当中间数为 8 时，有 7×8＝56(个)； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72(个)； 故符合条件的数的个数为： 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240. 答案 240 归纳拓展 既有分类原理又有分步原理的问题，“先分类， 再分步”是一个重要的计数原则，在计数时应让两个原理协 同作用．在应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类” 间的独立性与并列性；在应用分步乘法计数原理时，要注意 “步”与“步”间的连续性．掌握好分类讨论的标准，设计 好分类方案，防止重复和遗漏．
变式训练 1 甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男 同学、2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则 选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有__3_4_5____种． 解析 分类：若这名女同学是甲组的，则选法有 C31·C15·C26， 若这名女同学是乙组的，则选法有 C52·C12·C16， ∴符合条件的选法共有 C31C15C26＋C52C12C16＝345(种)．
号内取 3x，其余 4 个括号内取常数项 2 相乘得到的，即
C15·3x·C44·24＝240x.
归纳拓展 求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或特 定项问题，是二项式定理的基本问题，通常用通项公式来解 决．在应用通项公式时，要注意以下几点： (1)它表示二项展开式中的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随 之确定； (2)Tr＋1 是展开式中的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (3)公式中 a，b 的指数和为 n，a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
最大的项是 T4 和 T5. 所以 T4 的系数为 C37124×23＝325， T5 的系数为 C47123×24＝70. 当 n＝14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. 所以 T8 的系数为 C71412727＝3 432.
(2)因为 C0n＋Cn1＋C2n＝79，所以 n＝12 或 n＝－13(舍去)．
二、排列与组合 例 2 (1)(2010·大纲全国Ⅰ改编)某校开设 A 类选修课 3 门，B
类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门．若要求两类课程中 各至少选一门，则不同的选法共有__________种． (2)(2010·山东改编)某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序 有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一 位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编 排方案共有________种．
解析 (1)方法一 可分两种互斥情况：A 类选 1 门，B 类选 2 门或 A 类选 2 门，B 类选 1 门，共有 C13C24＋C23C14＝18＋12＝ 30(种)选法． 方法二 总共有 C37＝35(种)选法，减去只选 A 类的 C33＝1(种)， 再减去只选 B 类的 C43＝4(种)，故有 30(种)选法． (2)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间 4 个节目无限制条件，有 A44种排法；第二类：甲排在第二位时， 从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目排在第一位有 C13种 排法，其他 3 个节目有 A33种排法，故有 C13A33种排法，依分类 计数原理，知共有 A44＋C13A33＝42(种)编排方案．
专题七 概率与统计、算法 初步、复数
§1 排列、组合和二项式定理 真题热身
1．(2011·大纲全国，改编)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课 程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 ___2_4____种． 解析 分三步，第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲， 共有 C42种不同的选法，第二步给第 3 位同学选课程，必须 从乙、丙中选取，共有 2 种不同的选法，第三步给第 4 位 同学选课程，也有 2 种不同的选法，故共有 N＝C24×2×2 ＝24(种)不同的选法．
答案 (1)30 (2)42
归纳拓展 解排列、组合问题，常用的方法有：直接计算法与 间接(剔除)计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析 法；插空法和捆绑法等． 对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或 进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略 为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分 组”的差异及分类的标准．
令 18－3r＝0，得 r＝6，即第 7 项为常数项． T7＝－126C96＝2116. ∴常数项为2116.
(2)设第 r＋1 项是含 x3 的项，则有 Cr9ax9－r－
得
xr－9x
r 2
＝x3，故32r－9＝3，即
r＝8.
x2r＝94x3，
∴C98a－
变式训练 2 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”, 其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位 数的个数为___1_2____．
解析 先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有 C32种填 法，再排另两张卡片有 A22种排法，再决定用数字“9”还是 “6”有两种可能，所以共可排成 2C32A22＝12(个)四位数．
三、求二项展开式的通项、指定项
例 3 (1)求x2－21x9 的展开式中的常数项；
(2)已知ax－
x9 2
的展开式中
x3
的系数为94，求常数
a
的值；
(3)求(x2＋3x＋2)5 的展开式中含 x 的项．
解 (1)设第 r＋1 项为常数项，则 Tr＋1＝Cr9(x2)9－r·－21xr＝－12rCr9x18－3r.
