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35).思路如下:设E 21(,23)4x x x -+. 当∠CBE =90°时,过点E 作EF ⊥x 轴于F ,那么2EF BOBF CO==.所以EF =2BF . 解方程21232(4)4x x x -+=-,得x =10,或x =4.此时E (10, 8). 当∠BCE =90°时,EF =2CF . 解方程21224x x x -=,得x =16,或x =0.此时E (16, 35).图2 图3如图1,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为线段AE 上一点,联结BF 并延长交边AD 于点G ,过点G 作AE 的平行线,交射线DC 于点H .设AD EFx AB AF==. (1)当x =1时,求AG ∶AB 的值; (2)设GDHEBAS S △△=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; (3)当DH =3HC 时,求x 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”,拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比,可以体验到,当菱形ABCD 时,G 是AD 的中点,△GDH 与△EBA 保持相似.还可以体验到,DH =3HC 存在两种情况.满分解答(1)如图2,当x =1时,AD =AB ,F 是AE 的中点. 因为AD //CB ,所以AG =BE =12BC =12AD =12AB . 所以AG ∶AB =1∶2.(2)如图3,已知AD EF x AB AF ==,设AB =m ,那么AD =xm ,BE =12xm . 由AD //BC ,得BE EFx AG AF ==.所以12BE AG m x ==.所以DG =12xm m -.图2 图3 图4 如图4,延长AE 交DC 的延长线于M . 因为GH //AE ,所以△GDH ∽△ADM . 因为DM //AB ,所以△EBA ∽△ADM . 所以△GDH ∽△EBA .所以y =GDH EBA S S △△=2()DG BE =2211()()22xm m xm -÷=22(21)x x -. (3)如图5,因为GH //AM ,所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-. 因为DM //AB ,E 是BC 的中点,所以MC =AB =DC . DH =3HC 存在两种情况:如图5,当H 在DC 上时,35DH HM =.解方程3215x -=,得45x =. 如图6,当H 在DC 的延长线上时,3DH HM =.解方程213x -=,得45x =.图5 图6如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2-3ax +c 与x 轴交于A (-1, 0)、B 两点(点A 在点B 左侧),与y 轴交于点C (0, 2).(1)求抛物线的对称轴及点B 的坐标; (2)求证:∠CAO =∠BCO ;(3)点D 是射线BC 上一点(不与B 、C 重合),联结OD ,过点B 作BE ⊥OD ,垂足为△BOD 外一点E ,若△BDE 与△ABC 相似,求点D 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”,拖动点D 在射线BC 上运动,可以体验到,当点E 在△BOD 外时,有两个时刻,Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2.满分解答(1)由y =ax 2-3ax +c ,得抛物线的对称轴为直线32x =. 因此点A (-1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0). (2)如图2,因为tan ∠CAO =2CO AO =,tan ∠BCO =2BOCO=,所以∠CAO =∠BCO .(3)由B (4, 0)、C (0, 2),得直线BC 的解析式为122y x =-+.设D 1(,2)2x x -+.以∠ABC (∠OBC )为分类标准,分两种情况讨论:①如图3,当∠OBC =∠DBE 时,由于∠OBC 与∠OCB 互余,∠DBE 与∠ODC 互余,所以∠OCB =∠ODC .此时OD =OC =2.根据OD 2=4,列方程221+(2)42x x -+=.解得x =0,或85x =.此时D 86(,)55. ②如图4,当∠OBC =∠EDB 时,OD =OB =4. 根据OD 2=16,列方程221+(2)162x x -+=.解得x =4,或125x =-.此时D 1216(,)55-.图2 图3 图4如图1,已知直线l1//l2,点A是l1上的点,B、C是l2上的点,AC⊥BC,∠ABC=60°,AB=4,O是AB的中点,D是CB的延长线上的点,将△DOC沿直线CO翻折,点D与点D′重合.(1)如图1,当点D落在直线l1上时,求DB的长;(2)延长DO交直线l1于点E,直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N.①如图2,当点E在线段AM上时,设AE=x,DN=y,求y关于x的解析式及定义域;②若△DON AE的长.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”,拖动点D在CB的延长线上运动,可以体验到,CD′与AB保持平行,△BON与△BDO保持相似.还可以体验到,有两个时刻DN=3.满分解答(1)如图3,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AB=4,O是AB的中点,所以△OBC是边长为2的等边三角形.又因为△DOC与△D′OC关于CO对称,所以∠BCD′=120°,CD′=CD.所以AB//D′C.当点D′ 落在直线l1上时,AD′//BC.所以四边形ABCD′是平行四边形.所以CD′=BA=4.此时BD=CD-CB=CD′-CB=4-2=2.图3(2)①如图4,由于AE//BD,O是AB的中点,所以AE=BD=x.因为AB//D′C,所以∠AOM=∠2.又因为∠AOM=∠BON,∠2=∠1,所以∠BON=∠1.又因为∠OBN=∠DBO,所以△BON∽△BDO.所以BO BDBN BO=.因此22xx y=+.于是得到24xyx-=.定义域是0<x≤2.②在△DON中,DN当S△DON DN=3.有两种情形:情形1,如图4,当D在BN上时,DN=24xyx-==3,解得x=1,或x=-4.此时AE=1.情形2,如图5,当D在BN的延长线上时,由BO BDBN BO=,得22xx y=-.于是得到24xyx-=.当DN=24xyx-==3时,解得x=4,或x=-1.此时AE=4.图4 图5如图1,在平面直角坐标系中,抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,-4),点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称.(1)用配方法求这条抛物线的顶点坐标; (2)联结AC 、BC ,求∠ACB 的正弦值;(3)点P 是这条抛物线上的一个动点,设点P 的横坐标为m (m >0),过点P 作y 轴的垂线PQ ,垂足为Q ,如果∠QPO =∠BCO ,求m 的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”,可以体验到,QO ∶QP =OB ∶OC .满分解答(1)将A (4, 0)、C (0,-4)分别代入212y x bx c =++,得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b =-1,c =-4.所以2142y x x =--=1(2)(4)2x x +-=219(1)22x --. 点B 的坐标是(-2, 0),顶点坐标是9(1,)2-.(2)由A (4, 0)、B (-2, 0)、C (0,-4),得AC =BC =AB =6,CO =4. 作BH ⊥AC 于H .由S △ABC =12AB CO ⋅=12AC BH ⋅.得AB CO BH AC ⋅==因此sin ∠ACB =BH BC .(3)点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --. 由tan ∠QPO =tan ∠BCO ,得12QO OB QP OC ==. 所以QP =2QO .解方程212(4)2m m m =--,得m =图2所以点P 的横坐标m .如图1,已知△ABC 中,∠ABC =90°,tan ∠BAC =12.点D 在AC 边的延长线上,且DB 2=DC ·DA .(1)求DCCA的值; (2)如果点E 在线段BC 的延长线上,联结AE ,过点B 作AC 的垂线,交AC 于点F ,交AE 于点G .①如图2,当CE =3BC 时,求BFFG的值; ②如图3,当CE =BC 时,求BCDBEGS S △△的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”,拖动点E 运动,可以体验到,当CE =3BC 时,BD //AE ,BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线.当CE =BC 时,△ABF ≌△BEH ,AF =2EH =4CF .满分解答(1)如图1,由DB 2=DC ·DA ,得DB DADC DB=. 又因为∠D 是公共角,所以△DBC ∽△DAB .所以DB BC CDDA AB BD==. 又因为tan ∠BAC =BC AB =12,所以12CD BD =,12BD DA =.所以14CD DA =.所以13DCCA=. (2)①如图4,由△DBC ∽△DAB ,得∠1=∠2. 当BF ⊥CA 时,∠1=∠3,所以∠2=∠3.因为13DC CA =,当CE =3BC 时,得DC BCCA CE =.所以BD //AE . 所以13BD EA =,∠2=∠E .所以∠3=∠E .所以GB =GE .于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线.所以23BD GA =.所以23BF BD FG GA ==.②如图5,作EH⊥BG,垂足为H.当CE=BC时,CF是△BEH的中位线,BF=FH.设CF=m.由tan∠1=tan∠3=12,得BF=2m,AF=4m.所以FH=2m,EH=2m,DC=1533CA m=.因此422FG AF mHG EH m===.所以2433FG FH m==.所以103BG m=.于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△.图4 图5如图1,直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,二次函数的图像与y 轴相交于点C ,与直线121+=x y 相交于点A 、D ,CD //x 轴,∠CDA =∠OCA . (1)求点C 的坐标;(2)求这个二次函数的解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”,可以体验到,△AOB 与△COA 相似.满分解答(1)由121+=x y ,得A (-2, 0),B (0, 1).所以OA =2,OB =1. 由于CD //x 轴,所以∠CDA =∠1.又已知∠CDA =∠OCA ,所以∠1=∠OCA . 由tan ∠1=tan ∠OCA ,得OB OAOA OC=. 所以122OC=. 解得OC =4.所以C (0, 4).(2)因为CD //x 轴,所以y D =y C =4. 图2 解方程1142x +=,得x =6.所以D (6, 4). 所以抛物线的对称轴为直线x =3.因此点A (-2, 0)关于直线x =3的对称点为(8, 0). 设抛物线的解析式为y =a (x +2)(x -8).代入点C (0, 4),得4=-16a . 解得14a =-.所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++.如图1,在梯形ABCD 中,AD //BC ,AC =BC =10,cos ∠ACB =45,点E 在对角线AC 上,且CE =AD ,BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G .设AD =x ,△AEF 的面积为y .(1)求证:∠DCA =∠EBC ;(2)当点G 在线段CD 上时,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)如果△DFG 是直角三角形,求△AEF 的面积.图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”,拖动点D 运动,可以体验到,直角三角形DFG 存在两种情况.满分解答(1)如图2,因为AD //BC ,所以∠DAC =∠ECB .又因为AC =CB ,AD =CE ,所以△ADC ≌△CEB .所以∠DCA =∠EBC . (2)如图3,作EH ⊥BC 于H . 在Rt △EHC 中,CE =x ,cos ∠ECB =45,所以CH =45x ,EH =35x . 所以S △CEB =12BC EH ⋅=131025x ⨯⨯=3x . 因为AD //BC ,所以△AEF ∽△CEB .所以2()AEF CEB S AE S CE=△△. 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△.定义域是0<x≤5. 定义域中x=5的几何意义如图4,D 、F 重合,根据AD AECB CE=,列方程1010x xx-=.图2 图3 图4(3)①如图5,如果∠FGD=90°,那么在Rt△BCG和Rt△BEH中,tan∠GBC=335104504xGC HE xGB HB x x ===--.由(1)得∠ACD=∠CBE.由cos∠ACD=cos∠CBE,得GC GBCE BC=.所以10GC CE xGB BC==.因此350410x xx=-.解得x=5.此时S△AEF=23(10)15xyx-==.②如图6,如果∠FDG=90°,那么在Rt△ADC中,AD=AC cos∠CAD=4105⨯=8.此时S△AEF=23(10)32xyx-==.图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图像与x 轴交于A 、B 两点,点B 的坐标为(3, 0),与y 轴交于点C (0,-3),点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)联结PO ,PC ,并将△POC 沿y 轴对折,得到四边形POP ′C ,如果四边形POP ′C 为菱形,求点P 的坐标;(3)如果点P 在运动过程中,使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似,请求出此时点P 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”,拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动,可以体验到,当四边形POP ′C 为菱形时,PP ′垂直平分OC .还可以体验到,当点P 与抛物线的顶点重合时,或者点P 落在以BC 为直径的圆上时,△PCB 是直角三角形.满分解答(1)将B (3, 0)、C (0,-3)分别代入y =x 2+bx +c ,得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩.解得b =-2,c =-3.所以二次函数的解析式为y =x 2-2x -3.(2)如图2,如果四边形POP ′C 为菱形,那么PP ′垂直平分OC ,所以y P =32-.解方程23232x x --=-,得22x =.所以点P 的坐标为23()22-.图2 图3 图4(3)由y =x 2-2x -3=(x +1)(x -3)=(x -1)2-4,得A (-1, 0),顶点M (1,-4). 在Rt △AOC 中,OA ∶OC =1∶3.分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似:①如图3,作MN⊥y轴于N.由B(3, 0)、C(0,-3),M(1,-4),可得∠BOC=∠MCN=45°,所以∠BCM=90°.又因为CM∶CB=1∶3,所以当点P与点M(1,-4)重合时,△PCB∽△AOC.②如图4,当∠BPC=90°时,构造△AEP∽△PFB,那么CE PF EP FB=.设P(x, x2-2x-3),那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---.化简,得1(2)1xx--=+.解得x=.此时点P的横坐标为x=.而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数,所以当∠BPC=90°时,△PCB与△AOC不相似.例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1,在直角梯形ABCD 中,AB //CD ,∠ABC =90°,对角线AC 、BD 交于点G ,已知AB =BC =3,tan ∠BDC =12,点E 是射线BC 上任意一点,过点B 作BF ⊥DE ,垂足为F ,交射线AC 于点M ,交射线DC 于点H .(1)当点F 是线段BH 的中点时,求线段CH 的长;(2)当点E 在线段BC 上时(点E 不与B 、C 重合),设BE =x ,CM =y ,求y 关于x 的函数解析式,并指出x 的取值范围;(3)联结GF ,如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边(AD 除外)垂直时,求x 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”,拖动点E 在射线BC 上运动,可以体验到,点G 是BD 的一个三等分点,CH 始终都有CE 的一半.还可以体验到,GF 可以与BC 垂直,也可以与DC 垂直.满分解答(1)在Rt △BCD 中,BC =3,tan ∠BDC =BC DC =12,所以DC =6,DB =.如图2,当点F 是线段BH 的中点时,DF 垂直平分BH ,所以DH =DB =.此时CH =DB -DC =6.图2 图3(2)如图3,因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角,所以∠CBH =∠CDE . 由tan ∠CBH =tan ∠CDE ,得CH CE CB CD =,即336CH x-=. 又因为CH //AB ,所以CH MC AB MA =,即3CH =.因此36x -=.整理,得)3x y x -=+.x 的取值范围是0<x <3. (3)如图4,不论点E 在BC 上,还是在BC 的延长线上,都有12BG AB GD DC ==, 12CH CE =. ①如图5,如果GF ⊥BC 于P ,那么AB //GF //DH .所以13BP PF BG BC CH BD ===.所以BP =1,111(3)366PF CH CE x ===-. 由PF //DC ,得PF PE DC CE =,即12(3)(3)363x x x---=-. 整理,得242450x x -+=.解得21x =±21BE =- ②如图6,如果GF ⊥DC 于Q ,那么GF //BE . 所以23QF DQ DG CE DC DB ===.所以DQ =4,2(3)3QF x =-. 由QF //BC ,得QF QH BC CH =,即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-. 整理,得223450x x --=.解得x =34BE +=.图4 图5 图6如图1,抛物线y =ax 2+2ax +c (a >0)与x 轴交于A (-3,0)、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C (0,-3),抛物线的顶点为M .(1)求a 、c 的值; (2)求tan ∠MAC 的值;(3)若点P 是线段AC 上的一个动点,联结OP .问:是否存在点P ,使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”,拖动点P 在线段AC 上运动,可以体验到,△COP 与△ABC 相似存在两种情况.满分解答(1)将A (-3,0)、C (0,-3)分别代入y =ax 2+2ax +c ,得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a =1,c =-3.(2)由y =x 2+2x -3=(x +1)2-4,得顶点M 的坐标为(-1,-4). 如图2,作MN ⊥y 轴于N .由A (-3,0)、C (0,-3)、M (-1,-4),可得OA =OC =3,NC =NM =1.所以∠ACO =∠MCN =45°,AC =MC . 所以∠ACM =90°.因此tan ∠MAC =MC AC=13. (3)由y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1),得B (1, 0).所以AB =4.如图3,在△COP 与△ABC 中,∠OCP =∠BAC =45°,分两种情况讨论它们相似:当CP ABCO AC =时,3CP =CP =P 的坐标为(-2,-1).当CP AC CO AB =时,3CP =CP =.此时点P 的坐标为93(,)44--.图2 图3如图1,在边长为6的正方形ABCD 中,点E 为AD 边上的一个动点(与A 、D 不重合),∠EBM =45°,BE 交对角线AC 于点F ,BM 交对角线于点G ,交CD 于点M .(1)如图1,联结BD ,求证:△DEB ∽△CGB ,并写出DECG的值; (2)如图2,联结EG ,设AE =x ,EG =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当M 为边DC 的三等分点时,求S △EGF 的面积.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”,拖动点E 在AD 边上运动,可以体验到, △EBD 与△GBC 保持相似,△EBG 保持等腰直角三角形.满分解答(1)如图3,因为∠EBM =∠DBC =45°,所以∠1=∠2. 又因为∠EDB =∠GCB =45°,所以△DEB ∽△CGB .因此DE DBCG CB==图3 图4(2)如图3,由△DEB ∽△CGB ,得EB DBGB CB=. 又因为∠EBM =∠DBC =45°,所以△EBG ∽△DBC (如图4). 所以△EBG 是等腰直角三角形.如图4,在Rt △ABE 中,AB =6,AE =x ,所以BE所以y =EG =2BE . 定义域是0<x <6.(3)如图5,由于S △EGB =12EG 2=2364x +,EGF EGB S EF S EB =△△, 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△. 由(1)知,DE,所以 x =AE =AD -DE=6.①如图6,当13CM CD =时,13CG CM AG AB ==.所以1144CG CA ==⨯此时x =AE=6-=3.所以3162EF AE BF CB ===.所以13EF EB =.所以2364EGF EF x S EB +=⨯△=2133634+⨯=154. ②如图7,当23CM CD =时,23CG CM AG AB ==.所以2255CG CA ==⨯=此时x =AE=6-=65.所以61655EF AE BF CB ==÷=.所以16EF EB =.所以2364EGFEF x S EB +=⨯△=26()361564+⨯=3925.图5 图6 图7第(2)题也可以这样证明等腰直角三角形EBG : 如图8,作GH ⊥EB 于H ,那么△GBH 是等腰直角三角形.一方面2GB CB EB DB ==,另一方面cos 452HB GB =︒=,所以GB HBEB GB=. 于是可得△EBG ∽△GBH .所以△EBG 是等腰直角三角形. 如图9,第(2)题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG =y : 在Rt △AEN 中,AE =x ,所以AN =ENx . 又因为CG)x -,所以GN =AC -AN -CG=所以y=EG.如图10,第(2)题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP,也可以求斜边EG=y:由于CG)x-,所以CP=GP=1(6)2x-=132x-.所以GQ=PD=16(3)2x--=132x+,EQ=16(3)2x x---=132x-.所以y=EG.图8 图9 图10如图1,已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点,延长AC 交x 轴于点D .(1)求这个二次函数的解析式及m 的值; (2)求∠ADO 的余切值;(3)过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P (点A 的上方)、M 、Q ,使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似,求此时点P的坐标. 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”,拖动点Q 在线段AD 上运动,可以体验到,△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况.满分解答(1)将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+,得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =,c =8.所以二次函数的解析式为227893y x x =-+. 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=.(2)由A (0, 8)、C (9, 5),可得直线AC 的解析式为183y x =-+.所以D (24, 0).因此cot ∠ADO =OD OA =248=3.(3)如图2,如果△APQ 与△MDQ 相似,由于∠AQP =∠MQD ,∠P AQ 与∠DMQ 是钝角,因此只存在一种情况,△APQ ∽△MDQ .因此∠APQ =∠D .作BN ⊥y 轴于N ,那么∠BPN =∠D .因此cot ∠BPN =cot ∠D =3.所以PN =3BN =18.此时点P 的坐标为(0, 20).图2如图1,已知锐角∠MBN 的正切值等于3,△PBD 中,∠BDP =90°,点D 在∠MBN 的边BN 上,点P 在∠MBN 内,PD =3,BD =9.直线l 经过点P ,并绕点P 旋转,交射线BM 于点A ,交射线DN 于点C ,设CAx CP=. (1)求x =2时,点A 到BN 的距离;(2)设△ABC 的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时,求x 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”,拖动点C 运动,可以体验到,AH 与BH 的比值=tan ∠B =3为定值,AH 与PD 的比值=CA ∶CP =x .满分解答(1)如图2,作AH ⊥BC 于H ,那么PD //AH . 因此2AH CAx PD CP===. 所以AH =2PD =6,即点A 到BN 的距离为6.图2 图3(2)如图3,由AH CAx PD CP ==,得AH =xPD =3x . 又因为tan ∠MBN =AHBH =3,所以BH =x .设BC =m .由CH CA x CD CP ==,得9m xx m -=-.整理,得81xm x =-.所以y =S △ABC =12BC AH ⋅=18321xx x ⨯⨯-=2121x x -. 定义域是0<x ≤9.x =9的几何意义是点C 与点H 重合,此时CA =27,CP =3.