算术平方根和平方根的区别

第07课 算数平方根与平方根课程标准1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0)；的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：(1)当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. (2)负数没有算数平方根；(3)算数平方根等于本身的数有：0和1； (4)算数平方根平方等于原来的数； (5)注意a 运算结果的非负性； 2.平方根的定义如果，那么x 叫做a 的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.注意：(1)非负数才有平方根； (2)负数没有平方根；(3)平方根等于本身的数是：0；(4)一个正数有2个平方根，他们互为相反数； (5)平方根平方等于原来的数；x a 2x a =a a a a a a a 2x a =a a a (0)a a ±≥a a 目标导航知识精讲知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：(1)定义不同；(2)结果不同：和 2．联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负数；(3)0的平方根和算术平方根均为0． 注意：算术平方根平方根定义若正数x ，2x a =，正数x 叫做a 的算术平方根，x a =若数x ，2x a =，数x 叫做a 的平方根，x a =±a 的范围 0a ≥0a ≥表示aa ±正数有一个算术平方根，是正数正数有两个平方根，它们互为相反数0的算术平方根是0 0的平方根是0 负数没有算术平方根负数没有平方根知识点03 平方根的性质(1)2a =,0||0,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)2()a =,(0)a a ≥知识点04 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右(左)每移动两位，算术平方根的小数点向右(左)移动一位。

平方根和算术平方根的区别(1)．定义不同．如果x2 =a,那么x叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根．一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数．(2)表示方法不同．正数a的平方根，表示为 a．正数a的算术平方根为a．(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1．2．平方根和算术平方根的联系．(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个．(2)存在条件相同．非负数才有平方根和算术平方根．(3)零的平方根和零的算术平方根都是零．平方根、算术平方根指导老师：锋行天下班级__________ 姓名___________1、64的平方根记作，等于，即 = ；64的算术平方根记作，等于，即 = ；2、25的平方根记作，等于，即 = ；25的算术平方根记作，等于，即 = ；3、36的平方根记作，等于，即 = ；36的算术平方根记作，等于，即 = ；4、16的平方根记作，等于，即 = ；16的算术平方根记作，等于，即 = ；5、15的平方根记作，等于，即 = ；15的算术平方根记作，等于，即 = ；6、9的平方根记作，等于，即 = ；9的算术平方根记作，等于，即 = ；7、4的平方根记作，等于，即 = ；4的算术平方根记作，等于，即 = ；8、2的平方根记作，等于，即 = ；2的算术平方根记作，等于，即 = ；9、1的平方根记作，等于，即 = ；1的算术平方根记作，等于，即 = ；10、0.81的平方根记作，等于，即 = ；0.81的算术平方根记作，等于，即 = ；11、0.64的平方根记作，等于，即 = ；0.64的算术平方根记作，等于，即 = ；12、0.49的平方根记作，等于，即 = ；0.49的算术平方根记作，等于，即 = ；13、0.36的平方根记作，等于，即 = ；0.36的算术平方根记作，等于，即 = ；14、0.25的平方根记作，等于，即 = ；0.25的算术平方根记作，等于，即 = ；15、0.16的平方根记作，等于，即= ；0.16的算术平方根记作，等于，即= ；16、0.09的平方根记作，等于，即= ；0.09的算术平方根记作，等于，即= ；17、0.04的平方根记作，等于，即= ；0.04的算术平方根记作，等于，即= ；18、0.01的平方根记作，等于，即= ；0.01的算术平方根记作，等于，即= ；19、0的平方根记作，等于，即= ；0的算术平方根记作，等于，即= ；20、-1的平方根存在吗？（填“存在”或“不存在”）；-4呢？-9？-16？-25？……这是为什么呢？答：原来，所有的数，它们的平方都是，反过来也就是说：比小的数没有平方根，所以我们说：“一个正数有个平方根；0只有个平方根，它是0本身；数没有平方根。

1的平方根是1对不对
这句话是不对的，1的算术平方根是1，1的平方根是±1。

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。

平方根和算术平方根的区别：
(1)定义不同：
如果x2=a,那么x叫做a的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

如果x2=a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根。

一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。

(2)表示方法不同：
正数a的平方根，表示为±√a；正数a的算术平方根为√a。

(3)平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1。

平方根和算术平方根的联系：
(1)二者有着包含关系：
平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。

