2019版二轮复习数学通用版：专题跟踪检测 数 列 Word版含解析

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十一）“专题三”补短增分（综合练）A组——易错清零练1．（2018·洛阳模拟）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（) A。

错误!π B.错误!πC。

错误!πD．错误!π解析:选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2错误!.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2错误!，则球O的体积V＝错误!πR3＝错误!π，故选A.2。

（2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ）A．4πB．16πC．24πD．25π解析：选 C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2，4,将该三棱锥补成一个长方体,可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝错误!＝2错误!,则R＝错误!,故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C。

3．（2018·陕西模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵"．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4＋22C．4＋4错误!D．4＋6错误!解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC.A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝错误!，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形,故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2错误!）×2＝4＋4错误!,故选C。

4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图,设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体P­ABC的边长为错误!＝错误!a，则其表面积为S2＝4×错误!×2a×2 a×sin60°＝2错误!a2。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：21Word版含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．(20xx·贵阳一中适应性考试)已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B.[答案] B2．(20xx·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α[解析] 过直线a上一点，作b的平行线c，则直线a，c确定一个平面，易证垂直于该平面的直线同时垂直于直线a和b，由于这样的直线有无数条，故A错误；由空间两直线夹角的定义易证，若l∥a且l⊥b，则b⊥a，故B错；过直线a上一点作b的平行线n，记a，n确定的平面为a，显然b∥α，即存在性成立，假设存在平面α，β，使得a⊂α，a⊂β，且b∥α，b∥β，则α∩β＝a，所以b∥a，与题意矛盾，故唯一性成立，故C正确；假设存在平面α，使得a⊂α，且b⊥α，则b⊥a，与题意矛盾，故D错误 .[答案] C3．(20x x·宁波统考)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[解析] 因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.[答案] D4．已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为( )①若a⊥α，b⊥β，l⊥γ，a∥b∥l，则α∥β∥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若a⊂α，b⊂β，α∩β＝a，l⊥a，l⊥b，则l⊥β；④若a，b为异面直线，a⊥α，b⊥β，l⊥a，l⊥b，l⊄α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l.A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④[解析] 对于①，a，b，l就相当于平面α，β，γ的法线，因为a∥b∥l，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a∥b，由线面垂直的判定定理可知，直线l不一定垂直于β，只有当a与b相交时，l⊥β，所以③不正确；对于④，由a⊥α，l⊥a，且l⊄α，得l∥α.又b⊥β，l⊥b，l⊄β，所以l∥β.由直线a，b为异面直线，且a⊥α，b⊥β，得α与β相交，否则a∥b，与a，b异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l，所以④正确．[答案] A5．(20xx·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.1 3[解析] 因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，选A.[答案] A6．(20xx·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．选B.[答案] B二、填空题7．(20xx·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.[解析] 根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD 的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝.[答案] 28．(20xx·云南省11校高三调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确命题的序号是________．[解析] 对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确．对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确．对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确．对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n；由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1；又n1∥n，因此有m⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.[答案] ②④9．(20xx·运城一模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为，则点M到平面ABC的距离为________．[解析] 在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝，∴△AMC为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，则AD⊥CM，设AD 的延长线交BC于E，则AD＝，DE＝，CE＝.根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC2＝AC2＋AB2，知∠BAC＝90°，又cos∠ECA＝，连接AE，则AE2＝CA2＋CE2－2CA·CEcos∠ECA＝，于是AC2＝AE2＋CE2，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AD2＝AE2＋ED2，∴AE⊥DE，又BC，DE⊂平面BCM，BC∩DE＝E，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM 的高，设点M到平面ABC的距离为h，∵S△BCM＝，AE＝，所以由VA －BCM＝VM－ABC，可得××＝×××1×h，∴h＝.[答案] 1 2三、解答题10．(20xx·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明] (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.11．(20xx·南昌摸底)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝1，AA1＝，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1.(1)证明：BC⊥AB1；(2)若OC＝OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．[解] (1)证明：由题意，tan∠ABD＝＝，tan∠AB1B＝＝，由图可知0<∠ABD，∠AB1B<，所以∠ABD＝∠AB1B，所以∠ABD＋∠BAB1＝∠AB1B＋∠BAB1＝，所以AB1⊥BD，又CO⊥侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO.又BD与CO交于点O，所以AB1⊥平面CBD，又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC⊥AB1.(2)如图，以O 为原点，分别以OD ，OB1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A ，B ，C ，B1，D ，又因为＝2，所以C1.所以＝，＝，DC1→＝.设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则根据可得⎝ ⎛ －63x ＋33y ＝0，33y ＋33z ＝0.令x ＝1，则y ＝，z ＝－， 所以n ＝(1，，－)是平面ABC 的一个法向量，设直线C1D 与平面ABC 所成角为α，则sin α＝＝.12．(20xx·贵州省××市高三监测)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE ；(2)若正四棱锥P －ABCD 的高为1，求二面角C －AF －P 的余弦值．[解] (1)证明：∵直三棱柱ADE －BCF 中，AB⊥平面ADE ，∴AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，∴AD ⊥平面ABFE ，∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABFE.(2)∵AD∥BC，AD⊥平面ABFE ，∴BC⊥平面ABFE ，且AB⊥BF，建立以B 为坐标原点，BA ，BF ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．∵正四棱锥P －ABCD 的高为1，AE ＝AD ＝2，∴A(2,0,0)，E(2,2,0)，F(0,2,0)，C(0,0,2)，P(1，－1,1)， ∴＝(－2,2,0)，＝(0,2，－2)，＝(1,1，－1)，设n1＝(x1,1，z1)是平面ACF 的一个法向量，则n1⊥，n1⊥，∴即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x1＋2＝0，2－2z1＝0，解得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1,1,1)．设n2＝(x2,1，z2)是平面PAF 的一个法向量，则n2⊥，n2⊥，∴即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x2＋2＝0，x2＋1－z2＝0，解得x2＝1，z2＝2，即n2＝(1,1,2)．∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝，又二面角C －AF －P 是锐角，∴二面角C －AF －P 的余弦值是.。