(3)在△ABC 中,BA ,cos ∠ABC BC =81x x -.①如图4,当BA =BC 81x x =-,得1x = ②如图5,当AB =AC 时,BC =2BH .解方程821xx x =-,得x =5.③如图6,当CA =CB 时,由cos ∠ABC ,得12AB =.解方程1821x x =-,得135x =.图4 图5 图6如图1,已知抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,O 是坐标原点,已知点B 的坐标是(3, 0),tan ∠OAC =3.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P 在x 轴上方的抛物线上,且∠P AB =∠CAB ,求点P 的坐标;(3)点D 是y 轴上的一动点,若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似,求出符合条件的点D 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”,拖动点D 在y 轴正半轴上运动,可以体验到,△BCD 与△ABC 相似存在两种情况.满分解答(1)由y =ax 2+bx -3,得C (0,-3),OC =3. 由tan ∠OAC =3,得OA =1,A (-1, 0).因为抛物线与x 轴交于A (-1, 0)、B (3, 0)两点,设y =a (x +1)(x -3). 代入点C (0,-3),得a =1.所以y =(x +1)(x -3)=x 2-2x -3. (2)如图2,作PH ⊥x 轴于H .设P (x , (x +1)(x -3)). 由tan ∠P AB =tan ∠CAB ,得3PH CO AH AO ==.所以(1)(3)31x x x +-=+. 解得x =6.所以点P 的坐标为(6, 21).(3)由A (-1, 0)、B (3, 0)、C (0,-3),得BA =4,BC =ABC =∠BCO =45°. 当点D 在点C 上方时,∠ABC =∠BCD =45°.分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似: 如图3,当CD BACB BC=时,CD =BA =4.此时D (0, 1).如图4,当CD BCCB BA =4=92CD =.此时D 3(0,)2.图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中,AD //BC ,∠B =∠BCD =45°,AD =3,BC =9,点P 是对角线AC 上的一个动点,且∠APE =∠B ,PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G .(1)如图1,当点E 、D 重合时,求AP 的长;(2)如图2,当点E 在AD 的延长线上时,设AP =x ,DE =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当线段DG 时,求AE 的长.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”,拖动点P 在AC 上运动,可以体验到,DGDE 也存在两种情况.满分解答(1)如图3,作AM ⊥BC ,DN ⊥BC ,垂足分别为M 、N ,那么MN =AD =3.在Rt △ABM 中,BM =3,∠B =45°,所以AM =3,AB =在Rt △AMC 中,AM =3,MC =6,所以CA = 如图4,由AD //BC ,得∠1=∠2.又因为∠APE =∠B ,当E 、D 重合时,△APD ∽△CBA .所以AP CBAD CA =.因此3AP =AP =5. (2)如图5,设(1)中E 、D 重合时点P 的对应点为F . 因为∠AFD =∠APE =45°,所以FD //PE .所以AF AD AP AE =33y=+.因此33y x =-.定义域是5<x ≤.图3 图4 图5(3)如图6,因为CA =AF =,所以FC =.由DF //PE ,得13FP DG FC DC ===.所以FP =.由DF //PE ,9552AD AF DE FP ==÷=.所以2293DE AD ==. ①如图6,当P 在AF 的延长线上时,233AE AD DE =+=. ②如图7,当P 在AF 上时,123AE AD DE =-=.图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,已知点A (-1,-1),点B 在第二象限,OB=抛物线235y x bx c =++经过点A 和B . (1)求点B 的坐标; (2)求抛物线235y x bx c =++的对称轴; (3)如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ,设点E 在直线AB 上,当△BOE 和△BCD 相似时,直接写出点E 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”,拖动点E 在射线BA 上运动,可以体验到,△BOE 和△BCD 相似存在两种情况.满分解答(1)由A (-1,-1),得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°.又因为∠AOB =90°,所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°. 当OB=B 到x 轴、y 轴的距离都为2. 所以点B 的坐标为(-2,2).(2)将A (-1,-1)、B (-2,2)分别代入235y x bx c =++,得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-,145c =-.所以23614555y x x =--.抛物线的对称轴是直线x =1.(3)如图2,由A (-1,-1)、B (-2,2)、C (1, 1)、D (1,-1),以及∠AOB =90°,可得BO 垂直平分AC ,BO=,BA =BCBD=如图3,过点A 、E 作y 轴的平行线,过点B 作y 轴的垂线,构造Rt △ABM 和Rt △EBN ,那么BA BM MA BE BN NE==. 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-.图2 图3当点E 在射线BA 上时,∠EBO =∠DBC .分两种情况讨论相似:①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-.解得x =43-,y =0.所以E 4(,0)3-(如图4).②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-.解得x =45-,y =85-.所以E 48(,)55--(如图5).图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1,四边形ABCD 中,∠C =60°,AB =AD =5,CB =CD =8,点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点,AQ 与BP 交于点E ,且∠BEQ =90°-12∠BAD .设A 、P 两点间的距离为x .(1)求∠BEQ 的正切值; (2)设AEPE=y ,求y 关于x 的函数解析式及定义域; (3)当△AEP 是等腰三角形时,求B 、Q 两点间的距离.图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”,拖动点P 在AD 边上运动,可以体验到, ∠AEP =∠BEQ =∠ABH =∠ADH ,△ABF ∽△BEF ∽△BDP ,△AEP ∽△ADF .满分解答(1)如图2,联结BD 、AC 交于点H .因为AB =AD ,CB =CD ,所以A 、C 在BD 的垂直平分线上. 所以AC 垂直平分BD .因此∠BAH =12∠BAD . 因为∠BEQ =90°-12∠BAD , 所以∠BEQ =90°-∠BAH =∠ABH .在Rt △ABH 中,AB =5,BH =4,所以AH =3. 所以tan ∠BEQ =tan ∠ABH =34. 图2 (2)如图3,由于∠BEQ =∠ABH ,∠BEQ =∠AEP ,∠ABH =∠ADH , 所以∠AEP =∠BEQ =∠ABH =∠ADH .图3 图4 图5如图3,因为∠BF A 是公共角,所以△BEF ∽△ABF . 如图4,因为∠DBP 是公共角,所以△BEF ∽△BDP .所以△ABF ∽△BDP .所以AB BD BF DP =.因此585BF x=-. 所以5(5)8BF x =-.所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+.如图5,因为∠DAF 是公共角,所以△AEP ∽△ADF . 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++.定义域是0≤x ≤5. (3)分三种情况讨论等腰△AEP :①当EP =EA 时,由于△AEP ∽△ADF ,所以DF =DA =5(如图6). 此时BF =3,HF =1. 作QM ⊥BD 于M .在Rt △BMQ 中,∠QBM =60°,设BQ =m ,那么12BM m =,QM =. 在Rt △FMQ 中,132FM m =-,tan ∠MFQ =tan ∠HF A =3,所以QM =3FM .13(3)2m =-,得BQ =m=9- ②如图7,当AE =AP 时,E 与B 重合,P 与D 重合,此时Q 与B 重合,BQ =0. ③不存在PE =P A 的情况,因为∠P AE >∠P AH >∠AEP .图6 图7如图1,在平面直角坐标系中,抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点,与y轴交于点C ,直线y =x +4经过A 、C 两点.(1)求抛物线的表达式;(2)如果点P 、Q 在抛物线上(点P 在对称轴左边),且PQ //AO ,PQ =2AO ,求点P 、Q 的坐标;(3)动点M 在直线y =x +4上,且△ABC 与△COM相似,求点M 的坐标. 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”,拖动点M 在射线CA 上运动,可以体验到,△ABC 与△COM 相似存在两种情况.满分解答(1)由y =x +4,得A (-4, 0),C (0, 4). 将A (-4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++,得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b =-1,c =4.所以抛物线的表达式为2142y x x =--+. (2)如图2,因为PQ //AO ,所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称. 因为抛物线的对称轴是直线x =-1,PQ =2AO =8,所以x P =-5,x Q =3.当x =3时,2142y x x =--+=72-.所以P 7(5,)2--,Q 7(3,)2-. (3)由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-,得B (2, 0).由A (-4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4),得AB =6,AC =,CO =4.当点M 在射线CA 上时,由于∠MCO =∠BAC =45°,所以分两种情况讨论相似:①当CM ABCO AC =时,4CM =CM =M (-3, 1)(如图3).②当CM AC CO AB =时,46CM =CM =M 84(,)33-(如图4).图2 图3 图4如图1,已知菱形ABCD的边长为5,对角线AC的长为6,点E为边AB上的动点,点F在射线AD上,且∠ECF=∠B,直线CF交直线AB于点M.(1)求∠B的余弦值;(2)当点E与点A重合时,试画出符合题意的图,并求BM的长;(3)当点M在AB的延长线上时,设BE=x,BM=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”,拖动点E在AB上慢慢运动,可以体验到,∠1=∠2=∠3,△MCE与△MBC保持相似.满分解答(1)如图2,作AN⊥BC于N,联结BD交AC于O,那么BO垂直平分AC.在Rt△ABO中,AB=5,AO=3,所以BO=4.因为S菱形ABCD=12AC BD⋅=BC AN⋅,所以64=5AN⨯⨯.解得AN=245.在Rt△ABN中,AB=5,AN=245,所以BN=75.因此cos∠B=BNAB=725.(2)如图3,当点E与点A重合时,由于∠ECF=∠B,∠FEC=∠1,所以△ECF∽△ABC.所以EF ACEC AB=,即665EF=.解得365EF=.由BC//AF,得AM AFBM BC=,即53625BMBM+=.解得12511BM=.图2 图3(3)如图4,因为∠ECF =∠ABC ,根据等角的邻补角相等,得∠MCE =∠MBC . 如图5,因为∠M 是公共角,所以△MCE ∽△MBC . 所以MC MBME MC=.因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+. 作MH ⊥BC ,垂足为H .在Rt △MBH 中,MB =y ,cos ∠MBH =725,所以BH =725y ,MH =2425y .在Rt △MCH 中,根据勾股定理,得MC 2=MH 2+CH 2.因此222247()(5)2525xy y y y +=++. 整理,得125514y x =-.定义域是145<x ≤5.定义域中x =145的几何意义如图6所示,此时D 、F 重合,AB //CF .由CF =CE ,CF =CB ,得CE =CB . 所以1cos 2BE BC B =⋅.解得BE =72525⨯⨯=145.图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x 轴交于点A (-1,0)和点B ,与y 轴交于点C (0, 2),对称轴为直线x =1,对称轴交x 轴于点E .(1)求该抛物线的表达式,并写出顶点D 的坐标;(2)设点F 在抛物线上,如果四边形AEFD 是梯形,求点F 的坐标;(3)联结BD ,设点P 在线段BD 上,若△EBP 与△ABD 相似,求点P 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”,梯形AEFD 只存在一种情况.拖动点P 在BD 边上运动,可以体验到,△EBP 与△ABD 相似存在两种情况.满分解答(1)点A (-1,0)关于直线x =1的对称点B 的坐标为(3, 0).设抛物线的解析式为y =a (x +1)(x -3),代入点C (0, 2),得2=-3a . 解得23a =-.所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+. 顶点D 的坐标为8(1,)3. (2)过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线,只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点,在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F .设F 224(,2)33x x x -++. 作FH ⊥x 轴于H ,那么∠FEH =∠DAE . 由tan ∠FEH =tan ∠DAE ,得43FH DE EH AE ==.所以43FH EH =.解方程22442(1)333x x x -++=-,得x =F .图2 图3 图4。
浙江省中考数学真题压轴题分类汇编一、压轴题--四边形1、(衢州)在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连结OB,D为OB的中点。
点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF。
已知点E从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒。
(1)如图1,当t=3时,求DF的长;(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时,求相应t的值。
2、(丽水)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设=n.(1)求证:AE=GE;(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.二、压轴题--圆3、(•杭州)如图,已知△ABC内接于⊙O,点C在劣弧AB上(不与点A,B重合),点D为弦BC的中点,DE⊥BC,DE与AC的延长线交于点E,射线AO与射线EB交于点F,与⊙O交于点G,设∠GAB=ɑ,∠ACB=β,∠EAG+∠EBA=γ,(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:(2)若γ=135°,CD=3,△ABE的面积为△ABC的面积的4倍,求⊙O半径的长.4、(•温州)如图,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上),连结AC,DE.(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;(2)求证:AC=AB.(3)在点P的运动过程中①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG和△DEG的面积之比.5、(•宁波)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B=∠D,∠C=∠A,求∠B与∠C的度数之和;(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO.∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形;(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G.当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.三、压轴题--方程6、(·台州)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根,比如对于方程,操作步骤是:第一步:根据方程系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1)第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
中考数学压轴题解析一.解答题1.如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.(1)若=,AE=2,求EC的长;(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由.2.阅读理解:如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′,FD′相交于点O.简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是;(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB′= °;(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有个(包含四边形ABCD).拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB′,请探求∠AB′E的度数,并说明理由.3.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF 与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+C F=AB;(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F ,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF).4.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F 、D.(1)直接写出∠NDE的度数;(2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长.5.如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E是边AB上的一点,点F是边CD上一点,将▱ABCD 沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为点H,点D的对应点为点G.(1)当点H与点C重合时.①填空:点E到CD的距离是;②求证:△BCE≌△GCF;③求△CEF的面积;(2)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请直接写出△MEF的面积.6.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B的坐标为(60,0),OA=AB,∠OAB=90°,OC=50.点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O、B重合),过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R,设点P横坐标为t,线段QR 的长度为m.已知t=40时,直线l恰好经过点C.(1)求点A和点C的坐标;(2)当0<t<30时,求m关于t的函数关系式;(3)当m=35时,请直接写出t的值;(4)直线l上有一点M,当∠PMB+∠POC=90°,且△PMB的周长为60时,请直接写出满足条件的点M的坐标.7.如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,O N交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角.(2)如图1,已知∠MON=α(0°<α<90°),OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角,连结AB,用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积.(3)如图3,C是函数y=(x>0)图象上的一个动点,过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.8.如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,D E为二次函数的对称轴,E在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在求出点P,若不存在请说明理由;(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.9.已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接C E、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究).(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,B Q交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.10.如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F,点D、E的坐标分别为(0,6),(﹣4,0),连接PD、PE、DE.(1)请直接写出抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置发现:当P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想:对于任意一点P ,PD与PF的差为定值,请你判断该猜想是否正确,并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.11.如图,已知二次函数y=x2+(1﹣m)x﹣m(其中0<m<1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线l.设P为对称轴l上的点,连接PA、PC,PA=PC(1)∠ABC的度数为;(2)求P点坐标(用含m的代数式表示);(3)在坐标轴上是否存在着点Q(与原点O不重合),使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似,且线段PQ的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.12.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴交于点E.(1)求直线AD的解析式;(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H ,求△FGH周长的最大值;(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.(1)填空:点A的坐标为(,),点B的坐标为(,),点C的坐标为(,),点D的坐标为(,);(2)点P是线段BC上的动点(点P不与点B、C重合)①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC,求点E的坐标;②在①的条件下,点F是坐标轴上的点,且点F到EA和ED的距离相等,请直接写出线段EF的长;③若点Q是线段AB上的动点(点Q不与点A、B重合),点R是线段AC上的动点(点R不与点A、C重合),请直接写出△PQR周长的最小值.2016中考数学压轴题参考答案与试题解析一.解答题1.(2015•杭州)如图,在△ABC中(BC>AC),∠ACB=90°,点D在AB边上,DE⊥AC于点E.(1)若=,AE=2,求EC的长;(2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P.问:线段CP可能是△CFG的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由.【分析】(1)易证DE∥BC,由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解;(2)分三种情况讨论:①若∠CFG=∠ECD,此时线段CP是△CFG的FG边上的中线;②若∠CFG=∠EDC ,此时线段CP为△CFG的FG边上的高线;③当CD为∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∴DE∥BC,∴,∵,AE=2,∴EC=6;(2)①如图1,若∠CFG=∠ECD,此时线段CP是△CFG的FG边上的中线.证明:∵∠CFG+∠CGF=90°,∠ECD+∠PCG=90°,又∵∠CFG=∠ECD,∴∠CGF=∠PCG,∴CP=PG,∵∠CFG=∠ECD,∴CP=FP,∴PF=PG=CP,∴线段CP是△CFG的FG边上的中线;②如图2,若∠CFG=∠EDC,此时线段CP为△CFG的FG边上的高线.证明:∵DE⊥AC,∴∠EDC+∠ECD=90°,∵∠CFG=∠EDC,∴∠CFG+∠ECD=90°,∴∠CPF=90°,∴线段CP为△CFG的FG边上的高线.③如图3,当CD为∠ACB的平分线时,CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念,分类讨论,能全面的思考问题是解决问题的关键.2.(2015•淮安)阅读理解:如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′,FD′相交于点O.