2017年春季新版北师大版七年级数学下学期第2章、相交线与平行线单元复习导学案2

第2章 相交线与平行线一、知识梳理1、如果两个角的和为 ,那么称这两个角互为余角 如果两个角的和为 ，那么称这两个角互为补角 性质：同角或等角的余角 ，同角或等角的补角 .2、如果两个角有公共顶点,且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做 .性质：对顶角 。

3、当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时,就说这两条直线 ，它们的交点叫做 。

4 、直线外一点到直线上各点连结的所有线段中,垂线段 ，这条垂线段的长度叫做 .5。

过直线外一点 一条直线与这条直线平行。

6.如图,若l 1∥l 2，则① ；② ;③ .7。

平行线的判定方法： (1）应用平行线的定义.（2)平行于同一条直线的两条直线 。

（3)如图，①如果 ，那么l 1∥l 2;②如果 ，那么l 1∥l 2；③如果 ，那么l 1∥l 2。

（4）垂直于同一条直线的两条直线互相。

8、只用直尺和圆规来完成的画图,称为。

二、题型、技巧归纳考点一与相交线有关角(对顶角、互余、互补、垂直）的计算例1、如图，直线BC，DE交于O点,OA，OF为射线，AO⊥OB,OF平分∠COE，∠COF＋∠BOD＝51°。

求∠AOD的度数．考点二平行线的性质例2、如图，已知a∥b,小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°，则∠2的度数为________.考点三平行线的判定【例3】如图,已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是________。

