精!任意角三角函数教案

任意角的三角函数的定义精品教案教学目标：1.了解任意角的概念；2.学习任意角的弧度制与角度制的转化；3.掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义及其性质；4.培养学生应用任意角三角函数解决实际问题的能力。

教学重难点：1.任意角的定义及其性质；2.任意角的三角函数的定义及其性质。

教学准备：1.教学课件；2.教学用具：黑板、粉笔。

教学过程：一、引入（5分钟）1.向学生提问：在前几节课我们学过了哪几个角的三角函数？这些角的定义是什么？2.引导学生思考：那么，如果角不是在圆周上，而是位于圆周外部或内部呢？我们可以给这种角取个名字，叫它任意角。

你们认为任意角的三角函数应该如何定义呢？二、任意角的弧度制和角度制的转化（15分钟）1.理解任意角的概念：-任意角是指不仅仅限于0度到360度之间的角，可以是任何角度的角。

2.引导学生从弧度制和角度制两个方面进行转化：-弧度制转角度制：角度=弧长/半径-角度制转弧度制：弧长=角度×半径3.完成一些练习题，帮助学生掌握弧度制和角度制的转化。

三、任意角的三角函数的定义（30分钟）1.正弦函数的定义：- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则正弦函数sinθ = y / r。

2.余弦函数的定义：- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则余弦函数cosθ = x / r。

3.正切函数的定义：- 对于圆的任意一点P，若P(x, y)在圆上，与x轴正方向形成的角为θ，则正切函数tanθ = y / x。

4.通过课件，展示对应角的三角函数的定义及其图像。

并辅以具体角度的示例，让学生理解三角函数的定义。

四、任意角三角函数的性质（20分钟）1.与角度制一样，任意角三角函数也具有周期性。

2.三角函数在单位圆上的性质也适用于任意角。

3.通过具体的例题，教师引导学生探究任意角三角函数的性质。

五、应用实例分析（20分钟）1.展示一些实际问题，引导学生运用任意角三角函数解决问题。

任意角的三角函数教学目标：知识与技能：理解并掌握任意角三角函数的定义根据任意角三角函数的定义认识其定义域，能够判断三角函数值的符号 过程与方法：学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义，体验三角函数概念的形成、发展过程，领悟直角坐标系的工具作用，渗透函数思想和数形结合的思想方法情感态度与价值观：通过学生积极参与知识的“再创造”过程，从中感悟数学概念的严谨性与科学性，渗透事物间的联系，相互转化的辩证唯物主义思想教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义教学难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数教学过程：一 、情景引入前面大家学习了任意角，考一个问题：“任意角在你的头脑中留下印象最深的特征是什么？”通过学生的回答分析，任意角是转动形成的，而在转动过程中终边上一点就会绕原点做圆周运动。

圆周运动大家并不陌生，在生活中有很多圆周运动的现象（请同学举例：生活中你发现那些现象是圆周运动），圆周运动是生活中一个非常重要的运动。

而函数是数学中刻画客观事物变化规律的一个数学模型，自然想到一个问题：圆周运动用什么样的函数来刻画呢？ 板书：任意角→圆周运动→函数？二、师生辨析问题1、函数的研究对象是什么？结论：最基本最直接的是：数量及其数量间的关系板书：数量（板书中间）问题2到底有哪些变量，他们的关系是什么？结论：，p x ，p y （提示还有一个不变量r op =）板书：数量：α，p x ，p y ，r op =（板书中间） 作图成圆问题3、我们不妨从锐角开始。

当α是锐角时，点p 的横坐标、纵坐标、圆半径r,这些量之间你能发现哪些关系呢？结论：sin p y r α=c o s p x r α= t a n p p y x α=以上三个关系就是初中所学的锐角三角函数，它们反映的是直角三角形中边和角的关系，从高中函数定义角度能不能解释一下它们是函数吗？比如sin py r α=板书：任取α定值→py r 唯一确定（板书中间）问题4、这个比值与点p 有关吗？（即在终边上的位置）结论：借助于图像分析，这个比值与点p 在终边上的位置无关这时引导学生想，一般这个点在那比较好呢？板书：→1r = s i ny α= cos x α= （板书中间）tan y xα= 问题5、这时x ，y 的几何含义是什么？结论：把x ，y 看做一个点坐标(,)p x y 是单位圆与α终边的交点板书：(,)p x y 是单位圆与α终边的交点sin y α=cos x α= （正板书）tan y xα= 问题6、α是锐角时，我们找到了这些量间的关系。