跟踪强化训练(三十三)1．(2018·四川乐山一模)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12令f (x )＝0，求得x ＝－13或x ＝3， 故不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13或x >3. (2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，即f (x 0)<4a －2a 2有解，由(1)可得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3×12－1 ＝－52，故－52<4a －2a 2，求得－12<a <52.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52. 2．设函数f (x )＝|x －a |＋x .(1)当a ＝2时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围．[解] (1)由题意得，当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥2，2，x <2. ∵f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2，∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立， 得|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |，∴|1＋a |>2，解得a >1或a <－3，故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．3．(2018·江西南昌一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．[解] (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1，当a <2时知a 2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2x －a ＋1，a 2≤x ≤13x －a －1，x >1由图可知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(合题意)，即a ＝－4.4．(2018·江西赣州一模)设a 、b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．[解] (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号． 所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由1a ＋1b ＝22可得a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝8a 2b 2－4ab ≥4(ab )3， ∴(ab )2－2ab ＋1≤0，即(ab －1)2≤0， ∴ab －1＝0，即ab ＝1.。

2019-2020学年度最新高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：5 Word版含解析1．[直接法](2017·济南二模)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为()A．96 B．432 C．480 D．528[解析]当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)．[答案] D2．[直接法](原创题)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在△ABC中，AB＝AC＝5，点B(－1,3)，C(3，－1)，且其“欧拉线”与圆x2＋(y－2)2＝r2相切，则该圆的面积为()A．π B．2π C．4π D．5π[解析]依题意，△ABC的外心、重心、垂心均在边BC的垂直平分线上，BC的中点为M(1,1)，直线BC的斜率为－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y－1＝x－1，即x－y＝0.圆心(0,2)到直线x－y ＝0的距离d＝r＝2＝2，则该圆的面积为πr2＝2π.2[答案] B3．[特例法]计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[解析] 取α＝π12，则原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12cosπ62cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－π12＝3×322×34＝1.故选D.[答案] D4．[特例法]已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12[解析] 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m·AO →，∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32.故选A. [答案] A5．[排除法](2017·重庆一诊)若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 当a ＝0时，P (1,1)，Q (3,0)，因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0，此时过点P (1,1)，Q (3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C ，D ；当a ＝1时，P (0,2)，Q (3,2)，因为k PQ ＝0，不符合题意，排除B ，选A.[答案] A6．[排除法](2017·武汉汉中二检)函数f (x )＝sin2x ＋e ln|x |图象的大致形状是( )[解析] 因为f (x )＝sin2x ＋e ln|x |，所以f (－x )＝－sin2x ＋e ln|x |. 显然f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，可排除A ，C.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1＋π4<0，可排除D.选B.[答案] B7．[图解法]已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.[答案] B8．[图解法](2017·东北三校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝－2cosπx ， 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] C9．[估算法]图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是()[解析]由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.[答案] B10．[估算法]已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积是()A.36 B.26 C.23 D.22[解析]容易得到△ABC的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V<13×34×2＝36，立即排除A、C、D，答案选B.[答案] B11．[概念辨析法](2017·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但sin α＝sin β，若α＝π3，β＝2π＋π6，sin α>sin β，但此时α>β不成立，因而“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．[答案] D12．[概念辨析法](2017·襄阳调研)非空集合A 中的元素个数用(A )表示，定义(A －B )＝⎩⎪⎨⎪⎧(A )－(B )，(A )≥(B )，(B )－(A )，(A )<(B ).若A ＝{－1,0}，B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，且(A －B )≤1，则实数a 的所有可能取值为( )A ．{a |a ≥4}B ．{a |a >4或a ＝0}C ．{a |0≤a ≤4}D ．{a |a ≥4或a ＝0}[解析] 因为A ＝{－1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A )＝2.因为B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，所以(B )就是函数f (x )＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝a 的交点个数，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，(B)＝0或(B)＝2或(B)＝3或(B)＝4.①当(A)≥(B)时，又(A－B)≤1，则(B)≥(A)－1，所以(B)≥1，又(A)≥(B)，所以1≤(B)≤2，所以(B)＝2，由图可知，a＝0或a>4；②当(A)<(B)时，又(A－B)≤1，则(B)≤(A)＋1，即(B)≤3，又(A)<(B)，所以2<(B)≤3，所以(B)＝3，由图可知，a＝4.综上所述，a＝0或a≥4，故选D.[答案] D。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：8Word版含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．(20xx·河南濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )A.B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．(－1,0)∪D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12[解析] 要使函数有意义，需满足解得x<且x≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪.[答案] D2．(20xx·山东潍坊质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是( )A ．y ＝|log3x|B ．y ＝x3C ．y ＝e|x|D ．y ＝cos|x|[解析] A 中函数是非奇非偶函数，B 中函数是奇函数，D 中函数在(0,1)上单调递减，均不符合要求，只有C 正确．[答案] C3．(20xx·湖北襄阳三模)已知函数f(x)＝则f(2)＝( ) A. B ．－ C ．－3 D ．3[解析] 由题意，知f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos0＋2＝3，故选D.[答案] D4．(20xx·太原阶段测评)函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )[解析] 因为y＝x＋1的图象过点(0,2)，且在R上单调递减，所以该函数关于直线y＝x对称的图象恒过点(2,0)，且在定义域内单调递减，故选A.[答案] A5．(20xx·石家庄高三检测)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2[解析] ∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，故选A.[答案] A6．