(2)存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根。

(3)零的平方根和零的算术平方根都是零。

7的算术平方根是多少
7的算术平方根是根号7，平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。

一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。

平方根和算术平方根的区别
1.正负不同，平方根可以是正的，也可以是负的，还可以是0，但是算术平方根一定是非负的。

2.个数不同，正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

3.表示方法不同，前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

4.定义不同，平方根的定义为：若一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。

算术平方根的定义为：若一个正数的平方等于a，则这个数叫做a的算术平方根。

二者都是数学中重要的定义，切记不可将二者弄混淆。

第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。

2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。

②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。

③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。

④写法不同。

在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。

②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。

3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。

东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。

厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。

算术平方根和平方根的区别例题算术平方根和平方根的区别例题一、引言在数学中，我们经常会碰到算术平方根和平方根这两个概念。

但是很多人可能会混淆它们之间的区别。

今天，我们就来深入探讨一下算术平方根和平方根的区别，并通过例题来加深理解。

二、算术平方根和平方根的定义1. 算术平方根的定义算术平方根是指对于一个非负数a，其算术平方根记作√a，即一个非负数b，使得b²=a。

√16=4，因为4²=16。

2. 平方根的定义平方根是指对于一个数x，若存在一个数y，使得y²=x，则y称为x 的平方根。

与算术平方根不同的是，平方根可以是负数。

-3的平方是9，所以-3是9的平方根。

从上面的定义可以看出，算术平方根强调的是非负数的平方根，而平方根包括了正负数的情况。

这也是它们最本质的区别所在。

三、例题分析为了更好地理解算术平方根和平方根的区别，我们来看几个例题：1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) 9b) 16c) -252. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4和-4b) 25和-25c) 36和-36四、解题过程及讨论1. 求下列各数的算术平方根和平方根：a) √9=3，因为3²=9；9的平方根为±3，因为3²=9，(-3)²=9，所以9的平方根为±3。

b) √16=4，因为4²=16；16的平方根为±4。

c) -25的算术平方根不存在，因为算术平方根要求被开方数为非负数；-25的平方根为±5，因为5²=25，(-5)²=25，所以-25的平方根为±5。

2. 比较下列各对数的算术平方根和平方根的大小：a) 4的算术平方根为2，平方根为±2，-4的算术平方根不存在，平方根为±2。

可见，当涉及到正负数的情况时，平方根会比算术平方根多出来一个负数解。

第六章实数专题6 算术平方根与平方根的概念及性质知识要点1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0.2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x ²=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数.正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。

①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0.3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。

4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向左（或向右）移动1b =10b 0.1b =.5.算术平方根的双重非负性满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。

6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥07.两个结论：①2a = (a ≥0)a =. 典例精析例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；②2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②124；③()232---；④4x【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同.【解】（1）因为9²=81，所以；②因为2525636⎛⎫= ⎪⎝⎭56③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-；④因为()22x x =-==x（2）①因为()20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以32==±；③因为()2525±=，5=±；④因为()()2222224x x x x x x x x x ±==⋅=⋅⋅⋅=，2x ±.【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏.拓展与变式1 ___________.拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数.【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算例2 已知：（m +1）²，求式子3n m -的值.【分析】两个非负数的和为0，则这两个数均为0.【解】依题意得1030m n +=⎧⎨-=⎩解得13m n =-⎧⎨=⎩，所以3n m -=()331--=4 【点评】灵活借助平方结构和算式平方根的非负性进行分析和求解.拓展与变式5 已知：()21m -=m +n 的值为_________.拓展与变式6 0=，a 的值为___________拓展与变式7 已知：()2210m t n --=，代数式2m n t ++的值为_______.【反思】①学过的具有非负性的式子有20a ≥，0a ≥0≥（a ≥0）.②学会运用和区别算术平方根的非负和被开方数非负两个性质.例3 ）A .3与4之间B . 4与5之间C . 5与6之间D . 6与7之间【解】因为20＜30＜36且a ＞b ≥00>≥.所以答案为C【点评】利用被开平方数的范围进行估算，需要寻找与其大小最接近的两个平方数.拓展与变式8 1________3.拓展与变式9 a ，小数部分为b ，求a 、b 的值【反思】若1m m <+（m 为非负整数）m -m . 专题突破1.（1）x 是81的算术平方根，那么x 的算术平方根是（ ）A .3±B .9±C .3D .9（24±34132=+；④22，其中正确的个数是（ ）A .0B .1C .2D .32.如图6-1所示，点A ，B ，C ，D ，O 分别表示的数是1，2，3，4，0.图6-1（1）点P 从O 2秒后，点P 在线段______上；（2）点P 从B 1秒后，点P 在线段______上.3.a ，b 满足关系式b ab 的平方根.4.解方程：（1）x ²=4； （2）（a -1）²=4； （3）（x -2）²-1=4。