考点四尺规作图例4 如图所示，已知∠β，求作∠AOB，使∠AOB＝2∠β.三、随堂检测1.如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于( ）(A）35° （B)55°（C）65° （D）125°2.如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )(A）当∠1=∠2时，一定有a∥b(B）当a∥b时，一定有∠1=∠2(C)当a∥b时,一定有∠1＋∠2=90°(D)当∠1＋∠2=180° 时，一定有a∥b3、如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D,∠C=110°，则∠EAB为( ）(A）30° （B）35°（C）40° （D）45°4.如图,已知BD平分∠ABC,点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF=100°,∠ABD的度数为( )(A）60° （B）50°(C)40° (D）30°5。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】同位角、内错角、同旁内角的概念（“三线八角”模型）如图1，直线AB、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF 所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.特别提醒：⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF 相交．⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．【知识点二】同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图1，（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD 的同一方，并且都在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD 之间，并且在直线EF 的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.特别提醒：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．【知识点三】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1特别提醒：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．【考点目录】【考点1】“三线八角”模型的认识；【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【考点1】“三线八角”模型的认识；【例1】（1）图1中，∠1、∠2由直线被直线所截而成．（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？【答案】（1）EF，CD；AB；（2）不是．【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可；（2）根据三线八角的定义求解即可；解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．【点拨】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．【变式1】如图，下列说法正确的是（）A．∠2与∠3是同旁内角B．∠1与∠2是同位角C．∠1与∠3是同位角D．∠1与∠2是内错角【答案】A【分析】根据同旁内角定义可判断A、根据同位角定义可判断B、根据内错角的定义可判断C、D即可．解：A、由图与同旁内角定义，∠2和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在被截直线内部的角可知：∠2和∠3是同旁内角，故选项A正确符合题意；B、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角，不是同位角，故选项B不正确不符合题意；C、∠1和∠3是两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线内部的角是内错角，不是同位角，故选项C不符合题意；D、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角不是内错角，故选项D不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了同旁内角、同位角、内错角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键．【变式2】如图，有下列说法：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个；②能与BFE ∠构成同位角的角的个数有2个；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有4个．其中正确结论的序号是．【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断．解：①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个，即EFA Ð和EDC ∠，故正确；②能与EFB ∠构成同位角的角的个数只有1个：即FAE ∠，故错误；③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有5个：即CDE ∠，B ∠，CED ∠，CEF ∠，A ∠，故错误；所以结论正确的是①．故答案为：①．【点拨】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记相关的定义．【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别；【例2】两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【答案】（1）见分析；（2）36°【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．【变式1】下列四幅图中，1∠和2∠是同位角的是几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据同位角的定义（截线的同一侧，被截线的同一方位）解决此题．解：根据同位角的定义，第一张图和第四张图中的∠1和∠2是同位角．故选：B．【点拨】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．【变式2】如图，直线a，b被直线c所截，145∠=︒，2110∠=︒，则1∠的同位角的度数是；4∠的内错角的度数是；3∠的同旁内角的度数是．【答案】70︒/70度45︒/45度70︒/70度【分析】根据同位角，内错角和同旁内角的概念以及邻补角求解即可．解：∵24180∠+∠=︒，2110∠=︒，∴470∠=︒，∵1∠和4∠是一组同位角，∴1∠的同位角的度数是70︒；∵145∠=︒，∴31801135∠=︒-∠=︒，∴4∠的内错角的度数是180318013545︒-∠=︒-︒=︒；3∠的同旁内角4∠的度数是70︒．故答案为：70︒；45︒；70︒．【点拨】此题考查了邻补角，同位角，内错角和同旁内角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【例3】如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，交点分别为G ，H ，∠CHG =∠DHG =34∠AGE ．（1）CD 与EF 有怎样的位置关系？请说明理由．（2）求∠CHG 的同位角、内错角、同旁内角的度数．【答案】（1）CD ⊥EF ；（2）∠CHG 的同位角∠AGE =120°，内错角∠BGF =∠AGE =120°，同旁内角∠AGF =60°【分析】（1）先由∠CHG +∠DHG =180°及∠CHG =∠DHG ，可得∠CHG =∠DHG =90°，再根据垂直的定义得到CD 与EF 互相垂直；（2）先由∠CHG =∠DHG =34∠AGE ，可得∠AGE =120°，再根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可求解．解：（1）CD ⊥EF ．理由如下：因为CD是直线，所以∠CHG+∠DHG=180°，又∠CHG=∠DHG，所以∠CHG=∠DHG=90°，所以CD⊥EF．（2）由（1）知∠CHG=∠DHG=90°，因为∠CHG=∠DHG=34∠AGE，所以∠AGE=120°，所以∠CHG的同位角∠AGE=120°，内错角∠BGF=∠AGE=120°，同旁内角∠AGF=180°-∠AGE=60°．【点拨】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单．【变式1】如图，下列判断正确的是（）A．有2对同位角，2对内错角，2对同旁内角B．有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角C．有4对同位角，2对内错角，4对同旁内角D．以上判断均不正确【答案】B【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．解：观察图形可知，有2对同位角，2对内错角，3对同旁内角．故选B．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．注意按顺序一个点一个点的数，不要重复，不要遗漏．【变式2】如图两条直线被第三条直线所截，2∠是3∠的同旁内角，1∠是3∠的内错角，若243∠=∠，321∠=∠，则1∠的度数是．【答案】20︒/20度【分析】设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，根据邻补角互补可得方程，求解即可．解：如图，设1x ∠=︒，则32x ∠=︒，28x ∠=︒，∵12180∠+∠=︒，∴8180x x ︒+︒=︒，解得：20x =，∴120∠=︒．故答案为：20︒．【点拨】本题考查了内错角、同旁内角、邻补角互补、角的计算，解本题的关键是掌握内错角的边构成“Z ”形，同旁内角的边构成“U ”。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。

第二章平行线与相交线复习教学要点：1梳理本章内容2在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型教学环节：本节课按知识点分类设计了八个教学环节：课前准备、知识梳理、活动单元一、活动单元二、活动单元三、综合提高、课堂小结、布置作业。

教学设计教学目的：：1．掌握平行线与相交线的相关知识，梳理本章内容，建立一定的知识体系；并能够综合运用这些知识解决相关的问题。

2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型，通过讨论角与角之间的关系，进一步认识平行线和相交线。

3．在认识操作基础上锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。

教学重点：掌握平行线与相交线的相关知识教学难点：用尺规作线段和角教学过程：第一环节课前准备活动内容：（1）让学生课前独立回顾所学内容，并尝试回答教科书提出的问题。

