第六章代数模型
6.1投入产出模型
投入产出表及其相关概念
把要研究的地区分为n个部门.
投入——进行经济活动时的消耗,如：原材料，设备，能源等.
产出——经济活动时的成果，如，产品.农作物等.
投入产出模型——反映某地区各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型.
投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里·列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年所创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖.
投入产出模型 = 投入产出表 + 平衡方程
价值型——数据用货币计量单位，如：万元，亿元。
特点：方便计算，但不直观。
实物型——数据用实物计量单位，如：km，吨，度。
特点：不方便计算，但直观。
为了能较好地使用数学工具分析数据，“方便计算”更重要。
价值型投入产出表
部门间流量消耗部门最终产品
总产品1 2 …n 消费积累出口合计
生产部门1
2
n
x11
x21
x n1
x12
x22
x n2
…
…
…
…
x1n
x2n
x nn
y1
y2
y n
x1
x2
x n
净产值劳动报酬v1v2…v n 纯收入m1m2…m n 合计z1z2…z n
总产品价值x1x2…x n
中间产品——本年内提供给各部门再加工的产品；最终产品——本年内不再加工的产品。
纯收入——利润与缴税款；
净产值——劳动报酬与纯收入之和。
总产品——一个部门在该年生产的全部产品 总产值=总产品（仅对于价值型表成立）
由此获得两个平衡方程. 分配平衡方程:
1
, 1,2,
,n
ij
i i j x
y x i n
=+==∑ , (6.1.1)
消耗平衡（价值结构）方程:
1
1,2,
,n
ij
j j i x
z x j n =+==∑ , (6.1.2)
对(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得
综合平衡方程
1
1
n n
i j
i j y z
===∑∑， (6.1.3)
总产品=中间产品+最终产品
总产值=中间消耗的价值+净产值
直接消耗系数
部门j 对部门i 的直接消耗系数为
, 1,2,3,
,ij ij j
x a i j n
x =
=， (6.1.4)
n n ij )a (A ⨯=——直接消耗系数矩阵，
ij a —— 反映部门j 对部门i 的依赖程度.
从(6.1.4)得j ij ij x a x =，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)
1
, 1,2,3,
,n
ij
j i i j a
x y x i n =+==∑ (6.1.5)
设1
2
12(,,...,)
, Y (,,...,)T T n
n X x x x y y y ==,得 AX Y X +=，即
()I A X Y -= (6.1.6)
再由(6.1.2)得
1, 1,2,
,n
j ij j j i x a z x j n =+==∑ (6.1.7)
1
10, 1,2,
,n
j ij i j
z a j n x =-=
>=∑ (6.1.8)
可见a ij 具有性质： (1) 10<≤ij a ;
(2)1
1, 1,2,,n
ij i a j n =<=∑, 即A 矩阵每列的列和均小于1;
(3) a ij 比较稳定，生产规模的变化对其影响不大.
可证明结论：
证明：(反证法)设 |I -A|=0 ，则I -A 各行向量线性相关
从而有不全为0的系数n d d d ,.....,,21，使
()()
1111121.11....
....,,.., 0,0,,0.1...
.1k n k n k kk kn n nk nn a a a d d d d a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥
---⎢
⎥
---⎣⎦
令 }1{n i ,d max
d i k ≤≤=，则0k d >. 上述方程组中第k 个方程为
()0....1.....2211=--+---nk n kk k k k a d a d a d a d
解出 i n
i ik k d a d ∑==1
k
n
i ik k n i i ik n
i i ik
k d a d d a d a
d <≤≤=
∑∑∑===1
1
1
(1
1n
ik i a =<∑) k k d d <∴， 矛盾，说明0≠-A I ，
()1
--∴A I 必存在.证毕.
从而(6.1.6)可写成
()Y A I X 1
--= (6.1.9)
(6.1.9)可用来预测未来某年各部门的总产值*X .
当然，先要利用历史数据{Y k }，作为时间序列估计*Y
定理6.1.1 ()
1
--A I 必存在.
