谈初中函数与方程(不等式)的关系

一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。

函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。

函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。

函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。

方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。

一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。

解这个方程可以得到未知数的值。

不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。

一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。

解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。

函数、方程和不等式之间存在密切的联系。

一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。

对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。

如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。

因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。

◆知识讲解1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A元和y B元．（1）请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．（2）欲比较y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B 时求出x的取值范围．（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．【解答】（1）y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4680（0≤x≤200）．（2）当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830得3x+4580≤4830．∴x≤50．设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，•不妨设每月用气量为x（m2），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩由此可推断出a，b，c的值．【解答】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题意得y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩∵c≤5，∴c+3≤8因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，y=19分别代入②得143(25) 193(35)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩④－③得：10b=5 ∴b=0.5把b=0.5代入③得a=3+2c又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即4=3.5－c+c不成立则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4∴c=1把x=1代入a=3+2c得a=5∴a=5，．b=0.5，c=1．【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定的情形，须进行分类讨论．1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；（3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．4．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a 的值等于（）A．152-B．－1 C．152--D．15．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集是（）A．x>0 B．x<2C．x>－3 D．－3<x<26．（2004，安徽省）购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 7．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．8．（2006，枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－m x+222m +与y=x 2－m x －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点； （2）若点A 坐标为（－1，0），试求点B 坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x•值的增大而减小？。