(20xx·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a[解析] 奇函数f(x)在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，当x1>x2>0时，f(x1)>f(x2)>0，∴x1f(x1)>x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)＝xf(x)是偶函数，∴a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，2<log25.1<3,1<20.8<2，由g(x)在(0，＋∞)上单调递增，得g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c，故选C.[答案] C7．(20xx·山西四校二次联考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 本题考查充要条件的判定、函数的图象与性质．当a＝0时，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，由f(x)＝|(ax－1)x|＝0得x＝0或x＝<0，结合图象知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以充分性成立，反之必要性也成立．综上所述，“a≤0”是“f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C.[答案] C8．(20xx·山西太原二模)函数f(x)＝的图象大致为( )[解析] 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x＝1对称，排除B，C.取特殊值，当x＝时，f(x)＝2ln<0，故选D.[答案] D9．(20xx·福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a 的取值范围是( )A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)C．(－∞，4] D．(－∞，4)[解析] 由题意，知当x>0时，f(x)＝x＋≥2 ＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a,1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4，故选B.[答案] B10．(20xx·浙江杭州一模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(20xx)的值为( )A．20xx B．－20xx C．0 D．4[解析] 依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(20xx)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0.[答案] C11.如图，过单位圆O上一点P作圆O的切线MN，点Q为圆O上一动点，当点Q由点P逆时针方向运动时，设∠POQ＝x，弓形PRQ的面积为S，则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是( ) [解析] 解法一：S＝f(x)＝S扇形PRQ＋S△POQ＝(2π－x)·12＋sinx＝π－x＋sinx，则f′(x)＝(cosx－1)≤0，所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数，当x＝0和x＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时，cosx逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时，cosx逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓．结合选项可知，B正确．解法二：特值法：x＝π时，f(x)＝，排除C、D，x＝时，f(x)＝＋>，选B.[答案] B12．(20xx·大连模拟)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A. B ．(－∞，)C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－e ，1e [解析] 由题意知，设x0∈(－∞，0)，使得f(x0)＝g(－x0)， 即x ＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)， ∴ex0－ln(－x0＋a)－＝0.令y1＝ex －，y2＝ln(－x ＋a)，要使得函数图象的交点A 在y 轴左侧，如图，则lna<＝lne ，∴a<e.[答案] B 二、填空题13．(20xx·石家庄质检)函数y ＝3x －1)的定义域为________． [解析] 本题考查函数的定义域．由题意得3x －1≥0，,3x －1>0，))解得<x≤，即函数的定义域为.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤13，2314．(20xx·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a ＝________.[解析] 解法一：函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝＝x ＋＋a ＋2. 因函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 即－x －＋a ＋2＝－＝－x －－(a ＋2)， 则a ＋2＝－(a ＋2)，即a ＋2＝0，则a ＝－2.解法二：由题意知f(1)＝－f(－1)，即3(a ＋1)＝a －1，得a ＝－2，将a ＝－2代入f(x)的解析式，得f(x)＝，经检验，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f(－x)＝－f(x)，故a ＝－2.[答案] －215．(20xx·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x 的取值范围是________．[解析] ①当x>时，x －>0， ∴f(x)＋f ＝2x ＋2x －>2， ∴f(x)＋f>1恒成立． ②当0<x ≤时，x －≤0，f(x)＋f ＝2x ＋x －＋1＝2x ＋x ＋>1恒成立．③当x ≤0时，f(x)＝x ＋1，f ＝x －＋1＝x ＋， ∵f(x)＋f>1， ∴x ＋1＋x ＋>1， 解得x>－，即－<x≤0. 综上，x>－.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞16．(20xx·河南许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于________．[解析] f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)， ∴g(x)为奇函数，∴g(x)max ＋g(x)min ＝0. ∵M ＝f(x)max ＝2＋g(x)max ，m ＝f(x)min ＝2＋g(x)min ，∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4. [答案] 4。

（通用版）2019年高考数学二轮复习 课时跟踪检测（二十三）理一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C. 5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x<0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255B.55 C.233 D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55.5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·福州模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ； ②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2.综上可知，实数a 的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：22Word版含解析______年______月______日____________________部门1.(20xx ·济南质检)如图，在直三棱柱ADE －BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．证明：(1)OM∥平面BCF ； (2)平面MDF⊥平面EFCD.[证明] 证法一：由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M ，O.(1)＝，＝(－1,0,0)， ∴·＝0，∴⊥.∵棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)， 由n1·＝n1·＝0，得解得⎩⎪⎨⎪⎧y1＝12x1，z1＝－12x1，令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD. 证法二：(1)＝＋＋BM →＝－＋12BA →＝(＋)－＋12BA →＝－－＋12BA →＝－(＋)－＋12BA →＝－－.∴向量与向量，共面，又OM ⊄平面BCF ，∴OM∥平面BCF. (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵＝，＝－， ∴·＝·＝0， OM →·＝·(－) ＝－2＋2＝0.∴OM ⊥CD ，OM ⊥FC ，又CD ∩FC ＝C ， ∴OM ⊥平面EFCD.又OM ⊂平面MDF ，∴平面MDF⊥平面EFCD.2．(20xx·郑州质检)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．[解] (1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以＝，＝，＝.设平面A1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由得⎩⎪⎨⎪⎧－a2x ＋ay ＝0，32az ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A1CD 所成的角为θ，则sin θ＝＝＝. 所以直线BC 与平面A1CD 所成角的正弦值为.3．(20xx·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD∥平面MAC ，PA ＝PD ＝，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． [解] (1)证明：设AC ，BD 交点为E ，连接ME.因为PD∥平面MAC ，平面MAC∩平面PDB ＝ME ，所以PD∥ME. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点． 所以M 为PB 的中点．(2)取AD 的中点O ，连接OP ，OE. 因为PA ＝PD ，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP⊥平面ABCD.因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP⊥OE. 因为ABCD 是正方形，所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝. 于是n ＝(1,1，)．平面PAD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)． 所以cos 〈n ，p 〉＝＝.由题意知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为. (3)由题意知M ，C(2,4,0)， MC →＝.设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，〉|＝＝.所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为.4．(20xx·沈阳二模)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE 为矩形，且CF⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF.