平面向量同步练习

平面向量的应用 练习一、选择题（共10题）1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，3b =，2sin 3A =，则B =( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32.如图，在重600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A. B.150N,150NC.D.300N,300N3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A.6 B.5 C.4 D.34.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)q q <<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos q 等于( )A. B.25-C.35-D.45-6.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()4c a b =-+，π3C =，则ABC △的面积是( )A.3 C.7.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若π4A =，5a =，4c =，则满足条件的ABC △的个数为( )A.0B.1C.2D.无数多个8.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且60m AB BC ==，则建筑物的高度为( )A.mB.mC.mD.m9.若ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=( )A. 10B. 8C. 7D. 410.在等腰梯形ABCD 中，//222AB DC AB BC CD ===，，P 是腰AD 上的动点，则|2PB PC -uuu r uuu r|的最小值为（ ）B.3D.274二、填空题（共4题）11.在ABC △中，若30B =°，AB =2AC =，则AB 边上的高是_____________.12.一条两岸平行的河流，水速为1m /s ，小船的速度为2m /s ，小船欲到河的正对岸，为使所走路程最短，小船应朝_______的方向行驶.13.在ABC △中，90ABC Ð=°，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上.若45BDC Ð=°，则BD =______________，cos ABD Ð=____________.14.设O 为ABC V 的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则sin BAC Ð的值为___________.三、计算题15.在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知5a=，1c b-=，1 cos7C=.（1）求B；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求ABD△的面积.答案解析1.答案：A解析：因为4a =，3b =，2sin 3A =，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得23sin 13sin 42b AB a´×===，又b a <，可得B 为锐角，则π6B =.2.答案：C解析：作平行四边形OACB ，使30,60AOC BOC Ð=°Ð=°，如图.在平行四边形OACB 中，60ACO BOC Ð=Ð=°，90OAC Ð=°，cos30OA OC °==u u r u u u r ，sin 30300N AC OC °==u u u r u u u r ，300N OB AC ==u u u r u u u r.3.答案：A解析：由sin sin 4sin a A b B c C -=，结合正弦定理，得2224a b c -=，所以22223b c a c +-=-.由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-，即23124c bc -=-，整理得6bc=.故选A.4.答案：D解析：由余弦定理得222cos 2c b a A bc+-=，222cos 2c a b B ac +-=，代入原式得2222222222222c a b c b a c b a a c bc c -++-+-=×-，所以22222222c a b c b a ac bc -++-=，所以222()()0a b c a b --+=，解得a b =或2220c a b -+=，则ABC △为等腰三角形或直角三角形.5.答案：B解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为a ，1AD =v u u u r ，2AC =v u u u r.以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos a =v v，即212cos 5a ==v v .又πq a =-，所以2cos cos(π)cos 5q a a =-=-=-，故选B.6.答案：B解析：由22()4c a b =-+可得22224c a b ab =+-+，又由余弦定理得22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-，所以24ab ab -+=-，解得4ab =.则11sin 422ABC S ab C ==´△.故选B.7.答案：B4sin C=，sin sin C A \=<=，C A \<，所以C 只有一解，所以满足条件的ABC △只有1个，故选B.8.答案：D解析：设建筑物的高度为m h .由题图知，2PA h =，PB =，PC =.在PBA △和PBC △中，分别由余弦定理得，cos PBA Ð=，①cos PBC Ð=.②180PBA PBC °Ð+Ð=Q ，cos cos 0PBA PBC \Ð+Ð=.③由①②③，解得h =h =-.即建筑物的高度为m .9.答案：B解析：11sin()sin sin()22C A B A C -==+，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab +-+-×=×，即222222333b c a a b c +-=+-，即22244221632c a b -==´=，则228c a -=，故选B.10.答案：C解析：如图，以A 为原点，射线AB 为x轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得3(2,0),2B C æççè，设()P a ，其102a ≤≤，则3(2,),2PB a PC a æö=-=-ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，所以52,2PB PC a æö-=-ç÷ç÷uuu r uuu r ，所以2PB-uuu r ==，所以当14a =时，|2|PB PC -uuu r uuu r ，故选：C 11.答案：1或2解析：由正弦定理sin sin AC ABB C=，得sin 30sin AB C AC °===.0150C <<°°Q ，60C \=°或120C =°.当60C =°时，90A =°，AB 边上的高为2；当120C =°时，30A =°，AB 边上的高为2sin 301´°=.12.答案：与水速成120°角解析：如图，为使小船所走路程最短，+船水v v 应与岸垂直.又|1,|||2,90AB AC ADC ====Ð=°v v u u u u r u u u r 船水∣∣，所以30CAD Ð=°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.13.解析：在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =Ð，即45BD =BD =，则()43cos cos 4555ABD A Ð=-==°.14.解析：设ABC △外接圆的半径为R ，因为2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AC AO AB BO =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ^，因为//AC BO ，所以OM BO ^，即π2BOM Ð=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R æöÐ=+Ð=-Ð=-=-=-=-ç÷èø，在BOC △中由余弦定理可得：BC ===，在ABC △中，由正弦定理可得：sin 2BC BAC R Ð===15.答案：（1）π3B =（2解析：（1）在ABC △中，由余弦定理得2222225(1)1cos 2107a b c b b C ab b +-+-+===，解得7b =，8c =.由余弦定理得2222564491cos 22582a c b B ac +-+-===´´.因为(0,π)B Î，所以π3B =.（2）由（1）知，π6ABD Ð=，22249642511cos 227814b c a A bc +-+-===´´，sin A =在ABD △中，ππsin sin πsin 66ADB A A æöæöÐ=--=+=ç÷ç÷èøèøππ11113sin cos cos sin 6614214A A +=´=.由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =ÐÐ，所以8131142AD =，得5613AD =.所以ABD △的面积1156sin 82213S AD AB A =×=´´=。