函数、方程与不等式的关系精讲精析点点突破热门考点01 求函数的零点1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几何意义：函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标就是函数y ＝f (x )的零点． (3)结论：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点 【典例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝x ＋3x ；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋4； 【答案】(1)－3.(2)不存在零点．【解析】分析：分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点． (1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3，所以函数 f (x )＝x ＋3x 的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点． 【典例2】（2020·上海高三三模）函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．【答案】4 【解析】作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解， 等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ， 且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称， 可得120x x +=，344x x +=， 则12344x x x x +++=． 故答案为：4．【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．即函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 【变式探究】（2019·贵州省凯里一中高一期中）方程2210x x --=的两个根分别为（ ） A ．2,1-B ．1,12-C ．2,1-D ．1,12-【答案】B 【解析】2210x x --=等价于()()2110x x +-=，解得12x =-或1.故选：B.热门考点02 判断零点所在的区间1．函数零点的判定定理2.判断函数y ＝f (x )是否存在零点的方法： (1)方程法：判断方程f (x )＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y ＝f (x )的图象与x 轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断．【典例3】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数31()102f x x x =--+的零点所在的大致区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】因为函数31()102f x x x =--+在R 上单调递减, (2)10f =>,(3)0f <,所以零点所在的大致区间为(2,3) 故选:D【典例4】（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A ．[－2.1，－1]B ．[4.1，5]C ．[1.9，2.3]D ．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C 【总结提升】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断． 【变式探究】1.（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）函数()f x 按照下述方法定义：当2x ≤时，2()2f x x x =-+；当2x >时，1()(2)2f x f x =-，方程1()5f x =的所有实数根之和是（ ） A ．8 B ．13 C ．18 D ．25 【答案】C. 【解析】如下图所示，画出()f x 的函数图象，根据对称性可知，方程1()5f x =共有6个实数根， 其和为261018++=，故选C.2．（2020·东北育才学校高三其他（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为________. 【答案】1- 【解析】()01f =-，令()0f x =，可得{}121x x=+，则函数()y f x =的零点，即为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标， 作出函数{}2y x =与函数11y x=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0-之外，其余的交点关于点()0,1对称， 所以，函数()y f x =的所有零点之和为1-. 故答案为：1-.热门考点03 函数零点个数的判断函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点和相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的关系函数图象判别式符号 (设判别式 Δ＝b 2－4ac ) Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x 轴交点个数 21方程的根的个数21【典例5】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（ ） A ．5050 B ．4041C ．4040D ．2020 【答案】B 【解析】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =， 又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点，因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =， 即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点， 所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点. 故选：B.【典例6】（2016·上海高一期末）已知函数()1mf x x x=+-，其中m R ∈； （1）当2m =时，判断()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并用定义证明；（2）讨论函数()f x零点的个数；【答案】（1）单调递减，证明见详解；（2）11 ,, 44m⎛⎫⎛⎫⋃⎪∈- ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭∞，()f x有1个零点；11,0,44m⎧⎫⎨∈⎩-⎬⎭，()f x有2个零点；11,044(0),m⎛⎫⋃⎪⎝⎭∈-，()f x有3个零点.【解析】（1）当2m=时，(),0x∈-∞时，()21f x xx=-+-该函数为单调递减函数，证明如下：在区间(),0x∈-∞上任取12,x x，且12x x<<则()()12121222f x f x x xx x-=-++-()()2112122x x x xx x-+=因为120x x<<，故21x x->，且12x x>，则()()2112122x x x xx x-+>故当120x x<<时，()()12f x f x->则函数()f x在(),0x∈-∞时，单调递减.即证.（2）()1mf x xx=+-0=，等价于1mxx=-+即等价于()()1,(0)1,(0)x x xm x x xx x x⎧->⎪=-=⎨+<⎪⎩令()()()1,(0)1,(0)x x xg x x xx x x⎧->⎪=-=⎨+<⎪⎩，则其函数图像如下所示：由图可知：当14m =或14m =-或0m =时，直线y m =与()g x 有两个交点； 当14m >或14m <时，直线y m =与()g x 只有一个交点；当104m -<<或104m <<时，直线y m =与()g x 有三个交点.故：①11,,44m ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪∈- ⎪⎝⎭⎝-+∞⎭∞，()f x 有1个零点； ②11,0,44m ⎧⎫⎨∈⎩-⎬⎭，()f x 有2个零点； ③11,044(0),m ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∈-，()f x 有3个零点.【总结提升】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f (a )·f (b )＜0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 【变式探究】1.（2020·江苏省高三其他）设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______.【答案】2 【解析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥.当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=. 当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）.当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解. 综上，方程[]21x x -=的根为12，1. 所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点. 故答案为：2.2.求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在[1,4]上的零点个数.