结构化学习题解答1解析

6.631020 m
电子：x
h m v
6.6261034 J s 9.1091031kg 103 10%m s1
7.27106 m
[1.8] 电 视 机 显 像 管 中 运 动 的 电 子 ， 假 定 加 速 电 压 为
1000V，电子运动速度的不确定度△ v 为速度的10%，判
断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
p 2meV 7.081011m
6.6261034 J s 2 9.1091031kg 300V 1.6021019C
[1.7]子弹（质量为0.01kg，速度为1000ms-1）、尘埃（质 量10-9kg，速度10ms-1）、作布朗运动的花粉（质量1013kg，速度1ms-1 ）、原子中电子（速度1000ms-1）等， 速度的不确定度均为速度的10%，判断在确定这些质点 位置时，不确定度关系是否有实际意义。
[解] 按不确定度关系，诸粒子坐 标的不确定度为：
子弹：x
h m v
6.6261034 J s 0.01kg100010%m s1
6.631034 m
尘埃：x
h m v
6.6261034 J s 109 kg1010%m s1
6.631025 m
花粉：x
h m v
6.6261034 J s 1013 kg 110%m s1
i
d
e im
ieim im me im
d
所以eim 是算符i d 的本征函数，本征值为 m。
d 而i d cosm i( sin m ) m imsin m c cosm
d 所以cosm不是算符i d 的本征函数。
d
[1.15] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
n (x)
2 sin nx
d eax2 2ax2eax2 4a 2 x3eax2 dx
2axeax2 4axeax2 4a 2 x3e ax2 4a 2 x3e ax2
6axeax2
6a
因此，本征值为 6a 。
[1.13] eim 和cos m对算符i 若是，求出其本征值。
dHale Waihona Puke Baidu
d
是否为本征函数？
[解]：
2
px
n
(x)
h2
4 2
d2 dx 2
2 l
sin
nx
l
n2h2 4l 2
n
(x)
即
p
2 x
n2h2 4l 2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
E
T
V T
1 2m
p
2 x
1 2m
n2h2 4l 2
n2h2 8ml 2
若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：
① 解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然
量：
H
n (x)
h2
8 2 m
d2 dx 2
2 l
s
in
nx
l
h2
8 2m
d dx
2 l
n
l
cos nx
l
h2
8 2m
2 n n sin nx
l ll
l
h2 n2 2 8 2m l 2
n2h2 8ml 2
n
(x)
2 sin nx
ll
即
n2h2 En 8ml 2
2
将动量平方的算符 p x 作用于波函数，所得常数即为：
1014
s
1
)
2
9.109 1031 kg
1
2
6.626
1034 J s 4.529 1014 9.109 1031 kg
s
1
2
8.12 105 m s 1
[1.4] 计算下述粒子的德布罗意波的波长： （a）质量为10-10kg，运动速度为0.01ms-1的尘埃； （b）动能为0.1eV的中子； （c）动能为300eV的自由电子。
[解] 根据德布罗意关系式：
（a）
h mv
6.626 10 34 J s 10 10 kg 0.01m s1
6.626
10 22 m
（b）
h
h
p 2mT
9.0431011m
6.6261034 J s 21.6751027 kg 0.1eV 1.6021019 J (eV )1
（c）
h h
[1.11]
xe ax 2
是算符
d2 dx 2
4a2 x2
的本征函数，求本征值。
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数， 本征值和本征方程），得：
d2 (
4a 2 x 2 ) ( d 2
4a 2 x 2 )xeax2
dx 2
dx 2
d 2 xeax2 4a 2 x 2 (xeax2 ) dx 2
[1.3]金属钾的临阈频率为5.464×1014s-1，用它作光电池的
阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光
电子的最大动能是多少？
1
[解]
hv
hv0
1 2
mv 2
v
2h(v m
v0
)
2
1
2
6.626
10
34
J
s( 2.998108 m s 1 300109 m
5.464
ll
n 1,2,3,...
式中 l 是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。 计算：
（a） 粒子的能量； （b） 粒子坐标的平均值； （c） 粒子动量的平均值。
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用 下列两种方法计算粒子的能量：
①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能
得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云
编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。 若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变
分法的思路，选
为变分函数，用式：
xl x2
E * H d *d
进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132 倍。
② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱
[解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标 的不确定度为：
x h
h
h
m m 2eV / m 10% 2meV 10%
6.6261034 J s 10
2 9.1091031 kg 1.6021019 C 103V
3.881010 m
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的 袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼 睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视 机荧光屏上成像无影响。
中粒子的边界条件
波长的整数倍，即：
n 0
n
l
0
，箱长应该等于半
l n
2
将此式代入de Broglie 关系式，得： p h nh
2l
将此式代入粒子能量的一般表达式，得：
E
T
V
T
1 2m
p2
1
nh
2
2m 2l
n2h2 8ml 2
可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n,m及 l 等