微齿轮受力分析

微齿轮受力分析杨林（五邑大学机电工程学院，广东江门 529020）摘要：本文在宏观齿轮力学基础上，通过引入影响系数来分析纳米齿轮的受力情况。

关键词：微齿轮范德华力应力1 微齿轮的研究意义随着微纳科技的发展，以形状微小或操作尺寸极小为特征的微电子机械系统(MEMS)，已经成为人们在微观领域认识和改造客观世界的一项高新技术。

MEMS由于具有能够在狭小空间内进行工作而又不扰乱工作环境的特点，在航天航空、精密机械、生物医学等领域有着广泛的应用潜力，因而受到各国的高度重视，被列为二十一世纪关键技术之首。

微机电系统(MEMS)是以微电子技术和微加工技术(包括硅体微加工、硅表面加工、LIGA和键合等技术)为基础，集微型机构、微型传感器、微型执行器以及信号处理和控制电路甚至接口、通信和电源等于一体的微型器件和系统。

MEMS并非是单纯的宏观机械微小化，它的研究目的在于通过微型化、集成化来探索新原理、新功能的元件和系统，开辟一个新的科学技术领域和产业。

微齿轮作为组成微减速器的零件之一，是一种重要的微机械传动零件，主要用于传递动力和运动。

微齿轮具有体积小、传动紧凑等优点。

它的应用遍及各个领域，如在航空航天中的微纳卫星、现代医学的微创手术以及在微型机器人中实现动力传递和运动转换等功能。

德国美茵茨微技术研究所己成功将微齿轮应用于粘性流体的精确控制”。

毫无疑问，微齿轮具有极大的商业和应用价值。

经过若干年的发展，微齿轮已经试制成功。

继1987年加州大学伯克利分校制造出微马达及微齿轮、曲柄和弹簧后。

美国已经制造出直径为700毫米的微齿轮。

德国美茵茨微技术研究所利用LIGA技术和精加工技术相结合，成功制造出直径为1192微米，高度为500微米的微齿轮。

日本信州大学用纳米碳复合材料制成了世界上最小的钟表用齿轮，直径为200微米。

其它试制成功微齿轮的还有美国阿贡国家实验室、贝尔实验室公司等单位。

近年来，国内也积极开展了微齿轮方面的研究，并已经有了一些研究成果。

上海交通大学薄膜与微细技术实验室成功试制了模数为0.03毫米，直径为2毫米的微齿轮及微行星齿轮减速器。

中国科学技术大学国家同步辐射实验室利用LIGA技术成功制造出微齿轮活动部件。

目前，在扫描力显微镜帮助下，专家已经能够没计出了只有几个分子组成的微齿轮构件。

显然人们在微齿轮制造方面的研究已经取得了很大的成功和突破，微齿轮将向更小尺寸方向发展。

2 微齿轮范德华力的计算微齿轮是微机械中极为重要的传动零件，主要用于传递运动和动力。

微齿轮在传动啮合接触过程中由于传递了运动和动力必然要受到力的作用而发生应力应变。

随着齿轮特征尺寸的缩小，微观效应和多物理场耦合效应的影响就越显著，现有的成熟的齿轮理论已经不在适用于微齿轮，本来在宏观齿轮应力应变或力学分析中可以忽略的微观力(例如：表面张力、静电力、范德华力和Casimir力等)在微齿轮中就必须加以考虑。

为了对微齿轮进行力学或应力应变分析，必须先计算微齿轮啮合接触中啮合齿廓间的微观力，再对现有的齿轮理论进行修正或创新。

2．1 微齿轮啮合接触齿廓间范德华力的计算方法比较目前从理论上研究离散的微观物质世界存在三种方法：(1)根据量子力学理论，用薛定谔方程求解；(2)利用分子动力学等模拟方法模拟分子原子等的运动；(3)根据Hajaker假设用连续介质方法求解。

第一种方法，理论成立，但需要求解薛定谔方程，根据目前的计算能力很难解决实际问题。

第二种方法，对计算机要求很高，只能满足部分纳米器件的需要。

本文利用第三种方法来求解微齿轮啮合接触时两啮合齿廓间的范德华力，此范德华力为两齿轮齿廓刚刚接触但未发生变形时其问的范德华力。

2．2 渐开线简化数学模型为了分析微齿轮啮合接触时两啮合齿廓问范德华力，就必须建立渐开线的数学模型。

由图2.1，假设渐开线上任一点的坐标为（x，y)，则图示位置渐开线的数学模型为：θ一渐开线上一点(x，y)的展角和压力角之和。

图 2.2 二维空间任意位置的齿廓图 2.1 齿轮假想线图2.1所示的渐开线为特定位置下的渐开线，不能满足计算需要，所以需要建立处于二维空间任意位置的渐开线数学模型。

