27.3 垂径定理

中学数学听课记录课题27.3(1) 垂径定理授课教师听课人听课班级初三5班听课时间2014年11月3日教学内容（一）情景引入1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）说明：通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣1、观察与思考：圆是怎样的对称图形？对称轴与对称中心分别是什么？（二）学习新课1、思考如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的线段和弧？(半圆除外）为什么？（学生观察，猜想，并得出以下结论）①CO=DO（同圆的半径相等）②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？）（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）联结OA、OB，则OA=OB.∵ AB⊥CD,∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）,∠AOD=∠BOD,∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.∵∠AOC=∠BOC,∴弧AC=弧BC.1．定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.结合图形写成符号语言：∵直径CD⊥弦AB，垂足为M∴ AM=BM∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆52DC BAO心角所对的弧相等）. 弧AC=弧BC.例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米） 分析：首先将实际问题转化为数学图形。

如图，假设弧AB 表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米） 1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.2、图中哪些表示圆O 的半径？3、如何建立等量关系？解：设圆O 的半径为R ，则OA=OB=OC=R 根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=2.7-R ∵ 半径OC ⊥AB ，垂足为D ∴ AD=21AB=18.7 在Rt △AOD 中，∠ADO=90° ∵ AD 2+OD 2=OA 2 ∴ 18.72+2)2.7(-R =2R 9.27≈R答：桥拱所在圆的半径约为27.9米. （三）巩固练习1、已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长.2、已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm ， 求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小.1．如图，已知P 是⊙O 内一点，画一条弦AB ，使AB 经过经过点P,并且AP=PB.。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯§27.3 （1）垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。

教学重点：掌握垂径定理，能应用垂径定理进行简单计算或证明。

教学难点：对垂径定理的探索和证明。

教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件，圆形纸片教学过程：一、复习引入师：什么是轴对称图形？生：把一个图形沿着某一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

师：请你判断下列哪些图形是轴对称图形？师：圆是轴对称图形吗？让我们来共同研究一下。

老师拿出事先准备好的圆形纸片，把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论。

生：圆是轴对称图形。

师：你知道它的对称轴是什么吗？生：经过圆心的直线（它的直径）师：哪位同学说的对呢？生：对称轴是直线，而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线，或者是直径所在直线。

结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

观察并回答：操作：我们在圆形纸片上把刚才的折痕描绘出来，标记为CD。

在此纸片上再任意增加一条直径AB。

师：请问两条直径的位置关系是什么？生：两条直径始终是互相平分的。

师：把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，直径CD 是否一定平分弦AB ？ 生：不一定二、新课1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？2、得出猜想：当CD ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。

师：思考：CD 是以点O 为圆心的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD,将圆O 沿CD 对折，比较图中的线段和弧，你能发现有哪些相等的量？（教师用电脑课件演示图中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合。