简单应用:(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是正方形;(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB′= 80 °;(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有 5 个(包含四边形ABCD).拓展提升:当图③中的∠BCD=90°时,连接AB′,请探求∠AB′E的度数,并说明理由.【分析】(1)由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论;(2)先证出∠AEB′=∠BCB′,再求出∠BCE=∠ECF=40°,即可得出结果;(3)由折叠的性质得出BE=B′E,BC=B′C,∠B=∠CB′E=90°,CD=CD′,FD=FD′,∠D=∠CD′F=90°,即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”;由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°,CD′=CB′,由菱形的性质得出AE=AF,CE=CF,再证明△OED′≌△OFB ′,得出OD′=OB′,OE=OF,证出∠AEB′=∠AFD′=90°,即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”;即可得出结论;当图③中的∠BCD=90°时,四边形ABCD是正方形,证明A、E、B′、F四点共圆,得出,由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数.【解答】解:(1)①∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C≠90°,∠B=∠D≠90°,∴AB≠AD,BC≠CD,∴平行四边形不一定为“完美筝形”;②∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,∴AB≠AD,BC≠CD,∴矩形不一定为“完美筝形”;③∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C≠90°,∠B=∠D≠90°,∴菱形不一定为“完美筝形”;④∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,∴正方形一定为“完美筝形”;∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是正方形;故答案为:正方形;(2)根据题意得:∠B′=∠B=90°,∴在四边形CBEB′中,∠BEB′+∠BCB′=180°,∵∠AEB′+∠BEB′=180°,∴∠AEB′=∠BCB′,∵∠BCE=∠ECF=∠FCD,∠BCD=120°,∴∠BCE=∠ECF=40°,∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°;故答案为:80;(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有5个;理由如下;根据题意得:BE=B′E,BC=B′C,∠B=∠CB′E=90°,CD=CD′,FD=FD′,∠D=∠CD′F=90°,∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”;∵四边形ABCD是“完美筝形”,∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,∴CD′=CB′,∠CD′O=∠CB′O=90°,∴∠OD′E=∠OB′F=90°,∵四边形AECF为菱形,∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE,∴D′E=B′F,∠AEB′=∠CB′E=90°,∠AFD′=∠CD′F=90°,在△OED′和△OFB′中,,∴△OED′≌△OFB′(AAS),∴OD′=OB′,OE=OF,∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”;∴包含四边形ABCD,对应图③中的“完美筝形”有5个;故答案为:5;当图③中的∠BCD=90°时,如图所示:四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∵∠EB′F=90°,∴∠BAD+∠EB′F=180°,∴A、E、B′、F四点共圆,∵AE=AF,∴,∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°.【点评】本题是四边形综合题目,考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、“完美筝形”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识;本题难度较大,综合性强,熟练掌握“完美筝形”的定义,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.3.(2015•重庆)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+C F=AB;(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F ,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF).【分析】(1)如图1,易求得∠B=60°,∠BED=90°,BD=2,然后运用三角函数的定义就可求出BE的值;(2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2,易证△MBD≌△NCD,则有BM=CN,DM=DN,进而可证到△EMD≌△FND,则有EM=FN,就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2 BD×cos60°=BD=BC=AB;(3)过点D作DM⊥AB于M,如图3.同(1)可得:∠B=∠ACD=60°,同(2)可得:BM=CN,DM=DN ,EM=FN.由DN=FN可得DM=DN=FN=EM,从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ,BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM.然后在Rt△BMD中,运用三角函数就可得到DM= BM,即BE+CF=(BE﹣CF).【解答】解:(1)如图1,∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,BC=AC=AB=4.∵点D是线段BC的中点,∴BD=DC=BC=2.∵DF⊥AC,即∠AFD=90°,∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°,∴∠BED=90°,∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1;(2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2,则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°.∵∠A=60°,∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.∵∠EDF=120°,∴∠MDE=∠NDF.在△MBD和△NCD中,,∴△MBD≌△NCD,∴BM=CN,DM=DN.在△EMD和△FND中,,∴△EMD≌△FND,∴EM=FN,∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB;(3)过点D作DM⊥AB于M,如图3.同(1)可得:∠B=∠ACD=60°.同(2)可得:BM=CN,DM=DN,EM=FN.∵DN=FN,∴DM=DN=FN=EM,∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM.在Rt△BMD中,DM=BM•tanB=BM,∴BE+CF=(BE﹣CF).【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识,通过证明三角形全等得到BM=CN,DM=DN,EM=FN是解决本题的关键.4.(2015•济南)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.(1)直接写出∠NDE的度数;(2)如图2、图3,当∠EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,(1)中的结论是否发生变化?如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;(3)如图4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长.【分析】(1)根据题意证明△MAC≌△NBC即可;(2)与(1)的证明方法相似,证明△MAC≌△NBC即可;(3)作GK⊥BC于K,证明AM=AG,根据△MAC≌△NBC,得到∠BDA=90°,根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长,得到答案.【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°,∴∠ACM=∠BCN,在△MAC和△NBC中,,∴△MAC≌△NBC,∴∠NBC=∠MAC=90°,又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°,∴∠NDE=90°;(2)不变,在△MAC≌△NBC中,,∴△MAC≌△NBC,∴∠N=∠AMC,又∵∠MFD=∠NFC,∠MDF=∠FCN=90°,即∠NDE=90°;(3)作GK⊥BC于K,∵∠EAC=15°,∴∠BAD=30°,∵∠ACM=60°,∴∠GCB=30°,∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°,∠AMG=75°,∴AM=AG,∵△MAC≌△NBC,∴∠MAC=∠NBC,∴∠BDA=∠BCA=90°,∵BD=,∴AB=+,AC=BC=+1,设BK=a,则GK=a,CK=a,∴a+a=+1,∴a=1,∴KB=KG=1,BG=,AG=,∴AM=.【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质,正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键,注意旋转的性质的灵活运用.5.(2015•沈阳)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E是边AB上的一点,点F是边CD上一点,将▱ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为点H,点D的对应点为点G.(1)当点H与点C重合时.①填空:点E到CD的距离是2;②求证:△BCE≌△GCF;③求△CEF的面积;(2)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请直接写出△MEF的面积.【分析】(1)①解直角三角形即可;②根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B=∠G,∠BCE=∠GCF,BC=GC,然后根据AAS即可证明;③过E点作EP⊥BC于P,设BP=m,则BE=2m,通过解直角三角形求得EP=m,然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC,进而根据三角形的面积就可求得;(2)过E点作EQ⊥BC于Q,通过解直角三角形求得EP=n,根据折叠的性质和勾股定理求得EH,然后根据三角形相似对应边成比例求得MH,从而求得CM,然后根据三角形面积公式即可求得.【解答】解:(1)如图1,①作CK⊥AB于K,∵∠B=60°,∴CK=BC•sin60°=4×=2,∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离,∴点E到CD的距离是2,故答案为2;②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠D=∠B,∠A=∠BCD,由折叠可知,AD=CG,∠D=∠G,∠A=∠ECG,∴BC=GC,∠B=∠G,∠BCD=∠ECG,∴∠BCE=∠GCF,在△BCE和△GCF中,,∴△BCE≌△GCF(ASA);③过E点作EP⊥BC于P,∵∠B=60°,∠EPB=90°,∴∠BEP=30°,∴BE=2BP,设BP=m,则BE=2m,∴EP=BE•sin60°=2m×=m,由折叠可知,AE=CE,∵AB=6,∴AE=CE=6﹣2m,∵BC=4,∴PC=4﹣m,在RT△ECP中,由勾股定理得(4﹣m)2+(m)2=(6﹣2m)2,解得m=,∴EC=6﹣2m=6﹣2×=,∵△BCE≌△GCF,∴CF=EC=,∴S△CEF=××2=;(2)①当H在BC的延长线上,且位于C点的右侧时,如图2,过E点作EQ⊥BC于Q,∵∠B=60°,∠EQB=90°,∴∠BEQ=30°,∴BE=2BQ,设BQ=n,则BE=2n,∴QE=BE•sin60°=2n×=n,由折叠可知,AE=HE,∵AB=6,∴AE=HE=6﹣2n,∵BC=4,CH=1,∴BH=5,∴QH=5﹣n,在Rt△EHQ中,由勾股定理得(5﹣n)2+(n)2=(6﹣2n)2,解得n=,∴AE=HE=6﹣2n=,∵AB∥CD,∴△CMH∽△BEH,∴=,即=,∴MH=,∴EM=﹣=∴S△EMF=××2=.②如图3,当H在线段BC上时,过E点作EQ⊥BC于Q,∵∠B=60°,∠EQB=90°,∴∠BEQ=30°,∴BE=2BQ,设BQ=n,则BE=2n,∴QE=BE•sin60°=2n×=n,由折叠可知,AE=HE,∵AB=6,∴AE=HE=6﹣2n,∵BC=4,CH=1,∴BH=3∴QH=3﹣n在Rt△EHQ中,由勾股定理得(3﹣n)2+(n)2=(6﹣2n)2,解得n=∴BE=2n=3,AE=HE=6﹣2n=3,∴BE=BH,∴∠B=60°,∴△BHE是等边三角形,∴∠BEH=60°,∵∠AEF=∠HEF,∴∠FEH=∠AEF=60°,∴EF∥BC,∴DF=CF=3,∵AB∥CD,∴△CMH∽△BEH,∴=,即=,∴CM=1∴EM=CF+CM=4∴S△EMF=×4×2=4.综上,△MEF的面积为或4.【点评】本题是四边形综合题,考查了解直角三角形,平行四边形的性质,折叠的性质勾股定理的应用,三角形相似的判定和性质,三角形面积等,熟练掌握性质定理是解题的关键.6.(2015•沈阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C 在第四象限,点B的坐标为(60,0),OA=AB,∠OAB=90°,OC=50.点P是线段OB上的一个动点(点P 不与点O、B重合),过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R,设点P横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=40时,直线l恰好经过点C.(1)求点A和点C的坐标;(2)当0<t<30时,求m关于t的函数关系式;(3)当m=35时,请直接写出t的值;(4)直线l上有一点M,当∠PMB+∠POC=90°,且△PMB的周长为60时,请直接写出满足条件的点M的坐标.【分析】(1)利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A,C点坐标;(2)利用锐角三角函数关系结合(1)中所求得出PR,QP的长,进而求出即可;(3)利用(2)中所求,利用当0<t<30时,当30≤t≤60时,分别利用m与t的关系式求出即可;(4)利用相似三角形的性质,得出M点坐标即可.【解答】解:(1)如图1,过点A作AD⊥OB,垂足为D,过点C作CE⊥OB,垂足为E,∵OA=AB,∴OD=DB=OB,∵∠OAB=90°,∴AD=OB,∵点B的坐标为:(60,0),∴OB=60,∴OD=OB=×60=30,∴点A的坐标为:(30,30),∵直线l平行于y轴且当t=40时,直线l恰好过点C,∴OE=40,在Rt△OCE中,OC=50,由勾股定理得:CE===30,∴点C的坐标为:(40,﹣30);(2)如图2,∵∠OAB=90°,OA=AB,∴∠AOB=45°,∵直线l平行于y轴,∴∠OPQ=90°,∴∠OQP=45°,∴OP=QP,∵点P的横坐标为t,∴OP=QP=t,在Rt△OCE中,OE=40,CE=30,∴tan∠EOC=,∴tan∠POR==,∴PR=OP•tan∠POR=t,∴QR=QP+PR=t+t=t,∴当0<t<30时,m关于t的函数关系式为:m=t;(3)由(2)得:当0<t<30时,m=35=t,解得:t=20;如图3,当30≤t≤40时,m=35显然不可能;当40<t<60时,∵OP=t,则BP=QP=60﹣t,∵PR∥CE,∴△BPR∽△BEC,∴=,∴=,解得:PR=90﹣t,则m=60﹣t+90﹣t=35,解得:t=46,综上所述:t的值为20或46;(4)如图4,当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时,此时t=40,直线l恰好经过点C,则∠MBP=∠COP,故此时△BMP∽△OCP,则=,即=,解得:x=15,故M1(40,15),同理可得:M2(40,﹣15),综上所述:符合题意的点的坐标为:M1(40,15),M2(40,﹣15).【点评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识,利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键.7.(2015•宁波)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,O N交于A,B两点,且∠APB=135°.求证:∠APB是∠MON的智慧角.(2)如图1,已知∠MON=α(0°<α<90°),OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角,连结AB,用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积.(3)如图3,C是函数y=(x>0)图象上的一个动点,过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.【分析】(1)由角平分线求出∠AOP=∠BOP=∠MON=45°,再证出∠OAP=∠OPB,证明△AOP∽△P OB,得出对应边成比例,得出OP2=OA•OB,即可得出结论;(2)由∠APB是∠MON的智慧角,得出,证出△AOP∽△POB,得出对应角相等∠OAP=∠OPB,即可得出∠APB=180°﹣α;过点A作AH⊥OB于H,由三角形的面积公式得出:S△AOB=OB•AH,即可得出S△AOB=2sinα;(3)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:①当点B在y轴正半轴上时;当点A在x轴的负半轴上时,BC=2CA不可能;当得A在x轴的正半轴上时;先求出,由平行线得出△ACH∽△ABO,得出比例式:=,得出OB=3b,OA=,求出OA•OB=,根据∠APB是∠AOB的智慧角,得出OP,即可得出点P的坐标;②当点B在y轴的负半轴上时;由题意得出:AB=CA,由AAS证明△ACH≌△ABO,得出OB=CH=b,OA= AH=a,得出OA•OB=,求出OP,即可得出点P的坐标.【解答】(1)证明:∵∠MON=90°,P为∠MON的平分线上一点,∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°,∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,∴∠OAP+∠APO=135°,∵∠APB=135°,∴∠APO+∠OPB=135°,∴∠OAP=∠OPB,∴△AOP∽△POB,∴,∴OP2=OA•OB,∴∠APB是∠MON的智慧角;(2)解:∵∠APB是∠MON的智慧角,∴OA•OB=OP2,∴,∵P为∠MON的平分线上一点,∴∠AOP=∠BOP=α,∴△AOP∽△POB,∴∠OAP=∠OPB,∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α,即∠APB=180°﹣α;过点A作AH⊥OB于H,连接AB;如图1所示:则S△AOB=OB•AH=OB•OAsinα=OP2•sinα,∵OP=2,∴S△AOB=2sinα;(3)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:①当点B在y轴正半轴上时;当点A在x轴的负半轴上时,如图2所示:BC=2CA不可能;当点A在x轴的正半轴上时,如图3所示:∵BC=2CA,∴,∵CH∥OB,∴△ACH∽△ABO,∴=,∴OB=3b,OA=,∴OA•OB=•3b==,∵∠APB是∠AOB的智慧角,∴OP===,∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,∴点P的坐标为:(,);②当点B在y轴的负半轴上时,如图4所示:∵BC=2CA,∴AB=CA,在△ACH和△ABO中,,∴△ACH≌△ABO(AAS),∴OB=CH=b,OA=AH=a,∴OA•OB=a•b=,∵∠APB是∠AOB的智慧角,∴OP===,∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,∴点P的坐标为:(,﹣);综上所述:点P的坐标为:(,),或(,﹣).。
压轴题1、已知,在平行四边形OABC 中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t 秒. (1)求直线AC 的解析式;(2)试求出当t 为何值时,△OAC 与△PAQ 相似; (3)若⊙P 的半径为58,⊙Q 的半径为23;当⊙P 与对角线AC 相切时,判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系,并求出Q 点坐标。
解:(1)42033y x =-+ (2)①当0≤t≤2.5时,P 在OA 上,若∠OAQ=90°时, 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似.当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ ∽△OCA ,∵t>2.5,∴符合条件.②若∠AQP=90°,则△APQ ∽△∠OAC ,∵t>2.5,∴符合条件.综上可知,当时,△OAC 与△APQ 相似.(3)⊙Q 与直线AC 、BC 均相切,Q 点坐标为(109,531)。
2、如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x 轴,OC 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.已知OA =3,OC =2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处. (1)直接写出点E 、F 的坐标;(2)设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴...于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;(3)在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE 的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.解:(1)(31)E ,;(12)F ,.(2)在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=.设点P 的坐标为(0)n ,,其中0n >,顶点(12)F ,, ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠.①如图①,当EF PF =时,22EF PF =,221(2)5n ∴+-=.解得10n =(舍去);24n =.(04)P ∴,.24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+(第2题)②如图②,当EP FP =时,22EP FP =,22(2)1(1)9n n ∴-+=-+. 解得52n =-(舍去).③当EF EP =时,53EP =<,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+. (3)存在点M N ,,使得四边形MNFE 的周长最小. 如图③,作点E 关于x 轴的对称点E ',作点F 关于y 轴的对称点F ',连接E F '',分别与x 轴、y 轴交于点M N ,,则点M N ,就是所求点.(31)E '∴-,,(12)F NF NF ME ME '''-==,,,.43BF BE ''∴==,.FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=.又5EF =,∴55FN NM ME EF +++=+,此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图,在边长为2的等边△ABC 中,A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点,过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . (1)①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;(2)记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;(3)以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似?如果能相似,请求出BP 的长,如果不能,请说明理由。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.2、[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC 交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△,可推证△CEF是三角形,从而求得∠DCE=.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.3、(2019秋•锦江区校级期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,求证:AD=2DC.(2)如图2,作∠CBD的角平分线交线段CD于点M,若CM=1,求△DBM的面积;(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,点N是线段AC上一点(不与C、D重合),以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,试探究线段ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由.4、(2019•镇平县三模)如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D是AC边上一点,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,点F是BD中点,连接EF,CF.