任意角三角函数教案教案标题：任意角三角函数教案教案目标：1. 理解任意角的概念和测量方法。

2. 掌握正弦、余弦和正切函数在任意角上的定义和性质。

3. 能够应用任意角三角函数解决实际问题。

教学准备：1. 教学投影仪和计算机。

2. 白板、彩色笔和橡皮。

3. 教学PPT或其他教学辅助材料。

4. 学生教材和练习册。

教学过程：引入活动：1. 使用一个实际问题引起学生对任意角的兴趣，例如：一个船在河流中行驶，如何确定船的航向角度？知识讲解：2. 介绍任意角的概念和测量方法，包括角度的单位和测量工具。

3. 详细讲解正弦、余弦和正切函数在任意角上的定义和性质，包括函数图像、周期性、定义域和值域等。

示范演示：4. 在白板上绘制一个单位圆，并标注角度。

通过旋转单位圆，展示不同角度下正弦、余弦和正切函数的变化。

5. 通过具体的角度值示例，计算和绘制对应的正弦、余弦和正切函数值。

练习活动：6. 分发练习册或工作纸，让学生完成一些基础练习题，巩固对任意角三角函数的理解和运用能力。

7. 引导学生思考并解决一些实际问题，例如：一个建筑物的斜坡角度是多少？拓展应用：8. 提供更复杂的练习题，让学生应用任意角三角函数解决更具挑战性的问题，例如：计算两个船只之间的夹角。

总结回顾：9. 总结任意角三角函数的定义、性质和应用，并强调学生在实际问题中的运用能力。

评估反馈：10. 针对学生的学习情况，布置相应的作业，并在下节课进行检查和评估。

教学延伸：11. 鼓励学生自主学习和探究，推荐相关的在线学习资源和参考书籍。

教学辅助：12. 使用教学PPT或其他教学辅助材料，图示和示意图能够帮助学生更好地理解和记忆。

教学方式：13. 以讲解、演示、练习和讨论相结合的方式进行教学，注重学生的参与和互动。

教学时间：14. 根据教学内容和学生的学习进度，合理安排教学时间，保证学生的学习效果。

教学评估：15. 在教学过程中，及时观察学生的学习情况，通过课堂练习和问题解答等方式进行评估，及时调整教学策略。

任意角的三角函数教案一、教学目标1、知识与技能目标理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

掌握各象限角的三角函数值的符号。

会根据角终边上的点坐标求该角的三角函数值。

2、过程与方法目标通过单位圆，经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想方法。

培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。

3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。

各象限角的三角函数值的符号。

2、教学难点任意角三角函数的定义的理解。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。

提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、讲授新课单位圆的定义：以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。

任意角三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x（x≠0）强调三角函数值与点 P 的坐标之间的关系。

3、例题讲解例1：已知角α的终边经过点P(3, －4)，求sinα、cosα、tanα的值。

解：因为点 P 的坐标为(3, －4)，所以 x ＝ 3，y ＝－4，r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5sinα ＝ y/r ＝－4/5cosα ＝ x/r ＝ 3/5tanα ＝ y/x ＝－4/3例 2：确定下列各角的三角函数值的符号：210°315°－480°解：210°角的终边在第三象限，所以 sin210°＜ 0，cos210°＜ 0，tan210°＞ 0。

315°角的终边在第四象限，所以 sin315°＜ 0，cos315°＞ 0，tan315°＜ 0。

任意角的三角函数教案主题：任意角的三角函数目标：1.了解任意角的定义；2.掌握任意角的弧度制和角度制的互相转换；3.学习任意角的正弦、余弦和正切函数的定义和性质。

正文：一、任意角的定义任意角是指大于零度小于360度的角。

在平面直角坐标系中，我们可以根据终边在坐标面上的位置，求出任意角的正弦、余弦和正切函数值。

二、弧度制和角度制的互相转换弧度制是一种以弧长作为衡量角度大小的制度，它规定一个圆周的长度是这个圆的半径 r 的π倍，因此一个完整的圆周就是2πr。

1圆周角对应弧度是2π，1度对应弧度是π/180。

弧度制和角度制互相转换的公式如下：•弧度制转角度制：角度 = 弧度x (180/π)•角度制转弧度制：弧度 = 角度x (π/180)三、正弦、余弦和正切函数的定义和性质对于一个任意角θ，其正弦、余弦和正切函数分别定义如下：•正弦函数sinθ = 纵坐标/半径•余弦函数cosθ = 横坐标/半径•正切函数tanθ = 纵坐标/横坐标以下是正弦、余弦和正切函数的性质：•正弦函数是奇函数，即 sin(-θ) = -sinθ；•余弦函数是偶函数，即 cos(-θ) = cosθ；•正弦函数和余弦函数的最大值和最小值均为1和-1；•正切函数的值域为实数集 R。

