上海市高中数学竞赛试题及答案

上海市高中数学竞赛试题及答案

一、填空题（本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .

2.已知正整数1210,,

,a a a 满足: 3

,1102

>≤<≤j

i a i j a ,则10a 的

最小可能值是 .

3.若17tan tan tan 6αβγ++=

,4

cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17

cot cot cot cot 5

βγγα++=-,则()tan αβγ++= .

4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解,则实数k 的取值范围是 . 5．如图,∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形,已知

90∠=︒AEF ,,,==>AE a EF b a b ,则=x .

6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22

+++===-=++n n n n n

a a a a a n n n .若2011

22012

>+

m a ,则正整数m 的最小值为 .

二、解答题

E1

C D 1

A

9．（本题满分14分）如图,在平行四边形ABCD中,AB x

=,1

BC=,对角线AC与BD的夹角45

BOC

∠=︒,记直线AB与CD的距离为()

h x．

求()

h x的表达式,并写出x的取值范围．

10．（本题满分14分）给定实数1

a>,求函数

(sin)(4sin)

()

1sin

a x x

f x

x

++

=

+

的最小值．

11．（本题满分16分）正实数,,

x y z满足94

xyz xy yz zx

+++=,求证：

（1）

4

3 xy yz zx

++≥；

（2）2

x y z

++≥．

O

D C

B

A

12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥,记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件

的子集A 的元素个数的最小值：

（a ） 1,21n A A ∈-∈；

（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．

参考答案：

1、

4

2、92

3、11

4、(){},04-∞

52

6、()()3,0,2,2

7、

2

5

8、4025 9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

2222211

()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①

…………………（2分）

在△OBC 中,由余弦定理

2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠,

所以 221OB OC OC +⋅=, ②

由①,②得 2

OB OC ⋅=． ③

…………………（5分）

所以 1

44sin 2

ABCD OBC S S OB OC BOC ∆==⋅⋅∠

OC =⋅21

2

x -=,

故 ()AB h x ⋅21

2

x -=,

所以 21

()2x h x x

-=． …………………（10分）

由③可得,210x ->,故1x >．

因为222OB OC OB OC +≥⋅,结合②,③可得

221(1)2

2x +≥

解得（结合1x >）

11x <≤．

综上所述,21

()2x h x x

-=

,11x <≤． …………………（14分）

10．解 (sin )(4sin )3(1)

()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x

++-==++++++．

当7

13

a <≤

时

,02<≤,此时

3(1)

()1sin 221sin a f x x a a x

-=++++≥++,

且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立,

故min ()2f x a =+． …………………（6分） 当73a >

时

2>,此时“耐克”函数3(1)a y t t

-=+

在(

0,内是递减,故此时 min 3(1)5(1)

()(1)2222

a a f x f a -+==+++=

． 综上所述

,min 72,1;3()5(1)7,.

2

3a a f x a a ⎧

+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）

11．证 （1

）记t =

由平均不等式

3

32

2

3xy yz zx xyz ++⎛⎫=

≤ ⎪⎝⎭

．

…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+, 所以 ()()2323320t t t -++≥, 而23320t t ++>,所以320t -≥,即2

3

t ≥

,从而 4

3

xy yz zx ++≥

． …………………（10分） （2）又因为

2()3()x y z xy yz zx ++≥++,

所以 2()4x y z ++≥,