在独立思考的基础上，开展小组交流和自评活动，并让学生自己尝试着建立知识框架图。

（2）对于在复习中出现的困惑的问题，进行记录并与同学进行交流。

对于无法解决的问题，可以课堂上师生共同探讨活动目的：让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。

通过第一个活动，希望学生能学会自己总结和反思，培养学生条例的进行思考和独立解决问题的能力。

而在第2个活动中，在培养学生解决问题的能力的同时，更注重学生提出问题的能力。

让学生养成善于思考、肯于钻研的精神。

同时培养学生与他人合作交流的意识；这两个活动中学生的思考成果会为下面的学习奠定良好的基础，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性。

实际教学效果：学生由于个人认识水平和能力的不同，对于课本问题的解答和提出的困惑问题的水平就会不同，但只要是合理的解答和学生确实存在的问题，教师都应该给与肯定和解答。

使不同的学生在学习上有不同的发展和收获。

第二环节知识梳理活动内容:请同学们展示自己的知识网络图，开展小组交流和全班交流，使学生在反思和交流的过程中逐渐建立完整的知识体系，师生共同总结，完成活动单元一。

第二章相交线与平行线的复习永和中学唐爱文一、学生起点分析：学生在本章已经完成了部分与相交线与平行线有矢的知识学习，学习了对顶角、余角、补角以及平行线的特征和判定直线平行的条件等，并初步体会了这些知识在一些简单问题中的具体应用，具备了一定的利用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学任务分析平行线、相交线在现实生活中随处可见，是平面内两条直线的基本位置尖系。

本节课是相交线与平行线的复习课，所以从具体情境引入，以思维导图梳理基础知识为起点，从简单的问题入手，逐步加深对思维导图的理解，让学生能有意识地把解决特殊问题的策略、方法迁移到思维导图中去。

本节课的教学目标如下：1经历对本章所学知识回顾与思考的过程 > 用思维导图将本章内容条理化，系统化°2•在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等基本几何模型，从而进一步熟悉和掌握几何语言 > 能用语言说明几何图形。

三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境；第二环节：归纳总结；第三环节：知识应用；第四环节：拓展练习；第五环节：构建思维导图。

第一环节：创设情境活动内容：教师提出问题：同学们认识这个标志么？生：（反应异常激烈）认识，是大众汽车的标志。

师：你们知道它的含义么？活动目的：兴趣是最好的老师，而复习课却往往比较枯燥无味。

在这里，以同学们几乎天天见的大众标志为数学情境引入，是为了让同学感受到数学就在我们身边，她不神秘，却应用广泛。

通过展示生活中常见的模型，让学生观察，思考找到模型和本章知识的内在联系，直观形象地得出了生活中的平行线和相交线。

教学效果：这个贴切的引入既激发了学生学习的积极性和主动性，又让学生鳳知 到数学 知识来源于实际生活，服务于生活。

学生亲身体会到了数学的价值，而 且课堂的引入起点很低，学生参与性很广，热情高涨。

第二环节：归纳总结活动内容：问题1:在同一平面内两条直线的位置尖系有几种？分别是什么?学生很容易回答出“在同一平面内两条直线的位置尖系有两种，分别是相交和平行”， 再进一步针对相交和平行分别提出问题2。

北师大版七年级数学下册教案（含解析）：第二章相交线与平行线章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》章末复习，主要目的是让学生巩固和掌握本章所学的基本知识和技能。

内容包括：相交线与平行线的性质，平行线的判定，平行线的性质，以及相交线与平行线在实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习本章内容时，可能对相交线与平行线的性质和判定有一定的理解，但在解决实际问题时，可能会遇到一些困难。

因此，在复习过程中，需要通过实例让学生更好地理解和运用所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相交线与平行线的性质和判定，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过复习，提高学生的数学思维能力，培养学生的空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：相交线与平行线的性质和判定。

2.难点：相交线与平行线在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探讨，激发学生的学习兴趣；通过案例分析，让学生更好地理解和运用所学知识；通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于课堂讨论。

2.准备课堂练习题，用于巩固所学知识。

3.准备PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的相交线与平行线的图片，引导学生关注和学习这些现象。

