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绝密★启封并使用完毕前湖南省长望浏宁四市县区2012年5月高三联考理科综合生物能力测试试题时量:150分钟总分:300分做答要求：1．考生领到试卷和答题卡后，请认真检查有无缺印、漏印、重印等问题，如有问题，请举手提出更换要求；2．请在试卷和答题卡指定位置规范填涂考生信息；3．所有答案必须全部填涂和填写到答题卡上，凡是答在试卷上的答案一律无效。
考试范围：高考范围；本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
本试卷共21小题，每小题6分，共126分。
合题目要求的以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量： H－1 C－12 N－14 O－16 Zn－65 S－32 Fe－56Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题（本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．预防传染病的疫苗家族中增加的第三代疫苗——DNA疫苗，它们是由病原微生物中的一段表达抗原的基因制成，这段基因编码的产物仅仅引起机体的免疫反应。
关于DNA疫苗的叙述不正确的是A．DNA疫苗导入人体能够产生特异性免疫B．导入人体的DNA疫苗在体内直接产生抗体，起到免疫作用C．DNA疫苗的接种可以达到预防特定微生物感染的目的D．DNA疫苗接种后引起人体产生的抗体是由浆细胞合成的2．下表是实际测得的某运动员在训练过程中的三项生理指标的数据，下列分析错误的是A．三项生理指标中，实测数据基本正常的有甲、乙、丙B．胰岛素在血糖调节过程中发挥着比较关键的作用C．三项生理指标的调节过程中，下丘脑直接参与的是甲、乙、丙D．缓冲物质NaH2PO4/Na2HPO4对维持血液pH的稳定有重要作用3．下列关于科学实验叙述正确的是：A．通过不同体积的琼脂块模拟实验证明了琼脂块体积的大小与物质运输速率成正比B．用猪血红细胞提取制备细胞膜，采集血液时须加入生理盐水避免血液凝固C．用鸡血细胞提取DNA，加蒸馏水有利于细胞快速破裂，加2mol/L的NaCl溶液有利于DNA溶解D．用人口腔上皮细胞做“观察DNA和RNA在细胞中的分布”实验时，需先对细胞进行盐酸水解，然后用甲基绿、吡罗红染色剂分别给涂片进行染色4．研究不同的光强、温度对植物光合作用和呼吸作用的影响，实验结果如图所示。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N= M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N=,再利用交集定义得出M ∩N.2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =. 又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为A ． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-32 , 32] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)31sin cos sin 3sin()226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为[-3,3].【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC= 1则___BC =.A.3 B.7 C.22 D.23【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，解得3BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B ∠的外角.8．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b a的最小值为A ．162 B.82 C.84 D.44【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m m x x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==. 依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++ ，min ()82b a ∴=.ABC【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a>，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. x821y m =+2log y x=y m=1OAB C D11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.【答案】6【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知,1(12)(3-)(3), 6.PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，从而求得圆的半径.(二)必做题（12~16题） 12.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____.【答案】10 【解析】2(3)zi =+=29686i i i ++=+，228610z =+=.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用22z a b =+求得.13.( 2x -1x)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】-160 【解析】( 2x -1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2(1)r r r r rr r r T x x x---+=-=-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x =-,n =3,则输出的数S = .ABP OABPOC D【答案】4- 【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ; （2）若在曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 .【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，332）时 33cos,362πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b .设曲线段 ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ=== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16.设N =2n（n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i分成2i段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置. （1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置； （2）当N=2n（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量1至4件 5至8件 9至12件 13至16件17件及以上顾客数（人） x30 25 y10 结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率） 【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X ========= 201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为X 1 1.5 22.5 3P320 310 1415 110X 的数学期望为 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. 18.（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积.【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC=，90 5.ABC AC ∠== ,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂ 平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接 由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BGAE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BFPBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠= 知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以222168525,.525AB BG AB AG BF BG =+====于是85.5PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为1185128516.33515V S P A =⨯⨯=⨯⨯=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =-故222160000.162516h h hh -++++=⋅+⋅+解得855h=.