【错解】错解一：由题意，得f (1)＝2>0，f (4)＝2>0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.错解二：∵f (1)＝2>0，f (2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5)内有一个零点； 又∵f (4)＝2>0，f (2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点， ∴函数在[1,4]上有两个零点．【错因分析】对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f (a )·f (b )>0时，(a ，b )中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f (a )·f (b )<0时，(a ，b )中存在零点，但个数不确定． 【解析】解1：由题意，得x 2－5x ＋6＝0， ∴x ＝2，x ＝3， ∴函数的零点是2,3∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.解2：∵f (1)＝2>0，f (2.5)＝－0.25<0，f (4)＝2>0， ∴f (x )在(1,2.5)和(2.5,4)内都有零点．又易知f (x )在(－∞，2.5)和(2.5，＋∞)上都是单调函数． ∴f (x )在(1,2.5)和(2.5,4)内都只有一个零点． ∴f (x )在[1,4]上有两个零点．【特别警示】当函数y ＝f (x )的图象在闭区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，(1)不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．(2)满足f (a )·f (b )<0时，f (x )在(a ，b )内必有零点，但不一定只有一个零点．热门考点04 根据零点情况求参数范围【典例7】（2020·绥德中学高三其他（理））若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，要保证函数有两个零点，则实数的取值范围是【典例8】（2019·贵州省高二学业考试）已知函数2()23f x x x m =---有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0,4] B ．(0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】D 【解析】由题意，函数2()23f x x x m =---有四个不同的零点， 等价于函数223y x x =--和y m =的图象有四个不同的交点，作出函数22223,(,1)(3,)2323,[1,3]x x x y x x x x x ⎧--∈-∞-⋃+∞=--=⎨-++∈-⎩的图象，如图所示，要使得函数223y x x =--和y m =的图象有四个不同的交点，则04m <<，即实数m 的取值范围是(0,4). 故选：D.【变式探究】1.（2020·洮南市第一中学高二月考（文））对于定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在实数0x ，使()00f x x =，那么0x 叫做函数()f x 的一个好点，已知函数2()21f x x ax =++不存在好点，那么a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由题意，2()21f x x ax x =++=无实根，即方程2(21)10x a x +-+=无实根， 所以2(21)40a ∆=--<，解得1322a -<<. 故选：A2．（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数()232,3,x x x mf x x x m ⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()f x 恰好有2个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)2,3C ．[)[)1,23,+∞D ．(][)1,23,+∞【答案】C 【解析】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==， 所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如图所示：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：当3m ≥时，函数()f x 恰 有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.故选：C热门考点05 一元二次方程根的分布问题设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)对应的方程的根为x 1、x 2.根的分布(m ＜n ＜p )图象满足条件一个 区间 只有 一个 根x 1＜m ＜x 2 f (m )＜0m ＜x 1＜n＜x 2＜p⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0，f (n )＜0，f (p )＞0一个 区间 有两个根m ＜x 1＜x 2＜n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，m ＜－b 2a ＜n ，f (m )＞0，f (n )＞0m ＜x 1＜x 2⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－b2a ＞m ，f (m )＞0在(m ，n )内有且只有一个根或f (m )·f (n )＜0或Δ＝0 且－b2a ∈(m ，n )或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝0，m ＜－b 2a ＜m ＋n 2 或⎩⎪⎨⎪⎧f (n )＝0，m ＋n2＜－b 2a ＜n 另外，x 1，x 2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－ba＞0，c a ＞0来解决；x 1，x 2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－ba＜0，c a ＞0来解决；x 1，x 2一正一负也可通过满足⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ＞0，c a＜0来解决．【典例9】（2019·贵州省凯里一中高一期中）若函数()221f x ax x =-+在区间()0,1和区间()1,2上均存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1--B ．3,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】当0a =时，()21f x x =-+，不满足题设；当0a <时，函数()221f x ax x =-+的图象与x 轴正半轴只存在一个交点，不满足题设；当0a >时，因为()f x 在区间()0,1和区间()1,2上均存在零点（如图所示），则()00f >，()10f <，()20f >，即2220020101211022210a a a a >⎧⎪⨯-⨯+>⎪⎨⨯-⨯+<⎪⎪⨯-⨯+>⎩，解得314a <<. 故选：B.【典例10】（2019·安徽省六安一中高一月考）已知函数()()221421f x m x mx m =+++-.(1)如果函数()f x 的一个零点为0，求m 的值；(2)当函数()f x 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12；(2)118m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 【解析】(1)因为函数()f x 的一个零点为0，所以()0210f m =-=，即12m =. (2)因为函数()f x 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1， 所以当10m +>时，(1)810f m =+<，即118m -<<-；当10+<m 时，(1)810f m =+>，此时无解； 故实数m 的取值范围为118m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.【总结提升】二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题： (1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值的正负等方面去探究． 【变式探究】（2018·平遥县综合职业技术学校高一期中）已知函数()2234f x x mx m =+++.（1）m 为何值时，()0f x =有两个根且均比1-大； （2）求()f x 在[]0,2上的最大值()g m .【答案】（1）(5,1]--（2）()34,178,1m m g m m m +≤-⎧=⎨+>-⎩【解析】（1）若()f x 有两个大于1-的零点，则()0110m f ⎧∆≥⎪->-⎨⎪->⎩，即2340112340m m m m m ⎧--≥⎪<⎨⎪-++>⎩，解得51m -<≤-，∴m 的取值范围是(5,1]--.（2）()f x 的图象开口向上，对称轴为x m =-， 当1m -≥，即1m ≤-时，()()034g m f m ==+， 当1m -<，即1m >-时，()()278g m f m ==+，∴()34,178,1m m g m m m +≤-⎧=⎨+>-⎩.巩固提升1. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））方程()2250x m x m +-+-=的一根在区间()2,3内，另一根在区间()3,4内，则m 的取值范围是（ ） A ．()5,4-- B ．