竞赛题型1(因数与倍数)

小学奥数数论专题--因数与倍数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24，1170【解析】360分解质因数；360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c，(其中a ，b ，c 均是整数，且a 为0～3，b 为0～2，c 为0～1) ． 因为a 、b 、c 的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)＝24． 我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1+5)；所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．现在，我们计算出值了：13×15×6＝1170．所以，360所有约数的和为1170．评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000＝23×3×53×7，所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)＝74880．【题文】一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?【答案】96【解析】设这个数为A ，有A ＝25×33×56×7，我们可以一一列出它所有的两位数的约数，有25×3＝96为其最大的两位数约数．【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【答案】361，400，441，484，529，576，625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积还能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数？18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为192，202，212，222，232，242，252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625．【题文】今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?【答案】14【解析】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数．即为42，112，70的公约数，有(42，112，70)＝14．所以，最多可以分成14堆．【题文】加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?【答案】10【解析】为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数，即[6，10，15]＝30．所以A＝5，B＝3，C＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人．【题文】有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚?【答案】30【解析】设在x分钟后3人再次相聚，有甲走了120x米，乙走了100x米，丙走了70x米，有他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x－100x，120x－70x，100x－70x均是300的倍数，那么300就是20x，50x，30x的公约数．有(20x，50x，30x)＝300，而(20x，50x，30x)＝x(20，50，30)＝10x，所以x＝30．即在30分钟后，3人又可以相聚．【题文】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米．甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?【答案】6【解析】甲跑完一圈需÷＝小时，乙跑一圈需÷4＝小时，丙跑一圈需÷5＝．则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即它们的公倍数．而＝＝＝6．所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约数．【题文】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少?【答案】30【解析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90＝540，则乙数为540÷18＝30．【题文】 A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?【答案】2550【解析】由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b，其中a、b为整数且只含质因子3、5．即A＝31+x×52+y，B＝31+m×52+n，其中x、y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数，所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]＝(2+x)×(3+y)＝12，所以，或．对应A为31+2×52＝675，31+1×52+1＝1125，或31+0×52+4＝46875；由B有10个约数，所以[(1+m)+1]×[(2+n)+1]＝(2+m)×(3+n)＝10，所以．对应B为31+0×52+2＝1875．只有(675，1875)＝75，所以A＝675，B＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．解法二：易知A、B中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了N次3，则约数有：(2+1)×(N+1)＝3·(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)＝12，易知N＝3，这个数是A，即A＝33×52＝675．那么B的质数中出现了一次3，多于两次5，则出现了M次5，则有：(1+1)×(M+1)＝2(M+1)＝10，M＝4．B ＝3×54＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．【题文】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?【答案】33【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②综合①、②知(a，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．第一种情况：(a，b)＝99，则(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，无满足条件的q1，q2；第二种情况：(a，b)＝33，则(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，则q1＝5，q2＝4时满足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，则a-b＝165－132＝33；第三种情况：(a，b)＝11，则(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，无满足条件的q1，q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q1，q2．所以，这个两个自然数的差为33．【题文】两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?【答案】10【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=60．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1.………②联立①、②有(q1+q2)= (q1q2+1)，即q1+q2-q1q2=1，(q1-1)(1-q2)=0，所以q1＝1或q2＝1．即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a＝kb(k为非零整数)，有，即(k+1)b＝60，b确定，则k确定，则kb即a确定．60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10，12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果b＝60，则(k+1)＝1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58，2)，(57，3)，(56，4)，(55，5)，(54，6)，(50，10)，(48，12)，(45，15)，(40，20)，(30，30) ．评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．【题文】3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?【答案】81【解析】当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a，a+1，a+2中有2个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828×2，当a，a+1，a+2中有1个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828．对9828分解质因数：9828＝2×2×3×3×3×7×13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2，此时这三个数中存在两个偶数，有9828×2＝2×2×2×3×3×3×7×13．13×2＝26，有26，27，28三个数的积为9828×2，所以这三个连续的自然数数为26，27，28，其中有两个偶数，满足题意．所以，这三个数的和为26+27+28＝81．评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[a,b]＝a×b．记这3个连续的自然数为a，a+1，a+2．有[a,a+1,a+2]＝[a,a+1,a+1,a+2]＝[[a,a+1],[a+1,a+2]]＝[a×(a+1),(a+1)×(a+2)]＝(a+1)×[a,a+2] ．因为a，a+2同奇同偶，当a，a+2均是偶数时，a，a+2的最大公约数为2，则它们的最小公倍数为；当a，a+2均是奇数时，a，a+2互质，则它们的最小公倍数为a×(a+2) ．所以(a+1)×[a,a+2]＝．即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或．当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．【题文】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【答案】18【解析】对90分解质因数：90＝2×3×3×5．因为5126，所以5甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5．因为2105，所以2乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2．因为9105，所以9乙，即乙最多含有一个因数3．第一种情况：当乙只含一个因数3时，乙＝3×5＝15，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18；第二种情况：当乙不含因数3时，乙＝5，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18．综上所需，甲为18．评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a＝2×33×52×7，b＝23×32×5×7×11，则A、B的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数．即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，即[a,b]＝23×33×52×7×11．【题文】 a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?【答案】105【解析】由(a，b)＝75＝3×52，[a，b]＝450＝32×2×52＝75×3×2，又a>b，所以或．[b，c]＝1050＝2×3×52×7．当时有，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以(75，c)×[75，c]＝75×c＝15×1050，得c＝210，但是c＞b，不满足；当时有，则c＝105，c＜b，满足，即为满足条件的唯一解．那么c是105．【题文】有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?【答案】101【解析】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D＝1111．将1111分解质因数：1111＝11×101，显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101，记此时A＝101a，B ＝101b，C＝101c，D＝101d，有a+b+c+d＝11，当a+b+c+d＝1+2+3+5时满足，即这4个数的公约数可以取到101．综上所述，这4个不同的自然数，它们的最大公约数最大能是101．【题文】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【答案】63【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块 (张)．【题文】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【答案】165【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．，，共需 (块).【题文】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【答案】苹果8 个，桔子6个，梨5个．【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．【题文】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【答案】9【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．【题文】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【答案】8,6,5【解析】因为，，，，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.【题文】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【答案】101【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【题文】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【答案】9【解析】，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．【题文】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．【答案】108【解析】，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A和B 的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．【题文】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．【答案】40或20【解析】设这两个自然数为：，其中与互质，，，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．【题文】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【答案】98【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。