(1)发现问题:线段EF,CF之间的数量关系为;∠EFC的度数为;(2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.5、(2017春•西城区校级期末)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点P是线段AB的中点,点E是线段CB延长线上一点,且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD,连接BD.(1)如图2,若α=60°,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段BD和BC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若α=90°,其他条件不变,探究线段BP、BD和BC之间的等量关系,并说明理由.6、【发现问题】如图1,已知△ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向△ABC外作等腰直角△ACD(不写作法,保留作图痕迹).连接BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,∠ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD的最大值.7、(1)如图1,点C为线段AB外一个动点,已知AB=a,AC=b.当点C位于BA的延长线上时,线段BC取得最大值,则最大值为(用含a,b的式子表示);(2)如图2,点C为线段AB外一个动点,若AB=10,AC=3,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,DB.①求证:AE=DB;②请直接写出线段AE的最大值;(3)如图3,AB=6,点M为线段AB外一个动点,且AM=2,MB=MN,∠BMN=90°,请直接写出线段AN的最大值.8、【初步探索】(1)如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF =BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,并给出证明过程.9、(2018•大东区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=45°,AC=,请直接写出BQ的长.10、模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于时,线段BC的长取得最大值,且最大值为(用含b,c的式子表示)(直接填空).模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为.模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB =8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.11、已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上,连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF;(2)如图2,点D在线段BC上,连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系,并加以证明;(3)如图3,点D在CB延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE、AC的延长线交BE于点M,若AC =3MC,请直接写出的值.12、已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.13、已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;①若AG平分∠CAD,求证:AH=AC;②如图3,当G落在△ABC外时,若将△EFG沿EF边翻折,点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.14、如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,连接CD;(1)如图1,求证:AB=2CD;(2)如图2,作CF⊥AB交AB于F,点G为CF上一点,点H为DE延长线上一点,分别连接AH、GH,若∠AHG=2∠B,求证:AH=GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,且有DE=BF,∠EDG=90°,若AC=6,求AH的长度.15、【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中,∠BGF=90°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,延长GP交DC于点E.求证:PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论;(3)如图3,若四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,△BGF为等边三角形,点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,请直接写出你的结论,并画出论证过程中需要添加的辅助线.17、在△ABC中,∠BAC=60°,点D、E分别在边AC、AB上,AD=AE,连接CE、BD相交于点F,且∠BEC=∠ADF,连接AF.(1)如图1,连接ED,求证:∠ABD=∠CED;(2)如图2,求证:EF+FD=AF;(3)如图3,取BC的中点G,连接AG交BD于点H,若∠GAC=3∠ABD,BH=7,求△ABH的面积.18、点D,E分别在△ABC的边AC,BD上,BD,CE交于点F,连接AF,∠F AE=∠F AD,FE=FD.(1)如图1,若∠AEF=∠ADF,求证:AE=AD;(2)如图2,若∠AEF≠∠ADF,FB平分∠ABC,求∠BAC的度数;(3)在(2)的条件下,如图3,点G在BE上,∠CFG=∠AFB若AG=6,△ABC的周长为20,求BC长.中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题参考答案1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.证明:(1)如图1,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵CG平分∠ACB,∴∠ACG=∠BCG=45°,∴∠A=∠BCG,在△BCG和△CAF中,∵,∴△BCG≌△CAF(ASA),∴CF=BG;(2)如图2,∵PC∥AG,∴∠PCA=∠CAG,∵AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,∴△ACG≌△BCG,∴∠CAG=∠CBE,∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°,∴∠PCG=∠PGC,∴PC=PG,∵PB=BG+PG,BG=CF,∴PB=CF+CP;(3)解法一:如图3,过E作EM⊥AG,交AG于M,∵S△AEG=AG•EM=3,由(2)得:△ACG≌△BCG,∴BG=AG=6,∴×6×EM=3,EM=,设∠FCH=x°,则∠GAC=2x°,∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°,∵∠ACH=45°,∴2x+x=45,x=15,∴∠ACF=∠GAC=30°,在Rt△AEM中,AE=2EM=2,AM==3,∴M是AG的中点,∴AE=EG=2,∴BE=BG+EG=6+2,在Rt△ECB中,∠EBC=30°,∴CE=BE=3+,∴AC=AE+EC=2+3+=3+3.解法二:同理得:∠CAG=30°,AG=BG=6,如图4,过G作GM⊥AC于M,在Rt△AGM中,GM=3,AM===3,∵∠ACG=45°,∠MGC=90°,∴GM=CM=3,∴AC=AM+CM=3+3.2、[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC 交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△ADB,可推证△CEF是等腰直角三角形,从而求得∠DCE=135°.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.解:[问题初探]如图2,过点E作EF⊥BC交直线BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEG是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=135°,故答案为:ADB,等腰直角,135;[继续探究]如图3,过点E作EF⊥BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEG是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=45°;[拓展延伸]如图4,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,∴∠ACB=45°当点D在射线BC上时,由[问题初探]知,∠BCM=135°,∴∠ACM=∠BCM﹣∠ACB=90°,当点D在线段CB的延长线上时,由[继续探究]知,∠BCE=45°,∴∠ACN=∠ACB+∠BCM=90°,∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点,∴当BE⊥MN时,BE最小,∵∠BCE=45°,∴∠CBE=45°=∠BCE,∴BE=CE,∴BE最小=BC=,即:BE的最小值为.3、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,求证:AD=2DC.(2)如图2,作∠CBD的角平分线交线段CD于点M,若CM=1,求△DBM的面积;(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,点N是线段AC上一点(不与C、D重合),以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,试探究线段ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由.证明:(1)如图1,过点D作DE⊥AB,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠ACB=90°,∴DC=DE,∵∠A=30°,DE⊥AB,∴AD=2DE,∴AD=2DC;(2)如图2,过点M作ME∥BD,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=30°,∵BM平分∠CBD,∴∠CBM=15°=∠DBM,∵ME∥BD,∴∠MEC=∠CBD=30°,∠EMB=∠DBM=∠MBE,∴ME=BE,∵∠MEC=30°,∠C=90°∴CE=MC=,ME=2MC=2=BE,∴BC=+2,∵∠CBD=30°,∠C=90°,∴BC=CD,∴CD=1+,∴DM=,∴△DBM的面积=××(+2)=1+;(3)若点N在CD上时,AD=DG+DN,理由如下:如图3所示:延长ED使得DW=DN,连接NW,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,∵DN=DW,且∠WDN=60°∴△WDN是等边三角形,∴NW=DN,∠W=∠WND=∠BNG=∠BDN=60°,∴∠WNG=∠BND,在△WGN和△DBN中,∴△WGN≌△DBN(SAS),∴BD=WG=DG+DN,∴AD=DG+DN.(3)若点N在AD上时,AD=DG﹣DN,理由如下:如图4,延长BD至H,使得DH=DN,连接HN,由(1)得DA=DB,∠A=30°.∵DE⊥AB于点E.∴∠2=∠3=60°.∴∠4=∠5=60°.∴△NDH是等边三角形.∴NH=ND,∠H=∠6=60°.∴∠H=∠2.∵∠BNG=60°,∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.即∠DNG=∠HNB.在△DNG和△HNB中,∴△DNG≌△HNB(ASA).∴DG=HB.∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG=ND+AD.∴AD=DG﹣ND.4、如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D是AC边上一点,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,点F是BD中点,连接EF,CF.(1)发现问题:线段EF,CF之间的数量关系为EF=CF;∠EFC的度数为120°;(2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.解:(1)如图1中,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∵∠BCD=90°,BF=DF,∴FE=FB=FD=CF,∴∠FBE=∠FEB,∠FBC=∠FCB,∴∠EFC=∠EFD+∠CFD=∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC=120°,故答案为:EF=CF,120°.(2)结论成立.理由:如图2中,取AB的中点M,AD的中点N,连接MC,MF,ED,EN,FN.∵BM=MA,BF=FD,∴MF∥AD,MF=AD,∵AN=ND,∴MF=AN,MF∥AN,∴四边形MFNA是平行四边形,∴NF=AM,∠FMA=∠ANF,在Rt△ADE中,∵AN=ND,∠AED=90°,∴EN=AD=AN=ND,同理CM=AB=AM=MB,在△AEN和△ACM中,∠AEN=∠EAN,∠MCA=∠MAC,∵∠MAC=∠EAN,∴∠AMC=∠ANE,又∵∠FMA=∠ANF,∴∠ENF=∠FMC,在△MFC和△NEF中,,∴△MFC≌△NEF(SAS),∴FE=FC,∠NFE=∠MCF,∵NF∥AB,∴∠NFD=∠ABD,∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,△BMC是等边三角形,∠MCB=60°∴∠EFC=∠EFN+∠NFD+∠DFC=∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠MCB=60°+60°=120°.(3)如图3中,作EH⊥AB于H.在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,BC=3,∴AB=2BC=6,在Rt△AED中,∠DAE=30°,AD=2,∴DE=AD=1,在Rt△DEH中,∵∠EDH=60°,DE=1,∴EH=ED•sin60°=,DH=ED•cos60°=,在Rt△EHG中,EG==.5、如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点P是线段AB的中点,点E是线段CB延长线上一点,且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD,连接BD.(1)如图2,若α=60°,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段BD和BC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若α=90°,其他条件不变,探究线段BP、BD和BC之间的等量关系,并说明理由.解:(1)BC=2BD,理由:如图2,连接CD,由旋转可得,CP=DP,∠CPD=60°,∴△CDP是等边三角形,∴∠CDP=60°=∠PCD,又∵P是AB的中点,AB=AC,∠A=60°,∴等边三角形ABC中,∠PCB=30°,CP⊥AB,∴∠BCD=30°,即BC平分∠PCD,∴BC垂直平分PD,∴∠BDC=∠BPC=90°,∴Rt△BCD中,BC=2BD.(2)如图3,取BC中点F,连接PF,∵∠A=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵P是AB的中点,F是BC的中点,∴PF是△ABC的中位线,∴PF∥AC,∴∠PFB=∠ACB=45°,∠BPF=∠A=90°,∴△BPF是等腰直角三角形,∴BF=BP,BP=PF,∵∠DPC=∠BPF=90°,∴∠BPD=∠FPC,又∵PD=PC,∴△BDP≌△FCP,∴BD=CF,∵BC=BF+FC,∴BC=BD+BP.6、【发现问题】如图1,已知△ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向△ABC外作等腰直角△ACD(不写作法,保留作图痕迹).连接BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,∠ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD的最大值.【发现问题】解:延长CA到M,作∠MAC的平分线AN,在AN上截取AD=AC,连接CD,即可得到等腰直角△ACD;连接BD、CE,如图1所示:∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形,∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE,【拓展探究】解:BD=CE;理由如下:∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形,∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE;【解决问题】解:以AB为边向外作等边三角形ABE,连接CE,如图3所示:则∠BAE=60°,BE=AB=AE=8,∵AD=CD,∠ADC=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠CAD=60°,AC=AD,∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE;当C、B、E三点共线时,CE最大=BC+BE=15+8=23,∴BD的最大值为23.7、如图1,点C为线段AB外一个动点,已知AB=a,AC=b.当点C位于BA的延长线上时,线段BC取得最大值,则最大值为a+b(用含a,b的式子表示);(2)如图2,点C为线段AB外一个动点,若AB=10,AC=3,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,DB.①求证:AE=DB;②请直接写出线段AE的最大值;(3)如图3,AB=6,点M为线段AB外一个动点,且AM=2,MB=MN,∠BMN=90°,请直接写出线段AN的最大值.(1)解:∵点C为线段AB外一动点,且AC=b,AB=a,∴当点C位于BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为AC+AB=a+b,(2)①证明:如图2中,∵△ACD与△BCE是等边三角形,∴CD=AC,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△CAD与△EAB中,,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴AE=BD.②∵线段AE长的最大值=线段BD的最大值,由(1)知,当线段BD的长取得最大值时,点D在BA的延长线上,∴最大值为AD+AB=3+10=13;(3)如图3中,连接BN,∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM,连接AP,则△APM是等腰直角三角形,∴MA=MP=2,BP=AN,∴P A=2,∵AB=6,∴线段AN长的最大值=线段BP长的最大值,∴当P在线段BA的延长线时,线段BP取得最大值最大值=AB+AP=6+2.8、【初步探索】(1)如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF =BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是∠BAE+∠F AD=∠EAF;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,并给出证明过程.解:(1)∠BAE+∠F AD=∠EAF.理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据SAS可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再根据SSS可判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.故答案为:∠BAE+∠F AD=∠EAF;(2)仍成立,理由:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;(3)∠EAF=180°﹣∠DAB.证明:如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ADC=∠ABE,又∵AB=AD,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠F AE=∠F AG,∵∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,∴2∠F AE+(∠GAB+∠BAE)=360°,∴2∠F AE+(∠GAB+∠DAG)=360°,即2∠F AE+∠DAB=360°,∴∠EAF=180°﹣∠DAB.9、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=45°,AC=,请直接写出BQ的长.解:(1)CP=BQ,理由:如图1,连接OQ,由旋转知,PQ=OP,∠OPQ=60°⊅∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,∠POQ=60°,在Rt△ABC中,O是AB中点,∴OC=OA=OB,∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ,∴∠COP=∠BOQ,在△COP和△BOQ中,,∴△COP≌△BOQ(SAS),∴CP=BQ,(2)CP=BQ,理由:如图2,连接OQ,由旋转知,PQ=OP,∠OPQ=60°∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,∠POQ=60°,在Rt△ABC中,O是AB中点,∴OC=OA=OB,∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ,∴∠COP=∠BOQ,在△COP和△BOQ中,,∴△COP≌△BOQ(SAS),∴CP=BQ,(3)如图3,在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=,∴BC=AC•tan∠A=,过点O作OH⊥BC,∴∠OHB=90°=∠BCA,∴OH∥AB,∵O是AB中点,∴CH=BC=,OH=AC=,∵∠BPQ=45°,∠OHP=90°,∴∠BPQ=∠PQH,∴PH=OH=,∴CP=PH﹣CH=﹣=,连接BQ,同(1)的方法得,BQ=CP=.10、模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为b+c(用含b,c的式子表示)(直接填空)模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为5.模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB =8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.解:当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,最大值为b+c,故答案为:线段BA的延长线上;b+c;模型应用:(1)证明:∵△ACD、△BCE都是等边三角形,∴CD=CA=AD,CB=CE,∠ACD=60°,∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中,,∴△DCB≌△ACE(SAS)∴BD=AE;(2)当点D位于线段BA的延长线上时,线段BD的长取得最大值,最大值为AB+AD=AB+AC=3+2=5,∵AE=BD,∴线段AE长的最大值为5,模型拓展:取AB的中点G,连接OG、CG,在Rt△AOB中,G为AB的中点,∴OG=AB=4,在Rt△CAG中,CG===5,当点O、G、C在同一条直线上时,OC最大,最大值为4+5=9.11、已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上,连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF;(2)如图2,点D在线段BC上,连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系,并加以证明;(3)如图3,点D在CB延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE、AC的延长线交BE于点M,若AC =3MC,请直接写出的值.(1)证明:如图1中,∵BE⊥AD于E,∴∠AEF=∠BCF=90°,∵∠AFE=∠CFB,∴∠DAC=∠CBF,∵BC=CA,∴△BCF≌△ACD,∴BF=AD.(2)结论:BD=2CF.理由:如图2中,作EH⊥AC于H.∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°,∴∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAH=90°,∴∠DAC=∠AEH,∵AD=AE,∴△ACD≌△EHA,∴CD=AH,EH=AC=BC,∵CB=CA,∴BD=CH,∵∠EHF=∠BCF=90°,∠EFH=∠BFC,EH=BC,∴△EHF≌△BCF,∴FH=CF,∴BD=CH=2CF.(3)如图3中,同法可证BD=2CM.∵AC=3CM,设CM=a,则AC=CB=3a,BD=2a,∴==.12、已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.(1)①证明:如图1中,∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD⊥BN,∴∠ADB=90°,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②证明:如图2中,在Rt△BFD中,∵∠FBD=30°,∴BF=2DF,∵BF=2AF,∴BF=AD,∵∠BAE=∠FBC,AB=BC,∴△BFC≌△ADB,∴∠BFC=∠ADB=90°,∴BF⊥CF(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.∵∠BFE=∠2+∠BAF,∠CFE=∠4+∠1,∴∠CFB=∠2+∠4+∠BAC,∵∠BFE=∠BAC=2∠EFC,∴∠1+∠4=∠2+∠4∴∠1=∠2,∵AB=AC,∴△ABK≌CAF,∴∠3=∠4,S△ABK=S△AFC,∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE=∠AKB,∠BAC=2∠CEF,∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF,∴AF=FK=BK,∴S△ABK=S△AFK,∴=2.13、已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;①若AG平分∠CAD,求证:AH=AC;②如图3,当G落在△ABC外时,若将△EFG沿EF边翻折,点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.