2.呈现（10分钟）呈现本章所学的基本知识和技能，包括相交线与平行线的性质、判定以及应用。

通过PPT展示，让学生对所学内容有一个整体的把握。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选取一个案例，分析案例中相交线与平行线的性质和判定，并尝试解决案例中的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示课堂练习题，让学生独立完成。

题目包括相交线与平行线的性质、判定以及应用。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——探索直线平行的条件（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．特别提醒：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.【知识点二】平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．特别提醒：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.【知识点三】两直线平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图1，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）图1【知识点二】两直线平行的判定方法2判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图2，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）图2【知识点三】两直线平行的判定方法3判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图3，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）图3特别提醒：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【考点目录】【考点1】平行线的画法；【考点2】平行公理及推论的应用；【考点3】同位角相等，两直线平行；【考点4】内错角相等，两直线平行；【考点5】同旁内角互补，两直线平行；【考点6】垂直于同一直线的两直线平行；【考点7】判定两直线平行综合应用.【考点目录】【考点1】平行线的画法；【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】本题考查了射线、线段的作法，画平行线，掌握平行线画法是解题关键．（1）根据射线及线段的定义作图即可；（2）过点B作AC的垂线BD，垂足为D即可；（3）将C点向右移3个单位得到点E，作直线BE即可；（1）解：射线AC，线段AB即为所求；（2）解：垂线段BD即为所求；（3）解：直线BE即为所求．【变式1】（2022下·辽宁辽阳·七年级统考期末）下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】由对顶角的概念可判断A，由平面内直线与直线的位置关系可判断B，由过直线外一点画已知直线的平行线可判断C，由过一点画已知直线的垂线可判断D，从而可得答案．解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意；在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意；故选D【点拨】本题考查的是对顶角的性质，平面内，直线与直线的位置关系，平行线的含义，垂直的性质，掌握以上基础的概念是解本题的关键．【变式2】（2020·四川达州·校考一模）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：①沿三角尺的边作出直线CD；②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：．【答案】③②④①【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，故答案我③②④①．【点拨】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．【考点2】平行公理及推论的应用；【例2】（2022上·河南南阳·七年级校考期末）【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．（1）过点A 作BC 的垂线，垂足为点D ，该垂线经过的一个格点记为点E ．（2）过点E 作AC 的平行线EF ，该平行线经过的一个格点记为F ；过点B 作AC 的平行线BG ，该平行线经过的一个格点记为G ．【发现】EF 与BG 的位置关系为______．【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：______．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；发现：平行；概括：平行于同一条直线的两条直线平行．【分析】（1）根据网格结构作出BC 的垂线AD 即可；（2）根据网格结构的特征构造相等的同位角再画图，然后标注即可．再根据平行线的判定可得EF 与BG 的位置关系以及结论．解：（1）如图，AD BC ，D 为垂足；（2）如图，EF AC ∥，BG AC ∥，EF 与BG 的位置关系为平行；结论：平行于同一条直线的两条直线平行．【点拨】本题考查了这题-应用与设计作图，利用网格结构作垂线，作平行线，熟练掌握网格结构的特征，准确找出对应点的位置是解题的关键．