因数与倍数练习题一一、判断题( )1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。

( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。

( )3、个位上是0的数都是2和5的倍数。

( )4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。

( )5、5是因数，10是倍数。

( )6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。

( )7、因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。

( )9、任何一个自然数最少有两个因数。

( )10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。

( )11、15的倍数有15、30、45。

( )12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。

( )13、两个素数相乘的积还是素数。

( )14、一个合数至少得有三个因数。

( )15、在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。

( )16、15的因数有3和5。

( )17、在1—40的数中，36是4最大的倍数。

( )24、素数与素数的乘积还是素数。

( )18、1是16的因数，16是16的倍数。

( )19、8的因数只有2，4。

( )20、一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，也就是说一个数的最大因数等于它的最小倍数。

( )21、任何数都没有最大的倍数。

( )22、1是所有非零自然数的因数。

( )23、所有的偶数都是合数。

( )25、个位上是3、6、9的数都能被3整除。

( )26、一个数的因数总是比这个数小。

( )27、743的个位上是3，所以743是3的倍数。

( )28、100以内的最大素数是99。

二、填空。

1、在50以内的自然数中，最大的素数是（），最小的合数是（）。

2、既是素数又是奇数的最小的一位数是（）。

3、在20以内的素数中，（）加上2还是素数。

4、如果有两个素数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。

5、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。

6、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）。

因数与倍数（一）【课前小练习】(★)1. 学习短除法和因数式.3. 公因数、公倍数的实际应用1.2.写出12的所有因数，并列举几个12的倍数.写出18的所有因数，并列举几个18的倍数.1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数.2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数板块一:短除法和分解质因数法【例1】(★★☆)求下列每组的最大公因数和最小公倍数.板块二:借助最大公因数未知数⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B)两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]4. 结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数【例】★★★求下列每组的最大公因数和最小公倍数.⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★)一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？1【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆)两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？【拓展】(★★★★)由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。

你知道为什么是17年吗？板块三:公因数、公倍数的应用【例6】(★★★)1 1 1学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中，2 3 7其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人.知识大总结. 、.2. 枚举法，短除法，分解质因数法A＝ax、B＝bx，其中a、b互质4. 应用：【例7】(★★★)将92个苹果和138个梨平均分给一班的小朋友，要求每人分到的水果相同，且无剩余. 那么一班最多有多少个小朋友？每个小朋友分到几个苹果几个梨？公因数---除数；公倍数---被除数【今日讲题】例2，例4，例5，例6【讲题心得】__________________________________________________________________. 【家长评价】________________________________________________________________. 2。

1、因数倍数（在大于0的整数范围内提出的概念）题型一：在乘法或整除除法算式中，规定的因倍数关系3×4=12 （）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数16÷2=8 （）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数题型二：判断两个数之间是否存在因倍数关系下列哪组数之间存在因倍数关系，并说明它们之间的因倍数关系7和108 12和96 5和120题型三：找一个数的因数和倍数18的因数：18的倍数：题型四：因数倍数的特点一个数的最大的因数是（），最小的因数是（）一个属的最小的倍数是（），没有最大的倍数一个数最小的倍数是9，它最大的因数是（），最小的因数是（）题型五：倍数和倍的区别倍数关系必须是两个整数之间才存在，倍的关系是任意两个数之间都可以存在。

12÷3=4 可以说12是3倍数，也可以说12是3的4倍。

1.2÷3=0.4 只可以说1.2是3的0.4倍。

注：不能单独说某个数是因数或倍数提升题型：A是B的因数，C是B的倍数，那么A是C的（）（填因数或倍数）倍数特征：2的倍数特征：个位为0、2、4、6、8（偶数）5的倍数特征：个位为0、52、5的倍数特征：个位为03的倍数特征：各个数位上数字的和，是3的倍数题型一：根据倍数特征快速判断出2、3、5 的倍数题型二：结合最大最小的条件，找出符合条件的数各限制条件的使用顺序：1、先用最大最小定最高位，2、用2、5倍数特征定个位，3、结合3的倍数特征定最后一个数字例题：同时是2、3、5的倍数的最小的三位数和最大的两位数奇数偶数：个位为0、2、4、6、8的数为偶数个位为1、3、5、7、9的数为奇数和的奇偶性：由算式中奇数的个数确定，奇数的个数为奇数，和就是奇数。