图2.2所示的渐开线是处于二维空间任意位置的渐开线，是由图2.2的渐开线旋转2θ角度后，然后将齿轮的轴心平移到点'O 得到的。

假设'O 点的坐标为(x 0’,y 0’)，未旋转前的渐开线上任一点的坐标为(x 0,y 0)，未平移前的渐开线上任一点的坐标为(x 1,y 1)，平移后渐开线(图2.2所示)上任一点的坐标为(x ，y)，则 )]cos()'[sin('[)]sin()[cos(')()''(2202201100θθθθθθθθθθ+-+++++++=+++=+b b r y i r x iy x iy x iyx （2）∴处于二维空间任意位置的渐开线数学模型为)]sin()[cos('220θθθθθ++++=b r x x ;)cos()'[sin('220θθθθθ+-++=b r y y （3）设渐开线数学表达式y=f(x),使用泰勒公式对上式进行简化)2tan(/'θθθθ+=⋅==dx d d dy dx dy y ；)2(cos 1)/()/(/"322θθθθθ+=⋅===b r dx d d dx dy d dx dx dy d x d y d y 设两齿轮的啮合点为（x 0,y 0）,则有任意间任意位置渐开线的简化数学模型为：200000)(2)("))((')()(x x x y x x x y x y x f y -+-+== （4） 2.3 啮合齿轮齿廓简化方程的确定齿轮在传动啮合接触过程中，两啮合齿廓问的范德华力与两齿轮啮合点的不同也就不同。

为了计算两啮合齿廓问的范德华力，就必须确定啮合点在啮合线上的范围。

在图2.3中所示的是两相互啮合齿轮：齿轮1的基圆半径为1b r ，齿顶圆半径为1a r ，其轴心恰在坐标系原点O ；齿轮2的基圆半径为2b r ，齿顶圆半径为2a r ，其轴心为坐标系xoy 中的点02；直线MN 是齿轮l 的基圆和齿轮2的基圆的公切线，即两啮合齿轮的啮合线，点M 为齿轮2的齿顶圆与啮合线的交点，点N 为齿轮l 的齿顶团与啮合线的交点，线段AB就是两齿轮的有效啮合线段。

假设齿轮l 的分度圆半径为1r ，齿轮2的分度圆半径为2r ，啮合线与x 轴的交点为Ol ，则啮合线方程为)(70tan 1r x y -= (5)在∆OPN 中，由余弦定理可得：OPN PN OP PN OP ON ∠⋅⋅-+=cos 2222图 2.3 二维空间任意位置的齿廓 设PN=PN l ,则上式写为：OPN l r x r r PN a ∠⋅⋅-+=cos 2122121解得 )()cos ()cos(21212111a PN r r OPN r OPN r l --∠+∠=)()cos ()cos(21212112a PN r r OPN r OPN r l --∠-∠=(小于零，舍)同理可得)()cos ()cos(2222212a PM r r OPM r OPM r l --∠+∠=于是可以得到M x ，N x 与PN l ，PM l 的关系)cos(1OPN l r x PN N ∠-+=π)cos(1OPN l r x PM M ∠--=π由此可得到啮合点在坐标系内的变化范围。

设齿轮1的展角和压力角之和为1ψ，渐开线的，齿轮2的展角与压力角之和为2ψ，设MN 上任意一点的坐标为00(,)x y 由坐标关系可推出渐开线方程为""2'''21010111001000100()()'()(()())(()))22f x f x y f x x x f x x f x x y f x x ==+-+-+ ""2'''22020222002000200()()'()(()())(()))22f x f x y f x x x f x x f x x y f x x ==+-+-+ 2.4 范德华力的计算在计算范德华力时，引入分子动力学中的截断半径(两原子间的距离大于截断半径时，其相互作用力可以忽略不计)，设截断半径为2.5R ，由齿廓渐开线各向齿廓内侧偏移2.5R 组成范德华力计算域，由于截断半径远远小于齿廓渐开线的尺寸，为简化计算，假设作用域内的原子均匀分布在各自齿廓上的一条曲线上，齿轮1和齿轮2上的这条曲线分别为其齿廓渐开线向内偏移0.5R 所得到的曲线s1,s2。