(1)解:如图1中,在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.在Rt△ABE中,∵OB=OE,∴BE=2OA=2,∵MB=ME,∴∠MBE=∠MEB=15°,∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°,设AE=x,则ME=BM=2x,AM=x,∵AB2+AE2=BE2,∴(2x+x)2+x2=22,∴x=(负根已经舍弃),∴AB=AC=(2+)•,∴BC=AB=+1.方法二:作EH⊥BC于H,求出BH,CH即可解决问题.(2)证明:如图2中,作CP⊥AC,交AD的延长线于P,GM⊥AC于M.∵BE⊥AP,∴∠AHB=90°,∴∠ABH+∠BAH=90°,∵∠BAH+∠P AC=90°,∴∠ABE=∠P AC,在△ABE和△CAP中,,∴△ABE≌△CAP,∴AE=CP=CF,∠AEB=∠P,在△DCF和△DCP中,,∴△DCF≌△DCP,∴∠DFC=∠P,∴∠GFE=∠GEF,∴GE=GF,∵GM⊥EF,∴FM=ME,∵AE=CF,∴AF=CE,∴AM=CM,在△GAH和△GAM中,,∴△AGH≌△AGM,∴AH=AM=CM=AC(3)解:结论:AG=EF.理由:如图3中,作CM⊥AC交AD的延长线于M,连接PG交AC于点O.由(2)可知△ACM≌△BAE,△CDF≌△CDM,∴∠AEB=∠M=∠GEF,∠M=∠CFD=∠GFE,AE=CM=CF,∴∠GEF=∠GFE,∴GE=GF,∵△EFP是由△EFG翻折得到,∴EG=EP=GF=PF,∴四边形EGFP是菱形,∴PG⊥AC,OE=OF,∵AE=CF,∴AO=OC,∵AB∥OP,∴BP=PC,∵PF∥BE,∴EF=CF=AE,∵PB=PC,AO=OC,∴PO=OG=AB,∴AB=PG,AB∥PG,∴四边形ABPG是平行四边形,∴AG∥BC,∴∠GAO=∠ACB=45°,设EO=OF=a,则OA=OG=3a,AG=3a,∴==,∴AG=EF14、如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,连接CD;(1)如图1,求证:AB=2CD;(2)如图2,作CF⊥AB交AB于F,点G为CF上一点,点H为DE延长线上一点,分别连接AH、GH,若∠AHG=2∠B,求证:AH=GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,且有DE=BF,∠EDG=90°,若AC=6,求AH的长度.解:(1)∵E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,∴AD=CD,∵∠ACB=90°,∴BC∥DE,∴AD=BD,∴CD=BD,∴AB=2CD;(2)如图2,连接CH,∵点E是AC的中点,∴AE=CE,∵DE⊥AC,∴CH=AH,∴∠ACH=∠CAH,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,∵CF⊥AB,∴∠BAC+∠ACF=90°,∴∠ACF=∠B,∴∠HCG=∠ACH+∠ACF=∠CAH+∠B,∠AHG=2∠B∴在四边形AHGF中,∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH=360°,∴∠FGH=360°﹣(∠AFG+∠AHG+∠F AH)=360°﹣(90°+2∠B+∠CAH+∠BAC)=360°﹣(90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B)=360°﹣(180°+∠B+∠CAH)=180°﹣(∠B+∠CAH),∵∠CGH=180°﹣∠FGH=∠B+∠CAH=∠HCG,∴CH=GH,∵CH=AH,∴AH=GH;(3)如图3,由(1)知,DE∥BC,∴∠B=∠ADE,在△BFC和△DEA中,,∴△BFC≌△DEA,∴BC=AD,∵AD=BD=CD,∴BC=BD=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠B=60°,在Rt△ABC中,AC=6,∴BC=2,AB=4,∵CF⊥BD,∴DF=,CF=3,∵∠BAC=30°,∴∠ADE=60°,∵∠EDG=90°,∠FDG=30°,在Rt△DFG中,DF=,∴FG=1,DG=2,∴CG=CF﹣FG=2过点H作HN⊥CF,由(2)知,CH=GH,∴NG=CG=1,∴FN=NG+FG=2,过点H作HM⊥AB,∴∠FMH=∠NFM=∠HNF=90°,∴四边形NFMH是矩形,∴HM=FN=2,在Rt△DMH中,∠ADE=60°,HM=2,∴DH=,在Rt△HDG中,根据勾股定理得,HG==.15、【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)(1)证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=45°,∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1,∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2,∠1=∠2,∴∠ECF=∠EFC,∴CE=EF,∵CD⊥AB,FG⊥AB,∴∠CDE=∠EGF=90°,在△CDE和△EGF中,,∴△CDE≌△EGF(AAS);(2)证明:由(1)得:CE=EF,∠A=∠B,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠1,∵∠1=∠2,∴∠ACE=∠2,在△ACE和△BEF中,,∴△ACE≌△BEF(AAS),∴AE=BF;(3)AE=BF,作EH⊥BC与H,如图3所示:设DE=x,根据题意得:BE=DE=x,AD=BD=2x,CD=AD=2x,AE=3x,根据勾股定理得:BC=AC=2x,∵∠ABC=45°,EH⊥BC,∴BH=x,∴CH=BC﹣BH=x,∵EC=EF,∴FH=CH=x,∴BF=x﹣x=x,∴=,∴AE=.16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中,∠BGF=90°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,延长GP交DC于点E.求证:PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论;(3)如图3,若四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,△BGF为等边三角形,点F在CB的延长线。
初三中考数学试题分类汇总解析代数压轴题专题一、客观题1.(2016金华)在四边形ABCD 中,∠B =90°,AC =4,AB ∠CD ,DH 垂直平分AC ,点H 为垂足.设AB =x ,AD =y ,则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )【答案】D .2.(2017丽水)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y =﹣x +m 分别交x 轴,y 轴于A ,B 两点,已知点C (2,0).(1)当直线AB 经过点C 时,点O 到直线AB的距离是 ;EDAHBCA B C Dx 24x 2O4 Oy xO 4 2y y 14 O x y(第10题图)(2)设点P 为线段OB 的中点,连结P A ,PC ,若∠CP A =∠ABO ,则m 的值是 .【答案】(1;(2)12.(2)作OD =OC =2,连接CD .则∠PDC =45°,如图,由y =﹣x +m 可得A (m ,0),B (0,m ).所以OA =OB ,则∠OBA =∠OAB =45°.当m <0时,∠APC >∠OBA =45°,所以,此时∠CP A >45°,故不合题意. 所以m >0.因为∠CP A =∠ABO =45°,所以∠BP A +∠OPC =∠BBAP +∠BP A =135°,即∠OPC =∠BAP ,则∠PCD ∠∠APB ,所以,解得m =12.故答案为:12. PD CD AB PB =1222222m m m +=二、主观题1.(2016湖州)如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∠x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在∠ABC的内部(不包括∠ABC的边界),求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与∠BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).[来源:Z&xx &k.C o m ]【答案】(1)、y =﹣x 2+2x +4;M (1,5);(2)、2<m <4;(3)、P 1(311,31),P 2(313,31 ),P 3(3,1),P 4(﹣3,7). 【解析】试题分析:(1)、将点A 、点C 的坐标代入函数解析式,即可求出b 、c 的值,通过配方法得到点M 的坐标;(2)、点M 是沿着对称轴直线x =1向下平移的,可先求出直线AC 的解析式,将x =1代入求出点M 在向下平移时与AC 、AB 相交时y 的值,即可得到m 的取值范围;(3)、由题意分析可得∠MCP =90°,则若∠PCM 与∠BCD 相似,则要进行分类讨论,分成∠PCM ∠∠BDC 或∠PCM ∠∠CDB 两种,然后利用边的对应比值求出点坐标. 试题解析:(1)、把点A (3,1),点C (0,4)代入二次函数y =﹣x 2+bx +c 得,解得∠二次函数解析式为y =﹣x 2+2x +4, 配方得y =﹣(x ﹣1)2+5,∠点M 的坐标为(1,5);(2)、设直线AC 解析式为y =k x +b ,把点A (3,1),C (0,4)代入得,解得:∠直线AC 的解析式为y =﹣x +4,如图所示,对称轴直线x =1与∠ABC 两边分别交于点E 、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)∠1<5﹣m<3,解得2<m<4;学科网∠若有∠PCM∠∠CDB,则有∠CP==3∠PH=3÷=3,若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7∠P3(3,1);P4(﹣3,7).∠所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).2.(2016金华23题)在平面直角坐标系中,点O 为原点,平行于x 轴的直线与抛物线L :y =ax 2相交于A ,B 两点(点B 在第一象限),点D 在AB 的延长线上. (1)已知a =1,点B 的纵坐标为2.∠如图1,向右平移抛物线L 使该抛物线过点B ,与AB 的延长线交于点C ,求AC 的长. ∠如图2,若BD =12AB ,过点B ,D 的抛物线L 2,其顶点M 在x 轴上,求该抛物线的函数表达式.(2)如图3,若BD =AB ,过O ,B ,D 三点的抛物线L 3,顶点为P ,对应函数的二次项系数为a 3,过点P 作PE ∠x 轴,交抛物线L 于E ,F 两点, 求a a 3的值,并直接写出EFAB 的值.【答案】(1)∠42,∠22234⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 【解析】试题分析:(1)∠令y =2代入y =x 2,可求得A 、B 坐标,进而可求得AB 长度,而AC =2AB ,AC 长度可求.∠根据抛物线对称性可求得M 坐标,利用顶点式设L 2的解析式,再把B 点坐标带入即可求得解析式;(2)过点B 作B K∠x 轴于点K. 设O K=t ,则可利用t 表示出G 点坐标,L 3解析式可表示出来,有因为L 3经过点B 代入化简就可求得aa 3的值,再利用L 3解析式表示出顶点P 的纵坐标,再代到L 中可求得EF 长度,EFAB比值即可求出. (第23题图1) (第23题图3)PDAB OxyL L 3F EBOxyL AC L 1 BOxyL AD L 2 M(2)如图,抛物线L 3与x 轴交于点G ,其对称轴与x 轴交于点Q ,过点B 作B K∠x 轴于点K.设O K=t,则AB =BD =2t, 点B 的坐标为(t ,a t 2),根据抛物线的轴对称性,得OQ =2t,OG =2OQ =4t.设抛物线L3的函数表达式为y =a 3x (x -4t ),∠该抛物线过点B (t ,a t 2),∠a t 2=a 3t (t-4t ),因t≠0,得313=a a .23=EF AB .B OxyL ADL 2 NMPDAB O xyL 1 L 3F EGHKQ3.(2016舟山)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班,爸爸行驶到甲处时,看到前面路口时红灯,他立即刹车减速并在乙处停车等待,爸爸驾车从家到乙处的过程中,速度v (m /s )与时间t (s )的关系如图1中的实线所示,行驶路程s (m )与时间t (s )的关系如图2所示,在加速过程中,s 与t 满足表达式s=a t 2 (1)根据图中的信息,写出小明家到乙处的路程,并求a 的值; (2)求图2中A 点的纵坐标h ,并说明它的实际意义;(3)爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源,减少刹车,妈妈驾车从家出发的行驶过程中,速度v (m /s )与时间t (s )的关系如图1中的折线O ﹣B ﹣C 所示,行驶路程s (m )与时间t (s )的关系也满足s=a t 2,当她行驶到甲处时,前方的绿灯刚好亮起,求此时妈妈驾车的行驶速度.【答案】(1)、180m ;a =43;(2)、h=156;表示小明家到甲处的路程为156m ;(3)、6m /s 【解析】试题分析:(1)、直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案;(2)、利用图形,得出速度和时间,再结合h=48+12×(17﹣8)得出答案;(3)、首先求出OB 的解析式进而利用二次函数解析式得出关于x 的等式求出答案.试题解析:(1)、由图象得:小明家到乙处的路程为180m,∠点(8,48)在抛物线s=a t2上,答:此时妈妈驾车的行驶速度为6m/s.考点:二次函数的应用4.(2017湖州)如图,在平面直角坐标系中,已知,两点的坐标分别为,,是线段上一点(与,点不重合),抛物线()经过点,,顶点为,抛物线()经过点,,顶点为,,的延长线相交于点.(1)若,,求抛物线,的解析式; (2)若,,求的值;(3)是否存在这样的实数(),无论取何值,直线与都不可能互相垂直?若存在,请直接写出的两个不同的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线L 1的解析式为y =,抛物线L 2的解析式为y =x y O A B ()4,0-()4,0()C ,0m AB A B 1L :211y ax b x c =++0a <A C D 2L :222y ax b x c =++0a <C B E D A BE F 12a =-1m =-1L 2L 1a =-F F A ⊥B m a 0a <m F A F Ba 215222x x ---(2)m(3)存在 试题解析:(1)由题意得 解得所以抛物线L 1的解析式为y = 同理,解得∠所以抛物线L 2的解析式为y =同理可得,抛物线L 2的解析式为y =-x 2+(m +4)x -4mEH =,BH =213++222x x -2112111(1)021(4)402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯--+=⎪⎩11322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩215222x x ---2222221(1)0214+402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯+=⎪⎩22322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩213++222x x -22816(4)=44m m m -+-42m -∠AF∠BF,DG∠x轴,∠∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°∠∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF∠∠ADG∠∠EBH考点:二次函数的综合5.(2017嘉兴)如图,某日的钱塘江观潮信息如表:按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离(千米)与时间(分钟)的函数关系用图3表示,其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点,点坐标为,曲线可用二次函数(,是常数)刻画.(1)求的值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟后与潮头相遇?(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为千米/分,小红逐渐落后,问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?(潮水加速阶段速度,是加速前的速度). 【答案】(1)m =30;0.4千米/分钟;(2)5分钟;(3)小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟.试题解析:(1)由题意可知:m =30;∠B (30,0),潮头从甲地到乙地的速度为:=0.4千米/分钟;(2)∠潮头的速度为0.4千米/分钟,∠到11:59时,潮头已前进19×0.4=7.6千米,设小红出发x 分钟与潮头相遇, ∠0.4x +0.48x =12-7.6,∠x =5∠小红5分钟与潮头相遇,(3)把(30,0),C (55,15)代入s=t 2+b t+c ,解得:b =-,c =-,∠s=t 2-t -∠v 0=0.4,∠v=(t-30)+,s t (0,12)A B (,0)m BC 21125s t bt c =++b c m 0.480.4802(30)125v v t =+-0v 123011252252451125225245212525∠从t=35分(12:15时)开始,潮头快于小红速度奔向丙地,小红逐渐落后,当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头.设她离乙地的距离为s 1,则s 1与时间t 的函数关系式为s 1=0.48t+h (t≥35),当t=35时,s 1=s=,代入可得:h=-,∠s 1=t -最后潮头与小红相距1.8千米时,即s-s 1=1.8,∠t 2-t --t+=1.8解得:t=50或t=20(不符合题意,舍去), ∠t=50,小红与潮头相遇后,按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟, ∠共需要时间为6+50-30=26分钟,∠小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟. 考点:二次函数的应用.1157351225735112522524512257356.(2017丽水23题)如图1,在∠ABC 中,∠A =30°,点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A ﹣C ﹣B 运动,点Q 从点A 出发以a (cm /s )的速度沿AB 运动,P ,Q 两点同时出发,当某一点运动到点B 时,两点同时停止运动.设运动时间为x (s ),∠APQ 的面积为y (cm 2),y 关于x 的函数图象由C 1,C 2两段组成,如图2所示.(1)求a 的值;(2)求图2中图象C 2段的函数表达式;(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时∠APQ 的面积,大于当点P 在线段AC 上任意一点时∠APQ 的面积,求x 的取值范围.【答案】(1)1;(2);(3)2<x <3. (3)求出 的最大值,根据二次函数的性质计算即可. 试题解析:(1)如图1,作PD ∠AB 于D ,∠∠A =30°,∠PD =AP =x ,∠y =AQ •PD =,由图象可知,当x =1时,y =,∠×a ×12=,解得,a =1;21533y x x =-+212y x =1212212ax 121212(3),解得,x 1=0,x 2=2,由图象可知,当x =2时,有最大值,最大值是×22=2,=2,解得,x 1=3,x 2=2,∠当2<x <3时,点P 运动到线段BC 上某一段时∠APQ 的面积,大于当点P 在线段AC 上任意一点时∠APQ 的面积.考点:三角形综合题;二次函数的性质;分段函数;动点型;综合题.22115233x x x =-+212y x =1221533x x -+7.(2017温州第三第23题)小黄准备给长8m ,宽6m 的长方形客厅铺设瓷砖,现将其划分成一个长方形ABCD 区域∠(阴影部分)和一个环形区域∠(空白部分),其中区域∠用甲、乙、丙三种瓷砖铺设,且满足PQ ∠AD ,如图所示.(1)若区域∠的三种瓷砖均价为300元/,面积为(),区域∠的瓷砖均价为200/,且两区域的瓷砖总价为不超过12000元,求的最大值; (2)若区域∠满足AB :BC =2:3,区域∠四周宽度相等∠求AB ,BC 的长;∠若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/,乙、丙瓷砖单价之比为5:3,且区域∠的三种瓷砖总价为4800元,求两瓷砖单价的取值范围.【答案】(1)S 的最大值为24.(2)∠6.∠0<3x <150元/m 2. 【解析】2m S 2m 2m S 2m(12﹣s)=4800,解得s=600x,由0<s<12,可得0<600x<12,解不等式即可试题解析:(1)由题意300S+(48﹣S)200≤12000,解得S≤24.∠S的最大值为24.(2)∠设区域∠四周宽度为a,则由题意(6﹣2a):(8﹣2a)=2:3,解得a=1,∠AB=6﹣2a=4,CB=8﹣2a=6.∠设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2,则甲的单价为(300﹣3x)元/m2,∠PQ∠AD,∠甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12,设乙的面积为s,则丙的面积为(12﹣s),由题意12(300﹣3x)+5x•s+3x•(12﹣s)=4800,解得s=600x,∠0<s<12,∠0<600x<12,∠0<x<50,∠丙瓷砖单价3x的范围为0<3x<150元/m2.考点:一元一次不等式的应用;二次函数的应用;矩形的性质8.(2018绍兴)如图,公交车行驶在笔直的公路上,这条路上有A,B,C,D四个站点,每相邻两站之间的距离为5千米,从A站开往D站的车称为上行车,从D站开往A 站的车称为下行车.第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车,相向而行,且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A,D站同时发一班车,乘客只能到站点上、下车(上、下车的时间忽略不计),上行车、下行车的速度均为30千米/小时.(1)问第一班上行车到B 站、第一班下行车到C 站分别用时多少?(2)若第一班上行车行驶时间为t 小时,第一班上行车与第一班下行车之间的距离为s 千米,求s 与t 的函数关系式.(3)一乘客前往A 站办事,他在B ,C 两站间的P 处(不含B ,C 站),刚好遇到上行车,BP x =千米,此时,接到通知,必须在35分钟内赶到,他可选择走到B 站或走到C 站乘下行车前往A 站.若乘客的步行速度是5千米/小时,求x 满足的条件. 【答案】(1)第一班上行车到B 站用时16小时,第一班下行车到C 站用时16小时;(2)当104t ≤≤时,1560s t =-,当1142t <≤时,6015s t =-;(3)1007x <≤或45x ≤<.【解析】【详解】(1)第一班上行车到B 站用时51306=小时. 第一班下行车到C 站用时51306=小时. (2)当104t ≤≤时,1560s t =-. 当1142t <≤时,6015s t =-. (3)由(2)知同时出发的一对上、下行车的位置关于BC 中点对称,设乘客到达A 站总时间为t 分钟,当 2.5x =时,往B 站用时30分钟,还需再等下行车5分钟,3051045t =++=,不合题意.当 2.5x <时,只能往B 站坐下行车,他离B 站x 千米,则离他右边最近的下行车离C 站。