奇数的个数为偶数，和就是偶数。

积的奇偶性：只要乘数中有一个偶数，积就是偶数1+3+5+6+8+10=1+3+5+7+6=1×5×20×7=2、质数与合数定义：按照一个数因数的个数，定义了质数与合数质数：有且仅有2个因数的数，（1和它本身）合数：至少有3个因数的数1的因数只有1，所以1既不是质数也不是合数题型一：根据定义判断下列数是质数还是合数1，7，12，13，25100以内的质数：1、1既不是质数也不是合数2、最小的质数是2，也是质数中唯一一个偶数3、最小的合数是4，合数中有奇数也有偶数。

数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数数学竞赛专项训练第一讲　数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除 数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13末三位与末三位以前的数相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。

如　1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如　1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。

92x 75y 求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.75y ∵328＋＝567，∴x=392x 例2已知五位数能被12整除，求x 1234x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋能被3整除时，x=2，5，8x 当末两位能被4整除时，＝0，4，84x x ∴＝8x 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行　调整末两位数为30，41，52，63，均可，数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

倍数与因数奥数测试题倍数与因数奥数测试题(2009-09-27 16:42:50)人教版《因数与倍数》一、基础与提高。

1、教学目标：（1）认识自然数、整数、倍数、因数；(2)认识奇数和偶数，掌握2，3，5的倍数的特征。

(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。

2、基础知识讲解：●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

如果a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

●能被2，3，5整除的数的特征：2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8的数5的倍数特征：个位是0，5的数3或9的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3或9整除。

4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。

8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征：奇数位的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。

●奇数与偶数：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。

质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。

一个数除了1和它本身外，还有别的因数，这个数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。

特殊情况：倍数关系：（m，n）=m [m，n]=n （n是m的倍数）互质关系：（m，n）=1 [m，n]=mn3、经典例题：例1：下列哪些式子是整除式？（1）8.8÷1.1=8（2）130÷10=13（3）29÷7=4……1（4）14÷5=2.4分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必须是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。

第四讲因数与倍数一、课前热身：1、同学们，现在有12个边长为1厘米的小正方形，用它们来组合面积为12平方厘米的长方形，有多少种不同的组合方法？试着把它们一一画出来。

2、一筐苹果5个5个地数，8个8个地数，10个10个地数，都正好数完，没有余下的．这筐苹果最少是多少个？二、典例精析：3、已知甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，则乙数为．4、两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126．这两个数的和是．5、将2004加上一个整数，使和能被23与31整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是．6、有两根长分别是30分米和80分米的木条，现在要把它们锯成同样长的小段（每段长度的分米数都是整数），而且不能有剩余，每小段是多少分米？7、有一张纸条，上面有三种刻度线，分别沿长的方向把纸条分成6等份、10等份和12等份，现在用剪刀沿着所有刻度线剪断，纸条被分成多少部分？8、在一条3000m长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔50m，已挖好了坑。

若间隔距离改为60m，则需要重新挖多少个坑，有多少个原来挖好的坑将废弃不用？9、有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子．这时．又窜来4只猴子．只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子个．10、张老师为联欢会准备水果，苹果每箱20个，桔子每箱30个，香蕉每箱40根，班里共有50个学生，要求每名学生都分到a个苹果，a个桔子，a根香蕉（a是整数），且没有剩余，那么老师至少要准备苹果、箱桔子和箱香蕉个多少箱？（答案用整数表示）三、竞赛真题：11、（2013•华罗庚金杯）从1～11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共（）个．①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．A．3 B．2 C．1 D．012、（2013•希望杯）老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子。

因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。

评分标准规定，答对一题给 3 分，不答给1 分。

答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是 ______ 。

3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得 1 个苹果和 3 个橘子。

最后橘子分完了，苹果还剩下12个。

那么一共分给了 ______ _名小朋友。

4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题（每份训练题满分为120分）。

他第一份训练题得了90 分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得________ 分才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。

5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。

9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

答案：1、解：以一个学生得分情况为例。

如果他有m 题答对，就得3m 分，有n 题答错，则扣n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。

所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。

由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。

2、解：499。

2008÷4—3=4993、解：6。

一、 因数的概念与最大公因数0被排除在因数与倍数之外1． 求最大公因数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15．2． 最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n ．3． 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公因数b ；b a即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．知识框架 因数与倍数数b；ba即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4==注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

五年级奥数第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a，b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。

例如6×2=12,所以6和2是12的因数,12是6和2的倍数。

如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。

例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。

2、一个数的因数的求法：（1)列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的,最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。

例如：15的因数有哪些?方法一：1×15=15,3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15，15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1，3, 5, 15。