【变式1】（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（）A ．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C ．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D ．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线【答案】D【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断．解：A 、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意；B 、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”，正确，本选项不符合题意；C 、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意；D 、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键．【变式2】（2022上·上海·九年级开学考试）如图，点E 、F 分别是梯形ABCD 两腰的中点，联结EF 、DE ，如果图中DEF △的面积为1.5，那么梯形ABCD 的面积等于．【答案】6【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交EF 于G ，根据梯形中位线定理得到AD BC ∥EF ∥，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案．解：过点A 作AH BC ⊥于H ，交EF 于G ，如图，∵点E 、F 分别是梯形ABCD 两腰的中点，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，∴AD BC ∥EF ∥，∴AG EF ⊥，AG GH =，∵ 1.5DEF S = ，∴1 1.52EF AG ⋅=，∴• 1.546EF AH =⨯=，∴•6ABCD S EFAH 梯形＝＝，故答案为：6．【点拨】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的关键．【考点3】同位角相等，两直线平行；【例3】（2022上·黑龙江绥化·七年级统考期末）AB BC ⊥，12=90∠+∠︒，23∠∠=．BE 与DF 平行吗？为什么？解：BE DF ∥．AB BC ⊥ ，ABC \Ð=︒，即34∠+∠=︒．又1290∠+∠=︒ ，且23∠∠=，∴=．理由是：．BE DF ∴∥．理由是：．【答案】90；90；1∠，4∠；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【分析】由AB 垂直于BC ，利用垂直的定义得到ABC ∠为直角，进而得到3∠与4∠互余，再由1∠与2∠互余，根据23∠∠=，利用等角的余角相等得到14∠=∠，利用同位角相等两直线平行即可得证．解：BE DF ∥．AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，即3490∠+∠=°．又1290∠+∠=︒ ，且23∠∠=，14∴∠=∠．理由是：等角的余角相等．BE DF ∴∥．理由是：同位角相等，两直线平行．故答案为：90；90；1∠，4∠；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键【变式1】（2022下·福建宁德·七年级校联考期中）如图，若12∠=∠，则下列选项中，能直接利用“同位角相等，两直线平行”判定a b ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断出1∠与2∠是同位角，然后根据平行线的判定即可得出答案．解：A 、1∠与2∠是内错角，故该选项错误；B 、1∠与2∠是同位角，∵12∠=∠，∴a b ，故该选项正确；C 、1∠与2∠不是内错角、同位角，同旁内角，故该选项错误；D 、1∠与2∠是对顶角，故该选项错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定，内错角相等、同位角相等，同旁内角互补两直线平行，是需要同学们熟练记忆的内容．【变式2】（2023上·七年级课时练习）如图，若12∠=∠，则 ；若23∠∠=，则 ．【答案】AB DE BC EF【分析】根据12∠=∠，利用同位角相等两直线平行推出AB DE ∥；由23∠∠=，利用同位角相等两直线平行推出BC EF ∥．解：∵12∠=∠，∴AB DE ∥，∵23∠∠=，∴BC EF ∥，故答案为：AB ，DE ，BC ，EF ．【点拨】此题考查平行线的判定定理，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键．【考点4【例4】（2023上·七年级课时练习）如图，已知CD AD ⊥于点,D DA AB ⊥于点,12A ∠=∠．试说明：DF AE ∥．解：CD AD ⊥ （已知），90CDA ∴∠=︒（__________）．同理，90DAB ∠=︒．90CDA DAB ∴∠=∠=︒（__________），即132490∠+∠=∠+∠=︒．12∠=∠ （已知）3∴∠=_______（___________）．∴_____∥_____（____________）．【答案】垂直的定义，等量代换，4∠，等量代换，DF ，AE ，内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义得到90CDA DAB ∠=∠=︒，推出132490∠+∠=∠+∠=︒，得到3=4∠∠，由此证得DF AE ∥．