四、练习题1.次半径为 3cm 的圆弧所对圆心角为60°，它的弧长是多少？2.弧长为π/2 的圆弧，对应的圆心角是多少度？3.求证：tanθ = sinθ/cosθ。

结语任意角是三角函数的基础，掌握任意角的相关概念和性质，对于数学学科的进一步学习和应用都具有重要的意义。

五、课堂实践以下是可以引导学生进行课堂探究的问题：1.如何用平面直角坐标系表示任意角？2.如何求一个任意角的正弦、余弦和正切函数值？3.什么情况下某个任意角的正弦函数等于1/2？4.如果一条直线的斜率为k，那么这条直线和横轴正的夹角是多少度？六、作业布置1.任意角的弧度制和角度制互相转换；2.计算下列问题：•sin(π/6)，cos(π/3)，tan π/2•sin210°，cos240°，tan(-135°)3.根据课堂所学，自己准备5道习题，进行练习。

任意角的三角函数教案关键信息1、课程名称：任意角的三角函数2、教学目标：学生能够理解任意角三角函数的定义。

掌握三角函数在各象限的符号。

能够运用三角函数解决简单的数学问题。

3、教学方法：讲授法练习法讨论法4、教学资源：教材多媒体课件练习册5、教学时长：具体时长6、教学评估：课堂提问作业完成情况考试成绩1、教学内容11 任意角的概念111 回顾锐角、直角、钝角等常见角的概念。

112 引入任意角的定义，包括正角、负角和零角。

113 通过实例说明任意角在实际生活和数学中的应用。

12 弧度制121 讲解弧度制的定义和与角度制的换算关系。

122 进行弧度制与角度制的转换练习。

13 任意角的三角函数定义131 以单位圆为基础，介绍正弦、余弦、正切函数的定义。

132 通过图形和实例，帮助学生理解三角函数的定义。

14 三角函数在各象限的符号141 分析三角函数在不同象限的正负情况。

142 给出记忆口诀，帮助学生快速判断符号。

15 三角函数的基本关系式151 推导同角三角函数的基本关系式。

152 通过例题和练习巩固关系式的应用。

2、教学方法21 讲授法211 教师系统地讲解任意角的三角函数的概念、定义和相关知识。

212 运用多媒体课件辅助讲解，使抽象的知识更加直观。

22 练习法221 安排学生进行课堂练习，及时巩固所学知识。

222 针对学生练习中出现的问题进行讲解和纠正。

23 讨论法231 组织学生讨论三角函数在实际问题中的应用，激发学生的思维。

232 鼓励学生分享自己的思考和见解，促进学生之间的交流与合作。

3、教学资源31 教材311 选择适合学生水平的教材，作为教学的主要参考资料。

312 引导学生合理利用教材中的例题和习题进行学习。

32 多媒体课件321 制作生动形象的多媒体课件，展示图形、动画等，帮助学生理解抽象概念。

322 课件内容包括教学重点、难点的讲解和例题的演示。

33 练习册331 选择配套的练习册，提供丰富的练习题，帮助学生巩固知识和提高解题能力。

任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。

2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。

3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。

二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。

2、任意角的三角函数的定义及其性质。

三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。

四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。

2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。

3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。

（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。

那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。

3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。

4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。

5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。

（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。

请看下面的例子。

2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。

3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。

《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。

过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。

情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。

教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。

教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。

任意角的三角函数的定义教案.doc（教学目标）：通过本课的学习，能够深入理解任意角的三角函数的定义，能够准确地掌握三角函数的基本性质和应用，提高数学思维能力，探索数学规律。