又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S=⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为118512851633515VS PA =⨯⨯=⨯⨯=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，…… （1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式.（2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列.【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()(B n A n C n B n-=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=-（Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n n q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()B n q A n C n q B n==， 于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121.n n a qa a a ++-=- 由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.因为0na >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x kx k x⨯====-+期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到 212()(),T x T x k=于是（1）当2k=时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =. （2）当2k>时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()max (),()f x T x T x = {}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x的单调性知，当100037550x x=-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而 此时完成订单任务的最短时间大于25011. （3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，当2000750100x x=-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x=-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是0254 3.1k y kk ++=+整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x=-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22.（本小题满分13分） 已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln xa a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111l n 1a a a-≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t=时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t<时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t=，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而21()21()10a x x ea x x ---->，12()12()10,a x x ea x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ> 因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c是唯一的，且21211ln()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>.综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x)≥1恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M={-1,0,1} ， N={x|x 2≤ x}，则M ∩ N=A.{0}B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}【答案】 B【解析】N 0,1 M={-1,0,1} M ∩ N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出N 0,1 ,再利用交集定义得出 M∩ N.2.命题“若α = ，则 tan α =1”的逆否命题是4A.若α≠，则 tanα ≠1 B. 若α = ，则 tanα ≠ 14 4C. 若 tanα ≠ 1，则α≠ D. 若 tanα ≠1，则α =4 4【答案】 C【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若p ，则q ”，所以“若α = ，则 tanα =1”的逆否命题是“若4tan α ≠ 1，则α ≠” .4【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】 D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.第 1 页共 17 页【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力 .是近年高考中的热点题型 .4.设某大学的女生体重 y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ x i ，y i ）（ i=1， 2 ，⋯， n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kgD.若该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重比为 58.79kg【答案】 D【解析】【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，由最y bx a bx y bx (a y bx ) ，所以回归直线过样本点的中心（x ，小二乘法建立的回归方程得过程知? y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确 .【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易 错 .5. 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为a 2 - 2 bx 2 y 2x 2 - y 2 x 2 y 2x 2 y 2A ．-=1 B. 5 20=1 C. - =1D.-=120 5 80 2020 80【答案】 A【解析】设双曲线 C： x 2 y 2 =1 的半焦距为 c ，则 2c10, c 5 .a 2 - 2b 又 C 的渐近线为 ybx ，点 P （ 2,1）在 C 的渐近线 1 b 2 ，即 a 2b .上，a a又 c2a2b2， a 2 5,b5 ， C的方程为x2- y2 =1.20 5【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型 .第 2 页共 17 页6. 函数 f （x） =sinx-cos(x+ )的值域为6A． [ -2 ,2] B.[-3 , 3 ] C.[-1,1 ]D.[-3 3, ]2 2【答案】B【解析】 f（ x） =sinx-cos(x+ ) sin x 3 cos x 1 sin x 3 sin( x ) ，sin( x )1,1 ，f (x) 值6 2 2 6 6 域为 [- 3 , 3 ].【点评】利用三角恒等变换把f ( x) 化成Asin( x) 的形式，利用sin( x )1,1 ，求得 f (x) 的值域 .7. 在△ ABC中， AB=2， AC=3， AB BC = 1 则 BC ___ .中 &% 国教 *^ 育出版网A. 3B. 7C.2 2D. 23【答案】A【解析】由下图知AB BC = AB BC cos( B) 2 BC ( cos B) 1.cosB 1 .又由余弦定理知cos B AB 2BC 2AC2，解得BC 3 .2B C 2 AB BCAB C【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意AB, BC 的夹角为 B 的外角 .8 ．已知两条直线l1： y=m和 l8(m＞ 0)， l1与函数ylog2 x 的图像从左至右相交于点A， B ，l2 2： y=2m 1与函数 y log 2 x 的图像从左至右相交于bC,D .记线段 AC和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当m 变化时，a的最小值为来源 %&: 中国教育出版网A． 16 2 B.8 2 C.8 4 D. 4 4【答案】B第 3 页共 17 页【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y= 8(m ＞0)， y log 2 x 图像如下图，2m 1由 log 2 x = m ，得 x 1 2m , x 2 2m ， log 2 8 8 8x = ，得 x 32 2 m 1 , x 4 2 m 1 2 . 2m 1 8 依照题意得 a 2 m 2 2 m1, b 2m 2 82 m12m 2 , ba 2 m 2 8 2m1 8 8 2m 2m 1 m8 2 2 2 m1 . 