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)阅读与理解函数压轴题主要分为两大类:一是动点函数图象问题;二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.解答动点函数图象问题,要把问题拆分,分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式,进而确定函数图象;解答二次函数综合题,要把大题拆分,做到大题小做,逐步分析求解,最后汇总成最终答案.类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况,确定出有关动点函数图象的变化情况.分析此类问题,首先要明确动点在哪条边上运动,在运动过程中引起了哪个量的变化,然后求出在运动过程中对应的函数关系式,最后根据函数关系式判断图象的变化.例1 (2016·济南) 如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B =90°,AB =AD =5,BC =4,M 、N 、E 分别是A B 、AD 、CB 上的点,AM =CE =1,AN =3,点P 从点M 出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线MB -BE 向点E 运动,同时点Q 从点N ,以相同的速度沿折线ND -DC -CE 向点E 运动,设△APQ 的面积为S ,运动的时间为t 秒,则S 与t 函数关系的大致图象为( )【分析】 由点Q 从点N 出发,沿折线NDDCCE 向点E 运动,确定出点Q 分别在ND ,DC ,CE 运动时对应的t 的取值范围,再根据t 所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式,最后根据函数关系式确定对应的函数图象.【自主解答】过点D 作DF ⊥AB 于点F (如图1),则DF =BC =4.第15题图 A BCDM N Q∵AD =5,DF =4,∴AF =3.∴sin ∠A=DF AD =45,MF =3-1=2,BF =AB -AF =5-3=2,DC =BF =2.∵AD =5,AN =3,∴ND =5-3=2.(1)当0≤t ≤2时,点P 在MF 上,点Q 在ND 上(如图2),此时AP =AM +MP =1+t ,AQ =AN +NQ =3+t .∴S =12AP •AQ •sin ∠A =12(1+t )(3+t )×45=25(t +2)2―25.当0≤t ≤2时,S随t 的增大而增大,且当t =2时,S =6.由此可知A 、B 选项都不对.(2)当t =5时,点P 在MF 上,点Q 在ND 上(如图3),此时BP =1,PE =BC -BP -CE =4-1-1=2.∴S =12AB •PE =12×5×2=5.∵6>5,∴选项D 正确.变式训练1.如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠C =90°,AC =BC ,AB =4,D 为AB 上的动点,DP ⊥AB 交折线A -C -B 于点P.设AD =x ,△ADP 的面积为y ,则y 与x 的函数图象正确的是( )2.(2016·烟台)如图,⊙O 的半径为1,AD ,BC 是⊙O 的两条相互垂直的直径,图1 DC B A E M N QP F 图2 A B C D E M N Q P F 图3 A B C D E (Q )M N F P点P从点O出发(P点与O点不重合),沿OCD的路线运动.设AP=x,sin∠APB =y,那么y与x之间的关系图象大致是()类型二二次函数的实际问题解答此类问题时,首先要构建合理的坐标系,并写出对应的函数解析式,并利用二次函数的性质求解后续的问题.一般来说,选择的坐标系不同,得出的解析式必然不同,因此解答此类问题时,选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要.例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x﹣4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m.(1)当a=﹣时,①求h的值;②通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到点O的水平距离为7m,离地面的高度为m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.【分析】(1)①将点P(0,1)代入y=﹣(x﹣4)2+h即可求得h;②求出x=5时,y的值,与1.55比较即可得出判断;(2)将(0,1)、(7,)代入y=a(x﹣4)2+h代入即可求得a、h.【自主解答】解:(1)①当a=﹣时,y=﹣(x﹣4)2+h,将点P(0,1)代入,得:﹣×16+h=1,解得:h=;②把x=5代入y=﹣(x﹣4)2+,得:y=﹣×(5﹣4)2+=1.625,∵1.625>1.55,∴此球能过网;(2)把(0,1)、(7,)代入y=a(x﹣4)2+h,得:,解得:,∴a=﹣.变式训练3.(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是_____元时,才能在半月内获得最大利润.4、(2017•青岛)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录:淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)2400040000(1)该酒店豪华间有多少间?旺季每间价格为多少元?(2)今年旺季来临,豪华间的间数不变.经市场调查发现,如果豪华间仍旧实行去年旺季价格,那么每天都客满;如果价格继续上涨,那么每增加25元,每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素,该酒店将豪华间的价格上涨多少元时,豪华间的日总收入最高?最高日总收入是多少元?【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组,进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格;(2)根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式,然后化为顶点式即可解答本题.【自主解答】解:(1)设淡季每间的价格为x元,酒店豪华间有y间,,解得,,∴x+x=600+=800,答:该酒店豪华间有50间,旺季每间价格为800元;(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元,日总收入为y元,y=(800+x)(50﹣)=42025,∴当x=225时,y取得最大值,此时y=42025,答:该酒店将豪华间的价格上涨225元时,豪华间的日总收入最高,最高日总收入是42025元.类型三二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题,往往会命制三个小问题,其中第一问求解二次函数的解析式,此问题往往利用待定系数法便可解决;第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题,此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答,计算量很大,且题目较为综合.例3 (2017·泰安) )如图,是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线,其对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(﹣1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点N为抛物线上一点,且BC⊥NC,求点N的坐标;(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y=x+的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点P、Q是否存在?若存在,分别求出点P,Q的坐标;若不存在,说明理由.【分析】(1)已知抛物线的对称轴,因而可以设出顶点式,利用待定系数法求函数解析式;(2)首先求得B和C的坐标,易证△OBC是等腰直角三角形,过点N作NH⊥y 轴,垂足是H,设点N纵坐标是(a,﹣a2+2a+3),根据CH=NH即可列方程求解;(3)四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQ∥OA,设P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,即可求解.【自主解答】解:(1)设抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2+k.把(﹣1,0)代入得0=﹣(﹣1﹣1)2+k,解得k=4,则抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;(2)在y=﹣x2+2x+3中令x=0,则y=3,即C的坐标是(0,3),OC=3.∵B的坐标是(3,0),∴OB=3,∴OC=OB,则△OBC是等腰直角三角形.∴∠OCB=45°,过点N作NH⊥y轴,垂足是H.∵∠NCB=90°,∴∠NCH=45°,∴NH=CH,∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH,设点N纵坐标是(a,﹣a2+2a+3).∴a+3=﹣a2+2a+3,解得a=0(舍去)或a=1,∴N的坐标是(1,4);(3)∵四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQ∥OA,设P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,则﹣t2+2t+3=(t+1)+,整理,得2t2﹣t=0,解得t=0或.∴﹣t2+2t+3的值为3或.∴P、Q的坐标是(0,3),(1,3)或(,)、(,).变式训练5.(2016·襄阳) 如图,已知点A的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点.(1)请直接写出B、C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP 为平行四边形,求点P的坐标;(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC 于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN 为等腰直角三角形?解:(1)令x=0代入y=﹣x+3∴y=3,∴C(0,3),令y=0代入y=﹣x+3∴x=4,∴B(4,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣4),把C(0,3)代入y=a(x+2)(x﹣4),∴a=﹣,∴抛物线的解析式为:y=(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+3,∴顶点D的坐标为(1,);(2)当DP∥BC时,此时四边形DEFP是平行四边形,设直线DP的解析式为y=mx+n,∵直线BC的解析式为:y=﹣x+3,∴m=﹣,∴y=﹣x+n,把D(1,)代入y=﹣x+n,∴n=,∴直线DP的解析式为y=﹣x+,∴联立,解得:x=3或x=1(舍去),∴把x=3代入y=﹣x+,y=,∴P的坐标为(3,);(3)由题意可知:0≤t≤6,设直线AC的解析式为:y=m1x+n1,把A(﹣2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,得:,∴解得,∴直线AC的解析式为:y=x+3,由题意知:QB=t,如图1,当∠NMQ=90°,∴OQ=4﹣t,令x=4﹣t代入y=﹣x+3,∴y=t,∴M(4﹣t,t),∵MN∥x轴,∴N的纵坐标为t,把y=t代入y=x+3,∴x=t﹣2,∴N(t﹣2,t),∴MN=(4﹣t)﹣(﹣2)=6﹣t,∵MQ∥OC,∴△BQM∽△BOC,∴,∴MQ=t,当MN=MQ时,∴6﹣t=t,∴t=,此时QB=,符合题意,如图2,当∠QNM=90°时,∵QB=t,∴点Q的坐标为(4﹣t,0)∴令x=4﹣t代入y=x+3,∴y=9﹣t,∴N(4﹣t,9﹣t),∵MN∥x轴,∴点M的纵坐标为9﹣t,∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3,∴x=2t﹣8,∴M(2t﹣8,9﹣t),∴MN=(2t﹣8)﹣(4﹣t)=3t﹣12,∵NQ∥OC,∴△AQN∽△AOC,∴=,∴NQ=9﹣t,当NQ=MN时,∴9﹣t=3t﹣12,∴t=,∴此时QB=,符合题意如图3,当∠NQM=90°,过点Q作QE⊥MN于点E,过点M作MF⊥x轴于点F,设QE=a,令y=a代入y=﹣x+3,∴x=4﹣,∴M(4﹣a,a),令y=a代入y=x+3,∴x=﹣2,∴N(﹣2,0),∴MN=(4﹣a)﹣(a﹣2)=6﹣2a,当MN=2QE时,∴6﹣2a=2a,∴a=,∴MF=QE=,∵MF∥OC,∴△BMF∽△BCO,∴=,∴BF=2,∴QB=QF+BF=+2=,∴t=,此情况符合题意,综上所述,当△QMN为等腰直角三角形时,此时t=或或6.(2017·潍坊) 如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(﹣1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,与抛物线交于另一点F.点P在直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t(1)求抛物线的解析式;(2)当t何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根;(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.解:(1)由题意可得,解得,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵A(0,3),D(2,3),∴BC=AD=2,∵B(﹣1,0),∴C(1,0),∴线段AC的中点为(,),∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分,∴直线l过平行四边形的对称中心,∵A、D关于对称轴对称,∴抛物线对称轴为x=1,∴E(3,0),设直线l的解析式为y=kx+m,把E点和对称中心坐标代入可得,解得,∴直线l的解析式为y=﹣x+,联立直线l和抛物线解析式可得,解得或,∴F(﹣,),如图1,作PH⊥x轴,交l于点M,作FN⊥PH,∵P点横坐标为t,∴P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+),∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)=﹣t2+t+,∴S△PEF =S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•(FN+EH)=(﹣t2+t+)(3+)=﹣(t﹣)+×,∴当t=时,△PEF的面积最大,其最大值为×,∴最大值的立方根为=;(3)由图可知∠PEA≠90°,∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴∠PAG=∠APG=45°,∴PG=AG,∴t=﹣t2+2t+3﹣3,即﹣t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去),②当∠APE=90°时,如图3,作PK⊥x轴,AQ⊥PK,则PK=﹣t2+2t+3,AQ=t,KE=3﹣t,PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t,∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°,∴∠PAQ=∠KPE,且∠PKE=∠PQA,∴△PKE∽△AQP,∴=,即=,即t2﹣t﹣1=0,解得t=或t=<﹣(舍去),综上可知存在满足条件的点P,t的值为1或.。
中考初三数学整合压轴题100题附答案一、中考压轴题1.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.2.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.3.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.4.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB 的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.5.我国年人均用纸量约为28公斤,每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸;用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树.(1)若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐?(2)我市从2000年初开始实施天然林保护工程,大力倡导废纸回收再生,如今成效显著,森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩.假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变,请你按全市总人口约为1000万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几?(精确到1%)【分析】(1)因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸,用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树,所以有40000×10÷1000×18÷80,计算出即可求出答案;(2)森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩,可先求出森林面积年均增长率,进而求出2005到2006年新增加的森林面积,而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50,然后进行简单的计算即可求出答案.【解答】解:(1)4×104×10÷1000×18÷80=90(亩).答:若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使90亩森林免遭砍伐.(2)设我市森林面积年平均增长率为x,依题意列方程得50(1+x)2=60.5,解得x1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去),1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160,20160÷(605000×10%)≈33%.答:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%.【点评】本题以保护环境为主题,考查了增长率问题,阅读理解题意,并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力;解答时需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.6.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.7.如图,一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,P为AB的中点,PC⊥x轴于点C,延长PC交反比例函数y=(x<0)的图象于点Q,且tan∠AOQ=.(1)求k的值;(2)连接OP、AQ,求证:四边形APOQ是菱形.【分析】(1)由一次函数解析式确定A点坐标,进而确定C,Q的坐标,将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值.(2)由(1)可分别确定QC=CP,AC=OC,且QP垂直平分AO,故可证明四边形APOQ是菱形.【解答】(1)解:∵y=﹣x﹣2令y=0,得x=﹣4,即A(﹣4,0)由P为AB的中点,PC⊥x轴可知C点坐标为(﹣2,0)又∵tan∠AOQ=可知QC=1∴Q点坐标为(﹣2,1)将Q点坐标代入反比例函数得:1=,∴可得k=﹣2;(2)证明:由(1)可知QC=PC=1,AC=CO=2,且A0⊥PQ∴四边形APOQ是菱形.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式,又结合了几何图形进行考查,属于综合性比较强的题目,有一定难度.8.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【分析】(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=w A+w B﹣3×20;②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数量;(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]万元,∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.9.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.10.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明理由.(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.11.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC 并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.12.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.13.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.14.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.15.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.16.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.17.图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格.△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面的两个问题:(1)在图(1)中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2,且△A1B1C1与△ABC的相似比是2,△A2B2C2与△ABC的相似比是;(2)在图(2)中用与△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次),拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【分析】(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是2,则让△ABC的各边都扩大2倍就可.△A2B2C2与△ABC的相似比是;△ABC的直角边是2,所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度.斜边为2.依此画图即可;(2)拼图有审美意义即可,答案不唯一.【解答】解:【点评】本题主要考查了相似图形的画法,做这类题时根据的是相似图形的性质,即相似比相等.对应角相等.18.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,(1)求的长;(2)若,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.【分析】(1)连接OE、OF,利用相切证明四边形AFOE是正方形,再根据弧长公式求弧长;(2)先求出直线M1N1与圆相切时d的值,结合1≤d≤4,划分d的范围,分类讨论.【解答】解:(1)连接OE、OF,∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,∴∠A=90°,∠OEA=∠OF A=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°,OE=AE=∴的长==π.(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1,连接OM1、OR,∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠EM1N1=60°在Rt△EM1O中,EM1===1∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4.过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2,∴当d=2时,直线MN与⊙O相切,当1≤d<2时,直线MN与⊙O相离,当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3>4,∴当2<d≤4时,MN直线与⊙O相交.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.19.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∵AB=AC=5,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.20.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,即,然后利用比例的性质,即可求得答案.【解答】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:设温室的宽为xm,则长为2xm.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x﹣1﹣1)m,长为(2x﹣3﹣1)m.∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1;(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,即,即2AB﹣2(b+d)=2AB﹣(a+c),∴a+c=2(b+d),即.【点评】此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目,注意理解题意,读懂题目是解此题的关键.21.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是﹣1<a<0.。