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

（完整版）平⾯向量练习题（附答案）平⾯向量练习题1 . AC DB CD BA 等于______________ .2. 若向量a =( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是 _____________ .3. ______________ 平⾯上有三个点A (1, 3), B (2, 2), C (7, x),若/ ABC = 90°，贝U x 的值为 .4. _________________________________________________________________________ 向量a、b满⾜|a|=1，bl=J2 ,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹⾓为 _______________ .f f ⼻5. 已知向量a = (1 , 2), b = (3 , 1),那么向量2a ——b的坐标是___________ .6. 已知A (—1 , 2), B (2 , 4), C (4, —3), D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD |的值等于________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a =(—5, —2)平移后,所得到的对应点A'的坐标是 ______ .8. 已知a=(1, —2),b=(1,x),若a丄b,则x 等于__9. 已知向量a,b的夹⾓为120,且|a|=2,|b|=5则(2a-b) ? a= _______10. 设a=(2,—3),b=(x,2x),且3a- b=4,则x 等于____11. 已知AB (6,1),BC (x,y),CD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为________________12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|z 0,|b|z 0,贝U a与b的夹⾓为__________uuu uuu imr13. 在⼛ABC中，O为中线AM上的⼀个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最⼩值是___________________ .14. ___________________________________________________________________________将圆x2y22按向量v= (2 , 1 )平移后，与直线x y 0相切，则⼊的值为______________________ .⼆.解答题。

平面向量同步练习预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制平面向量的概念及线性运算A组专项基础训练一、选择题（每小题5分，共20分）1. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③?a = 0（入为实数），则入必为零；④入□为实数，若?a= b 则a与b共线.其中错误命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 设P是厶ABC所在平面内的一点，BCrB A= 2西贝UA.PA^ PB= 0B. P CT P A= 0C. P B+ PC= 0D. PA^ PB+ PC= 03. 已知向量a, b不共线，c= ka+ b （k€ R）, d= a—b.如果c// d,那么A. k = 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k =— 1且c与d同向D. k=— 1且c与d反向4. （2011四川）如图，正六边形ABCDEI中, B A^C D^ EF等于（）A. 0B. "BEC. ADD. CF二、填空题（每小题5分，共15分）5.____________________________________________________________________ ____________________________ 设a、b是两个不共线向量，X B= 2a+ pb, BC= a+ b, CD= a—2b,若A、B D三点共线，则实数p的值为_________________6. 在?ABCDK X B= a, At= b, AN= 3心M为BC的中点，贝U S= ___（用a, b 表示）.7. 给出下列命题：①向量AB勺长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C D必在同一条直线上.其中不正确的个数为_________ .三、解答题（共22分）18 （10分）若a, b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a, t b, 3（a+ b）三向量的终点在同一条直线上？9. （12分）在厶ABC中, E、F分别为AC AB的中点，BE与CF 相交于G点，设AB= a,AC= b,试用a, b表示AG。