2m 1m 8 m 1 4 1 4 1 3 1 ， ( b )min 8 2 .2m 1 2 1 2 2 2 a m 2y log 2 xDy 8C2m 1 A By m O1 x【点评】在同一坐标系中作出y=m ， y= 8(m ＞0)， y log 2 x 图像，结合图像可解得 .2m 1二 、填空题： 本大题共8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上 .（一）选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）9. xOy 中，已知曲线C1：x t 1, x a sin ,在直角坐标系y 1(t 为参数 )与曲线C2：3cos 2t y( 为参数，a0 ) 有一个公共点在 X 轴上，则 a __ .【答案】32【解析】曲线C1x t 1,y 3 2 x ，与 x 轴交点为 ( 3 ,0) ；：1直角坐标方程为y 2t 2x asin, x2y21，其与 x 轴交点为( a,0),( a,0) ，曲线 C2：3cos 直角坐标方程为29y a第 4 页共 17 页由 a 0，曲线 C 1 与曲线 C 2 有一个公共点在 3X 轴上，知 a.2【点评】 本题考查直线的参数方程、 椭圆的参数方程， 考查等价转化的思想方法等 .曲线 C 1 与曲线 C 2 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得 . 10.不等式 |2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.【答案】 x x143,( x 1) 2 【解析】令f ( x) 2x 1 2 x 1 ，则由 f (x)4x 1,( 1x 1) 得 f ( x) 0 的解集为 x x 1 . 2 4 3,( x 1)【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组） .11.如图 2，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A ，B 两点 .若 PA=1， AB=2， PO=3，则圆 O 的半径等于 _______.O BPA【答案】 6【解析】设 PO 交圆 O 于 C ， D ，如图，设圆的半径为 R ，由割线定理知PA PB PC PD,即1 (1 2) (3- r )(3 r ), r 6. DOC PB A【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ，从而求得圆的半径 .(二 )必做题（ 12~16 题）12.已知复数 z (3 i )2 (i 为虚数单位 )，则 |z|=_____.第 5 页共 17 页【答案】 10【解析】 z (3i )2= 9 6i i 2 8 6i ， z82 62 10 .【点评】本题考查复数的运算、复数的模 .把复数化成标准的 abi ( a, b R) 形式，利用z a 2 b 2 求得 .13.( 2 x - 1 )6 的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）x【答案】 -160【 解 析 】 ( 2 x - 1 )6 的 展 开 式 项 公 式 是 T r 1C 6r (2 x )6 r( 1 )r C 6r 26 r ( 1)r x 3 r . 由 题 意 知 x x3 r 0 r, 3 T 4C 6 2 ( 1) 160 .，所以二项展开式中的常数项为 3 3 3 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3 所示的程序框图，输入 x 1 ,n=3,则输出的数 S=. 【答案】4 【 解 析 】 输 入 x 1 ,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ： i 2: S 6 2 3 3 ； i 1: S 3( 1) 1 15 ； i 0: S 5( 1) 0 1 4 ，所以输出的是 4 .【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错 .15.函数f（ x）=sin (x )的导函数y f (x) 的部分图像如图4 所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图第6 页共17页像与 x 轴的两个交点， B 为图像的最低点 .（ 1）若，点 P 的坐标为（ 0 ， 3 3），则;62（ 2）若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ ABC 内的概率为 .【答案】（1） 3；（ 2）4【解析】（1） y f ( x)cos( x ) ，当 ，点 P 的坐标为（ 0，3 3）时 6 2 cos3 3 , 3 ； 6 2T21 AC（ 2）由图知AC ， SABC 2 ，设 A, B 的横坐标分别为 a,b .2 22设曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域的面积为 S 则 S b f (x)dx f ( x) a bsin( a ) sin( b ) 2， a由几何概型知该点在△ABC 内的概率为P SABC 2 .S 2 4【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点 P 在图像上求 ， （ 2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.n* ， n ≥ 2），将 N 个数 x 1,x 2 ,⋯， x N 依次放入编号为 1,2，⋯， N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2⋯16.设 N=2（ n∈ NxN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 和后N个位置，得到排列2 2P1=x1 x3⋯ xN-1x2x4⋯ xN，将此操作称为C 变换，将 P1分成两段，每段N 个数，并对每段作C 变换，得到p2；当22第 7 页共 17 页≤ i ≤ n-2 时，将 P i 分成 2i 段，每段 N个数，并对每段C 变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8 时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8， 2i此时 x 7 位于 P 2 中的第 4 个位置 .（ 1）当 N=16 时， x 7 位于 P 2 中的第 ___个位置；（ 2）当 N=2n （ n ≥ 8）时， x 173 位于 P 4 中的第 ___个位置 .【答案】（1） 6；（ 2） 3 2n 4 11【解析】（1）当 N=16 时 ,P 0 x 1 x 2 x 3x 4 x 5x 6 x 16 ,可设为 (1,2,3,4,5,6,,16) , P 1 x 1 x 3 x 5 x 7 x 15 x 2 x 4 x6 x 16 ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8, ,16) ,P 2 x 1 x 5 x 9 x 13 x 3x 7 x 11x 15 x 2 x 6 x 16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11 ,15,2,6,,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个位置 ,；（ 2）方法同（1） ,归纳推理知 x 173 位于 P 4 中的第 3 2n4 11 个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数 据，如下表所示 .一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数（人） x30 25 y 10 结算时间 （分钟 /人） 1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％ .（Ⅰ）确定 x ， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； [&% 中国 教育出版网*#（Ⅱ） 若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算， 且各顾客的结算相互独立， 求该顾客结算前的等候时间 不超过．．． 2.5 分钟的概率 .（注：将频率视为概率） 中 %# 国教 育出版网 【解析】（1）由已知 ,得25y 10 55, x y 35, 所以 x 15, y 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所以收集的100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一 个容量随机样本，将频率视为概率得p( X 1 ) 1 53 ,p (X 1. 5 ) 3 03 p , X ( 2 )2 51,1 00 2 0 1 0 0 1 0 1 00 4p( X 2 . 5 ) 2 01 p,X( 3 )1 0 1 .1 00 5 1 00 1 0X 的分布为X 1 1.5 2 2.5 3P 3 3 1 1 120 10 4 5 10 X 的数学期望为第 8 页共 17 页331 1 1E( X ) 11. 5 22. 53 . 1. 9 2 0 1 0451 0（Ⅱ）记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”， X i (i2)1,为该顾客前面第 i 位顾客的结算时 间，则P( A) P( 1X 且1 2X 1) P (1X 且 1 2X 1. 5 ) P 1 X( 且 1. 25X.1 )由于顾客的结算相互独立，且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以P( A) P( X 1 ) ( P 2X 1) P 1( X 1) P 2 (X 1. 