27.3垂径定理我们知道圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图象，对称轴是直径所在直线．圆的轴对称性给了我们一个直观的认识．如图27.3.1，对于圆内有垂直于弦CD的直径AB，同样也是轴对称图形，在这个图形中，又有怎样的结论存在呢？说明你的理由．图27.3.1∵OC＝CD，AB⊥CD，∴OB平分∠COD，CE＝DE．∴BC＝BD且∠AOC＝∠AOD．∴AC＝AD．我们得到了一个圆的性质定理：垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条孤．【例1】已知：如图27.3.2，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，点E和点F分别是边AC和BC的中点．求证：四边形CEDF是菱形．图27.3.2【分析】由点E和F分别是边AC和BC的中点，可知CE＝DE＝12AC，CF＝DF＝12BC．因此，只要证明AC＝BC即可．证明：CD⊥AB，圆心O在CD上，∴AC＝BC，∴AC＝BC．∵点E和F分别是边AC和BC的中点，∴CE＝DE＝12AC，CF＝DF＝12BC．∴CE＝DE＝CF＝DF．∴四边形CEDF是菱形．【例2】—根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分(如图27.3.3)，此时的水面宽AB为0.6米，污水深(即阴影部分的弓形高)为0.1米．求圆形的下水管道的直径．图27.3.3分析：作半径垂直于AB，运用勾股定理构造方程求解．解：作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形髙．∵OC⊥AB，且O为圆心，AD＝12AB．∵AB＝0.6，∴AD＝0.3．设半径为r米，则CA＝OC＝r．∵CD＝0.1，∴CD＝r－0.1．在Rt△OAD中，∵OC⊥AB，∴OD2＋AD2＝OA2．∴(r－0.1)2＋0.32＝r2．解得r＝0.5．所以，圆形的下水管道的直径为1米．例2是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法．这种用代数方法解决几何问题的方法是非常重要的解题方法．练习27.3(1)1．已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O分别相交于点E和点C，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，连接PD．(1)求证：PC＝PD；(2)如果PE的长等于⊙O的半径OC，求证：∠AOC＝3∠2APC．第1题2．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，cos C＝35．求：(1)CD的长；(2)EF的长．第2题3．知图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，连接AC．⑴请写出两个不同类型的正确结论；(2)若CB＝8，ED＝2，求⊙O的半径．第3题4．如图，某新城休闲公园有一圆形人工湖，湖中心O处有一喷泉．小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个观测点，在A处测得∠OAB＝a，在AB延长线上的C处测得∠OCB＝β，若sin a＝35，tanβ＝23，BC＝50米．求人工湖的半径．第4题练习27.3(1)答案1．提示：⑴∵OA⊥CD，点O是圆心，④OA平分CD∴PC＝PD．(2)连接OE．∵PE＝OC＝CE，∴∠EPO＝∠EOP．∴∠CEO＝2∠EPO．∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠CEO＝2∠EPO．∴∠AOC＝3∠EPO，即∠AOC＝3∠APC．2．提示：(1)连接AO．∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝4．∵AO＝5，∴OD＝3．∴CD＝8．(2)过点O作OH⊥HC于点E，∴CF＝2CH．在Rt△OCH中，∵cos C＝35，OC＝5，∴CH＝3．在Rt△CDE中，∵cos C＝35＝CDDE，CD＝8，CE＝403．∴EF＝CE－CF＝403－6＝223．第2题3．提示：（1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②ED＝CD；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC//GD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC•OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC；等等(2)半径为5．4．人工湖的半径为500米．提示：作OD⊥AB，垂足为点D，∴AD＝BD．在Rt△OAD中，由sin∠OAD＝ODOA＝35．设CD＝3x，则OA＝5x，∴AD＝BD＝4x，∴CD＝4x＋50．在Rt△ODC中，由tan∠OCD＝ODCD＝23，得3450xx＝23，解得x＝100，即OA＝500．