6.1 平面向量的概念课后·训练提升基础巩固1.下列说法不正确的是( )A.向量的模是一个非负实数B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同答案：D解析：根据向量的有关概念易判断,D项说法错误.2.在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是( )A.单位圆B.一段弧C.线段D.直线答案：A解析：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.3.如图,在3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)中,若起点和终点⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有( )都在方格的顶点处,则与ABA.12个B.18个C.24个D.36个答案：C解析：由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角线长为√2,每个小正方形中存在两个与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.4.如图所示,在等边三角形ABC 中,点P,Q,R 分别是线段AB,BC,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：B解析：向量相等要求模相等且方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.5.(多选题)下列条件中,能使a ∥b 成立的有( ) A.a=b B.|a|=|b| C.a 与b 方向相反 D.|a|=0或|b|=0答案：ACD解析：若a=b,则a 与b 长度相等且方向相同,所以a ∥b;若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,方向不确定,因此不一定有a ∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,若a 与b 方向相反,则有a ∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a ∥b. 6.下列说法中,正确的是( ) A.若|a|=1,则a=±1 B.若|a|=|b|且a ∥b,则a=b C.若a=b,则a ∥b D.若a ∥0,则|a|=0 答案：C解析：选项A 中说法显然错误;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B 中说法错误;a=b ⇒向量a 与b 的方向相同⇒a ∥b,故选项C 中说法正确;0与任一向量平行,故a ∥0|a|=0,选项D 中说法错误.7.已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若∠ABC=90°,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：√3解析：在Rt △ABC 中,由勾股定理可知,BC=√AC 2-AB 2=√3,故|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. 8.设a 0,b 0是两个单位向量,则下列结论正确的是 (填序号). ①a 0=b 0;②a 0=-b 0;③|a 0|+|b 0|=2;④a 0∥b 0. 答案：③解析：因为a 0,b 0是单位向量,所以|a 0|=1,|b 0|=1.所以|a 0|+|b 0|=2. 9.将向量用具有同一起点M 的有向线段表示,当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,且|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：3或1解析：当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 同向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|EF ⃗⃗⃗⃗ |=3; 当ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EF ⃗⃗⃗⃗ 反向时,|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|EF ⃗⃗⃗⃗ |=1.10.O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,如图所示,在右图的向量中:(1)分别找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量; (2)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (3)找出与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量; (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否相等? 解：(1)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有BF ⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)与AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等的向量有CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CO⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等,因为它们的方向不相同. 11.已知一架飞机从A 地沿北偏东30°方向飞行2 000 km 后到达B 地,再从B 地沿南偏东30°方向飞行2 000 km 到达C 地,再从C 地沿西南方向飞行1 000√2 km 到达D 地.作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求出向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向.解：以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系.据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示,由已知可得,△ABC 为正三角形,所以AC=km. 又∠ACD=45°,CD=1000√2km,所以△ADC 为等腰直角三角形,所以AD=1000√2km,∠CAD=45°. 故向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2km,方向为东南方向.能力提升1.若a 为任一非零向量,b 为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a ∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是( ) A.①④ B.③C.①②③D.②③答案：B解析：因为a 为任一非零向量,所以|a|>0.2.(多选题)已知A={与a 共线的向量},B={与a 长度相等的向量},C={与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,下列关系中正确的是( ) A.C ⊆A B.A∩B={a} C.C ⊆B D.(A∩B)⊇{a} 答案：ACD解析：因为A∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量,所以B 中的关系错误.3.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式中成立的是( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗D.EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：D解析：根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B 中的等式不成立;选项C 中,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 不成立;选项D 中,EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立. 4.已知点D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点,则|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为()A.12B.13C.1D.2答案：C解析：因为四边形ABPC 是平行四边形,且点D 为对角线BC 与AP 的交点, 所以点D 为AP 的中点,所以|PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为1.5.若四边形ABCD 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是 (填四边形ABCD 的形状). 答案：矩形 解析：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ∥BC,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴四边形ABCD 是平行四边形.又由|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,知该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD 是矩形. 6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= . 答案：0解析：平行向量又叫共线向量,因为A,B,C 是不共线的三点,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,而与不共线向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线的向量只能是零向量.7.如图所示,已知四边形ABCD 是矩形,O 为对角线AC 与BD 的交点,设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |P,Q ∈M,且P,Q 不重合},则集合T 有 个元素.答案：12解析：根据题意知,由点O,A,B,C,D 可以构成20个向量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T 中有12个元素. 8.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)6解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6. 9.在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是CD,AB 的中点,如图所示.(1)写出与向量FC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量;(2)求证:BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)解：与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ∥CD,且AB=CD.又点E,F 分别是CD,AB 的中点, 所以ED ∥BF,且ED=BF.所以四边形BFDE 是平行四边形,故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .。

平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。

答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。

答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。

答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。

答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。

答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。

答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。

答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。

答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。

答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。

计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。

(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。

第1课时 平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模 且方向 的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（ ）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示 ； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（ ） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时 向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时 平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6． 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7． 已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8． 已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9． 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10． 化简++++.第7课时 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（ ） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（ ）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时 平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（ ） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=， 求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ， 求D 点坐标第9课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时 平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒， 求点B 和向量的坐标.第11课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值..第12课时 平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时 向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。

4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。

6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。

10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。

二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。

2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。

3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。

4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。

7、略。

8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。

2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。