5 )P X( 1. 5P) X ( 1)1 1 23333 339 20 20 20 10 10 20 .80故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9.80 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问 中根据统计表和100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％知 25 y 10 100 55%,x y 35, 从而解得 x, y ，计算每一个变量对应的概率， 从而求得分布列和期望；第二 问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．． 2.5 分钟的概率 . 18.（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ，AB=4， BC=3， AD=5，∠ DAB=∠ABC=90°， E 是 CD 的中点 .来源 %:* 中 国 教育出 @ 版 网（Ⅰ）证明： CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积 .【解析】解法 1（Ⅰ如图（ 1）），连接 AC，由 AB=4， BC 3，ABC 90 , 得 AC 5. 又 AD 5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CD AE.第 9 页共 17 页PA 平面 ABCD, CD 平面 ABCD, 所以 PA CD .而 PA, AE是平面 PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面 PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BG CD, 分别与 AE, AD相交于 F ,G,连接 PF . 由（Ⅰ） CD⊥平面 PAE知，ＢＧ⊥平面 PAE于.是 BPF 为直线ＰＢ与平面 PAE 所成的角，且 BG AE .由 PA 平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 .AB 4, AG 2, BG AF , 由题意，知PBA BPF ,因为 sin PBA PA ,sin BPF BF , 所以 PA BF .PB PB由DAB ABC 90 知， AD / / BC, 又BG / /CD , 所以四边形 BCDG 是平行四边形，故 GDBC 3.于是AG 2.在 Rt BAG 中， AB 4, AG2, BG AF , 所以BG AB2AG2 2 5, BF AB216 8 5 .BG 2 5 5 于是 PA BF 8 5 .5又梯形 ABCD 的面积为S 1 (5 3) 4 16, 所以四棱锥P ABCD 的体积为2V1S PA 1 168 5 128 5 .3 3 5 15第 10 页共 17 页解法 2：如图（ 2），以 A 为坐标原点，AB, AD , AP 所在直线分别为x 轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 .设PA h, 则相关的各点坐标为：A(4,0,0), B(4,0,0), C (4,3,0), D (0,5,0), E(2,4,0), P(0,0, h).（Ⅰ）易知 CD ( 4,2,0), AE (2,4,0), AP (0,0, h). 因为CD AE 8 8 0 0,CD AP 0, 所以 CD AE, CD AP.而 AP, AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD 平面 PAE .( Ⅱ )由题设和（Ⅰ）知，CD, AP 分别是平面 PAE ，平面 ABCD 的法向量，而PB 与平面 PAE 所成的角和PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以cos CD, PB cos PA, PB , 即CD PB PA PB .CD PB PA PB由（Ⅰ）知，CD ( 4,2,0), AP (0,0, h), 由 PB (4,0, h), 故160 0 0 0 h2.2 5 16 h2h 16h285解得 h .513) 4 16 ，所以四棱锥PABCD 的体积为又梯形 ABCD的面积为S (521S PA 1 8 5 1 2 8 5V 165 15 .3 3【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由积.19.（本小题满分12 分）1V S PA 算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体3已知数列 {an}的各项均为正数，记 A（n）=a1 +a2+⋯⋯ +an ，B（ n）=a2+a3+⋯⋯ +an+1，C （ n）=a3+a4+⋯⋯ +an+2，n=1,2，⋯⋯ [来 ^& 源 :中教网 @~%]（ 1）若 a1=1， a2 =5，且对任意n∈ N﹡，三个数A（ n），B （ n）， C（ n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.（ 2）证明：数列 { an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意nN ，三个数 A（ n），B（ n），C（ n）第 11 页共 17页组成公比为q 的等比数列 .【解析】解（１）对任意 n N ,三个数 A(n), B(n),C (n) 是等差数列，所以B(n) A(n) C( n)B( n),即 a n 1a1a n 2 , 亦即 a n2a n1a2a14.故数列 a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是 a 1 ( n 1) 4 4n 3.n n（Ⅱ）（１）必要性：若数列a n是公比为ｑ的等比数列，则对任意n N ，有a n 1 a nq . 由a n0 知， A(n), B(n), C( n) 均大于０，于是B(n) a2a3... a n1q(a1a2... a n)q, A(n) a1a2...a n a1a2... a nC(n) a3a4... a n2 q(a2a3... a n 1)q, B(n) a2a3 ...a n a2a3... a n1 1即B(n)＝C (n)＝ q ，所以三个数A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列 .A(n) B(n)（２）充分性：若对于任意n N ，三个数 A( n), B(n), C ( n) 组成公比为 q 的等比数列，则B( n) q A( n) , C ( n) ，q B n于是 C(n) B( n)q B( n) A(n) , 得 a n2a2q(a n 1 a1), 即a n2qa n 1 a 2 a .由 n 1有 B(1) qA(1), 即a2qa1，从而 a n2qa n 10 .因为 a n 0a n 2 a2q ，故数列a n是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，，所以a1a n 1综上所述，数列a n是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈ N﹡，三个数 A(n), B(n),C (n)组成公比为 q 的等比数列 .【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.第 12 页共 17 页20.（本小题满分 13 分） 来 源 中教 %&*网某企业接到生产3000 台某产品的 A ，B ，Ｃ三种部件的订单， 每台产品需要这三种部件的数量分别为２ ,２ ,１（单 位：件） .已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件 .该企业计划安排２００名工人分 成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （ k 为正整数） . （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时 具体的人数分组方案 .【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T 1( x), T 2 ( x),T 3 (x), 由题设有2 3 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0T ( x) ,T ( x ) ,T (x ) ,1 6 x23 2 0 0 ( 1 k )xx k x 期中 x, kx,200 (1 k) x 均为 1 到 200 之间的正整数 .（Ⅱ）完成订单任务的时间为f ( x) max T 1( x),T 2 ( x), T 3 ( x) , 其定义域为 x 0 x 200 , x N. 易知， T 1( x),T 2 ( x) 为减函数， T 3( x) 为增函数 .注意到1 k2 于是T 2 ( x) k T 1( x),（ 1）当 k2 时， T 1(x) T 2 (x), 此时f ( x) max T 1( x), T 3 ( x) max1000 , 1500 ，x 200 3x由函数 T 1 (x), T 3 (x) 的单调性知，当1000 1500时 f ( x) 取得最小值，解得x 200 3x 400x .由于944 4045, 而 f(44)T1(44) 250 , f (45) T3 (45) 300 , f (44) f (45) .9 11 13故当 x 44 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250.f (44)11375 , (x) max T1( x),T ( x)易（ 2）当k 2 时， T1( x)T2( x),由于 k 为正整数，故k3 ，此时 T(x)50 x知 T ( x) 为增函数，则f ( x)max T1 ( x), T3( x)第 13 页共 17 页max T1 (x),T (x)( x) max 1000 375. x,x51000 375(x) x 400. 