（教学重点）：深入理解任意角的三角函数的定义，能够灵活运用三角函数的基本性质和应用。

（教学难点）：任意角的三角函数的应用。

（教学方法）：课前探究、教师讲解、学生自主学习、合作学习、综合应用。

（教学过程）一、课前探究（10分钟）1、学生自主思考，运用已经学习的知识，谈一谈对任意角的概念的理解。

2、教师带领学生讨论，任意角和普通角有何不同。

二、任意角的三角函数的定义（20分钟）1、幻灯片呈现，教师带领学生看图说一说，对反正切函数进行解释。

2、学生自主学习，掌握任意角的三角函数的定义。

3、通过教师演示和学生自主尝试，能够掌握任意角三角函数的性质和应用。

三、任意角三角函数的性质和应用（40分钟）1、教师讲解任意角三角函数的性质，强调其和角度符号的关系。

2、学生自主演练，掌握任意角三角函数的计算方法和应用技巧。

3、课堂练习，提高学生的综合应用能力。

四、达成共识（10分钟）1、教师总结本堂课所学的内容，强调认真对待数学学习，勤于思考、探究，并且在课余时间进行巩固复习。

2、学生回答问题，提出自己的观点和建议。

（教学反思）：本节课旨在深入理解任意角的三角函数的定义，提高学生的数学思维能力和综合应用能力。

教师通过讲解和学生自主学习相结合，提高课堂效果，也鼓励学生自己去探究问题，积极思考，提高自己的学习效果。

在日后的数学学习中，希望学生们能够继续努力，不断提高自己的数学水平。

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。

2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。

2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。

4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。

5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。

8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。

答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。

答案：见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。

2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。

重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

任意角的三角函数●三维目标1．知识与技能(1)掌握任意角的三角函数的定义．(2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值．(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一．2．过程与方法(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力．(2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数．(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式．(2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神．●重点、难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)，以及这三种函数的第一组诱导公式．公式一是本小节的另一个重点．难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义．●教学建议学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．先以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，从而很容易建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的关系；在此基础上定义任意角的三角函数，并直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式一等问题．●教学流程知识点1任意角的三角函数【问题导思】使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？【提示】sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.2．对于确定的锐角α，sin α、cos α、tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？【提示】不会．3．在问题1中，取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？【提示】sin α＝y，cos α＝x，tan x＝yx.1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．定义：图1－2－1在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；(3)yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．3．正弦函数sin α的定义域是R；余弦函数cos α的定义域是R；正切函数tan α的定义课标解读1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用．(重点)2．初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点难点)域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号【问题导思】三角函数在各象限的符号由什么来确定？【提示】 由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．1－2－2口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点3诱导公式【问题导思】当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的三角函数值有什么关系？为什么？ 【提示】 相等，因为它们的终边重合．诱导公式一sin (α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Ztan (α＋k ·2π)＝tan α，k ∈Zcos (α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z知识点4有向线段与三角函数线在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，过A (1,0)作AT ⊥x 轴，交终边或其反向延长线于点T ，如图所示：结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α 与MP ，OM ，AT 的关系吗？ 【提示】 可以，sin α＝|MP |，cos α＝|OM |，tan α＝|AT |. 1．有向线段：带有方向的线段． 2．三角函数线：1－2－3类型1用三角函数的定义求三角函数值例1 已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． 【思路探究】 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．【自主解答】 点P 到原点的距离r ＝(－3)2＋m 2＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝0或m ＝±5. (1)当m ＝0时，cos θ＝－33＝－1，tan θ＝0.(2)当m ＝5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝5－3＝－153.(3)当m ＝－5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝－5－3＝153.规律方法1．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．2．解决此类问题有两种方法：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝aa 2＋b2. 变式训练a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； sin α，cos α，tan α的值． 是第四象限角，则 (2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a ＞0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以 sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3. 若a ＜0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.例2 (1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin(－11π6)＋cos 125π·tan 4π.【思路探究】 利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值．