解：CD AD ⊥ （已知），90CDA ∴∠=︒（垂直的定义）．同理，90DAB ∠=︒．90CDA DAB ∴∠=∠=︒（等量代换），即132490∠+∠=∠+∠=︒．12∠=∠ （已知）3∴∠=4∠（等量代换）．∴DF AE ∥（内错角相等，两直线平行）．【点拨】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·蛇口育才二中校考三模）如图，能判定EB AC ∥的条件是（）A ．C ABE∠∠=B ．A EBD ∠∠=C ．C ABC ∠∠=D ．A ABE∠∠=【答案】D 【分析】通过角相等判定两直线平行，则判断两角是否能推出同位角或内错角相等即可．解：∵只有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补才能判断两直线平行，选项D 中A ABE ∠∠=是内错角相等，故能判定两直线平行，其他选项不符合判定定理，无法判断．故选：D ．【点拨】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．【变式2】（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期中）三个完全相同的含30︒角的三角板如图摆放，可以判断AB 与EC 平行的理由是．【答案】BAC ACE =∠∠，内错角相等，两直线平行（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定定理求解．解：由题意知90BAC ACE ∠=∠=︒，由内错角相等，两直线平行，可判断AB 与EC 平行．故答案为：BAC ACE =∠∠，内错角相等，两直线平行．【点拨】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．【考点5】同旁内角互补，两直线平行；【例5】（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，EF BC ∥，CE 平分BCF ∠，111DAC ∠=︒，23ACF FEC ∠=∠=︒，则AD 与BC 平行吗？请说明理由．【答案】AD 与BC 平行．理由见分析【分析】根据角平分线的定义可得246BCF FEC ∠=∠=︒，进而得出69ACB ∠=︒，结合题意可得69111180ACB DAC ∠+∠=︒+︒=︒，即可得证．解：AD 与BC 平行．理由如下：∵CE 平分BCF ∠，23ACF FEC ∠=∠=︒，∴246BCF FEC ∠=∠=︒，∴462369ACB BCF ACF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，又∵111DAC ∠=︒，∴69111180ACB DAC ∠+∠=︒+︒=︒，∴AD BC ∥．【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定是解题的关键．【变式1】（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条ABCD 沿折痕MG 折叠，MA 时对应线段MA '与CD 相交于点N 则下列条件中，不足以证明AB CD ∥的是（）A ．180BMN CNM ∠+∠=︒B ．2AMN MGN ∠=∠C ．MN NG=D ．MN MG=【答案】D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．解：A.180BMN CNM ∠+∠=︒ ，∴AB CD ∥；B ．由翻折可知：2AMN AMG ∠=∠，2AMN MGN ∠=∠ ，AMG MGN ∴∠=∠，∴AB CD ∥，故B 选项不符合题意；C ．由翻折可知：AMG NMG ∠=∠，MN NG = ，NMG MGN ∴∠=∠，AMG MGN ∴∠=∠，∴AB CD ∥，故C 选项不符合题意；MN MG = ，MGN MNG ∴∠=∠，AMG MGN ∴∠≠∠，AB ∴不平行CD ，故D 选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式2】（2019下·七年级课时练习）如图，某工件要求AB ∥ED ，质检员小李量得∠ABC ＝146°，∠BCD ＝60°，∠EDC ＝154°，则此工件．（填“合格”或“不合格”）【答案】合格【分析】作CF ∥AB ，由平行线的性质得出∠ABC+∠1=180°，求出∠1，得出∠2，由∠2+∠EDC=180°，得出CF ∥ED ，证出AB ∥ED ，即可得出结论．解：作CF ∥AB ，如图所示：则∠ABC+∠1=180°，∴∠1=180°-146°=34°，∴∠2=∠BCD-∠1=60°-34°=26°，∵∠2+∠EDC=26°+154°=180°，∴CF ∥ED ，∴AB ∥ED ；故答案为合格．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键【考点6】垂直于同一直线的两直线平行.【例6】（2023下·七年级课时练习）探索与发现（在同一平面内）：（1）若直线12a a ⊥，23a a ∥，判断直线1a 与3a 的位置关系，请说明理由；（2）若直线12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，则直线1a 与4a 的位置关系是______；（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2023条直线1a ，2a ，3a ，…，2023a ，且有12a a ⊥，23a a ∥，34a a ⊥，45a a ∥，…，请你探索直线1a 与2023a 的位置关系．