由于由函数 T1 (x),T (x) 的单调性知，当50 x 时取得最小值，解得11x3 64 0 0( 3T61 )2 5 0 2 5 0T, ( 3 7 )3 75 2 5 0,3 而7,( 3 6 ) ( 3 7 )1 1 9 1 1 1 311此时完成订单任务的最短时间大于250.11（3 ）当 k 2 时，T1 ( x) T2 ( x),由于k 为正整数，故 k 1 ，此时f ( x)max T2 ( x),T3( x) max 2000 , 750.由函数 T2 ( x),T3 ( x) 的单调性知，x 100 x当 2000 750时 f (x) 取得最小值，解得x 800 x 100 x250 ，大于25011完成订单任务的最短时间为.9 11.类似（ 1）的讨论 .此时综上所述，当 k 2 时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为 44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分 13分） [www.z%zstep.co* ~&m^]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2：（ x-5）2＋ y2=9 外，且对 C1上任意一点 M ，M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值 . （Ⅰ）求曲线 C1的方程；（Ⅱ）设 P(x0,y0)（y0≠± 3）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点 A， B 和C， D.证明：当 P 在直线 x=﹣4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 .【解析】（Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知得x 2 (x 5)2y2 3 ，易知圆 C2上的点位于直线 x 2 的右侧 .于是x2 0 ，所以( x 5) 2y2x 5 .化简得曲线 C1的方程为y220x .第 14 页共 17 页解法 2 ：由题设知，曲线C1上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线x5 的距离，因此，曲线C1是以 (5,0) 为焦点，直线x 5 为准线的抛物线，故其方程为y220x .（Ⅱ）当点P 在直线 x 4 上运动时， P 的坐标为 ( 4, y0 ) ，又 y0 3 ，则过 P 且与圆C2相切得直线的斜率k 存在且不为 0 ，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y y0k( x即kx-y+y 0 +4k=0.于是4),5k y04k3.k 2 1整理得72k 218y0k y029 0. ①设过 P 所作的两条切线PA, PC 的斜率分别为k1 , k2，则 k1, k2是方程①的两个实根，故k1k218 y0y0 .②72 4由k1x y y04k10, 得k1y220 y 20( y04k1).③y220x,设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为y1, y2 , y3 , y4，则是方程③的两个实根，所以y1y220( y04k1 ).④k1同理可得y3y420( y04k2 ).⑤k2于是由②，④，⑤三式得y1 y2 y3 y4400( y04k1)( y04k2 )k1k2400y02 4(k1 k2 ) y0 16k1k2k1k2第 15 页共 17 页400y02y0216k1k2k1k26400 .所以，当 P 在直线x 4 上运动时，四点 A， B， C， D 的纵坐标之积为定值 6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法 .第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到A, B,C , D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想. 22.（本小题满分13 分）已知函数 f( x)= ax ，其中≠ex a0.（1）若对一切 x∈ R， f (x) ≥ 1 恒成立，求 a 的取值集合 .（2）在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1, f (x1 )) ， B(x2 , f (x2 )) (x1x2 ) ，记直线 AB的斜率为 K，问：是否存在 x0∈（ x1，x2），使 f( x0 )k 成立？若存在，求 x的取值范围；若不存在，请说明理由 .【解析】（Ⅰ）若 a 0 ，则对一切x 0 ， f ( x) e ax x 1 ，这与题设矛盾，又 a 0，故a 0.而 f (x) ae ax1, 令 f ( x) 0, 得x1 ln 1 .1 1 a a1 1 1 1当xln (x)0, f ( x) 单调递减；当a时， f xln 时， f ( x) 0, f ( x) 单调递增，故当 xln时，a a a a af ( x) 取最小值 f ( 1ln1) 1 1 ln 1 .a a a a a于是对一切 x R, f ( x) 1恒成立，当且仅当1 1 ln 1 1 . ①a a a令 g(t) t t ln t , 则 g(t )ln t.当 0 t 1 时， g (t) 0, g(t ) 单调递增；当t 1时， g (t) 0, g(t ) 单调递减 .故当t 1时， g(t) 取最大值g(1) 1.因此，当且仅当11即 a 1时，①式成立 .a综上所述， a 的取值集合为 1 .f (x2 ) f (x1) axeax（Ⅱ）由题意知，ke 2 1x2x1x21.x1第 16 页共 17 页令 ( x) f ( x) k ae ax e ax 2 e ax1 , 则x 2 x 1( x 1 ) e ax 1 e a( x x ) a( x 2 x 1 ) 1 , x 2 x 1 2 1( x ) e ax 2 a (x 1x 2 ) a( x x ) 1 . e 2 x 2 x 1 1 2令 F(t ) e t t 1，则 F (t) e t 1. 当 t 0 时， F (t ) 0, F (t) 单调递减；当 t 0 时， F (t ) 0, F (t) 单调递增 .故当t 0 ， F(t)F (0) 0, 即 e t t 1 0.从而 e a ( x 2 x 1) a( x 2 x 1 ) 1 0 ， e a (x 1 x 2 ) a(x 1 x 2 ) 1 0,又 e ax 1 0, e ax2 0,x 2 x 1 x 2 x 1所以 ( x 1 ) 0, (x 2 ) 0.因 为 函 数 y( x) 在 区 间 x , x 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 所 以 存 在 x 0 (x 1, x 2 ) 使 1 2 ( x 0 ) 0, ( x) a 2e ax 0, ( x) 单 调 递 增 ， 故 这 样 的 c 是 唯 一 的 ， 且 c 1 ln e ax2 e ax 1 . 故 当 且 仅 当 a a( x 2 x 1 ) 1 e ax2e ax1 , x2 )时， f ( x 0 ) k .x ( lna( x 2 x 1 ) a综上所述，存在x 0 (x , x ) 使 f ( x ) k 成立 .且 x 的取值范围为 1 2 0 01 e ax2 e ax 1 ( ln a( x 2 , x 2 ) . a x 1 ) 【点评】 本题考查利用导函数研究函数单调性、 最值、不等式恒成立问题等， 考查运算能力， 考查分类讨论思想、函 数 与 方 程 思 想 ， 转 化 与 划 归 思 想 等 数 学 思 想 方 法 . 第 一 问 利 用 导 函 数 法 求 出 f ( x) 取 最 小 值f ( 1 ln 1 ) 11 ln 1 .对一切 x∈ R， f(x) 1 恒成立转化为 f ( x)min 1，从而得出 a 的取值集合；第二问在假a a a a a设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.第 17 页共 17 页。
D C B A图1湖南省2012年高考试题数学( 理科)分值:150分 时量:120分钟 考试日期:2012-06-07一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分. 1.设集合M ={-1,0,1},N ={x |x 2≤x },则M ∩N =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0,1}2.命题“若4απ=,则tan 1α=”的逆否命题是 ( ) A ．若4απ≠,则tan 1α≠ B ．若4απ=,则tan 1α≠C ．若tan 1α≠,则4απ≠D ．若tan 1α≠,则4απ=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )4.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(,)i i x y(1,2,,)i n = ,用最小二乘法建立的回归方程为 0.8585.71y x =-,则下列结论中不正确的是( )A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线方程过样本点的中心(,)x yC. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重为58.79kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2218020x y -=D ．2212080x y -= 6.函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为（ ）A ．[-2,2]B ．] C ．[-1,1] D ．] 