【自主解答】 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°) ＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° 利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值． (1)cos 253π＋tan(－154π)；(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 【解】 (1)cos 253π＋tan(－154π)＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°) ＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60° ＝1＋1＋12＝52.类型3三角函数线及其应用例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【思路探究】 根据三角函数线．在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围．【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 规律方法1．三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题． 2．三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．变式训练求函数y ＝2cos x －1的定义域．【解】 由题意得：2cos x －1≥0，则有cos x ≥12.如图在x 轴上取点M 1使OM 1＝12，过M 1作x 轴的垂线交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2.则OP 1与OP 2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x 的终边的范围．∴满足cos x ≥12的角的集合即y ＝2cos x －1的定义域为：{x |2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．易错易误辨析 忽视三角函数的定义域致误典例 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围．【错解】 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，tan x ≥0，①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，② 对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 因此x 的取值范围为－π≤＋π或＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2(k ∈Z ).根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是{x |2k π－π2＜x ＜2k π或2k π＜x ＜2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z }．课堂小结1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同的角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，可结合三角函数的定义进行记忆．3．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．三角函数线的引入，为我们解决三角函数问题提供了几何方法，体现了数形结合的思想．其主要作用是解三角不等式、比较三角函数值的大小和求函数定义域．当堂双基达标1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32【解析】 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.【答案】 C2．(2013·包头高一检测)已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角【解析】 由cos θtan θ＜0知，cos θ与tan θ异号，所以θ在第三或第四象限． 【答案】 C3．用三角函数线比较sin 1和cos 1的大小，结果是 _______________．【解析】 如图，借助三角函数线可知【答案】 sin 1>cos 14．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．【解】 ∵角α的终边过点P (5，a )且tan α＝－125，∴a 5＝－125，∴a ＝－12. 因此r ＝|OP |＝52＋a 2＝13，sin α＝－1213，cos α＝513，故sin α＋cos α＝－1213＋513＝－713.课后知能检测一、选择题α＝( ) α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，的值为( )【解析】 cos 2α＝cos(π3＋4k π)＝cos π3＝12.【答案】 B3．(2013·铜川高一检测)已知角α的终边过点P (－3,4)，则sin α＋cos α＝( ) A.35 B ．－45 C.15 D ．－15【解析】 ∵r ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋42＝5， ∴sin α＋cos α＝y ＋x r ＝15.【答案】 C4．(2013·周口高一检测)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＜02cos θ＜0，∴sin θ＞0且cos θ＜0，故θ在第二象限． 【答案】 B5．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为( )A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3【解析】 由三角函数的定义有：tan 420°＝a －4.【答案】 28．角α的终边上有一点M (a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin α的值为________．【解析】 当a ＞0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，sin α＝y r ＝a 2a ＝22. 当a ＜0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，sin α＝y x ＝a －2a ＝－22. ∴sin α＝22或－22. 【答案】22或－22 三、解答题9．判断下列各式的符号．(1)sin 105°·cos 230°；(2)sin 240°·sin 300°；(3)cos 16π3·sin π； (4)cos 4·cos 5.【解】 (1)∵105°是第二象限角，∴sin 105°＞0，又∵230°是第三象限角，∴cos 230°＜0，∴sin 105°·cos 230°＜0.(2)∵240°是第三象限角，∴sin 240°＜0；)sin 750°；(2)cos(－233π)＋tan 17π4. 【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π) ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. 11．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α＜0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，求m －n 的值．【解】由题意，P(m，n)是解α终边上一点，sin α＝yr＝nm2＋n2＜0，∴n＜0.又角α的终边与y＝3x重合，故n＝3m＜0，∴m＜0，由OP＝10，则m2＋n2＝10，10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1，由n＝3m，∴n＝－3，∴m－n＝－1－(－3)＝2.【教师备课资源】1．三角函数线的应用(2013·聊城高一检测)如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是()A．cos α＜sin α＜tan αB．tan α＜sin α＜cos αC．sin α＜cos α＜tan αD．cos α＜tan α＜sin α【解析】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM＜MP＜AT，即cos α＜sin α＜tan α.【答案】 A1．单位圆中的三角函数线可以用来解决同名三角函数值比较大小．解三角不等式．研究三角函数值域或最值等问题．2．准确做出单位圆中的三角函数线是解决这类问题的关键．。

任意角的三角函数教案引言：三角函数是数学在几何学和物理学等领域中应用广泛的一门重要分支，它研究的是角和三角形之间的关系。

在数学中，我们通常将角度分为特殊角和一般角，其中特殊角指的是0°、30°、45°、60°和90°等常见的角度值，而一般角则包括其他任意角度的值。

本教案将着重介绍任意角的三角函数，并以教学示例和练习题的形式帮助学生更好地理解和应用这些概念。

一、任意角的定义在介绍任意角的三角函数之前，首先需要了解什么是任意角。

在平面直角坐标系中，任意角是与x轴正向逆时针旋转到某个位置的角。

我们可以使用角度或弧度来度量角的大小。

其中，角度是最常见和熟悉的单位，而弧度是一种更为精确的度量方式。

二、三角函数的定义1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，它的图像在0到2π的间隔内周期性重复。

对于任意角θ，我们定义它的正弦值为三角形的对边与斜边的比值，即sin(θ) = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，它的图像同样在0到2π的间隔内周期性重复。