即这个人工湖的半径为500米．问题1如果把垂径定理中的“直径垂直于一条弦”与“直径平分这条弦”或“直径平分这条弦所对的两条弧”互换，那么所得的新命题是真命题吗？(1)如图27.3.4，如果⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，CE＝DE，那么AB⊥CD、BC＝DB吗？∵OC＝OD，CE＝DE，∴AB⊥CD且∠COE＝∠DOE，即∠COB＝∠DOB，∴BC＝DB．图27.3.4(2)．如图27.3.4，如果⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，BC＝DB，那么AB⊥CD，CE＝DE吗？∵BC＝DB，∴∠COB＝∠DOB．∵OC＝CD，∴AB⊥CD，CE＝DE．问题2垂直平分弦的直线一定过圆心吗?在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径．由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上．问题3如图27.3.5，弦CD与弦AB相交于点E．(1)如果CE＝DE，BC＝DB，那么CD与AB垂直吗？图27.3.5 由BC＝DB可知BC＝BD．又因为CE＝DE，则BE垂直平分CD．因为圆心O在CD的垂直平分线上，所以圆心O在直线BE上，即CD⊥AB．(2)如果CD⊥AB，垂足为点E，BC＝DB，那么CE＝DE吗？由BC＝DB可知BC＝BD．又因为CD⊥AB，垂足为点E，所以CE＝DE．进一步，因为圆心O在CD的垂直平分线上，所以圆心O在直线AB上，AB为⊙O的直径．由以上三个问题，我们可以得出：垂径定理的推论1 对于一条直钱“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦(非直径)”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么另外两组关系也成立．【例3】位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图27.3.6所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．图27.3.6分析：由AB＝AC可知AB＝AC，则由垂径定理的推论1可知OA垂直平分BC，则可运用勾股定理求解．解：设圆心为点O，连接OB、OA，OA交线段BC于点D．∵AB＝AC，∴AB＝AC，∴OA⊥BC，且BD＝DC＝12BC＝120．由题意，DA＝5．在Rt△BDO中，OB2＝OD2＋BD2．设OB＝x米，则x2＝(x－5)2＋1202．∴x＝1442.5．即滴水湖的半径为1442.5米．问题4如果一条直径垂直于两条弦呢？此时又有怎样的结论呢？如图27.3.7，AB是⊙O的直径，弦CD与弦EF分别与AB垂直．连接CO、DO、EO、FO．可以得出∠EOA＝∠FOA，∠COB＝∠DOB，则∠EOC＝∠FOD，因此CE＝DF．图27.3.7 由此，我们得到：垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等．【例4】如图27.3.8，⊙O 的半径为R ，弦AB 与弦CD 交于点P ，且AB ⊥CD ，求P A 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2的值．图27.3.8分析：因为AB ⊥CD ，所以P A 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2＝AD 2＋BC 2．由于AD 与BC 分散在圆中，因此通过作直径DE 并连接AE ，证明AE ＝BC ，将AD 2＋BC 2转化为AD 2＋AE 2．解：过点D 做直径DE ，连接AD 、AE 、ED ，EC 、BC ．∵AB ⊥CD ，∴P A 2＋PD 2＝AD 2，PB 2＋PC 2＝BC 2．∵DE 是⊙O 的直径，∴OC ＝OE ＝OD ，∠ECD ＝90°，同理，∠EAD ＝90°．∴EC ∥AB ，∴BC ＝AE ，∴BC ＝AE ，∴P A 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2＝AD 2＋BC 2＝AD 2＋AE 2＝DE 2＝4R 2．练习27.3(2)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin ∠ABC ＝35，⊙O 经过点B 、C ，圆心O 在△ABC 的内部，且到点A 的距离为2，求圆⊙O 的半径．第1题2．如图，在⊙O 中，M 是弧AB 的中点，过点M 的弦MN 交弦AB于点C ，设⊙O 半径为4cm ，MN ＝，OH ⊥MN ，垂足是点H ．求：(1)OH 的长度；(2)∠ACM 的大小．N第2题3．某公园有一圆孤形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶D 到水面AB 的距离DC ＝4米． (1)求水面宽度AB 的大小；(2)当水面上升到EF 时，设EF 交CD 于点G ，且EG ＝3DG ，求水面上升的高度．DCBAE F G第3题。