7.在ABC ∆中, AB =2, AC =3,AB BC ⋅=1,则BC = ( )ABC．D8.已知两条直线1:l y m =和8:(0,l y m m =>≠,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至ABPO图2图3图4右相交于点A B 、,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D 、.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,ba的最小值为( ) A ． B ． C ． D ．二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上. (一)选做题(请在第9、10、11两题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.在直角坐标系xoy 中,已知曲线11,:(12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)与曲线2sin ,:3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数,a >0) 有一个公共点在x 轴上,则a = .10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若PA =1,AB =2,PO =3,则圆O 的半径等于 . (二)必做题(12〜16题)12.已知复数z=(3+i)2(i 为虚数单位),则|z|= .13.6的二项展开式中的常数项为 (14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图 象如图4所示,其中P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图 象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.(1)若6ϕπ=,点P 的坐标为,则ω= ; (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取 一点,则该点在ABC ∆内的概率为 .16.设*2(2,)n N n n N =≥∈,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x = .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N 个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -= 将此操作称为C 变换,将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ,当22i n ≤≤-时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +,例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.(1)当16N =时,7x 位于2P 中的第 个位置; (2)当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第 个位置.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如上表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间x 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)18.(本小题满分12分)如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,4,3,5,90,AB BC AD DAB ABC E ===∠=∠= 是CD 的中点.(Ⅰ)证明:CD ⊥平面PAE ;(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成 的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记A(n)=12n a a a +++ ,B(n)=231n a a a ++++ , C(n)=342n a a a ++++ ,n=1,2,….(Ⅰ)若121,5a a ==且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{a n }的通项公式． (Ⅱ)证明:数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n组成公比为q 的等比数列.BDPE20.(本小题满分13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A 部件6件,或B 部件3件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k (k 为正整数).(Ⅰ)设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A,B,C 三种部件生产需要的时间;(Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.(本小题满分13分）在直角坐标系xoy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线1C 的方程;(Ⅱ)设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别于曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明:当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值.22.(本小题满分13分)已知函数()ax f x e x =-,其中0a ≠.(Ⅰ)若对一切x R ∈,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合;(Ⅱ)在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k 问:是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题 B,C,D,D A,B,A,B 二、填空题 9.32 10.1{|}4x x > 11. 12. 10 13. -160 14. -4 15.(1) 3 (2)4π16.(1) 6 ,(2)43211n -⨯+三、解答题17.【解】(Ⅰ)由已知得251055y ++=,所以20y =,所以1003025201015x =----=……2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,将频率视为概率得:153303251(1),( 1.5),(2)10020100101004P X P X P X =========, 201101( 2.5),(3)100510010P X P X ======. 所以X 的分布列如右表所示, X 的数学期望为()E X =1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9…………………………………6分 (Ⅱ) 记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,i X (i =1,2)为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则1()(1P A P X ==且211)(1X P X =+=且211.5)( 1.5X P X =+=且21)X =…………………8分由于各顾客的结算相互独立,且i X (i =1,2)的分布列都与X 的分布列相同,所以…………10分121212()(1)(1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=333333920202010102080=⨯+⨯+⨯= 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.………………………………………12分 〖点评〗本题考查学生的阅读能力,考查概率的计算,考查离散型随机变量的期望,属于中档题.18.【解】解法一:(Ⅰ)连接AC ,由AB =4,BC =3,∠ABC =90°,得AC =5,又AD =5,E 是CD 得中点,所以CD ⊥AE ,…………………………2分 PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD.所以PA ⊥CD ,………………3分 而PA,AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE .………………………………………………5分(Ⅱ)过点B 作BG ∥CD,分别与AE,AD 相交于点F 、G,连接PF, 由CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE,于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG ⊥AE .……………………………………7分 由PA ⊥平面ABCD 知,∠PBA 即为直线PB 与平面ABCD 所成的角.由题意∠PBA=∠BPF,因为sin ∠PBA=PA ,sin ∠BPF=BF ,所以PA=BF .……………………9分B由∠DAB=∠ABC=90°知,AD ∥BC,又BG ∥CD.所以四边形BCDG 是平行四边形, 故GD=BC=3,于是AG=2.在RT △BAG 中,AB=4,AG=2,BG ⊥AF,所以也所以BF=2AB BG ==于是.…………………………………………11分 又梯形ABCD 的面积为S=12×(5+3)×4=16. 所以四棱锥P-ABCD 的体积为V=13×S ×PA=13×16.