一、动点型问题:例1.(基础题)如图,已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴从左至右分别交于A、B两点,与y 轴交于C点,顶点为D.(1)求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式;(2)若线段AD上有一动点E,过E作平行于y轴的直线交抛物线于F,当线段EF取得最大值时,求点E的坐标.变式练习:如图,已知抛物线经过点A(﹣2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B 在x轴正半轴上,连接BC.(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P从点O出发,以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值.(4)在(3)中当t为何值时,以O,P,Q为顶点的三角形与△OAD相似?(直接写出答案)1、如图,在矩形ABCD 中,AD =acm ,AB =bcm (a >b >4),半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切.现有动点P 从A 点出发,在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动,当点P 到达D 点时停止移动;⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移,移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回,当⊙O 回到出发时的位置(即再次与AB 相切)时停止移动.已知点P 与⊙O 同时开始移动,同时停止移动(即同时到达各自的终止位置).(1)如图①,点P 从A →B →C →D ,全程共移动了 cm (用含a 、b 的代数式表示); (2)如图①,已知点P 从A 点出发,移动2s 到达B 点,继续移动3s ,到达BC 的中点.若点P 与⊙O 的移动速度相等,求在这5s 时间内圆心O 移动的距离;(3)如图②,已知a =20,b =10.是否存在如下情形:当⊙O 到达⊙O 1的位置时(此时圆心O 1在矩形对角线BD 上),DP 与⊙O 1恰好相切?请说明理由.(第28题)(图②)(图①)二.几何图形的变换(平移、旋转、翻折)例2.如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线..OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;(2)求S与t的函数关系式;(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.1、如图1,在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y =x +m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0,-1),抛物线y =x 2+bx +c 经过点B ,且与直线l 的另一个交点为C(4,n). (1)求n 的值和抛物线的解析式;(2)点D 在抛物线上,且点D 的横坐标为t(0<t<4).DE ∥y 轴交直线l 于点E ,点F 在直线l 上,且四边形DFEG 为矩形(如图2).若矩形DFEG 的周长为p ,求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值;(3)将△AOB 在平面内经过一定的平移得到△A 1O 1B 1,点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A 1的横坐标为 .3412三.相似与三角函数问题例3.如图,二次函数的图象经过点D (0,),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. (1)求该二次函数的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上找一点P ,使PA +PD 最小,求出点P 的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.397变式练习:如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.(1)OC的长为;(2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=;(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.1、如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm.点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F,设点E,F,G运动的时间为t(单位:s).(1)当t=s时,四边形EBFB'为正方形;(2)若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;(3)是否存在实数t,使得点B'与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.面积与相似:如图,已知抛物线与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ,点C 的坐标为 (用含b 的代数式表示);⑵请探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由; ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.x yPO CBA四.三角形问题(等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等)例4.已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点OA不重合),现将△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF 重合.(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.变式.已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.①当△BDE是等腰三角形时,直接写出....此时点E的坐标.②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.xx 图21、如图,已知抛物线y =x 2+bx +c (b ,c 是常数,且c<0)与x 轴分别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的负半轴交于点C ,点A 的坐标为(-1,0). (1)b = ,点B 的横坐标为 (上述结果均用含c 的代数式表示);(2)连接BC ,过点A 作直线AE ∥BC ,与抛物线y =x 2+bx +c 交于点E .点D 是x 轴上一点,其坐标为(2,0),当C ,D ,E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点,连接PB ,PC ,设所得△PBC 的面积为S .①求S 的取值范围;②若△PBC 的面积S 为整数,则这样的△PBC 共有 个.1212五、与四边形有关的二次函数问题例5.如图,Rt △ABC 的顶点坐标分别为A (0,),B (-,),C (1,0),∠ABC =90°,BC 与y 轴的交点为D ,D 点坐标为(0,),以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B .(1)求该抛物线的解析式;(2)将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′,求证:四边形AOCB ′是矩形,并判断点B ′是否在(1)的抛物线上;(3)延长BA 交抛物线于点E ,在线段BE 上取一点P ,过P 点作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,是否存在这样的点P ,使四边形PADF 是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.3212333变式练习:已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.(1)如图①,当PA的长度等于时,∠PAB=60°;当PA的长度等于时,△PAD是等腰三角形;(2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求2 S1 S3-S22的最大值,并求出此时a,b的值.1、已知二次函数的图象与x 轴分别交于点A 、B ,与y 轴交于点C .点D 是抛物线的顶点.(1)如图①,连接AC ,将△OAC 沿直线AC 翻折,若点O 的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上,求实数a 的值;(2)如图②,在正方形EFGH 中,点E 、F 的坐标分别是(4,4)、(4,3),边HG 位于边EF 的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点,则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形).”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并写出探索过程;(3)如图②,当点P 在抛物线对称轴上时,设点P 的纵坐标t 是大于3的常数,试问:是否存在一个正数a ,使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)?请说明理由.()()2680y a x x a =-+>六、初中数学中的最值问题例6.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(﹣1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.变式练习.如图,已知直线y =x +1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y =x2+bx +c 与直线y =x +1交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为(1,0). (1)求该抛物线的解析式;(2)动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标;(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM -MC |的值最大,求出点M 的坐标.2121211、如图,已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与⊙O 交于点D ,连接PA 、PB ,设PC 的长为x.⑴ 当x=2 时,求弦PA 、PB 的长度; ⑵ 当x 为何值时,PB 2+PD 2的值最小?lPD BOA七、定值的问题例7.如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B的坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.(1)求点A的坐标(用m表示);(2)求抛物线的解析式;(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ 并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定值.变式练习:如图,正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合,将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动,移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中,边AD 始终与边FG 重合,连接CG ,过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ,连接PD .已知正方形ABCD 的边长为1cm ,矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm.设正方形移动时间为x (s ),线段GP 的长为y (cm ),其中.⑴试求出y 关于x 的函数关系式,并求出y =3时相应x 的值; ⑵记△DGP 的面积为,△CDG 的面积为,试说明是常数;⑶ 当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时,求线段PD 的长.P HG FEDCB A1、如图,二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x 轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,﹣3),点D在二次函数的图象上,CD∥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分∠DAE.(1)用含m的代数式表示a;(2)求证:为定值;(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.八、存在性问题(如:平行、垂直,动点,面积等)例8、将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒). (1)用含的代数式表示;(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;(1) 连结,将沿翻折,得到,如图2.问:与能否平行?与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由.OABC (00)O ,(60)A ,(03)C ,Q O OC C 23P A AO O P t t OP OQ ,1t OPQ △PQ O CB D D AC OPQ △PQ EPQ △PQ AC PE ACt变式练习:如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点,与y 轴交于点C,抛物线的顶点为P,连接AC.(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,且直线DC与x轴交于点Q,求直线DC 的解析式;(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S△MAP=2S△ACP?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.1、如图,已知二次函数(其中0<m <1)的图像与x 轴交于A 、B两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴为直线l .设P 为对称轴l 上的点,连接PA 、PC ,PA =P C .(1)∠ABC 的度数为 °; (2)求P 点坐标(用含m 的代数式表示);(3)在坐标轴上是否存在点Q (与原点O 不重合),使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似,且线段PQ 的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.()21y x m x m =+--2、在如图的直角坐标系中,已知点A(1,0)、B(0,﹣2),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,若抛物线y=﹣x2+bx+2经过点C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,﹣2)作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的正半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心,以为半径的圆与直线BC相切?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.九、与圆有关的二次函数综合题:例9.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,其顶点为D,且直线DC的解析式为y=x+3.(1)求二次函数的解析式;(2)求△ABC外接圆的半径及外心的坐标;(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大值.变式练习:如图,已知抛物线y=a(x﹣2)2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点,与y 轴交于点C,点B的坐标为(3,0),连接AC、BC.(1)求此抛物线的解析式;(2)若P为抛物线的对称轴上的一个动点,连接PA、PB、PC,设点P的纵坐标表示为m.试探究:①当m为何值时,|PA﹣PC|的值最大?并求出这个最大值.②在P点的运动过程中,∠APB能否与∠ACB相等?若能,请求出P点的坐标;若不能,请说明理由.1、如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,﹣1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.2、如图,已知二次函数(其中0<m <1)的图像与x 轴交于A 、B两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴为直线l .设P 为对称轴l 上的点,连接PA 、PC ,PA =P C .(1)∠ABC 的度数为 ▲ °;(2)求P 点坐标(用含m 的代数式表示);(3)在坐标轴上是否存在点Q (与原点O 不重合),使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似,且线段PQ 的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.()21y x m x m =+--十、其它(如新定义型题、面积问题等):例10. 在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点,(点A 在点B 左侧).与y 轴交于点C ,顶点为D ,直线CD 与x 轴交于点E . (1)请你画出此抛物线,并求A 、B 、C 、D 四点的坐标;(2)将直线CD 向左平移两个单位,与抛物线交于点F (不与A 、B 两点重合),请你求出F 点坐标; (3)在点B 、点F 之间的抛物线上有一点P ,使△PBF 的面积最大,求此时P 点坐标及△PBF 的最大面积;(4)若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H 两点,以GH 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径.(第1题)(第2题)2. 练习:我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l :与x 轴、y 轴分别交于A 、B ,∠OAB =30°,点P 在x 轴上,⊙P 与l 相切,当P 在线段OA 上运动时,使得⊙P 成为整圆的点P 个数是( )A .6B .8C .10D .12。
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.(1) 写出点A、B、C、D的坐标;(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;(3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”,拖动点Q在直线BG上运动,可以体验到,△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况,点B上、下各有两种.思路点拨1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.4.△ABQ 与△COD 相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形,点Q 共有4个.满分解答(1)A (3,0),B (0,1),C (0,3),D (-1,0).(2)因为抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (3,0)、C (0,3)、D (-1,0) 三点,所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,顶点G 的坐标为(1,4). (3)如图2,直线BG 的解析式为y =3x +1,直线CD 的解析式为y =3x +3,因此CD //BG .因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB ⊥CD .因此AB ⊥BG ,即∠ABQ =90°.因为点Q 在直线BG 上,设点Q 的坐标为(x ,3x +1),那么22(3)10BQ x x x =+=±. Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3,如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似,存在两种情况:①当3BQ BA =时,10310x ±=.解得3x =±.所以1(3,10)Q ,2(3,8)Q --.②当13BQ BA =时,101310x ±=.解得13x =±.所以31(,2)3Q ,41(,0)3Q -.图2 图3考点伸展第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ;二是BQ ==.我们换个思路解答第(3)题:如图3,作GH ⊥y 轴,QN ⊥y 轴,垂足分别为H 、N .通过证明△AOB ≌△BHG ,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG =90°. 在Rt △BGH 中,sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时,BQ =.在Rt △BQN 中,sin 13QN BQ =⋅∠=,cos 19BN BQ =⋅∠=.当Q 在B 上方时,1(3,10)Q ;当Q 在B 下方时,2(3,8)Q --.②当13BQ BA =时,BQ =31(,2)3Q ,41(,0)3Q -.例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D (4,m ),与AB 边交于点E (2,n ),△BDE 的面积为2.(1)求m 与n 的数量关系;(2)当tan ∠A =12时,求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式;(3)设直线AB 与y 轴交于点F ,点P 在射线FD 上,在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似,求点P 的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”,拖动点A 在x 轴上运动,可以体验到,直线AB 保持斜率不变,n 始终等于m 的2倍,双击按钮“面积BDE =2”,可以看到,点E 正好在BD 的垂直平分线上,FD //x 轴.拖动点P 在射线FD 上运动,可以体验到,△AEO 与△EFP 相似存在两种情况.思路点拨1.探求m 与n 的数量关系,用m 表示点B 、D 、E 的坐标,是解题的突破口. 2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD //x 轴.3.如果△AEO 与△EFP 相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况.满分解答(1)如图1,因为点D (4,m )、E (2,n )在反比例函数ky x=的图像上,所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理,得n =2m . (2)如图2,过点E 作EH ⊥BC ,垂足为H .在Rt △BEH 中,tan ∠BEH =tan ∠A =12,EH =2,所以BH =1.因此D (4,m ),E (2,2m ),B (4,2m +1). 已知△BDE 的面积为2,所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=.解得m =1.因此D (4,1),E (2,2),B (4,3).因为点D(4,1)在反比例函数kyx=的图像上,所以k=4.因此反比例函数的解析式为4yx =.设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=,1 b=.因此直线AB的函数解析式为112y x=+.图2 图3 图4(3)如图3,因为直线112y x=+与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),所以FD// x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP相似存在两种情况:①如图3,当EA EFAO FP=时,255=.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1).②如图4,当EA FPAO EF=时,2525=.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1).考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:第(1)题的结论m与n的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为12yx=-,直线AB为172y x=-.第(3)题FD不再与x轴平行,△AEO与△EFP也不可能相似.图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图像,可以体验到,x2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF与△GQE相似.思路点拨1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G 在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.满分解答(1)抛物线的对称轴为直线1x =,解析式为21184y x x =-,顶点为M (1,18-).(2) 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-,由此得到1223s x x +=+.由于213y y -=,所以22212211111138484y y x x x x -=--+=.整理,得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦.因此得到2172x x S -=.当S =36时,212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为(6,3).(3)设直线AB 与PQ 交于点G ,直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ,直线PQ 与x 轴交于点F ,那么要探求相似的△GAF 与△GQE ,有一个公共角∠G .在△GEQ 中,∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值.在△GAF 中,∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ ≠∠GAF . 因此只存在∠GQE =∠GAF 的可能,△GQE ∽△GAF .这时∠GAF =∠GQE =∠PQD .由于3tan 4GAF ∠=,tan 5DQ t PQD QP t ∠==-,所以345t t =-.解得207t =.图3 图4考点伸展第(3)题是否存在点G 在x 轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t 的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.例4如图1,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y mx mx n =++上. (1)求m 、n ;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,若四边形A A ′B ′B 为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ,试在x 轴上找一个点D ,使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似.图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”,拖动点A ′向右平移,可以体验到,平移5个单位后,四边形A A ′B ′B 为菱形.再拖动点D 在x 轴上运动,可以体验到,△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况.思路点拨1.点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第(1)题用在待定系数法中;第(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长.2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.3.探求△ABC 与△B ′CD 相似,根据菱形的性质,∠BAC =∠CB ′D ,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论.满分解答(1) 因为点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y mx mx n =++上,所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-,4n =. (2)如图2,由点A (-2,4) 和点B (1,0),可得AB =5.因为四边形A A ′B ′B 为菱形,所以A A ′=B ′B = AB =5.因为438342+--=x x y ()2416133x =-++,所以原抛物线的对称轴x =-1向右平移5个单位后,对应的直线为x =4.因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y .图2(3) 由点A (-2,4) 和点B ′ (6,0),可得A B ′=45.如图2,由AM //CN ,可得''''B N B CB M B A=,即2845=.解得'5B C =.所以35AC =.根据菱形的性质,在△ABC 与△B ′CD 中,∠BAC =∠CB ′D .①如图3,当''AB B C AC B D =时,535=,解得'3B D =.此时OD =3,点D 的坐标为(3,0).②如图4,当''AB B D AC B C =时,355=,解得5'3B D =.此时OD =133,点D 的坐标为(133,0).图3 图4考点伸展在本题情境下,我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似,其实这是有公共底角的两个等腰三角形,容易想象,存在两种情况.