对于任意角θ，我们定义它的余弦值为三角形的邻边与斜边的比值，即cos(θ) = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）正切函数是一个无界函数，它的图像没有周期性重复。

对于任意角θ，我们定义它的正切值为正弦值与余弦值的比值，即tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)。

4. 余切函数（cot）余切函数也是一个无界函数，它的图像同样没有周期性重复。

对于任意角θ，我们定义它的余切值为余弦值与正弦值的比值，即cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)。

5. 正割函数（sec）正割函数是正弦函数的倒数，即sec(θ) = 1/cos(θ)。

6. 余割函数（csc）余割函数是余弦函数的倒数，即csc(θ) = 1/sin(θ)。

三、任意角的三角函数的计算为了计算任意角的三角函数值，我们可以利用已知特殊角的三角函数值以及三角函数的周期性等性质进行求解。

任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。

2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。

3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。

4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。

二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。

难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。

三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。

四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。

一．教材分析三角函数是函数的一个大体组成部份，也是一个重要组成部份，在整个高中以至于大学都会经经常利用到三角函数的知识。

初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方式，这些是学习任意角三角函数的基础。

本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的概念；正弦、余弦、正切函数的概念域和这三种函数的值在各个象限的符号二．教学目标一、理解任意角的三角函数的概念；二、会求任意角的三角函数值；3、体会类比，数形结合的思想。

三.重点，难点教学重点：理解任意角的三角函数的概念。

教学难点：从函数的角度理解三角函数。

四，教学进程（一） 新课引入咱们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？设锐角α的极点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。

在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数；sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=ab ,引入单位圆的概念。

（二） 概念介绍设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么，（1）y 叫做的正弦，记作sin ,即sin ＝y ； （2）x 叫做的余弦，记作cos ，即cos ＝x ； （3） x y 叫做的正切，记作tan ，即tan =x y 。

正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，咱们将它们统称为三角函数。

（三） 例题讲解例一 求35π的正弦，余弦和正切值。

解：在直角坐标系中，作53AOB π∠=,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为13（，-）22。

所以，53sin 32π=-，51cos 32π=，5tan 33π=- 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。

任意角的三角函数——数学教案设计数学教案设计一、教学内容本节课主要介绍任意角的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的定义、性质和图像。

二、教学目标（一）知识目标1.了解任意角的三角函数的定义和概念。

2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的计算方法。

3.认识任意角的三角函数的性质。

4.掌握任意角三角函数的图像特征。

（二）能力目标1.能够理解和运用三角函数的概念及其相关性质。

2.能够应用三角函数的公式计算相关问题。

3.能够掌握利用三角函数解决实际问题的方法。

（三）情感目标1.激发学生对数学的兴趣和求知欲。

2.培养学生学习数学的耐心和毅力。

3.加深学生对数学的喜爱和信心。

三、教学重难点（一）教学重点1.任意角的三角函数的定义和概念。

2.三角函数的计算方法。

3.任意角三角函数的性质。

（二）教学难点1.任意角的三角函数的图像。

2.任意角三角函数的实际应用。

四、教学过程（一）导入教师向学生介绍三角函数的概念及其在数学中的重要性，引出本节课的主题——任意角的三角函数。

（二）讲授1.任意角的三角函数的定义：① 正弦函数正弦函数是一个角度的正弦值与其对边和斜边的比值。

在三角形中，正弦函数表示特定角度的对边与斜边的比值。

其中，对边是与角度的角相对的边，斜边是三角形的斜边。

sinθ = 对边/斜边② 余弦函数余弦函数是一个角度的余弦值与其邻边和斜边的比值。

在三角形中，余弦函数表示特定角度的邻边与斜边的比值。

其中，邻边是与角度的角相邻的边。

cosθ = 邻边/斜边③ 正切函数正切函数是一个角度的正切值与其对边和邻边的比值。

在三角形中，正切函数表示特定角度的对边与邻边的比值。

ta nθ = 对边/邻边④ 余切函数余切函数是一个角度的余切值与其邻边和对边的比值。

在三角形中，余切函数表示特定角度的邻边与对边的比值。

cotθ = 邻边/对边⑤ 正割函数正割函数是一个角度的正切值的倒数，等于邻边与对边的比值的倒数。

任意角的三角函数教案（第一课时）
冯学珍
教学目标及重难点:
一、知识目标：
（1）.掌握任意角的三角函数的定义；
（2）.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
二、能力目标：
（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
三、德育目标：
（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神
四、重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；
教学情境设计
例1、 求
3的正弦、余弦和正切值。

