第四节 多元复合函数的求导法则
多元复合函数的链式求导法则为：
口诀：分段用乘，分叉用加。
多元函数与多元函数复合的情景（将下面的链式法则补充完整）
x
v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。y v v z y u u z y z ∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
x
z z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂
口诀：分段用乘，分叉用加。y
z z f y f y u ∂∂⋅
∂∂+∂∂=∂∂
x v v f x u u f x w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。y v v f y u u f y w ∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
z
v
v f z u u f z w ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂x
v v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。y v v f y u u f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
根据下列图示，写出复合函数的所有链式求导法则： （做题时，一次可能只会用到一个---用到那个就写那个，不必
全部写出了。）
x
v v f x u u f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。y v v f y u u f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
x
v v f x u u f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''111 口诀：分段用乘，分叉用加。y v
v f y u u f y f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''111
x v
v f x u u f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''222 y
v
v f y u u f y f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂'''222
x
v v f x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂
口诀：分段用乘，分叉用加。y v v f y f ∂∂⋅
∂∂=∂∂（简单！
） （因为图中：红色线段有3条；蓝色线段只有2条。虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从最后一题的解题过程中就能看出来。）
x
v
v f x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂'''111 口诀：分段用乘，分叉用加。y
v
v f y f ∂∂⋅∂∂=∂∂''11
x
v
v f x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂'''222 口诀：分段用乘，分叉用加。y
v
v f y f ∂∂⋅∂∂=∂∂''22
三、1. (11-7) 已知函数
(,)z f x y xy =+，其中f 具有二阶连续的偏导数，
求
2z x y ∂∂∂。
解：本题考查的知识点是：
多元复合函数的高阶偏导数
设y x u
+=，xy v =，（这两个属于具体函数）
则()⑴ v u f z
,=（这个属于抽象函数）
对 ⑴ 式，把
y 看作常数，由链式法则得（下一步：遇到抽象函数，写
出它的“记号”即可；遇到具体函数，求出它的偏导数。最后一步：在抽象函数
的记号后面标出它的“自变量”---因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自变量”有几个，各是“啥”？，这样，后面做题时，就会“一目了然”。）
⑵ y f f x
v
v f x u u f x z ⋅+⋅=∂∂•∂∂+∂∂•∂∂=∂∂'1'21
对 ⑵ 式，把
x 看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂•∂∂+∂∂•∂∂++∂∂•∂∂+∂∂•∂∂=∂∂∂)()(222112y v v f y u u f y f y v v f y u u f y x z )1(1222121211x f f y f x f f ⋅+⋅++⋅+⋅=
222121211xyf yf f xf f ++++=
（
）
2221211)(xyf f f y x f ++++=
注： =1f ()v u f ,1()v u f u ,=u
z
∂∂=
（这些记号都是为抽象函数准备的！） =2f ()v u f ,2()v u f v ,=v
z
∂∂=
（具体函数不需要这些记号！） =
11f u
f ∂∂1
；
=
21f v
f ∂∂1
=
12f u
f ∂∂2
；
=
22f v
f ∂∂2
x
v v f x f x f ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 口诀：分段用乘，分叉用加。y v v f y f ∂∂⋅
∂∂=∂∂（简单）
三、1. (07-7) 设
⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y x xf z ,，其中f 具有连续二阶偏导数， 求
x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2。
解：本题考查的知识点是：
多元复合函数的高阶偏导数
设
x y v =，（这个属于具体函数）
则
()⑴ v x xf z ,=（这里面既有具体函数又有抽象函数---
其中，x 为具体函数；()v x f ,为抽象函数。）