设原子分布线密度为ρ，齿轮宽度为b ，则原子分布线密度为：03211(68)(0.362109)24r b ρ=⨯⨯+⨯⨯- 已知线密度，就可以根据曲线积分可以求出两啮合齿廓间的范德华力在x 、y 方向上的分量Ax ，Ay ，设啮合点处啮合齿廓间范德华力的法向力和切向力分别为Fn ，Ft ，则sin Fn Ay OPN Ax OPN =⋅∠-⋅∠s i n c o s F t A xO P N A y O P N=⋅∠+⋅∠ 求得了范德华力，就可以对啮合点上的不同位置进行受力分析。

3 微齿轮应力应变分析3.1 理论现状微齿轮在传动啮合过程中必然发生齿面接触。

接触理论研究的对象是载荷作用下接触区形状、应力分布和应变等，宏观齿轮接触理论已不适用于微齿轮接触分析。

目前一些较成功的接触理论主要有：HERTZ 、DM 、JKR 、MD 等。

HERTZ 接触理论，主要应用于载荷作用下宏观物体的接触分析，但在分析接触时没有考虑表面力的作用；JKR 、DMT 和MD 考虑了表面力对接触和粘附的影响，但JRT 和DMT 是两种极限情况，而MD 是连接两者的一个过渡接触分析理论。

目前，JKR 、DMT 和MD 是微接触分析中比较理想的分析理论，部分已经用在微接触分析中。

齿轮接触，可能发生微齿轮间的粘附，所以在此不对微齿轮进行接触和粘附分析，只对微齿轮进行弯曲静强度分析，并且认为微齿轮啮合接触的变形是由微齿轮刚刚接触时两啮合齿廓间的范德华力和微齿轮运动的有效阻力引起的。

本文假设微齿轮啮合接触的变形是由微齿轮刚接触时两啮合齿廓间的范德华力和微齿轮运动的有效阻力引起的，并假设微齿轮的粘附作用不占主导位置，即不考虑粘附作用，只做静强度分析。

3.2 微齿轮弯曲静强度分析如上图所示，1F 、2F 分别为齿廓啮合刚好且没发生变形时齿廓间的法线方向受绝对值最大的力和切线方向最大的力，Fn 为齿轮有效法向阻力,则齿根的最大弯曲力矩近似为：12[()cos sin ]n F F M F F F l αα=++= 12cos [()cos cos tan ]cos F n F l F F F ααααα++ 12cos [()cos sin ]cos F n F l F F F αααα≈++ M —齿根弯矩；F α—法向压力角；α—标准压力角；l —分度圆至齿根距离结合宏观齿轮强度分析中的齿根弯曲强的校核公式max ()[]v F F t t Fax Fa Sa F K K K F f Y Y Y bm αβεσσ+=≤lim min []F N F F Y S σσ=其中cos t n F F α=⋅ 12cos sin t F f F F αα=+max F σ—静载荷最大弯曲应力；v K —动载荷系数；F K α—齿间载荷分布系数，是考虑同时啮合的各对轮齿间载荷分配不均匀影响的系数；F K β—齿向载荷分布系数是考虑沿齿宽载荷分布对齿根弯曲应力的影响的系数，取值小于宏观齿轮；Fa Y —齿形系数，是考虑载荷作用于单对齿啮合区外界点时齿形对名义弯曲应力的影响的系数；Sa Y 一应力修正系数，是将名义弯曲应力换算成齿根局部应力的系数；Y ε一重合度系数，是将载荷由齿顶转换到单对齿啮合区外界点的系数；lim F σ—静强度极限弯曲应；N Y —弯曲寿命系数；min F S —最小安全系数4 总结经过本学期的学习，学到很多关于先进制造方面的很多知识，见识了一些没有接触过的新技术，尤其是MEMS ，微制造是将来发展的一个必然趋势，里面很多层面都还是未触及的领域，对科研来说极有研究价值，所以选择了目前研究还不是很成熟的微齿轮，由于知识水平有限，本论文参照了大量的论文，以及实验条件的限制，本论文只能停留在理论层面，齿根弯曲强度校核公式中的系数需要在实验条件下进行统计确定，论文知识个开始，接下来我还会对微制造进行更深入的学习，尽力使理论向市场化转化。