27.3 垂径定理（1）一、课前预习1、思考：圆是中心对称图形，圆是不是轴对称图形？操作：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合.由此说明： 圆是 对称图形，任意一条 所在的直线都是它的对称轴.2、问题：如图，CD 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点M. 那么AM 与BM 是否相等？ AD 与 BD是否相等？利用圆是轴对称图形的性质，可知以CD 为折痕将O 翻折后，点A 能与点 重合， 则线段AM 与 重合，（即AM= ）；AD 与 重合， AC 与 重合. （即 AD = ， AC = ）3、上面探索得到的结论是肯定的，你能用推理的方法来证明吗？试着写出证明过程. 证明：（提示：联结OA 、OB ）二、基础巩固1、如图，已知O 的弦AB 长为l0，半径长R 为7，OC 表示AB 的弦心距，求OC 的长.2、已知：O 的半径长为50厘米，弦AB 长50厘米. 求：（1）点O 到AB 的距离；（2）AOB ∠的大小。

3、如图，已知O 的半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ，AD 长2厘米，弧AB 长5厘米. 求：（1）AB 的长；（2）弧AC 的长.B4、如图，已知P 是O 内一点，画一条弦AB ，使AB 经过点P ，并且AP= PB.三、综合提升1、如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，CD AB ⊥， 12AB cm =， 2BCcm =，则O 的周长为 厘米， BD = 厘米， AD = 厘米.2、如图，已知AB 是O 的直径，OC 、OD 是半径，AB CD ⊥，100COD ∠= ，求DOB ∠的度数.3、 如图，已知AB 、CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为点E ，AB 被CD 分成3厘米、14厘米两段（AE<EB ），求点O 到CD 的距离.4、已知：在两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且AC=CD ，OE AB ⊥于E. 求证:4.BC ED =5、某人荡秋千，秋千踏板在静止时离地0.3米，秋千荡起时，踏板摆动的最大水平距离（两最高点间的距离）为8米，踏板离地最大高度为1.3米，求秋千的绳长.。

人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。

BABA BACAP27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥　，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥　，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。

POBACDFOE B A C D P ONMB AC DO B CBCE DOA课堂小结四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。

27.3 垂径定理（1）[定理及应用]第一组 27-51、下列命题中正确的是（ ）A 、同圆中若直线垂直于弦，则直线平分弦B 、若直径平分弦，则直径必垂直于这条弦C 、若某弦平分某弧，则该弦垂直于该弧所对的弦D 、弦心距必定垂直平分弦，且平分弦所对的优弧2、下列命题正确的是（ ）A 、平分一条直径的弦必垂直平分这条直径B 、平分一条弧的直线垂直这条弧所对的弦C 、弦的垂线必经过这条弦所在的圆的圆心D 、在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆上的圆心3、在半径为5 cm 的圆中，弦AB 的弦心距为3 cm ，则它的弦长为（ ）cm 。

A 、5 B 、8 C 、2 D 、34、如图27-5-1，在圆O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，ODAB 于点D ，OEAC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么圆O 的半径长为（ ）cm 。

A 、4B 、5C 、6D 、75、等腰三角形的外心在何处，以下正确的个数是（ ） ①顶角平分线所在的直线上； ②一腰的中线所在的直线上； ③底角的平分线所在的直线上； ④底边的高所在的直线上A 、0B 、1C 、2D 、36、小红同学在手工制作中，把一个边长为12 cm 的等边三角形贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（ ）cm 。

A 、3√2 B 、3√3 C 、4√2 D 、4√3图 27- 5 - 1AD BO E C7、一个圆弧形门拱的拱高为1 m ，跨度为4 m ，那么这个门拱的半径为 m 。

8、如图27-5-2，圆O 的半径是10 cm ，弦AB 的长是12 cm ，OC 是圆O 的半径且OC ⊥AB ，垂足为D ，则OD= cm ，CD= cm 。

9、如图27-5-3，在直径为10 m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m ，那么油的最大深度是 m 。

10、若圆O 中等于120的劣弧所对的弦是12√3cm ，则圆O 的半径是 cm 。

27.3（2）垂径定理（2）一、选择题1、如图，直线与两个同心圆分别相交于图示的各点，则正确的是（ ）A 、MP 与RN 的大小关系不定B 、MP=RNC 、MP<RND 、MP>RN2、如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A 、1.5B 、3C 、6D 、53、如图，AB 是O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接OC ，若OC=5，CD=8，则tan ∠COE=( )A 、35B 、45C 、34D 、434、如图，半径为5的P 与y 轴相交于M （0，-4），N （0，-10）两点，则圆心P 的坐标为（ ）A 、（5，-4）B 、（4，-5）C 、（4，-7）D 、（5，-7）二、填空题5、如图，AB 是O 的弦，半径OA=2，2sin 3A =，则弦AB 的长为第5题 第6题6、如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm,3cos 5B =，如果O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO= cm7、在半径为5cm 的圆中，两条平行弦间的距离为7cm ，其中一条弦的长度为6cm ，则另一条弦长为8、已知O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连接OP ，若OP=4，那么AP 的长为三、解答题9、如图，O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，求O的半径10、如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD 平行于AB，并与弧AB相交于点M、N.（1）求线段OD的长（2）若1tan2C∠，求弦MN的长11、如图，△ABC内接与O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=12 BC。

（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形12、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。