练习：求7
6π
的正弦、余弦和正切值。

例2、已知角α的终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值。

小结:（1）直角三角中的锐角三角函数→象限角中的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数→任意角终边上任一点坐标定义三角函数；
(2)任意角的三角函数定义
三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)。

1.三角函数的定义基础知识．理解随意角的余弦、正弦和正切的定义，认识随意角的余切、正割和余割的定义． (要点)．掌握三角函数值在各象限的符号．经过随意角的三角函数的定义，认识到锐角三角函数是随意角三角函数的一种特例． ( 要点、易混点)基本能力．会依据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域．．能够判断三角函数在各象限内的符号．(要点)．三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中，设α 的终边上随意一点的坐标是( ，) ，它与原点的距离是(＝＞ ).三角函数定义定义域名称α正弦α余弦α正切α正割α{ α α≠ π，∈ }余割α{ α α≠ π，∈ }余切概括总结由定义可知，这六个比值的大小与在终边上所取的点的地点没关，只与角α的大小有关，即它们都是以角α 为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α 是随意角，但关于一个确立的角，只需各个三角函数存心义，其值就是独一的．【自主测试－】若角θ的终边过点 () ，且θ＝－，则的值是()．．－．．－分析：由随意角的三角函数的定义可知＝－，解得＝±. 明显＝时不可立，所以＝－.答案：【自主测试－】若角α终边上有一点( － ) ，则以下函数值不存在的是()．α．α．α．α答案：．三角函数在各象限的符号() 用图形表示，如下图．() 用表格表示 .α 的终边轴第一轴第二轴第三轴第四所在地点正半轴象限正半轴象限负半轴象限负半轴象限α＋＋＋－－－α＋＋－－－＋α＋不存在－＋不存在－概括总结三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即，第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号同样．三角函数在各象限的符号是由什么确立的？答：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上随意一点的坐标来确立．【自主测试－】若θ θ＞，则θ角的终边在 ()．第一或第二象限．第一或第三象限．第一或第四象限．第二或第四象限分析：由θ θ ＞，可知若θ ＞，则θ ＞，则角θ 的终边位于第一象限；若θ ＜，则θ ＜，则角θ 的终边位于第三象限．综上，可知θ 角的终边位于第一或第三象限．答案：【自主测试－】已知点( α，α ) 在第三象限，则角α 在第象限．分析：因为点 (α ，α )在第三象限，所以α ＜，α＜，故角α 在第二象限．答案：二锐角三角函数推行为随意角的三角函数的过程分析：角的观点推行后，我们利用直角坐标系把锐角三角函数推行到随意角的三角函数．如下图，射线在第一象限， ( ， ) 是该射线上的随意一点，⊥于点，记∠＝α，则＝，＝，＝＝＞，由锐角三角函数的定义知，α＝，α＝，α＝ .下边我们来研究随意角的三角函数．如右上图所示，已知随意角α ，以角α 的极点为坐标原点，以角α 的始边的方向作为轴的正方向，成立直角坐标系，而且使∠＝°.在角α的终边上取点，使＝，设的坐标为( ， ) ，再任取一点( ， ) ，设＝ ( ≠) ，由相像三角形对应边成比率，得＝，＝，＝.因为点，在同一象限内，所以它们的横纵坐标符号同样．所以得＝，＝，＝，无论点在终边上的地点怎样，它们都是定值，它们只依靠于α 的大小，与点在α 终边上的地点没关．我们定义α ＝，α ＝，α ＝.由图能够看出，当α 为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的，这样就把锐角三角函数推行为随意角的三角函数．名师点拨 () 正弦、余弦、正切分别可当作一个角的会合到一个比值的会合的映照．它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，称为三角函数．() 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和( ， ) 在终边上的地点没关，而由角α 的终边的地点决定．