最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。

3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的,方法是依次乘以自然数。

例如:3的倍数 3 6 9 12 15 。

...。

.。

3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数.4、2、5、3的倍数的特征:①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

②个位上是0或5的数，是5的倍数.③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、常见数字的整除判定方法：(1）2：个位是偶数的自然数(2）5：个位是0或5的自然数注:若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0（3)4、25：末两位能被4、25整除(4）8、125：末三位能被8、125整除（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。

如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数(7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除（8）99：两位一段（从右往左）,各段的和能被99整除（9）999：三位一段（从右往左)，各段的和能被999整除6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。

五年级奥数(因数与倍数)典型例题80 和144的因数各有多少个?举一反三1.求60和90的因数各有多少个?2.求196的因数各有多少个?3.甲数的2倍等于乙数,乙数的3倍等于丙数,丙数的4倍等于甲数,求甲数拓展提高一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积,这个数当然有许多因数是两位数,这些两位数的因数中,最大的是几?奥赛训练1.把316表示成两个数的和,使其中一个是13的倍数,另一个是11的倍数,求这两个数。

2.和子去鱼店买了以下几种鱼:青花鱼,每条130日元:竹荚鱼,每条170日元,沙丁鱼,每条78日元:秋刀鱼,每条104日元,每种鱼都多于1条,正好花了3600日元,请问:和子买了多少条竹荚鱼?(100日元=7元人民币)3.有一个自然数,它的最小的两个因数的差是4,最大的两位因数的差是308.那么,这个自然数是多少?(2011年全国“希望杯”数学邀请赛)因数和倍数(二)典型例题29÷()=()。

5,在括号内填上适当的数,使等式成立。

共有多少种不同的填法?举一反三1. 37÷()=().........5,在括号内填上适当的数,使等式成立。

共有多少种不同的填法?2 . 49÷()=().........9,在括号内填上适当的数,使等式成立。

共有多少种不同的填法?3.面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形,共有多少种?拓展提高一只盒内共有96个棋子,如果不是一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等,最后一次正好拿完。

那么。

共有多少种不同的拿法?奥赛训练1.自然数≥3,b≥3,a x b =195.那么,共有多少种不同的拿法?2.一只筐内共有120个苹果,如果不一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出的个数要相等,最后一次正好拿完。

那么,共有多少种不同的拿法?3.把自然数的所有因数两两求和,得到若干个自然数,在这些自然数中,最小的数是4,最大的数是324,那么,A是多少?2,5倍数的特征个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数,个位上是0或5的数是5的倍数,因此我们发下,一个数即是2的倍数又是5的倍数,那么它的个位上数字必须是0,另外,一个数的末两位数是4或25的倍数,这个数就是4或25的倍数。