(1)求证：EF⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．[解] (1)证明：在梯形ABCD 中，设AD ＝CD ＝BC ＝1，∵AB ∥CD ，∠BCD ＝，∴AB ＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB ·BC ·cos ＝3.∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC ⊥AC. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC ＝C ， ∴AC ⊥平面BCF.∵四边形ACFE 是矩形，∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BCF.(2)由(1)，以CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝CD ＝BC ＝CF ＝1，令FM ＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)， 设平面MAB 的法向量为n1＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，令x ＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB 的一个法向量． 易知n2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量， 设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ， 则cos θ＝＝错误! ＝.∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cos θ有最小值，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.。

专题跟踪检测（二） 基本初等函数、函数与方程一、全练保分考法——保大分1．若m ∈⎝⎛⎭⎫110，1，a ＝lg m ，b ＝lg m 2，c ＝lg 3m ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C ∵m ∈⎝⎛⎭⎫110，1，∴－1<lg m <0，∴lg 3m －lg m ＝(lg m －1)(lg m ＋1)lg m >0，∴lg 3m >lg m ，即c >a .又m ∈⎝⎛⎭⎫110，1，∴0<m 2<m <1，∴lg m 2<lg m ，即a >b.∴b <a <c .故选C.2．定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C ∵函数f (x )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1.∴a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.∴c <a <b.故选C.3．(2018·长沙一模)函数f (x )＝2x ＋xx ＋1的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝2x ＋x x ＋1＝2x －1x ＋1＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． ∴f ′(x )＝2x ln 2＋1(x ＋1)2>0恒成立， ∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，排除C 、D ； 当x →－∞时，2x →0，xx ＋1→1，∴f (x )→1，排除B ，选A. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 414x －1)f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫13，1 B ．[1,4]C.⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 由不等式log 2x －(log 414x －1)f (log 3x ＋1)≤5，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1， log 2x －(log 414x －1)≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧0<log 3x ＋1<1， log 2x ＋2(log 414x －1)≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1.故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4.故选C. 5．已知函数f (x )＝21＋2x ＋11＋4x满足条件f (log a (2＋1))＝1，其中a >1，则f (log a (2－1))＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝21＋2x ＋11＋4x ，∴f (－x )＝21＋2－x ＋11＋4－x ＝2·2x 1＋2x ＋4x 1＋4x，∴f (x )＋f (－x )＝21＋2x ＋11＋4x ＋2·2x 1＋2x ＋4x 1＋4x ＝3.∵log a (2＋1)＝－log a (2－1)，∴f (log a (2＋1))＋f (log a (2－1))＝3，∴f (log a (2－1))＝2.故选B.6．(2019届高三·贵阳模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D 根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg(A 0·10M)，所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．(2018·菏泽一模)已知log 12a <log 12b ，则下列不等式一定成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫14a <⎝⎛⎭⎫13bB.1a >1b C ．ln(a －b )>0D ．3a －b <1解析：选A ∵log 12a <log 12b ，∴a >b >0，∴⎝⎛⎭⎫14a <⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b ，1a <1b ，ln(a －b )与0的大小关系不确定，3a －b >1. 因此只有A 正确．故选A.8．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：选D ∵实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，∴x >y .对于选项A ，1x 2＋1>1y 2＋1等价于x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2.当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．对于选项B ，ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)等价于x 2>y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于选项C ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于选项D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．故选D.9．(2018·广元模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x 2＋12，对任意a ∈R ，存在b ∈(0，＋∞)使f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( )A ．2e －1B ．e 2－12C ．2－ln 2D ．2＋ln 2解析：选D 令t ＝e a，可得a ＝ln t ，令t ＝ln b 2＋12，可得b ＝2-12e t ，则b －a ＝2-12et －ln t ，令h (t )＝2e -12t －ln t ，则h ′(t )＝2e -12t －1t.显然，h ′(t )是增函数，观察可得当t ＝12时，h ′(t )＝0，故h ′(t )有唯一零点，故当t ＝12时，h (t )取得最小值，即b －a 取得最小值为2e -1122－ln 12＝2＋ln 2，故选D.10．已知函数 f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴⎪⎪⎪⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．记函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值为g (m )．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )，若h (t )>h (4)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－4,0)B ．(0,4)C ．(－2,0)∪(0,2)D ．(－4,0)∪(0,4)解析：选D 因为f (x )＝x 2－mx (m >0)，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24，因为f (x )在区间[0,2]上的最小值为g (m )，所以当0<m ≤4，即0<m 2≤2时，g (m )＝f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－m 24；当m >4，即m 2>2时，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24在[0,2]上单调递减，所以g (m )＝f (2)＝4－2m .综上，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)，所以h (|t |)>h (4)，所以0<|t |<4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |<4，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－4<t <4，从而－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．12．(2019届高三·昆明调研)若函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2，对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，3]D ．(－∞，4]解析：选D 法一：f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x 2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0<g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，所以当a ≤－1时，满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1<x <4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4<h (1)＝5，g (2)＝8<h (2)＝10，g (3)＝16<h (3)＝17，所以－1<a ≤4时，亦满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，则F ′(x )＝2x ＋1·(ln 2)2－2>0，所以F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )≥f ′(4)＝32ln 2－10>0，所以函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6>0，即a >4时，不满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.