13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()5,2--【答案】C 【解析】令()()225f x x m x m =+-+-，由二次函数根的分布性质，若一根在区间()2,3内，另一根在区间（3，4）内，只需()()()203040f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()()()4225093250164250m m m m m m ⎧+-+->⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩，解不等式组可得1343m -<<-， 即m 的取值范围为13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：C.2．（2020·天津高一期末）已知函数()()22,21,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()0,2D ．()1,3【答案】A 【解析】作出函数()f x 的图像和直线y k =，如图所示，当1()0,k ∈，函数()f x 的图像和直线y k =有三个交点，所以1()0,k ∈. 故选：A3．（2020·河南省高三其他（文））已知函数()2425,0,33,0.x x f x x x x x ⎧+->⎪=⎨⎪---≤⎩若函数()f x x m =-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,B ．(),435-∞-C ．()(),2435,-∞--+∞D ．[)()3,2435,--+∞【答案】D 【解析】令()()g x f x x =+，由题意()2435,023,0x x g x xx x x ⎧+->⎪=⎨⎪---≤⎩，画出()g x 的图象如图，函数()f x x m =-+恰有两个不同的零点，即函数()g x 的图象与直线y m =有两个不同的交点， ∵当0x >时，435435x x+-≥，当0x <时，()2223122x x x ---=-+-≤-，∴435m >-，或32m -≤<-， 故选：D ．4．（2019·浙江省镇海中学高一期中）若函数()2f x x x a a =--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()1,1-C ．()()1,00,1-D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】A 【解析】当2x a ≥时，()22f x x ax a =--；当2x a <时，()22f x x ax a =-+-，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，显然不合题意；若0a >，则()f x 图象如下图所示：由图象可知：若()f x 有三个不同的零点，则20a a a -<<-，解得：1a >； 若0a <，则()f x 图象如下图所示：由图象可知：若()f x 有三个不同的零点，则20a a a --<<-，解得：1a <-； 综上所述：实数a 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：A .5．（2020·天津高三一模）已知函数()1xf x x=+，x ∈R ，分别给出下面几个结论： ①等式()+()0f x f x -=在x ∈R 时恒成立； ②函数()f x 的值域为(11)-，； ③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ④函数()()-g x f x x =在R 上有三个零点. 其中正确结论的序号是______________. 【答案】①②③. 【解析】()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=，①正确；在0x ≥时，1()111x f x x x ==-++是增函数，∴()f x 在0x ≤时也是增函数，从而()f x 是R 上的增函数，③正确；在0x ≥时，1()1111x f x x x==-<++，0x <时，()1f x >-，值域为(1,1)-，②正确； 由()01xf x x x x-=-=+得0x =，方程()0f x x -=只有1根，④错误． 故答案为：①②③．6．（2020·北京北师大实验中学高二期中）如果直线()0y t t =>与函数1()f x x x=+的图象有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则以下结论： ①2t >；②12ln ln 0x x +>； ③122x x +>；④12x x -的取值范围是(0,)+∞，其中正确的是__________．（填入所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】作出函数1()f x x x=+的图象如图所示：函数1()f x x x=+在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，且()12,(1)2f f -=-=，所以()f x 的值域为(),2(2,)-∞-⋃+∞，①若()0y t t =>与()f x 的图象有两个交点，则2t >，①正确；②取121,22x x ==，有()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，满足条件，但1ln ln 202+=，故②错误； ③由题意知21111110x t x tx x +=⇒-+=，同理22210x tx -+=，即1x 、2x 是方程210x tx -+=的两根，所以122x x t +=>，③正确； ④由③知12=1x x ⋅，()2212121244x x x x x x t -=+-=-因为2t >，240t ->，即120x x ->，④正确.故答案为：①③④7．（2020·海南省海南中学高二期中）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为________ 【答案】13 【解析】当0a =时，方程为20x b +=，此时一定有解；此时1b =-，0，1，2；即(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2)四种；当0a ≠时，方程为一元二次方程，∴△440ab =-，则1ab ．当1a =-，1，2时，此时a ，b 的对数为(1,0)-，(1,2)-，(1,1)--，(1,1)-，(1,1)-，(1,0)，(1,1)，(2,1)-，(2,0)，共9种，关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对的个数为13种，故答案为13．8．（2020·大名中学高二月考）若函数f (x )＝21ax bx c++ (a ，b ，c ∈R)的部分图象如图所示，则b ＝________.【答案】－4【解析】由题意得1,3 为20ax bx c ++=两根，且142a b c -=++ 因为4,3,b c a a -== 所以 4.b9．（2020·天津高三一模）已知函数11,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨-∈+∞⎩，则(3)log 2563f =__；若方程()f x x a =+在区间[2-，4]有三个不等实根，则实数1a 的取值范围为__． 【答案】81 {}11,2⎛⎫⋃-∞-⎪⎝⎭【解析】 （1）由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=，4log 25643381== 答案：81（2）作出函数()f x 在区间[]2,4-上的图象，如图所示，设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置，所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =. 所以，112a <-或11a= 故答案为：{}11,2⎛⎫⋃-∞-⎪⎝⎭ 10．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）设()2f x x x a x =-+ (a ∈R)(1) 若2a =，求()f x 在区间[]0,3上的最大值；(2) 若2a >，写出()f x 的单调区间；(3) 若存在[]2,4a ∈-，使得方程()()f x tf a =有三个不相等的实数解，求t 的取值范围.【答案】（1）()max 9f x =；（2）()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）918t << 【解析】（1）当2a =时， ()22f x x x x =-+=224,2{,2x x x x x -+<≥, ∴ ()f x 在R 上为增函数，∴ ()f x 在[]0,3上为增函数，则()()max 39f x f == .（2）()()()222,{2,x a x x af x x a x x a -++<=+-≥,2a >,022a a a ∴<-<<+,当x a ≥时， 22a a ->， ∴ ()f x 在(),a +∞为增函数 ,当x a <时， 22022a aa +--=<，即22a a +<,∴ ()f x 在2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为增函数，在2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数 ,则()f x 的单调增区间为2,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调减区间2,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭ .（3）由（2）可知，当22a -≤≤时， ()f x 为增函数， 方程不可能有三个不相等实数根,当24a <≤时，由（2）得 ()()22a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭,()22224a a at +<<,即()2218a t a +<<在(]2,4有解,由()22118822a a a a +=++在(]2,4上为增函数,∴当4a =时， ()228a a +的最大值为98 , 则918t << .。