五年级奥数题：因数与倍数因数与倍数相关习题（1）⼀、填空题1 ? 28的所有因数之和是 ______ .2. ⽤105个⼤⼩相同的正⽅形拼成⼀个长⽅形,有_______ 中不同的拼法?3. ⼀个两位数，⼗位数字减个位数字的差是28的因数,⼗位数字与个位数字的积是24.这个两位数是______ .4. 李⽼师带领⼀班学⽣去种树,学⽣恰好被平均分成四个⼩组，总共种树667棵，如果师⽣每⼈种的棵数⼀样多,那么这个班共有学⽣_____ ⼈.5. 两个⾃然数的和是50,它们的最⼤公因数是5,则这两个数的差是_________ .6. 现有梨36个,桔108个,分给若⼲个⼩朋友，要求每⼈所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ ⼩朋友,每个⼩朋友得梨______ 个,桔______ 个.7. ⼀块长48厘⽶、宽42厘⽶的布，不浪费边⾓料，能剪出最⼤的正⽅形布⽚____ 块.8. 长180厘⽶,宽45厘⽶,⾼18厘⽶的⽊料，能锯成尽可能⼤的正⽅体⽊块（不余料）__ 块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若⼲个，⼜以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个.10. 含有6个因数的两位数有_____ 个.11?写出⼩于20的三个⾃然数，使它们的最⼤公因数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12?和为1111的四个⾃然数，它们的最⼤公因数最⼤能够是多少？13. 狐狸和黄⿏狼进⾏跳跃⽐赛，狐狸每次跳4丄⽶，黄⿏狼每次跳2-⽶,2 4它们每秒钟都只跳⼀次.⽐赛途中，从起点开始每隔12-⽶设有⼀个陷井，当它们8之中有⼀个掉进陷井时，另⼀个跳了多少⽶？14. 已知a与b的最⼤公因数是12, a与c的最⼩公倍数是300,b与c的最⼩公倍数也是300,那么满⾜上述条件的⾃然数a, b, c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个⾃然数----------------------------- 答案-----------------------------------------------答案：1. 5628的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105 的因数有1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的长⽅形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长⽅形.3. 64因为28=2 2 7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28. 在数字0,1,2,…，9 中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，⼜6-4=2，8-3=5.故符合题⽬要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23 29, 所以这班师⽣每⼈种的棵数只能是667 的因数:1,23,29,667. 显然,每⼈种667棵是不可能的.当每⼈种29棵树时,全班⼈数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每⼈种23棵树时,全班⼈数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题⽬要求.当每⼈种1 棵树时, 全班⼈数应是667-1=666, 但666 不能被 4 整除, 不可能. 所以, ⼀班共有28 名学⽣.5. 40 或20两个⾃然数的和是50,最⼤公因数是5,这两个⾃然数可能是5和45,15 和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20, 所以应填40或20.［注］这⾥的关键是依最⼤公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔⼦108个分给若⼲个⼩朋友，要求每⼈所得的梨数、桔⼦相等，⼩朋友的⼈数⼀定是36的因数，⼜要是108的因数，即⼀定是36和108 的公因数.因为要求最多可分给多少个⼩朋友,可知⼩朋友的⼈数是36和108的最⼤公因数.36 和108的最⼤公因数是36,也就是可分给36个⼩朋友.每个⼩朋友可分得梨: 36 36=1( 只)每个⼩朋友可分得桔⼦: 108 36=3( 只)所以,最多可分得36个⼩朋友,每个⼩朋友可分得梨1只,桔⼦3只.7. 56剪出的正⽅形布⽚的边长能分别整除长⽅形的长48厘⽶及宽42厘⽶,所以它是48与42的公因数,题⽬⼜要求剪出的正⽅形最⼤,故正⽅形的边长是48与42 的最⼤公因数.因为48=2 2 2 2 3,42=2 3 7,所以48与42的最⼤公因数是 6.这样,最⼤正⽅形的边长是6厘⽶.由此可按如下⽅法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7 块,共可剪(48 6) (42 6)=8 7=56(块)正⽅形布⽚.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和⾼分别能被正⽅体的棱长整除, 即正⽅体的棱长是1 80,45和1 8的公因数.为了使正⽅体⽊块尽可能⼤,正⽅体的棱长应是180、45和18的最⼤公因数.180,45 和18的最⼤公因数是9,所以正⽅体的棱长是9厘⽶.这样,长180厘⽶可公成20段,宽45厘⽶可分成5段,⾼18厘⽶可分成2段.这根⽊料共分割成(180 9) (45 9) (18 9)=200块棱长是9厘⽶的正⽅体.9. 150根据3与5的最⼩公倍数是 1 5,张⽼师傅以5元钱买进15个苹果,⼜以6元钱卖出15个苹果, 这样, 他1 5个苹果进与出获利 1 元. 所以他获利 1 0元必须卖出150 个苹果.10. 16含有6个因数的数，它的质因数有以下两种情况：⼀是有5个相同的质因数连乘；⼆是有两个不同的质因数其中⼀个需连乘两次，如果⽤M表⽰含有6个因数的数，⽤a和b表⽰M的质因数，那么M a5或M a2 b因为M是两位数，所以M= a5只有⼀种可能M=25，⽽M= a2 b就有以下15种情况：M223,M225,M227，M2211,M2213,M2217，M2219, M2223, M322，M325,M327,M3211M522,M523,M722.所以,含有6个因数的两位数共有15+1=16（个）11. 三个数都不是质数，⾄少是两个质数的乘积，两两之间的最⼤公因数只能分别是2,3和5,这种⾃然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最⼤公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最⼤公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得1111=11 101最⼤公因数不可能是1111,其次最⼤可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下⾯四个数101,101 2,101 3,101 5,它们的和恰好是101 （1+2+3+5）=101 11=1111,它们的最⼤公因数为101.所以101为所求.13. 