法二：将问题转化为2x ＋1≤x 2＋2x ＋2对于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )恒成立后，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y ＝2x ＋1，y ＝x 2＋2x ＋2的图象如图所示，根据两函数图象的交点及位置关系，数形结合即可分析出实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.13．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)14．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为________元．解析：设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．答案：33 00015．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝________.解析：法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.答案：616．(2018·福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是________________________．解析：由题意x >0时，f (x )单调递增，故f (x )>f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0， 故若f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0， 解得x >2或x <－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)17．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫32x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝x 可得点A ⎝⎛⎭⎫12，2，由2＝x 12可得点B (4,2)，因为⎝⎛⎭⎫324＝916，所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，916. 答案：⎝⎛⎭⎫12，91618．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0<x <1，og 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且 f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：919.(2018·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x－log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 2[4(x 0＋3)]＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3.答案： 320．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________． 解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪t －at 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]二、强化压轴考法——拉开分1．设函数f (x )＝log 4x －⎝⎛⎭⎫14x ，g (x )＝log 41x －⎝⎛⎭⎫14x 的零点分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＝1 B ．0<x 1x 2<1 C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选B 由题意可得x 1是函数y ＝log 4x 的图象和y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象的交点的横坐标，x 2是y ＝log 41x 的图象和函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象的交点的横坐标，且x 1，x 2都是正实数，画出函数图象如图所示，可得log 41x 2>log 4x 1，故log 4x 1－log 41x 2<0，∴log 4x 1＋log 4x 2<0，∴log 4(x 1x 2)<0，∴0<x 1x 2<1.故选B.2．(2018·唐山模拟)若函数f (x )＝1－x 2－x ＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点，则λ的取值范围为( )A ．[1，2)B ．(－2，2)C ．(－2，－1]D ．[－1,1]解析：选C 函数f (x )＝1－x 2－x ＋λ在[－1,1]上有两个不同的零点等价于y ＝1－x 2与y ＝x －λ的图象在[－1,1]上有两个不同的交点．y ＝1－x 2，x ∈[－1,1]为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．如图，当直线y ＝x －λ过点(0,1)时两函数图象有两个交点，此时λ＝－1，当直线y ＝x－λ与圆x 2＋y 2＝1上半圆相切时，λ＝－ 2.所以λ的取值范围为(－2，－1]．故选C.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．4．(2018·凉山模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1x ，x <0，ln x －2x 2，x >0，若函数f (x )的图象上有四个不同的点A ，B ，C ，D 同时满足：①A ，B ，C ，D ，O (原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为－3，则a 的取值范围是( )A ．(23，＋∞)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－23)D ．(4，＋∞)解析：选A 由题意知f (x )的图象与直线y ＝－3x 有4个交点． 令ln x －2x 2＝－3x ，可得ln x ＝2x 2－3x ，作出y ＝ln x 与y ＝2x 2－3x 的图象如图所示． 由图象可知两函数图象在y 轴右侧有两个交点， ∴当x >0时，f (x )的图象与直线y ＝－3x 有两个交点， ∴当x <0时，f (x )的图象与直线y ＝－3x 有两个交点． ∴a ＋1x＝－3x 在(－∞，0)上有两解．即3x 2＋ax ＋1＝0在(－∞，0)上有两解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－12>0，－a 6<0，解得a >2 3.故选A.5．(2019届高三·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )－ax ＝0恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，13 B.⎣⎡⎭⎫13，1eC.⎝⎛⎦⎤1e ，43D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析：选B 方程f (x )－ax ＝0有两个不同的实根，即直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示．当x >1时，f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x，设直线y ＝kx 与函数f (x )＝ln x (x >1)的图象相切，切点为(x 0，y 0)，则y 0x 0＝ln x 0x 0＝1x 0，解得x 0＝e ，则k ＝1e ，即y ＝1e x是函数f (x )＝ln x (x >1)的图象的切线，当a ≤0时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有一个交点，不合题意；当0<a <13时，直线y ＝ax 与函数y ＝ln x (x >1)的图象有两个交点，但与y ＝13x ＋1(x ≤1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a ≥1e 时，直线y ＝ax 与函数f(x )的图象至多有一个交点，不合题意；只有当13≤a <1e 时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个交点，符合题意．故选B.6．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x 2－3)e x ，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0的不同的实数根的个数为n ，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．1或3C ．3或5D ．1或3或5解析：选A 由f (x )＝(x 2－3)e x ，得f ′(x )＝(x 2＋2x －3)e x ＝(x＋3)(x －1)e x ，令f ′(x )>0，得x <－3或x >1，令f ′(x )<0，得－3<x <1，所以f (x )在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，当x →－∞时，f (x )→0，所以f (x )极大值＝f (－3)＝6e 3，f (x )极小值＝f (1)＝－2e ，作出f (x )的大致图象如图所示．令t ＝f (x )，则f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0可转化为t 2－mt －12e 2＝0，Δ＝m 2＋48e 2>0，且t ＝m 2时，⎝⎛⎭⎫m 22－m ·m 2－12e 2＝－m 24－12e 2<0，所以方程有两个不同的实数根t 1，t 2，所以t 1t 2＝－12e 2＝6e 3×(－2e)，不妨设t 1>0，所以当t 1>6e 3时，－2e<t 2<0，由f (x )的图象可知，此时t 2＝f (x )有2个不同的实数根，t 1＝f (x )有1个根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根，当t 1＝6e 3时，t 2＝－2e ，由f (x )的图象可知，此时t 2＝f (x )有1个根，t 1＝f (x )有2个不同的实数根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根，当0<t 1<6e3时，t 2<－2e ，由f (x )的图象可知t 2＝f (x )有0个根，t 1＝f (x )有3个不同的实数根，所以方程f 2(x )－mf (x )－12e 2＝0有3个不同的实数根．综上所述，方程有3个不同的实数根．7．(2018·南宁模拟)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a(x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1 B ．(1,4) C ．(1,8)D ．(8，＋∞)解析：选D ∵f (x ＋2)＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f (2＋(x ＋2))＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1＝(2)－x－1，∴当x ∈[0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1，于是x ∈[－2,2]时，f (x )＝(2)|x |－1，根据f (x )的周期性作出f (x )的图象如图所示．若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a >1且y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，∵f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，∴对于函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)，当x ＝6时，log a 8<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)，所以选 D.8．已知在区间(0,2]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －3，x ∈(0，1]，2x －1－1，x ∈(1，2]，且g (x )＝f (x )－mx 在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：选A 由函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y ＝f (x )，y ＝mx 在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点．当y ＝mx 与y＝1x －3在(0,1]内相切时，mx 2＋3x －1＝0，Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94，结合图象可得当－94<m ≤－2或0<m ≤12时，函数g (x )＝f (x )－mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的零点．。

