几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差
分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：
它分两种情况：
1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;
2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：
高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给
出了结论：（1），（2），而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括
E p ξ=1D p p ξ=-12
P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq p
k k ξ=++++=+++++--231232121 ()
号内的值。记
两式相减，得
由，知，则，故
从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：
记相减，
S q q kq k k =++++-12321
qS q q k q kq k k k
=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k
=----1112()
01<
+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E p
ξ=1
S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321
qS q q k q k =+++-+-2121
()()111
121-=+++++=--q S q q q q
k
则还可用导数公式，推导如下：
上式中令，则得
（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求。
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：，并用倍差法求和，有
S q p =-=11122
()()'x
nx n n =-112321+++++-x x kx k
=+++++=+++++x x x x x x x x k k '()'()'()'()'
2323
=-=----=-()'()()()()x x x x x x 111112
2x q =1231112122
+++++=-=-q q kq q p k ()D E E ξξ
ξ=-22()E ξ2E p qp q p k q p k ξ22222123=+++++-
=+++++-p q q k q k ()
12322221 k q kq k k 21-=()'12322221+++++-q q k q k
则，因此利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差。
解：每次从袋内取出白球的概率，取出黑
球的概率。的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用表示前k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此
。可见服从几何分布。
所以
=+++++()'
q q q kq k 2323 =-=-+--=--=+-=-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p p 1121111112224
2433
E p p p p p ξ23222=-=-()D E E p p p p p ξξξ=-=--=-22222211()()ξE ξD ξp =57q =27
ξξ=k P k q p k k k ()(()(,,,)ξ====--112757123 ξE p ξ==175
例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。
若，则表明他前次均没击中目标，而第k 次击中目标；若k ＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为用倍差法，可求得
D p p ξ=-=-
=115
77142522
()ξ==k k (,,,)129 k -1ξP k ()ξ==-=-=⎧⎨⎪⎩
⎪-()(,,,)()()112911019p p k p k k E p p p p p p p ξ=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-112191101089
()()()() =+-++-+⨯-[()()]()1219110189
p p p p 121918
+-++-()()p p
所以说明：本例的试验是有限次的，并且，
不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。=--------=----111191111191929
929
()[()]
()()()()p p p p p p
p p E p p p p p p p p ξ=----+-=--[()()]()()11911011192
9910P p ()()ξ==-1019ξ