黄⿏狼掉进陷井时已跳的⾏程应该是2-与123的“最⼩公倍数” 99，4 8 499 11 1 3即跳了⼀⼀=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的⾏程应该是4-和12-的4 4 2 8“最⼩公倍数” 99，即跳了99-=11次掉进陷井.2 2 2经过⽐较可知，黄⿏狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的⾏程是14- 9=40.5（⽶）.14. 先将12、300分别进⾏质因数分解：212=2 32 2300=2 3 5⑴确定a的值.依题意a只能取12或12 5(=60)或12 25(=300).⑵确定b的值.当a=12时，b可取12,或12 5,或12 25;当a=60,300时，b都只能取12.所以,满⾜条件的a、b共有5组：a=12 - a=12 - a=12 a=60 - a=300b=12, 〔 b=60, 〔 b=300, I b=12, [ b=12.⑶确定a, b, c的组数.对于上⾯a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：2 2 2 2 2 2 2 25，5 2, 5 2，5 3, 5 2 3, 5 2 3, 即⼙25, 50, 100, 75, 150, 300. 所以满⾜条件的⾃然数a、b、c共有5 6=30 (组)因数与倍数相关习题(2)⼀、填空题1 .把20个梨和25个苹果平均分给⼩朋友，分完后梨剩下2个，⽽苹果还缺2个，⼀共有_________ 个⼩朋友.2. 幼⼉园有糖115颗、饼⼲148块、桔⼦74个，平均分给⼤班⼩朋友；结果糖多出7颗，饼⼲多出4块，桔⼦多出2个.这个⼤班的⼩朋友最多有 __________ ⼈.3. ⽤长16厘⽶、宽14厘⽶的长⽅形⽊板来拼成⼀个正⽅形，最少需要⽤这样的⽊板_____ 块.4. ⽤长是9厘⽶、宽是6厘⽶、⾼是7厘⽶的长⽅体⽊块叠成⼀个正⽅体，⾄少需要这种长⽅体⽊块_____ 块.5. ⼀个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发⼀次，第⼀次同时发车以后，_____ 钟⼜同时发第⼆次车.6. 动物园的饲养员给三群猴⼦分花⽣，如只分给第⼀群，则每只猴⼦可得12粒；如只分给第⼆群，则每只猴⼦可得15粒；如只分给第三群，则每只猴⼦可得20粒.那么平均给三群猴⼦,每只可得_________ 粒.7. 这样的⾃然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种⾃然数中除了 1 以外最⼩的是_____ .8. _________________________________________________ 能被3、7、& 11四个数同时整除的最⼤六位数是____________________________ .9. 把26,33,34,35,63,85,91,143 分成若⼲组,要求每⼀组中任意两个数的最⼤公因数是1,那么⾄少要分成________ 组.10. 210与330的最⼩公倍数是最⼤公因数的_______ 倍.⼆、解答题11. 公共汽车总站有三条线路，第⼀条每8分钟发⼀辆车，第⼆条每10分钟发⼀辆车，第三条每16分钟发⼀辆车，早上6: 00三条路线同时发出第⼀辆车.该总站发出最后⼀辆车是20:00,求该总站最后⼀次三辆车同时发出的时刻.12. 甲⼄两数的最⼩公倍数除以它们的最⼤公因数，商是12.如果甲⼄两数的差是18,则甲数是多少？⼄数是多少？5 15 113. ⽤-、些、1丄分别去除某⼀个分数，所得的商都是整数.这个分数28 56 20最⼩是⼏？14. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了⼀个⾃然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验：只有编号连续的⼆位同学说得不对，其余同学都对，问：(1) 说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续⾃然数？(2) 如果告诉你,1号写的数是五位数，请找出这个数.答案：若梨减少2个,则有20-2=18（个）;若将苹果增加2个,则有25+2=27（个）,这样都被⼩朋友刚巧分完?由此可知⼩朋友⼈数是18与27的最⼤公因数.所以最多有9个⼩朋友.2. 36根据题意不难看出,这个⼤班⼩朋友的⼈数是115-7=108,148-4=144,74-2=72 的最⼤公因数.所以,这个⼤班的⼩朋友最多有36⼈.3. 56所铺成正⽅形的⽊板它的边长必定是长⽅形⽊板长和宽的倍数，也就是长⽅形⽊板的长和宽的公倍数，⼜要求最少需要多少块，所以正⽅形⽊板的边长应是14与16的最⼩公倍数.先求14与16的最⼩公倍数.2 16 1⼻8 7故14与16的最⼩公倍数是2 8 7=112.因为正⽅形的边长最⼩为112厘⽶,所以最少需要⽤这样的⽊板112 112 _=7 8=56（块）16 144. 5292与上题类似，依题意，正⽅体的棱长应是9, 6, 7的最⼩公倍数，9, 6, 7的最⼩公倍数是126.所以,⾄少需要这种长⽅体⽊块126 126 126 , =14 21 18=5292（块）9 6 7［注］上述两题都是利⽤最⼩公倍数的概念进⾏“拼图”的问题，前⼀题是平⾯图形，后⼀题是⽴体图形，思考⽅式相同，后者可看作是前者的推⼴?将平⾯问题推⼴为空间问题是数学家喜欢的研究问题的⽅式之⼀?希望引起⼩朋友们注意?5. 90依题意知,从第⼀次同时发车到第⼆次同时发车的时间是3,5,9,15 和10的最⼩公倍数.因为3,5,9,15 和10 的最⼩公倍数是90, 所以从第⼀次同时发车后90 分钟⼜同时发第⼆次车.依题意得花⽣总粒数=12 第⼀群猴⼦只数=15 第⼆群猴⼦只数=20 第三群猴⼦只数由此可知, 花⽣总粒数是12,15,20 的公倍数,其最⼩公倍数是60.花⽣总粒数是60,120,180,……，那么第⼀群猴⼦只数是5, 10, 15,……第⼆群猴⼦只数是4, 8, 12,……第三群猴⼦只数是3, 6, 9,……所以，三群猴⼦的总只数是12, 24, 36,…….因此，平均分给三群猴⼦，每只猴⼦所得花⽣粒数总是 5 粒.7. 421依题意知, 这个数⽐2、3、4、5、6、7的最⼩公倍数⼤1,2、3、4、5、6、7的最⼩公倍数是420,所以这个数是421.8. 999768由题意知,最⼤的六位数是3,7,8,11 的公倍数,⽽3,7,8,11 的最⼩公倍数是1848.因为999999 1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最⼤六位数是1848的541 倍,或者是999999与231 的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题⽬要求, 有相同质因数的数不能分在⼀组,26=2 13,91=7 13,143=11 13,所以,所分组数不会⼩于 3.下⾯给出⼀种分组⽅案:(1)26 , 33, 35; (2)34 , 91; (3)63 , 85, 143.因此，⾄少要分成3组.［注］所求组数不⼀定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3 5, 2仁3 7,35=5 7，3，5，7各出现两次，⽽这三个数必须分成三组，⽽不是两组除了上述分法之外，还有多种分组法,下⾯再给出三种：(1) 26,35 ；33，85，91；34，63，143.(2) 85,143,63 ；26，33，35；34，91.。