专题跟踪检测（十四） 圆锥曲线的综合问题1．(2018·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py得y ′＝，则A ，B 处的切线斜率的乘积为＝－，x p x 1x 2p 22p∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－＝－1，∴p ＝2.2p(2)易得直线AN ：y －y 1＝(x －x 1)，x 1p 直线BN ：y －y 2＝(x －x 2)，x 2p 联立Error!结合①式，解得Error!即N (pk ，－1)．所以|AB |＝|x 2－x 1|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·，1＋k 24p 2k 2＋8p 点N 到直线AB 的距离d ＝，|pk 2＋2|1＋k 2则S △ABN ＝·|AB |·d ＝≥2，12p (pk 2＋2)32p 当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴2＝4，∴p ＝2，2p 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .2．(2019届高三·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，x 24若m ＝，n ＝，m ·n ＝0.(x 12，y 1)(x 22，y 2)(1)求证：k 1·k 2＝－；14(2)试探求△POQ 的面积S 是否为定值，并说明理由．解：(1)证明：∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0，∵m ·n ＝0，∴＋y 1y 2＝0，x 1x 24∴k 1·k 2＝＝－.y 1y 2x 1x 214(2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由＝－，得－y ＝0，y 1y 2x 1x 214x 21421又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得＋y ＝1，x 21421∴|x 1|＝，|y 1|＝，222∴S △POQ ＝|x 1|·|y 1－y 2|＝1.12②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由Error!得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0，∴x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.－8kb 4k 2＋14b 2－44k 2＋1∵＋y 1y 2＝0，x 1x 24∴＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，x 1x 24得2b 2－4k 2＝1，满足Δ>0.∴S △POQ ＝·|PQ |12|b |1＋k 2＝|b |12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|b |·＝1.4k 2＋1－b 24k 2＋1∴△POQ 的面积S 为定值．3.(2018·长春质检)如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB的中点，P ，Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①＝，②直线AQ |AP ||AD ||DQ ||DC |与BP 的交点在椭圆E ：＋＝1(a >b >0)上．x 2a 2y 2b2(1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知，＝.y 12x 1＋24∵k AG ＝k AQ ，k BG ＝k BP ，∴＝，＝－，y x ＋22x 1＋2y x －2y 14从而有＝－＝－，整理得＋y 2＝1，y 2x 2－4y 12(x 1＋2)14x 24即椭圆E 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝，124－x 20从而梯形ORMN 的面积S ＝(2＋x 0)y 0＝，1214(4－x 20)(2＋x 0)2令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝.144t 3－t 4令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )，当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增，当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为.3344．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，直线x ＝my ＋3与E 交于A ，B 两点，且·＝6，OA ―→ OB ―→其中O 为坐标原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 的坐标为(－3,0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：＋－2m 21k 211k 2为定值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立Error!消去x ，整理得y 2－2pmy －6p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－6p ，x 1x 2＝＝9，(y 1y 2)24p 2由·＝x 1x 2＋y 1y 2＝9－6p ＝6，OA ―→ OB ―→解得p ＝，所以y 2＝x .12(2)证明：由题意得k 1＝＝，y 1x 1＋3y 1my 1＋6k 2＝＝，y 2x 2＋3y 2my 2＋6所以＝m ＋，＝m ＋，1k 16y 11k 26y2所以＋－2m 2＝2＋2－2m 21k 211k2(m ＋6y 1)(m ＋6y 2)＝2m 2＋12m ＋36－2m2(1y 1＋1y 2)(1y 21＋1y 2)＝12m ·＋36·.y 1＋y 2y 1y 2(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 21y2由(1)可知：y 1＋y 2＝2pm ＝m ，y 1y 2＝－6p ＝－3，所以＋－2m 2＝12m ·＋36·＝24，1k 211k 2(－m 3)m 2＋69所以＋－2m 2为定值．1k 211k25．(2018·惠州调研)已知C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M ，满足·＝0，＝2.MQ ―→ AP ―→ AP ―→AM ―→ (1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且≤·≤，求k 的取值范围．34OF ―→ OH ―→ 45解：(1)由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝2>|CA |＝2，2所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，2所以a ＝，c ＝1，b ＝＝1，2a 2－c 2故点Q 的轨迹方程是＋y 2＝1.x 22(2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒＝1⇒t 2＝k 2＋1.|t |k 2＋1联立Error!⇒(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，－4kt 1＋2k 22t 2－21＋2k 2所以·＝x 1x 2＋y 1y 2OF ―→ OH ―→＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝＋kt ＋t 2(1＋k 2)(2t 2－2)1＋2k 2－4kt 1＋2k 2＝－＋k 2＋1(1＋k 2)2k 21＋2k 24k 2(k 2＋1)1＋2k 2＝，1＋k 21＋2k 2所以≤≤⇒≤k 2≤⇒≤|k |≤，341＋k 21＋2k 24513123322所以－≤k ≤－或≤k ≤.22333322故k 的取值范围是∪.[－22，－33][33，22]6.如图所示，设椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左顶点为A ，中心为O ，x 2a 2y 2b 2若椭圆M 过点P ，且AP ⊥OP .(－12，12)(1)求椭圆M 的方程；(2)若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；(3)过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交椭圆M 于D ，E 两点，且k 1k 2＝1，求证：直线DE 过定点．解：(1)由AP ⊥OP ，可知k AP ·k OP ＝－1.又点A 的坐标为(－a,0)，所以·＝－1，解得a ＝1.12－12＋a 12－12又因为椭圆M 过点P ，所以＋＝1，解得b 2＝，1414b 213所以椭圆M 的方程为x 2＋＝1.y 213(2)由题意易求直线AP 的方程为＝，y －012－0x ＋1－12＋1即x －y ＋1＝0.因为点Q 在椭圆M 上，故可设Q ，(cos θ，33sin θ)又|AP |＝，22所以S △APQ ＝××1222|c os θ－33sin θ＋1|2＝× cos ＋1 .14233(θ＋π6)当θ＋＝2k π(k ∈Z)，即θ＝2k π－(k ∈Z)时，π6π6S △APQ 取得最大值＋.3614(3)证明：法一：由题意易得，直线AD 的方程为y ＝k 1(x ＋1)，代入x 2＋3y 2＝1，消去y ，得(3k ＋1)x 2＋6k x ＋3k －1＝0.212121设D (x D ，y D )，则(－1)·x D ＝，3k 21－13k 21＋1即x D ＝，y D ＝k 1＝.1－3k 211＋3k 21(1－3k 211＋3k 21＋1)2k 11＋3k 21设E (x E ，y E )，同理可得x E ＝，y E ＝.1－3k 21＋3k 22k 21＋3k 2又k 1k 2＝1且k 1≠k 2，可得k 2＝且k 1≠±1，1k1所以x E ＝，y E ＝，k 21－3k 21＋32k 1k 21＋3所以k DE ＝＝＝，y E －y Dx E －x D 2k 1k 21＋3－2k 11＋3k 21k 21－3k 21＋3－1－3k 211＋3k 212k 13(k 21＋1)故直线DE 的方程为y －＝.2k 11＋3k 212k 13(k 21＋1)(x －1－3k 211＋3k 21)令y ＝0，可得x ＝－＝－2.1－3k 211＋3k 213(k 21＋1)1＋3k 21故直线DE 过定点(－2,0)．