一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。

它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。

换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。

2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。

它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。

二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。

性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。

性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。

即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。

其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。

浅谈方程、函数、不等式三者之间的关系作者：谢文芳来源：《学校教育研究》2014年第24期在初中阶段，方程、函数、不等式都是比较重要的知识点。

在初中数学教学中占重要地位。

对于它们之间的关系应该如何理解和认识，在这里笔者谈一点粗浅看法。

第一，函数、方程和不等式是初中数学学习的主要内容之一。

这三部分内部之间有着很密切的联系，知识点体系主要采用以函数为主线，将函数图像、性质和方乘及不等式的相关知识，进行综合运用，用函数观点看方程（组）与不等式数形结合思想的又一体现，它交给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合的重要性。

在学习方程和不等式的时候加入与函数的联系，在学习中让学生比较好的理解它们之间的内在的联系是十分重要的内容，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。

而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。

因此，应该重视这部分的教学。

第二，在教学中，这部分内容应该抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系。

例如，方程与函数之间相对应问题？实际上，想对应的问题就是求函数的零点，即函数图像与横轴交点的横坐标的值。

在不等式中，方程的根又是如何体现的？方程的根就是不等式解集中的特殊值。

反之，函数的零点从方程的角度看，就是方程的根，从不等式的角度看，就是解集中的特殊的解。

不等式的解集从函数的角度看，就是图像在横轴的上方或下方，从方程的角度看，就是先解方程，求出方程的根，以两根为端点写出不等式的解集。

这三个不同内容之间，一些概念是相通的，但是名称又不完全一样。

但本质上是一致的。

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（1 ，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立;•直线y=ax+b 在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解。

一次函数与方程及一元一次不等式一、核心纲要1. 一次函数与一元一次方程的关系直线y = hc + b(k 丰0)与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx + b = 0仗丰0)的解。

求直线y = kx + bb hb 与天轴交点时•，可令尸0,得到方程kx + b = 0,解方程得x = -Y ，直线y = kx + b 交％轴于点(-？, 0), 一?k kk就是直线y = kx + b 与兀轴交点的横坐标。

注：(I)从“数”看：kx + b = 0(k 0)的解O 在一次函数y = kx + b(k 0)中，令y=0时，兀的值。

(2)从“形”看：d + b = 0仗工0)的解o —次函数y = la + b(k^0)的图像与x 轴交点的横坐标。

2. 一次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一元一次不等式都可以转化为ax + b>0或ax + b<0 (a,b 为常数，QH O)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范馬。

(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系：哪一个函数图像处于上方，则哪一个比较大。

特别说明：函数y 的图像在无轴上方oy>0；函数y 的图像在兀轴下方oyVO 。

3. 一次函数与二元一次方程(组)的关系(1) 一次函数的解析式y = kx + b(k^Q)^身就是一个二元一次方程，直线y = +上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程$ =总+ /?伙工0),因此二元一次方程的解也就有无数个。

(2) 一次函数y = kx + b(k^0)① 从“数”看：它是一个二元一次方程;② 从“形”看：它是一条直线。

二—直线y=kx-b(k=0)上的每一个点的横、纵坐标 廿:声T 的解<^=^>直线比与门的交点的横纵坐标 y ?=k ?x-rb ?4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解V =化无+也〜1'有唯一解O •百线V 二心兀+勺不平行于玄线V = + H 怎y = k 1x^b 1二兀一次方程y=kx-b(k= 0)的每一组解 方程组(1)二元一次方程组I y = k.x^b.亠，一亠，（2）二兀一次方程组{ 无解O直线y =斤[无+也平行于直线y = k^x + b^ o k{ = k2.b} b2I y = k2x + b2 y = k.x + b}（3）二元一次方程组{ 有无数多个解o直线y = 3 + ®与y = k^x + b^重合o k}= k»b、=[y = k2x^b25.比较两个函数值人小的方法（1）画图像，求交点；（2）过交点作平行于y轴的氏线：（3）谁高谁大。

函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。

它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。

本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。

一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。

函数可以通过方程或不等式来表示和描述。

在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。

方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。

方程可以是一元的或多元的。

一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。

不等式可以是一元的或多元的。

一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。

在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。

1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。

例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。

这样，方程就转化为了函数的表示形式。

2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。

例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。

这样，函数就转化为了方程的形式。

3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。

例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。