初三中考数学 函数思想与数形结合

二、例题解析
【例1】某商人将进货单价为8元的商品，按每件10元出售 时，每天可销售100件，现在他想采取提高售价的办法来 增加利润.已知这种商品每提价1元（每件）日销售量就减 少10件，请问他的想法能否实现，他把价格定为多少元时， 才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？若不能， 请说明理由.
(2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最 大?并求出这个最大利润． 注：销售利润＝销售收入一 购进成本．
答案
1.B； 2.解： （1）甲水库每天的放水量是（3000-1000）
/5=400（万立方米）；（2）在第10天时甲水库输出的 水开始注入乙水库.此时乙水库的蓄水量为300万立方米； （3）设直线AD的解析式为y=kx+b,将 x=10,y=300;x=15,y=2050代入，解得k=350 ,b= -3200 ,∴y=350x-3200； 3 .解：（1）根据题意，得R1=P(Q1-20)=(-2x+80) 〔（x+30）-20〕=-x2+20x+800(1≤x≤20,且x为整 数).R2=P(Q2-20)=(-2x+80)(45-20)=-50x+2000(21≤x≤30,且 x为整数). （2）在1≤x≤20，且x为整数时，∵R1=-(x-10)2+900,∴ 当x=10时，R1的最大值为900.在21≤x≤30,且x为整数时， ∵当x=21时，R2的最大值为950. ∵950＞900，∴当x=21 即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元.
【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定 试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价x（元）
符合一次函数 y kx b ，且 x 65 时，y 55 ； x 75 时，y 45 ．
（1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售 单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可
获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
【思路点拨】这是一道一次函数和二次函数相结合的题
目，第（2）问转化成二次函数问题之后，要充分利用 抛物线得出问题的答案，第（3）问也要借助图像利用 数形结合的思想解答.
【例4】已知如图2，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴
【分析】本题是一道实际应用题，解答时，需先将实际问 题转化为函数问题来解决.不妨设此人每天获得的利润为y， 售价定为x元，则y=(x-8)〔100-10(x-10)〕= -10(x-14)2+360， 由二次函数的性质知，当他把价格定为14元时，才能使每 天获得的利润最大，最大利润是360元.
【思路点拨】把此题转化为函数问题后，我们发现求最大 利润问题就变成了求二次函数的最值问题，解决起来就简 单了.
2.因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减 少．为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援 下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图 象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水 在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答 下列问题： （1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？
（2）在第几天时甲水库输出 的水开始注入乙水库？此时乙
水库的蓄水量为多少万立方米？
（3）求直线AD的解析式．
3.（成都）某人投资开办了一个装饰品商店．该店采购
进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价
格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P(件)与销售
时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x为整
【思路点拨】本题要先结合图形求出三条线段的长度，在根据 线段长度得出点的坐标时，一定要结合图形，根据点所在的坐 标轴或象限写出点的坐标.解答本题也是利用了数形结合思想， 正是把形的直观和数的精确有机的结合起来.
当堂达标
1.若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则 m的值是（ ）A．－ B．－ C．－ D．－2
上，点C在x轴正半轴上，AC=5,AB= A,B,C三点的抛物线的解析式.
17，cos∠ACB=
3,求过 5
【分析】要求抛物线解析式，需先求A、B、C三点的坐标，由 图知，求坐标要先解直角三角形，求出OA、OC、OB的长度， 在直角三角形AOC中，由AC=5，cos∠ACB= 求得3
5
OA=4,OC=3. 在直角三角形AOB中求得OB=1,结合图形和已知 即可写出A、B、C三点的坐标.
数)；又知前20天的销售价格 (元/件)与销售时间x(天)
之间有如下关系：
(1≤x≤20，且x为
整数)，后10天的销售价格 (元/件)与销售时间x(天)之 间有如下关系： =45(21≤x≤30，且x为整数)．
(1)试写出该商店前20天wenku.baidu.com日销售利润 (元)和后l0天的 日销售利润 (元)分别与销售时间x(天)之间的函数关系 式；
【例2】某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况， 对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图1，图中 的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察 图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求： （1）请提供四条信息；
（2）不必求函数的解析．
【分析】这是一个图像题， 观察图像，可以得出一系 列的信息如：（1）2月份 每千克销售价是3．5元； 7月份每千克销售价是0．5元； （3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月
第70讲 中考复习专 题(四)
函数思想与数形结合
【教学目标】
通过学习、训练，使学生理解和掌握函数思想和 数形结合思想并能运用函数思想和数形结合思想 解决问题.
【教学重、难点】
使学生能灵活运用函数思想和数形结合思想解决 问题.
一、题型归析
函数思想是一种对应思想，它是用运动变化的观 点来观察问题、分析问题，并借助于函数关系思 考解决问题的一种数学思想.数形结合思想就是把 数量与图形结合起来进行分析、研究、解决问题 的思维策略.在学习中，充分利用问题中所提供的 数与形，不失时机地把数的精确性与形的直观性 结合起来，（即以形作为手段，数为目的，比如 应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者 是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某 些属性.）可收到意想不到的效果.
上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售 价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同． 【思路点拨】本题很好的体现了数形结合思想，解答此题我们充 分利用问题中所提供的数与形，由直观的形得出了精确的数，从 而很好的解决了问题.