法二：设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )．若直线DE 垂直于y 轴，则x E ＝－x D ，y E ＝y D ，此时k 1k 2＝·＝＝＝y D x D ＋1y E x E ＋1y 2D 1－x 2D y 2D3y 2D 与题设矛盾，13若DE 不垂直于y 轴，可设直线DE 的方程为x ＝ty ＋s ，将其代入x 2＋3y 2＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋2tsy ＋s 2－1＝0，则y D ＋y E ＝，y D y E ＝.－2ts t 2＋3s 2－1t 2＋3又k 1k 2＝·y D x D ＋1y Ex E ＋1＝y D y E(ty D ＋s ＋1)(ty E ＋s ＋1)＝1，可得(t 2－1)y D y E ＋t (s ＋1)(y D ＋y E )＋(s ＋1)2＝0，所以(t 2－1)·＋t (s ＋1)·＋(s ＋1)2＝0，s 2－1t 2＋3－2ts t 2＋3可得s ＝－2或s ＝－1.又DE 不过点A ，即s ≠－1，所以s ＝－2.所以DE 的方程为x ＝ty －2.故直线DE 过定点(－2,0)．7．(2018·南昌模拟)如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.x 24(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．解：(1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)，直线l 与直线l 1的交点为(0,1)，∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝，k 1＝，y －1x y 0－1x 0由＝＋1，y ＋y 02x ＋x 02得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，①由＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，②y －y 0x －x 0由①②得Error!∴k ·k 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0＝＝1.(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0(2)由Error!得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，∴x M ＝，y M ＝.－8k 4k 2＋11－4k 24k 2＋1同理可得x N ＝＝，y N ＝＝.－8k 14k 21＋1－8k 4＋k 21－4k 214k 21＋1k 2－44＋k 2k MN ＝＝＝＝－，y M －y N x M －x N 1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 28－8k 48k (3k 2－3)k 2＋13k 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －＝－，1－4k 24k 2＋1k 2＋13k (x －－8k 4k 2＋1)即y ＝－x －＋＝－x －.k 2＋13k 8(k 2＋1)3(4k 2＋1)1－4k 24k 2＋1k 2＋13k 53∴当k 变化时，直线MN 过定点.(0，－53)8．(2019届高三·湘东五校联考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于，它的一个短12轴端点恰好是抛物线x 2＝8y 的焦点．3(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，已知P (2,3)，Q (2，－3)是椭圆上的两点，A ，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．①若直线AB 的斜率为，求四边形APBQ 面积的最大值；12②当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．解：(1)设椭圆C 的方程为＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2∵抛物线的焦点为(0,2)．3∴b ＝2.3由＝，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，c a 12∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 216y 212(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，12代入＋＝1，x 216y 212得x 2＋tx ＋t 2－12＝0，由Δ>0，解得－4<t <4，∴x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝t 2－4(t 2－12)＝.48－3t 2∴四边形APBQ 的面积S ＝×6×|x 1－x 2|＝3.1248－3t 2∴当t ＝0时，S 取得最大值，且S max ＝12.3②若∠APQ ＝∠BPQ ，则直线PA ，PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)，由Error!消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－48＝0，∴x 1＋2＝，8k (2k －3)3＋4k 2将k 换成－k 可得x 2＋2＝＝，－8k (－2k －3)3＋4k 28k (2k ＋3)3＋4k 2∴x 1＋x 2＝，x 1－x 2＝，16k 2－123＋4k 2－48k 3＋4k 2∴k AB ＝＝y 1－y 2x 1－x 2k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝＝，k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 212∴直线AB 的斜率为定值.12。

专题跟踪检测（八） 数 列一、全练保分考法——保大分1．已知等差数列的前3项依次为a ，a ＋2,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110，则k 的值为( )A ．9B ．11C ．10D ．12解析：选C 由a ，a ＋2,3a 成等差数列，得公差为2，且2(a ＋2)＝a ＋3a ，解得a ＝2，所以S k ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k ＝110，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)．2．(2018·云南模拟)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，则q ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 依题意，注意到2a 3＝a 1＋a 5,2a 3－6＝a 1＋a 5－6，即有2(a 3－3)＝(a 1－1)＋(a 5－5)，即a 1－1，a 3－3，a 5－5成等差数列；又a 1－1，a 3－3，a 5－5依次构成公比为q 的等比数列，因此有a 1－1＝a 3－3＝a 5－5(若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个非零的常数列)，q ＝a 3－3a 1－1＝1.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝方得至其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则第三天走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里解析：选B 由题意得每天走的路程构成等比数列{a n }，其中q ＝12，S 6＝378，则S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 3＝192×14＝48.4．已知递减的等差数列{a n }中，a 3＝－1，a 1，a 4，－a 6成等比数列．若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 7的值为( )A ．－14B ．－9C ．－5D ．－1解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由题可知d <0，因为a 1，a 4，－a 6成等比数列，所以a 24＝a 1×(－a 6)，即(a 1＋3d )2＝a 1×(－a 1－5d )．又a 3＝a 1＋2d ＝－1，联立可解得d ＝－1或d ＝25(舍去)．因为d ＝－1，所以a 1＝1，所以S 7＝－14.5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn 等于( )A ．2n 2＋2nB ．n 2＋2nC ．2n 2＋nD ．2(n 2＋2n )解析：选A ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①∴当n ＝1时，a 1＝2，解得a 1＝4. 当n ≥2时， a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋n －1.②①－②，得a n ＝2n ，∴a n ＝4n 2. 当n ＝1时上式也成立．∴a n n ＝4n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn ＝4(1＋2＋…＋n )＝4×n (1＋n )2＝2n 2＋2n . 6．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )A ．10B ．15C ．20D ．25解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2S 4·25S 4＋10＝20， 当且仅当S 4＝5时等号成立，综上可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.7．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则其公比q 等于________．解析：∵{a n }是由正数组成的等比数列，∴数列{a n }的公比q >0.由a 2a 4＝1，得a 23＝1，∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)．故q ＝12. 答案：128．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a m －1a m ＋1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n .若T 2m －1＝512，则m 的值为________．解析：由等比数列的性质，得a m ＋1a m －1＝a 2m ＝2a m .又数列{a n }的各项均为正数，所以a m ＝2.又T 2m －1＝(a m )2m －1＝22m －1＝512，所以2m －1＝9，所以m ＝5.答案：59．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ∈N *)，则S 2n －1＝________.解析：因为a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ∈N *)，所以S 2n －1＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2n －2＋a 2n －1)＝1＋122＋124＋…＋122n －2＝1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n . 答案：43⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n10．