A
m n
＝
n(n
－
1)(n
－
2)…(n
－
m
＋
1)
，
A mn
＝
(n－n！m)！，Ann＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．
(2)组合数公式及性质 Cmn ＝AAmnmm＝n(n－1)(n－m2！)…(n－m＋1)， Cmn ＝m！(nn！－m)！，C0m＝1，Cmn ＝Cnn－m，Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1. (3)应用题 ①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，
设 Tk＋1 项的系数最大． 因为12＋2x12＝1212(1＋4x)12， 所以CC11kk2244kk≥≥CCkk11＋－22 1144kk－＋11 ，所以 9.4≤k≤10.4. 又因为 0≤k≤12 且 k∈N，所以 k＝10.
所以展开式中系数最大的项为 T11. T11＝1212C1102410x10＝16 896x10.
128＝94，∴a＝4.
(3)方法一 ∵(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，由于
(x2＋3x＋2)5 的展开式中含 x 的项是(x＋1)5 展开式中的一次项
与(x＋2)5 展开式中的常数项之积，以及(x＋1)5 展开式中的常数
项与(x＋2)5 展开式中的一次项之积的代数和．
∴含 x 的项为 C45·x·C55·25＋C55·1·C45·x·24＝240x. 方法二 (x2＋3x＋2)5展开式中的一次项是 5 个括号中有 1 个括
分类突破
一、两个计数原理的应用 例 1 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a3<a2，
则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数 的个数为________． 解析 共分 8 类： 当中间数为 2 时，共有 120 和 121 两个数满足要求，即有 2 个； 当中间数为 3 时，有 2×3＝6(个)； 当中间数为 4 时，有 3×4＝12(个)； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20(个)； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30(个)； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42(个)；
2．(2011·北京)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现 一次，这样的四位数共有___1_4____个．(用数字作答) 解析 数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现 1 次，“3”出现 3 次，共可组成 C41＝4(个)四 位数． “2”出现 2 次，“3”出现 2 次，共可组成 C42＝6(个)四 位数． “2”出现 3 次，“3”出现 1 次，共可组成 C43＝4(个)四 位数． 综上所述，共可组成 14 个这样的四位数．
四、二项式定理中的“赋值”问题 例 4 若(1－2x)2 011＝a0＋a1x＋…＋a2 011x2 011(x∈R)，则a21＋2a22
＋…＋2a22 001111的值为__－__1____． 解析 ∵(1－2x)2 011＝a0＋a1x＋…＋a2 011x2 011(x∈R)， ∴令 x＝0，则 a0＝1，令 x＝12， 则1－2×122 011＝a0＋a21＋a222＋…＋a222 001111＝0， 其中 a0＝1，所以a21＋a222＋…＋a222 001111＝－1.
1．两个计数原理 分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事的不同
方法种数的问题．
“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果
每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步
才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相
加；分步要用分步计数原理将种数相乘．
2．排列、组合
(1) 排列数 公式
先分类后分步．
②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法； (c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法； (f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多 问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除 法；(k)复杂问题转化法．
3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋ Cnn－1abn－1＋Cnnbn(n∈N*)． 通项(展开式的第 r＋1 项)：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中 Crn(r＝ 0,1，…，n)叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项 式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Crn＝Cnn－r. ②二项式系数的和等于 2n，即 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二 项式系数和，即 C1n＋C3n＋Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋C4n＋…＝2n－1. (3)赋值法解二项式定理有关问题，如 3n＝(1＋2)n＝C0n＋C1n·21＋C2n·22＋…＋Cnn·2n 等．