【答案】（1）13⊥a a ．理由见分析；（2）14a a ∥；（3）直线1a 与2023a 的位置关系是12023a a ⊥【分析】（1）根据垂直定义和平行线的性质求解即可；（2）根据垂直定义和平行线的性质求解即可；（3）根据垂直定义和平行线的性质，找到变化规律即可求解．（1）解：13⊥a a ．理由如下：如图，∵12a a ⊥，∴190∠=︒，∵23a a ∥，∴2190∠=∠=︒，∴13⊥a a ．（2）解：由（1）知13⊥a a ，又34a a ⊥，根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得14a a ∥，故答案为：14a a ∥；（3）解：直线1a 与2a ，3a 的位置关系分别是12a a ⊥，13⊥a a ，直线1a 与4a ，5a 的位置关系分别是14a a ∥，15a a ∥，从2a 开始，直线2a ，3a ，…，2023a 与直线1a 的位置关系以⊥，⊥，∥，∥为一次循环，∴12022a a ⊥，12023a a ⊥，∴直线1a 与2023a 的位置关系是12023a a ⊥．【点拨】本题考查垂直定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，得到变化规律是解答的关键．【变式1】（2018下·七年级单元测试）在同一平面内，a 、b 、c 是直线，下列说法正确的是（）A ．若a b ∥，b c ∥则a c∥B ．若a b ⊥r r ，b c ⊥，则a c ⊥C ．若a b ∥，b c ⊥，则a c∥D ．若a b ∥，b c ∥，则a c ⊥【答案】A【分析】根据平行公理、平行线的性质对各选项分析判断即可解答．解：A.在同一平面内，若a b ∥，b c ∥则a c ∥正确，故本选项正确；B.在同一平面内，若a b ⊥r r ，b c ⊥则a c ∥，故本选项错误；C.在同一平面内，若a b ∥，b c ⊥则a c ⊥，故本选项错误；D.在同一平面内，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，故本选项错误．故选：A ．【点拨】本题主要考查了平行公理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．【变式2】（2018下·七年级课时练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线．（1）它的理由如下：（如图1）∵b ⊥a ，c ⊥a ，∴∠1=∠2=90°，∴b ∥c（2）如图2是木工师傅使用角尺画平行线，有什么道理？．【答案】平行同位角相等，两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行解：∵在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，∴这两条直线互相平行．故答案为平行；（1）∵b ⊥a ，c ⊥a ，∴∠1=∠2=90°，∴b ∥c （同位角相等，两条直线平行）．故答案为同位角相等，两条直线平行；（2）垂直于同一条直线的两条直线平行，故答案为垂直于同一条直线的两条直线平行．【考点7】判定两直线平行的综合应用.【例7】（2024下·七年级课时练习）如图，AK 与BC 相交于点B ，BC 与CD 相交于点C ，如果160∠=︒，2120∠=︒，60D ∠=︒，那么AB 与CD 平行吗？BC 与DE 呢？并说明理由．【答案】AB CD ∥，BC DE ∥．理由见分析【分析】根据对顶角相等得出60ABC ∠=︒，进而可得2180ABC ∠+∠=︒，则AB CD ∥，进而得出BCD D ∠=∠，即可得证．解：AB CD ∥，BC DE ∥．理由如下：∵160∠=︒，1ABC ∠=∠∴60ABC ∠=︒．又∵2120∠=︒，∴2180ABC ∠+∠=︒．∴AB CD ∥．又∵2180BCD ∠+∠=︒，∴60BCD ∠=︒．∵60D ∠=︒，∴BCD D ∠=∠．∴BC DE ∥．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，将一副三角尺如图放置，DE 、BC 交于点F ，（45C ∠=︒，30D ∠=︒）则下列结论不正确．．．的是（）A ．13∠=∠B ．2180CAD ∠+∠=︒C ．若230∠=︒，则BC AD∥D ．若230∠=︒，则AC DF∥【答案】C 【分析】由余角的性质，得到13∠=∠，由 3 21802CAD CAB CAB EAD ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠，得到2180CAD ∠+∠=︒，因为3B ∠≠∠，故BC 和DA 不平行，由160E ∠=∠=︒，得到AC DF ∥．解：1∠ ＋23∠=∠＋290∠=︒，13∴∠=∠，故A 正确；3 21802CAD CAB CAB EAD ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠ ，2180CAD ∴∠+∠=︒，故B 正确；230∠=︒ ，390260∴∠=︒-∠=︒，45B ∠=︒ ，3B ∴∠≠∠，BC ∴和DA 不平行，故C 错误；230∠=︒ ，190260∴∠=︒-∠=︒，60E ∠=︒ ，1E ∴∠=∠，∴AC DF ∥，故D 正确．故选：C ．【点拨】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，有下列说法：①若12∠=∠，则AB CD ∥；②若3=4∠∠，则AD BC ∥；③若180ABC BCD ∠+∠=︒，则AD BC ∥；④若13180ABC ∠+∠+∠=︒，则AD BC ∥．其中说法正确的有个．【答案】1【解析】略。