专题一、因数与倍数一、例题剖析例1：36的因数有（）。

7的倍数有（）。

练1：判断题：因为10÷2=5，所以10是2和5的倍数,2和5是10的因数。

（）判断题：因为10÷2=5，所以10是倍数,2和5是因数。

（）知识点1：倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。

知识点2：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。

例2：下列10个自然数中： 8、15、19、24、30、55、78、100、123、345是2的倍数的数：是3的倍数的数：是4的倍数的数：练2：既是2的倍数又是5的倍数的最小两位数是（），最大两位数是（）；一个数三位数既是2的倍数又是3的倍数，还是5的倍数，这个数最小是（），最大是（）。

知识点3： 2、3、5的倍数特征1、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

2、个位上是0或5的数，是5的倍数。

3、一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

扩展：下列8个自然数中： 45、72、125、275、540、936、1350、3672是4的倍数的数：是9的倍数的数：是25的倍数的数：例3：下列算式的结果是奇数还是偶数。

（1）23×47×65×132×239的积是（）。

（2）375+842+1365+2973+5280的和是（）。

（3）1×2+2×3+3×4+…+99×100的和是（）。

练3：1+2+3+······+2019的结果是偶数还是奇数？知识点4：奇偶性的判断偶数±偶数=偶数偶数±奇数=奇数奇数±奇数=偶数偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数（遇到判断奇偶性的题，最好举例判断）例4：写出30以内所有的质数：练4：最小的自然数是（），最小的奇数是（），最小的偶数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），1既不是质数也不是合数。

数学趣味竞赛解决有关因数和倍数的问题在数学中，因数和倍数是非常重要的概念。

在数学趣味竞赛中，解决有关因数和倍数的问题，不仅能锻炼学生的逻辑思维和数学能力，还能增加对数字规律的理解。

本文将介绍一些常见的因数和倍数问题以及解决方法。

一、因数的概念及相关问题1. 因数的定义在数学中，如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么b称为a 的因数。

或者说，对于整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么b就是a的因数。

2. 求因数的方法求一个数的因数可以通过试除法来进行。

我们从2开始，依次尝试除以2、3、4、5、6……一直到这个数的平方根。

如果能够整除，则找到一个因数，记录下来。

重复这个过程，直到试除的数大于这个数的平方根为止。

最后，这些记录下来的因数就是这个数的所有因数。

3. 因数相关问题的例子例一：求一数的因数之和求整数n的所有因数之和。

解答：首先，我们需要求出这个数n的所有因数。

然后将这些因数相加，即可得到结果。

例二：判断一个数是否为完全数完全数指的是一个数的所有因数（不包括这个数本身）之和等于该数本身的数。

判断一个数是否为完全数，可以通过求出这个数的所有因数之和，然后与这个数本身做比较。

二、倍数的概念及相关问题1. 倍数的定义在数学中，如果一个整数b能被另一个整数a整除，那么a称为b的倍数。

或者说，对于整数a和b，如果存在一个整数c，使得b = a * c，那么a就是b的倍数。

2. 求倍数的方法求一个数的倍数很简单，只需要将这个数不断地与自然数1、2、3、4、5……相乘即可得到倍数。

3. 倍数相关问题的例子例一：求两个数的最小公倍数求整数a和b的最小公倍数。

解答：两个数的最小公倍数是能被这两个数整除的最小整数。

我们可以通过列举这两个数的倍数，然后找到它们的公共倍数，再找到这些公共倍数中的最小者。

例二：判断一个数是否为另一个数的倍数判断整数n是否为整数m的倍数。

解答：判断一个数是否为另一个数的倍数，可以通过判断这两个数的比值是否为整数来进行。

一、填空1．在4、9、36这三个数中：（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数；36的因数一共有（）个，它的倍数有（）个。

考查目的：因数和倍数的意义，找一个数的因数和倍数的方法。

答案：36 4 9，4 9 36；9，无数。

解析：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。

找一个数的因数可以一对一对地找，36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，共9个；一个数的倍数的个数是无限的。

2．圈出5的倍数：15 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中，奇数有（），偶数有（）。

考查目的：能被5整除的数的特征，奇数和偶数的意义。

答案：15 35 45，40 100 60。

解析：先根据能被5整除的数的特征判断，一个数的个位是0或者5，这个数就是5的倍数；在圈出的数中，再根据奇数与偶数的意义判断，个位上是0的数是偶数，个位上是5的数是奇数。

3．从0、4、5、8、9中选取三个数字组成三位数：（1）在能被2整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（2）在能被3整除的数中，最大的是（），最小的是（）；（3）在能被5整除的数中，最大的是（），最小的是（）。