(2018·成都模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16， 解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由题意，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 11．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n .(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2，∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2. ∵a n ＋1－a n ＝b n ， ∴a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， a 4－a 3＝b 3， …a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)， a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2) ＝2(1－2n )1－2－2(n －1)＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)． ∵a 1＝2符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．12．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1. ∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1， ∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n ， ∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－(－2)n ]1＋2＝－13[1－(－2)n ]．二、强化压轴考法——拉开分1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝( ) A ．20 480 B ．49 152 C ．60 152D ．89 150解析：选B 由S 2＝4a 1＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，联立a 1＝2，解得a 2＝8.又a n ＋2＝S n＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，∴a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，∴数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－2a n 2n ＋1＝1，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以a 12＝1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n ，∴a 12＝12×212＝49 152.2．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：选D 因为a n ＝n (a n ＋1－a n )＝na n ＋1－na n ，所以na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1a n＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n －1·n －1n －2 (2)1·1＝n . 3．(2018·郑州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝1n (n ＋2).若a 2n ＋1>a 2n －1，a 2n ＋2<a 2n (n ∈N*)，则数列{(－1)n a n }的前40项的和为( )A.1920B.325462C.4184D.2041解析：选D 由题意可得a 2n ＋1－a 2n －1>0，a 2n ＋2－a 2n <0，则a 2n ＋1－a 2n －1>a 2n ＋2－a 2n ， 所以a 2n ＋1－a 2n ＋2>a 2n －1－a 2n .① 而|a 2n ＋1－a 2n ＋2|＝1(2n ＋1)(2n ＋3)，|a 2n －1－a 2n |＝1(2n －1)(2n ＋1)，即|a 2n ＋1－a 2n ＋2|<|a 2n －1－a 2n |.② 综合①②，得a 2n －1－a 2n <0， 即a 2n －1－a 2n ＝－1(2n －1)(2n ＋1).裂项，得a 2n －a 2n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.综上可得，数列{(－1)n a n }的前40项的和为(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 40－a 39)＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫139－141＝2041. 4．(2019届高三·河北“五个一名校联盟”联考)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2<2 018<64×(64＋1)2＝2080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，故选B.5．(2019届高三·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3且当n ≥2时，2a n ＝S n ·S n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ≥2时，由2a n ＝S n ·S n －1可得2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1，∴1S n －1－1S n ＝12，即1S n －1S n －1＝－12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为13，公差为－12的等差数列，∴1S n ＝13＋⎝⎛⎭⎫－12·(n －1)＝5－3n 6，∴S n ＝65－3n .当n ≥2时，a n ＝12S n S n －1＝12×65－3n ×65－3(n －1)＝18(5－3n )(8－3n )，又a 1＝3，∴a n＝⎩⎨⎧3，n ＝1，18(5－3n )(8－3n )，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，18(5－3n )(8－3n )，n ≥2 6．(2018·开封模拟)已知数列{a n }满足[2－(－1)n ]a n ＋[2＋(－1)n ]a n ＋1＝1＋(－1)n ×3n (n ∈N *)，则a 25－a 1＝________.解析：∵[2－(－1)n ]a n ＋[2＋(－1)n ]a n ＋1＝1＋(－1)n ×3n ，∴当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋3a 2k＋1＝1＋6k ，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，3a 2k －1＋a 2k ＝1－6k ＋3，∴a 2k ＋1－a 2k －1＝4k －1，∴a 25＝(a 25－a 23)＋(a 23－a 21)＋…＋(a 3－a 1)＋a 1＝(4×12－1)＋(4×11－1)＋…＋(4×1－1)＋a 1＝4×12×(12＋1)2－12＋a 1＝300＋a 1，∴a 25－a 1＝300.答案：300三、加练大题考法——少失分1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝0，a 3－2a 2＝12(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋162n ＋2的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＝0，a 1＋2d －2(a 1＋d )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，d ＝4，所以a n ＝4n －16.(2)由(1)知a n ＝4n －16，所以a n ＋162n ＋2＝4n －16＋162n ＋2＝n2n ，所以S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，两边同乘以12，得12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减，得12S n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以S n ＝2－n ＋22n . 2．设数列{a n }的前n 项和为T n ＝2n －14(n ∈N *)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，定义[x ]为不小于x 的最小整数，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎦⎤S n n 2的前n 项和R n .解：(1)因为数列{a n }的前n 项和为T n ＝2n －14，所以a 1＝T 1＝21－14＝14.当n ≥2时，a n ＝T n －T n －1＝2n －14－2n －1－14＝2n －3，当n ＝1时，a 1＝14符合上式．故a n ＝2n －3.(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n －3，则数列{b n }是首项为－2，公差为1的等差数列，其前n 项和S n ＝n 22－52n ，则S n n 2＝12－52n .因为当n ≥1时，S n n 2＝12－52n 单调递增，所以S 112＝－2，当2≤n ≤5时，－34≤S nn 2≤0，当n ≥6时，112≤S n n 2<12，所以R 1＝－2，当2≤n ≤5时，R n ＝－2＋0＋0＋…＋0＝－2， 当n ≥6时，R n ＝－2＋(n －5)·1＝n －7，所以R n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，1≤n ≤5，n －7，n ≥6.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且a 2＝3，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1S n ·S n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 2＝3，S 5＝25，所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，5(2a 1＋4d )2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)证明：由(1)知，a n ＝2n －1， 所以S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.所以b n ＝1n 2·(n ＋1)2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.4．(2017·山东高考)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x 1，1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知得q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0.因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1， 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1， 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1.雨衣专享雨衣专享 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。