关于确立的角α ，其终边的地点也独一确立，所以，三角函数是角的大小的函数．题型一三角函数的定义【例题】已知角α终边上一点的坐标为( －， )(分析：求解此题的要点是依据三角函数的定义及解：∵＝－，∴＝＝，≠) ，α ＝，求α 和α .α ＝求出的值．∴ α ＝＝，∴＝，解得＝－或＝或＝( 舍去 ) ．∴当＝－时，α ＝＝＝－，α ＝＝＝；当＝时，同理得α＝－，α ＝－.反省当所给角的终边上的点含有字母时，必定要注意分类议论，并联合函数值的正负进行弃取．〖互动研究〗若将本例中的条件“( －， )( ≠) ”改为“ ( －， ) ”结论又怎样？解：当＝时，α ＝－，α＝；当＝时，α ＝－，α ＝－；当＝－时，α＝－，α＝.题型二判断三角函数值的符号【例题】 () 判断的符号；() 已知θ是第二象限的角，试确立θ θ )的符号．分析：确立一个角的某一三角函数值的符号，要点要看角在哪一个象限；确立一个式子的符号，则需要察看组成该式的构造特色及每部分的符号．解： () ∵＜＜π，π ＜＜，＜＜＜π，∴＞，＜，＜，＜.∴＜，即的符号为负．() ∵ θ是第二象限的角，∴θ ＞，θ ＜.故θ θ ) ＜，即θ θ ) 的符号为负．反省这里的就是“ () ”，将弧度省略了．在第 () 小题中解题的要点是分别判断出θ，θ 的符号．题型三三角函数的定义域【例题】求以下函数的定义域．() ＝)；()＝＋.分析：依据三角函数的定义并联合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可．解： () 由题意得≥，即与同号或＝，故是第一、四象限的角或终边在轴上的角．所以函数的定义域为错误!.() 由题意得 (\\( >，－≥.))由＞得π＜＜π＋π ( ∈) ．①由－≥得－≤≤ . ②由①②得＜≤.故函数的定义域为{ ＜≤ } ．反省求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们从前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即第一列出不等式或不等式组，而后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡波及三角函数的定义域问题，在求解时，一定考虑到三角函数自己必定要存心义．在求一个固定的会合与一个含有无穷多段的会合的交集时，能够经过取特别值或画数轴的方法来解决．题型四易错辨析【例题】已知角α的终边经过点 ( － 4a, 3a)( ≠) ，求α ，α ，α ，α 的值．错解：∵＝－ 4a，＝ 3a，∴＝＝ 5a.∴ α ＝＝，α＝＝－，α＝＝－，α＝＝－.错因分析：没有对分正负两种状况议论，误以为＞.正解：若＞，则＝ 5a，且角α的终边在第二象限，∴ α ＝＝，α＝＝－，α＝＝－，α＝＝－.若＜，则＝－5a，且角α的终边在第四象限，∴ α ＝＝－，α ＝＝，α＝＝－，α＝＝－.反省 () 给出角的终边上一点的坐标，求解某个三角函数值经常用定义求解．() 此题因为所给字母的符号不确立，故要对的正负进行分类议论．．已知 ()是角θ 终边上一点，且θ＝－，则的值为 ()．．．－．－分析：由随意角的三角函数的定义可知，θ＝＝＝－，故＝－ .答案：．已知角α的终边经过点 ( －，－ ) ，则α的值为 ()．－．．．－答案：．若α是第三象限的角，则α α ) －α α ) ＝ ()．．．．－分析：∵α 是第三象限的角，∴α ＜，α ＜，∴ α α ) －α α ) ＝－－ ( － ) ＝ .答案：．以下函数中，与函数＝α 有同样定义域的个数为()①＝α) ；②＝α；③＝α；④＝α α ).．．．．分析：要使＝α ＝存心义，只需角α 的终边上异于原点的点( ，) 的横坐标≠，明显函数②④的定义域与之同样．答案：．若角α的终边过点 (θ，－θ)( θ为第二象限的角 ) ，则α＝ .分析：∵＝θ ，＝－θ ，∴＝θ＋θ ) ＝θ＝－θ ( θ为第二象限的角 ) ．∴ α＝＝θ,－θ ) ＝ .答案：．(－°)＋°－(－)°－ (－°)＝.分析：原式＝ ( °－×° ) ＋( °＋° ) － (－)( °＋×° ) －( °－×° ) ＝°＋°－(－) °－°＝＋－ (－)－＝.答案：．求以下函数的定义域：()＝＋；()＝)＋.解：()∵要使函数存心义，一定使，同时存心义，∴(\\( ≠ π＋( π )∈ ，≠ π ∈))∴函数＝＋的定义域为 .() ∵当≥且存心义时，函数才存心义，∴(\\( π＋π ∈，≠π＋ ( π ) ∈))∴函数＝ ) ＋的定义域为∪(∈)．学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。