考查目的：能被2、3、5整除的数的特征，简单的排列组合知识。

答案：（1）984，450；（2）984，405；（3）980；405。

解析：能被2整除的数，要求个位上是0、2、4、6、8，最大的应该是984，最小的是450；能被3整除的数，各个数位上的数的和是3的倍数，通过排列组合得到其中最大的是984，最小的是405；因为个位是0或者5的数能被5整除，所以最大的是980，最小的是405。

4．将2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111按要求填入下面的圈内。

考查目的：奇数和偶数、质数和合数的意义。

答案：解析：此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的意义。

小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)题目1：一个数既是12 的倍数，又是48 的因数，这个数可能是多少？答案：这个数可能是12、24 或48。

题目2：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？答案：另一个数是18。

因为最小公倍数乘以最大公因数等于两个数的乘积，所以另一个数为36×6÷12 = 18 。

题目3：有一个自然数，除以5 余3，除以7 余4，这个数最小是多少？答案：23 。

从除以7 余4 的数中找除以5 余3 的数，最小为23 。

题目4：已知A = 2×3×5，B = 2×5×7，A 和 B 的最大公因数和最小公倍数分别是多少？答案：最大公因数是10，最小公倍数是210 。

题目5：一个数在80 到100 之间，既是6 的倍数，又是9 的倍数，这个数是多少？答案：90 。

6 和9 的最小公倍数是18 ，在80 到100 之间18 的倍数是90 。

题目6：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数分别是多少？答案：3 和120 或15 和24 。

题目7：有一个数，它的最大因数和最小倍数之和是60，这个数是多少？答案：30 。

一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个数是30 。

题目8：把48 块糖和38 块巧克力分别分给同一组同学，结果糖剩3 块，巧克力少了2 块，这个组最多有几名同学？答案：5 名。

48 - 3 = 45 ，38 + 2 = 40 ，45 和40 的最大公因数是5 。

题目9：一个数除以4 余1，除以5 余2，除以6 余3，这个数最小是多少？答案：57 。

这个数加上3 就能被4、5、6 整除，4、5、6 的最小公倍数是60 ，所以这个数最小是57 。

题目10：甲、乙两数的最大公因数是8，最小公倍数是48，甲数是24，乙数是多少？答案：16 。

乙数= 8×48÷24 = 16 。

因数和倍数竞赛试题一、填空题。

1.一个五位数。

如果这个数能同时被2、3、5整除，那么△代表的数字是()，口代表的数字最大是()。

2.小眠有一个密码锁，密码是一个五位数。

最低位上的数字是3，最高位上的数字是5，十位上的数字是个位上数字的3倍，前三位数字的和与后三位数字的和都是16，这个密码锁的密码是()。

3.畅畅用36朵玫瑰和24朵月季扎花束，要求：每束花都要有玫瑰和月季，每束花中玫瑰的朵数相同，月季的朵数也相同，所有的玫瑰和月季正好全部用完。

用这些玫瑰和月季最多能扎()束花，每束共有()朵花。

4.a.b为不是0的自然数。

若a÷b＝3，则a，b的最大公因数是()，最小公倍数是()。

若a＝b+1，则a，b的最大公因数是()，最小公倍数是()。

5.已知A＝2×3×m,B＝3×3×5×m的最大公因数是21，那么m是()，A和B的最小公倍数是()。

6.两数的最大公因数是3，最小公倍数是45，如果数A是9，那么数B是()；如果数B是45，那么数A是()。

7.向明对一个六位数用短除法分解质因数，她选用由小到大的质数进行试除（如图所示）。

a、b、c依次是______________。

二、选择题。

1.有一筐水果，如果再增加2个，能刚好平均分给7个小朋友，如果减少3个，能刚好分给5个小朋友，这框水果至少有()A.20B.30C.33D.352.著名的“哥德巴赫猜想”有一个命顾是，每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。

下面式子中体现这个猜想的是（）A.18＝1+17B.8＝2+6C.20＝7+133.正方形的边长是质数，它的周长是()，它的面积是()。

①质数②合数③既不是质数，也不是合数A.①；②B.②；②C.②；③4.a是一个偶数，下面有()种情况的结果一定是奇数。

①3a②a+3③a2④a+a+a+...+a⑤a+a+1A.1B.2C.3D.45.甲数＝2×3×7×A，乙数＝2×5×7×A，当A＝()时，甲、乙两数的最大公因数是42。

因数和倍数奥数题荟萃总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！1、某校举行数学竞赛，共有20道题。

评分标准规定，答对一题给3分，不答给1分。

答错一题倒扣1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是_________。

3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得1个苹果和3个橘子。

最后橘子分完了，苹果还剩下12个。

那么一共分给了________ _名小朋友。

4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题(每份训练题满分为120分)。

他第一份训练题得了90分，第二份训练题得了100分，那么第三份训练题至少要得_________分才能使四份训练题的平均成绩达到105分。

5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.6、自然数123456789是质数，还是合数？为什么？7、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？8、一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

答案：1、解：以一个学生得分情况为例。

如果他有m 题答对，就得3m 分，有n题答错，则扣n分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m-n）分。

所以，这个学生得分总数为：3m-n+（20-m-n）=3m-n+20-m-n=2m-2n+20 =2（m-n+10）不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。

由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。

2、解：499。

2008÷4—3=4993、解：6。

12÷(3—1)=6(名)。