我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似,这两个三角形有一组公共角∠B,根据对应边成比例,分两种情况计算.2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,△PAM的形状在变化,分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”,可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景.双击按钮“第(3)题”,拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观察△DCA的形状和面积随D变化的图象,可以体验到,E是AC的中点时,△DCA的面积最大.思路点拨1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.满分解答(1)因为抛物线与x 轴交于A (4,0)、B (1,0)两点,设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ,代入点C 的 坐标(0,-2),解得21-=a .所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y .(2)设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x .①如图2,当点P 在x 轴上方时,1<x <4,)4)(1(21---=x x PM ,x AM -=4.如果2==CO AO PM AM ,那么24)4)(1(21=----x x x .解得5=x 不合题意.如果21==CO AO PM AM ,那么214)4)(1(21=----x x x .解得2=x .此时点P 的坐标为(2,1).②如图3,当点P 在点A 的右侧时,x >4,)4)(1(21--=x x PM ,4-=x AM .解方程24)4)(1(21=---x x x ,得5=x .此时点P 的坐标为)2,5(-.解方程214)4)(1(21=---x x x ,得2=x 不合题意.③如图4,当点P 在点B 的左侧时,x <1,)4)(1(21--=x x PM ,x AM -=4.解方程24)4)(1(21=---x x x ,得3-=x .此时点P 的坐标为)14,3(--.解方程214)4)(1(21=---x x x ,得0=x .此时点P 与点O 重合,不合题意.综上所述,符合条件的 点P 的坐标为(2,1)或)14,3(--或)2,5(-.图2 图3 图4 (3)如图5,过点D 作x 轴的垂线交AC 于E .直线AC 的解析式为221-=x y . 设点D 的横坐标为m )41(<<m ,那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ,点E 的坐标为)221,(-m m .所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=. 因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m . 当2=m 时,△DCA 的面积最大,此时点D 的坐标为(2,1).图5 图6考点伸展第(3)题也可以这样解:如图6,过D 点构造矩形OAMN ,那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积.设点D 的横坐标为(m ,n ))41(<<m ,那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S . 由于225212-+-=m m n ,所以m m S 42+-=.例6如图1,△ABC 中,AB =5,AC =3,cos A =310.D 为射线BA 上的点(点D 不与点B 重合),作DE //BC 交射线CA 于点E ..(1) 若CE =x ,BD =y ,求y 与x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (2) 当分别以线段BD ,CE 为直径的两圆相切时,求DE 的长度;(3) 当点D 在AB 边上时,BC 边上是否存在点F ,使△ABC 与△DEF 相似?若存在,请求出线段BF 的长;若不存在,请说明理由.图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”,拖动点D可以在射线BA上运动.双击按钮“第(2)题”,拖动点D可以体验到两圆可以外切一次,内切两次.双击按钮“第(3)题”,再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”,可以体验到,△DEF为等腰三角形.思路点拨1.先解读背景图,△ABC是等腰三角形,那么第(3)题中符合条件的△DEF也是等腰三角形.2.用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第(2)题的先决条件,注意点E的位置不同,DE、MN表示的形式分两种情况.3.求两圆相切的问题时,先罗列三要素,再列方程,最后检验方程的解的位置是否符合题意.4.第(3)题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论,运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题.满分解答(1)如图2,作BH⊥AC,垂足为点H.在Rt△ABH中,AB=5,cosA=310 AHAB=,所以AH=32=12AC.所以BH垂直平分AC,△ABC为等腰三角形,AB=CB=5.因为DE//BC,所以AB ACDB EC=,即53y x=.于是得到53y x=,(0x>).(2)如图3,图4,因为DE//BC,所以DE AEBC AC=,MN ANBC AC=,即|3|53DE x-=,1|3|253xMN-=.因此5|3|3xDE-=,圆心距5|6|6xMN-=.图2 图3 图4 在⊙M中,115226Mr BD y x===,在⊙N中,1122Nr CE x==.①当两圆外切时,5162x x+5|6|6x-=.解得3013x=或者10x=-.如图5,符合题意的解为3013x=,此时5(3)15313xDE-==.②当两圆内切时,5162x x-5|6|6x-=.当x<6时,解得307x=,如图6,此时E在CA的延长线上,5(3)1537xDE-==;当x>6时,解得10x=,如图7,此时E在CA的延长线上,5(3)3533xDE-==.图5 图6 图7 (3)因为△ABC是等腰三角形,因此当△ABC与△DEF相似时,△DEF也是等腰三角形.如图8,当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时,DE 为等腰三角形DEF 的腰,符合题意,此时BF =2.5.根据对称性,当F 在BC 边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF =4.1.如图9,当DE 为等腰三角形DEF 的底边时,四边形DECF 是平行四边形,此时12534BF =.图8 图9 图10 图11考点伸展第(3)题的情景是一道典型题,如图10,如图11,AH 是△ABC 的高,D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点,那么四边形DEHF 是等腰梯形.例 7如图1,在直角坐标系xOy 中,设点A (0,t ),点Q (t ,b ).平移二次函数2tx y -=的图象,得到的抛物线F 满足两个条件:①顶点为Q ;②与x 轴相交于B 、C 两点(∣OB ∣<∣OC ∣),连结A ,B .(1)是否存在这样的抛物线F ,使得OC OB OA ⋅=2?请你作出判断,并说明理由;(2)如果AQ ∥BC ,且tan ∠ABO =23,求抛物线F 对应的二次函数的解析式.图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”,拖动点A 在y 轴上运动,可以体验到,AQ 与BC 保持平行,OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2.双击按钮“t =3”,“t =0.6”,“t =-0.6”,“t =-3”,抛物线正好经过点B (或B ′).思路点拨1.数形结合思想,把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅.2.如果AQ ∥BC ,那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形,数形结合得到t =b . 3.分类讨论tan ∠ABO =23,按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况.A 在y 轴正半轴时,分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况;A 在y 轴负半轴时,分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况.满分解答(1)因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q (t ,b ),所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(.因为抛物线与x 轴有两个交点,因此0>b t .令0=y ,得-=t OB t b,+=t OC tb . 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==.即22bt t t-=±.所以当32t b =时,存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=. (2)因为AQ //BC ,所以t =b ,于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(.解得1,121+=-=t x t x .①当0>t 时,由||||OC OB <,得)0,1(-t B .如图2,当01>-t 时,由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ,解得3=t .此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y .如图3,当01<-t 时,由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ,解得=t 53.此时二次函数的解析式为-=y 532x +2518x +12548.图2 图3②如图4,如图5,当0<t 时,由||||OC OB <,将t -代t ,可得=t 53-,3-=t .此时二次函数的解析式为=y 532x +2518x -12548或241832++=x x y .图4 图5考点伸展第(2)题还可以这样分类讨论:因为AQ //BC ,所以t =b ,于是抛物线F 为2()y t x t t =--+.由3tan 2OA ABO OB ∠==,得23OB OA =. ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+,得3t =±(如图2,图5). ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+,得35t =±(如图3,图4).2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1,已知正方形OABC 的边长为2,顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点.P (0,m )是线段OC 上一动点(C 点除外),直线PM 交AB 的延长线于点D .(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);(2)当△APD 是等腰三角形时,求m 的值;(3)设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ,过点O 作直线ME 的垂线,垂足为H (如图2).当点P 从O 向C 运动时,点H 也随之运动.请直接写出点H 所经过的路长(不必写解答过程).图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”,拖动点P 在OC 上运动,可以体验到,△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上.双击按钮“第(3)题”, 拖动点P 由O 向C 运动,可以体验到,点H 在以OM 为直径的圆上运动.双击按钮“第(2)题”可以切换.思路点拨1.用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长,为解等腰三角形做好准备. 2.探求△APD 是等腰三角形,分三种情况列方程求解.3.猜想点H 的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?Rt △OHM 的斜边长OM 是定值,以OM 为直径的圆过点H 、C .满分解答(1)因为PC //DB ,所以1CP PM MC BD DM MB===.因此PM =DM ,CP =BD =2-m .所以AD =4-m .于是得到点D 的坐标为(2,4-m ).(2)在△APD 中,22(4)AD m =-,224AP m =+,222(2)44(2)PD PM m ==+-. ①当AP =AD 时,2(4)m -24m =+.解得32m =(如图3).②当PA =PD 时,24m +244(2)m =+-.解得43m =(如图4)或4m =(不合题意,舍去).③当DA =DP 时,2(4)m -244(2)m =+-.解得23m =(如图5)或2m =(不合题意,舍去).综上所述,当△APD 为等腰三角形时,m 的值为32,43或23.图3 图4 图5(3)点H 5. 考点伸展第(2)题解等腰三角形的问题,其中①、②用几何说理的方法,计算更简单: ①如图3,当AP =AD 时,AM 垂直平分PD ,那么△PCM ∽△MBA .所以12PC MB CM BA ==.因此12PC =,32m =. ②如图4,当PA =PD 时,P 在AD 的垂直平分线上.所以DA =2PO .因此42m m -=.解得43m =.第(2)题的思路是这样的:如图6,在Rt △OHM 中,斜边OM 为定值,因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ,也就是说点H 在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢?如图7,P 与O 重合时,是点H 运动的起点,∠COH =45°,∠CGH =90°.图6 图7例2如图1,已知一次函数y =-x +7与正比例函数43y x 的图象交于点A ,且与x 轴交于点B .(1)求点A 和点B 的坐标;(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l //y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图像中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.思路点拨1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.满分解答(1)解方程组7,4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3,4).令70y x=-+=,得7x=.所以点B的坐标是(7,0).(2)①如图2,当P 在OC 上运动时,0≤t <4.由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形,得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=(.整理,得28120t t -+=.解得t =2或t =6(舍去).如图3,当P 在CA 上运动时,△APR 的最大面积为6.因此,当t =2时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8.图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形,0≤t <4.如图1,在△AOB 中,∠B =45°,∠AOB >45°,OB =7,42AB =OB >AB .因此∠OAB >∠AOB >∠B .如图4,点P 由O 向C 运动的过程中,OP =BR =RQ ,所以PQ //x 轴.因此∠AQP =45°保持不变,∠PAQ 越来越大,所以只存在∠APQ =∠AQP 的情况. 此时点A 在PQ 的垂直平分线上,OR =2CA =6.所以BR =1,t =1. 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形,4≤t <7.在△APQ 中, 3cos 5A ∠=为定值,7AP t =-,5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-.如图5,当AP =AQ 时,解方程520733t t -=-,得418t =.如图6,当QP =QA 时,点Q 在PA 的垂直平分线上,AP =2(OR -OP ).解方程72[(7)(4)]t t t -=---,得5t =.如7,当PA =PQ 时,那么12cos AQA AP ∠=.因此2cos AQ AP A =⋅∠.解方程52032(7)335t t -=-⨯,得22643t =.综上所述,t=1或418或5或22643时,△APQ是等腰三角形.图5 图6 图7考点伸展当P在CA上,QP=QA时,也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解.2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1,在直角坐标平面内有点A(6, 0),B(0, 8),C(-4, 0),点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点,点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动,点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动,MN交OB于点P.(1)求证:MN∶NP为定值;(2)若△BNP与△MNA相似,求CM的长;(3)若△BNP是等腰三角形,求CM的长.图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”,拖动点M在CA上运动,可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变.双击按钮“△BNP∽△MNA”,可以体验到,此刻两个三角形都是直角三角形.分别双击按钮“BP=BN,N在AB上”、“NB=NP”和“BP=BN,N在AB的延长线上”,可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况.思路点拨1.第(1)题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计算提供了方便.2.第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角,通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似.3.第(3)题探求等腰三角形,要两级(两层)分类,先按照点N的位置分类,再按照顶角的顶点分类.注意当N在AB的延长线上时,钝角等腰三角形只有一种情况.4.探求等腰三角形BNP ,N 在AB 上时,∠B 是确定的,把夹∠B 的两边的长先表示出来,再分类计算.满分解答(1)如图2,图3,作NQ ⊥x 轴,垂足为Q .设点M 、N 的运动时间为t 秒. 在Rt △ANQ 中,AN =5t ,NQ =4t ,AQ =3t .在图2中,QO =6-3t ,MQ =10-5t ,所以MN ∶NP =MQ ∶QO =5∶3. 在图3中,QO =3t -6,MQ =5t -10,所以MN ∶NP =MQ ∶QO =5∶3. (2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角,因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形,要么是两个直角三角形.只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.如图4,△BNP ∽△MNA ,在Rt △AMN 中,35AN AM =,所以531025t t =-.解得3031t =.此时CM 6031=.图2 图3 图4(3)如图5,图6,图7中,OP MP QN MN =,即245OP t =.所以85OP t =. ①当N 在AB 上时,在△BNP 中,∠B 是确定的,885BP t =-,105BN t =-.(Ⅰ)如图5,当BP =BN 时,解方程881055t t -=-,得1017t =.此时CM 2017=.(Ⅱ)如图6,当NB =NP 时,45BE BN =.解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,得54t =.此时CM 52=. (Ⅲ)当PB =PN 时,1425BN BP =.解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,得t 的值为负数,因此不存在PB =PN 的情况.②如图7,当点N 在线段AB 的延长线上时,∠B 是钝角,只存在BP =BN 的可能,此时510BN t =-.解方程885105t t -=-,得3011t =.此时CM 6011=.图5 图6 图7考点伸展如图6,当NB =NP 时,△NMA 是等腰三角形,1425BN BP =,这样计算简便一些.例4如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若12ym,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”,拖动点E在BC上运动,观察y随x变化的函数图像,可以体验到,y是x的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图像,可以看到,当E是BC的中点时,y取得最大值.双击按钮“m=8”,拖动E到BC的中点,可以体验到,点F是AB的四等分点.拖动点A可以改变m的值,再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y=x上,从图形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.思路点拨1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.2.第(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF 为等腰三角形,那么得到x =y ;一段是计算,化简消去m ,得到关于x 的一元二次方程,解出x 的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m 的值.满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角,所以∠EDC =∠FEB .又因为∠C =∠B =90°,所以△DCE ∽△EBF .因此DC EBCE BF=,即8m x x y -=.整理,得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+. (2)如图2,当m =8时,2211(4)288y x x x =-+=--+.因此当x =4时,y 取得最大值为2.(3) 若12y m =,那么21218x x m m m=-+.整理,得28120x x -+=.解得x =2或x =6.要使△DEF 为等腰三角形,只存在ED =EF 的情况.因为△DCE ∽△EBF ,所以CE =BF ,即x =y .将x =y =2代入12y m =,得m =6(如图3);将x =y =6代入12y m=,得m =2(如图4).图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:由第(1)题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+, 那么不论m 为何值,当x =4时,y 都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB 边为多长,当E 是BC 的中点时,BF 都取得最大值.第(2)题m =8是第(1)题一般性结论的一个特殊性.再如,不论m 为小于8的任何值,△DEF 都可以成为等腰三角形,这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊性.2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =2,OC =3,过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E .(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式;(2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为56,那么EF =2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在成立,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”,拖动点G 在OC 上运动,可以体验到,△DCG 与△DEF 保持全等,双击按钮“M 的横坐标为1.2”,可以看到,EF =2,GO =1.拖动点P 在AB 上运动的过程中,可以体验到,存在三个时刻,△PCG 可以成为等腰三角形.思路点拨1.用待定系数法求抛物线的解析式,这个解析式在第(2)、(3)题的计算中要用到.2.过点M 作MN ⊥AB ,根据对应线段成比例可以求FA 的长. 3.将∠EDC 绕点D 旋转的过程中,△DCG 与△DEF 保持全等.4.第(3)题反客为主,分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形,根据点P 的位置确定点Q 的位置,再计算点Q 的坐标.满分解答(1)由于OD 平分∠AOC ,所以点D 的坐标为(2,2),因此BC =AD =1. 由于△BCD ≌△ADE ,所以BD =AE =1,因此点E 的坐标为(0,1).设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2,那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ,613=b 1=c .因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y .(2)把56=x 代入1613652++-=xx y,求得512=y .所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56. 如图2,过点M 作MN ⊥AB ,垂足为N ,那么DADNFA MN =,即25622512-=-FA .解得1=FA . 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中,△DCG ≌△DEF ,所以CG =EF =2.因此GO =1,EF =2GO .(3)在第(2)中,GC =2.设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x . ①如图3,当CP =CG =2时,点P 与点B (3,2)重合,△PCG 是等腰直角三角形.此时G Q Q x x y -=,因此11613652-=++-x x x 。