……………………12分 解法二:以A 为坐标原点,AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).……………2分 (Ⅰ)CD =(-4,2,0),AE =(2,4,0),AP=(0,0,h).因为CD AE ⋅= -8+8+0=0,CD AP ⋅=0.………………4分所以CD ⊥AE,CD ⊥AP,而AP,AE 是平面PAE 内的两条相交直线, 所以CD ⊥平面PAE.………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由题设和第一问知,,CD PA分别是平面PAE,平面ABCD 的法向量,而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,………………………………7分所以|cos ＜,CD PB ＞|=|cos ＜,PA PB ＞|,即||||||||||||CD PB PA PB CD PB PA PB ⋅⋅=⨯⨯………………9分 由第一问知CD=(-4,2,0),(0,0,),PA h =- 又(4,0,)PB h =- ,故2|00|h h ++=,解得h =…………………………………………………11分又梯形ABCD 的面积为S=12×(5+3)×4=16. 所以四棱锥P-ABCD 的体积为V=13×S ×PA=13×16.……………………12分 〖点评〗本题是中档题,利用空间直角坐标系通过向量的计算,考查直线与平面所成角的求法,直线与直线的垂直的证明方法,考查空间想象能力,计算能力,是常考题型.19.【解】(Ⅰ) 因为对任意n ∈N*三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,所以()()()()B n A n C n B n -=-,………………………………………………………………1分即1122n n a a a a ++-=-,亦即21214n n a a a a ++-=-=.故数列{a n }是首项为1,公差为4的等差数列,于是1(1)443n a n n =+-⨯=-.………………4分 (Ⅱ)证明:(必要性)若数列{a n }是公比为q 的等比数列,对任意n ∈N*,有1n n a a q +=.由0n a >知,(),(),()A n B n C n 均大于0,于是………………………………………5分231121212()()()n n n n a a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ,…………………………………………6分 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ,………………………………………7分 即()()()()B nC n q A n B n ==,所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列;………………8分 (充分性):若对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列,则()(),()()B n qA n C n qB n ==,于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-,即2211()n n a a q a a ++-=-,亦即2121n n a qa a qa ++-=-……………………………………………………………………10分 由n=1时,(1)(1)B qA =,即21a qa =,从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >,所以2211n n a a q a a ++==, 故数列{}n a 是首项为1a ,公比为q 的等比数列.………………………………………………11分综上所述,数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意*n N ∈,三个(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………………………………………………………12分20.【解】(Ⅰ)设完成A,B,C 三种部件生产需要的时间(单位:天)分别为123(),(),()T x T x T x 由题设有12323000100020001500(),(),()6200(1)T x T x T x x x kx k x⨯====-+, 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.…………………………………………4分 (Ⅱ)完成订单任务的时间为123()max{(),(),()}f x T x T x T x =,其定义域为*200{|0,}1x x x N k<<∈+ 所以12(),()T x T x 为减函数,3()T x 为增函数,注意到*21()2()()T x k T x k=∈N①当k=2时,12()()T x T x =,此时10001500()max{,}2003f x x x =-,其中*2000,3x x N <<∈ 所以由函数1310001500,2003T T x x ==-的单调性及图象可知,当100015002003x x =-,即4009x =时, 函数()f x 有最小值.由于40044459<<,且*x N ∈.且13250300(44)(44),(45)(45)1113f T f T ====,且2503001113<, 所以x =44时,完成订单任务的时间最短,时间最短为250(44)11f =.……………………………8分②当2k >,即3k ≥时,12()()T x T x <,所以10001500()max{,}200(1)f x x k x=-+ 其中315001500375(,)200(1)200450T k x k x x x=≥=-+--,所以只须求1000375max{,}50x x -的最小值,其中*050,x x N <<∈. 同理可知当100037550x x =-,即400(36,37)11x =∈所以当36x =时,1000375250250max{,}50911x x =>-, 当37x =时,1000375375250max{,}501311x x =>-, 所以此时完成订单任务的最短时间大于25011.…………………………………………………11分③当2k <,即1k =时,12()()T x T x <,此时2000750()max{,}100f x x x=-,且*0100,x x N <<∈同理令2000750100x x=-,得800(72,73)11x =∈当72x =时,2000750250250(72)max{,}100911f x x ==>-, 当73x =时,2000750750250250(73)max{,}10027911f x x ===>- 所以此时完成订单任务的最短时间也大于25011.………………………………………………12分综上所述,当2k =时,完成订单任务的时间最短,此时,,A B C 三种部件的人数分别为44,88,68. …………………………………………………………………………………………………………13分 〖点评〗本题考查函数模型的构建,考查函数的单调性,分类讨论、数形结合(多想少算)的数学思想,解题的关键是确定分类标准,有难度.21.【解】(Ⅰ)解法一:设(,)M x y ,由已知得|2|3x +,…………………………2分由图可知,点M 在直线2x =-的右侧,故20x +>,5x +化简得曲线1C 的方程为220y x =.……………………………………………………………5分 解法二:由题设知,曲线1C 上任意一点M 到圆心2(5,0)C 的距离等于它到直线5x =-的距离.因此,曲线1C 是以(5,0)为焦点,直线5x =-为准线的抛物线. 故其方程为220y x =.(Ⅱ)当点P 在直线4x =-上运动时,记(4,)(3)P t t -≠±,则过点P 且与圆2C 相切直线的斜率k 存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,如右图所示, 设两切线的统一方程为(4)y t k x -=+,即40kx y t k -++=,于是3=,整理得22721890k tk t ++-=(0∆>恒成立),又设过两切线,PA PC 的斜率为12,k k ,则212129,472t t k k k k -+=-=……①…………………8分又联立切线PA 与抛物线方程得11240,20k x y t k y x-++=⎧⎨=⎩得2112020(4)0k y y t k -++=设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ,则易知1121120(4)8020t k ty y k k +==+ 同理可知3428020ty y k =+,……………………………………………………………………11分 所以21212123412124()16400(4)(4)400t t k k k k t ty y y y k k k k +++=++= 212124()1644006400tt t k k k k +-+==所以,当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400.……………13分 〖点评〗本题考查轨迹方程,考查直线与圆相切、韦达定理的运用,解题的关键是切线与抛物线联立,属于中档题.22.【解】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()1axf x e x =-<,这与题设矛盾.又0a ≠,故0a >.……1分而()1ax f x ae '=-,令()0f x '=,得11lnx a a=.当11ln x a a<时,()0f x '<,()f x 递减;当11ln x a a >时,()0f x '>,()f x 递增.故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln f a a a a a=-.………………………………………3分于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥.……①令()ln g t t t t =-,则()ln g t t '=-.当01t <<时,()0g t '>,()g t 单调递增;当1t >时,()0g t '<,()g t 递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=,即1a =时,①式成立.………………5分 综上所述,a 的取值集合为{1}.………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题知,21212121()()1ax ax f x f x e e k x x x x --==---, 令2121()()ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--,则121()12121()[()1],ax a x x e x e a x x x x ϕ-=----- 212()21221()[()1]ax a x x e x e a x x x x ϕ-=----…………………………………………………………8分 令()1,t F t e t =--则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t ≠时,()(0),F t F >即10t e t -->.从而121()21210,()10ax a x x e e a x x x x ->--->-,212()12210,()10ax a x x e e a x x x x ->--->- 所以12()0,()0x x ϕϕ<>,………………………………………………………………………11分 因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在12(,)c x x ∈,使得()0c ϕ=,又2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()ax ax e e x x a a x x -∈-,使()f x k '>.yzhgsb@ ·2012届高三◆数学试卷 第11页 共11页 综上所述,存在在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立,且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --.……13分 〖点评〗本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,构建新函数确定函数值的符号,从而使问题得解.。
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合21,0,1,{}{|}M N x x x =-=≤,则M N = ( ) A .{0} B .{0,1} C .{-1,1} D .{-1,0,1}2.命题“若π4α=,则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若π4α≠,则tan 1α≠B .若π4α=,则tan 1α≠C .若tan 1α≠,则π4α≠D .若tan 1α≠,则π4α=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能．．．是 ( )A B C D4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系,根据一 组样本数据(,)i i x y (1,2,,)i n =,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下 列结论中不正确．．．的是( )A .y 与x 具有正的线性相关关系B .回归直线过样本点的中心(,)x yC .若该大学某女生身高增加1 cm ,则其体重约增加0.85 kgD .若该大学某女生身高为170 cm ,则可断定其体重必为58.79 kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A .221205x y -=B .221520x y -=C .2218020x y -= D .2212080x y -= 6.函数π()sin cos()6f x x x =-+的值域为 （ ）A .[]2,2- B.[ C .[]1,1- D.[227.在ABC △中,2,3AB AC ==,AB BC =1,则BC =( )ABC.D8.已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A B ,,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D ,.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时,ba的最小值为 ( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy 中,已知曲线11,:12,x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ,θ,=⎧⎨=⎩（θ为参数,0a >）有一个公共点在x 轴上,则a = . 10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若1,2,PA AB ==3PO =,则圆O 的半径等于 .12.已知复数2i)(3z =+（i 为虚数单位）,则|z |= .13.6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,则输出的数S = . 15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图象如图4所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. （1）若π6ϕ=,点P的坐标为,则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC △内的概率 为 .16.设2(,2)n N n n =∈*≥N ,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=,将此操作称为C 变换.将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ；当22i n -≤≤时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +.例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当16N =时,7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第 个位置.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购 物的100位顾客的相关数据,如下表所示.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（Ⅰ）确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）18.（本小题满分12分）如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,4,3,5,AB BC AD ===90,DAB ABC E ∠=∠=是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数,记()A n =12n a a a +++,()B n =231n a a a ++++,()C n =342n a a a ++++,=1,2,n .（Ⅰ）若121,5a a ==,且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*,三个 数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ,B ,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6 件,或B 部件3 件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A ,B ,C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最 短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交 于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为 定值.22.（本小题满分13分）已知函数()e axf x x =-,其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x ∈R ,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立？若存在,求0x 的取值范围；若不存在,请说明理由.2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题CBDPE图5A1.【答案】B 【解析】{0,1}N =，{1,0,1}M =-，{0,1}M N ∴=．【提示】先求出{0,1}N =，再利用交集定义得出MN ．【考点】集合的基本运算（交集） 2.【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以“若π4α=，则t a n 1α=”的逆否命题是“若tan 1,α≠则π4α≠”．【提示】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，即可求它的逆否命题． 【考点】四种命题及其之间的关系 3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C ，都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．【提示】根据已知的平面图形的正视图和侧视图，即可求出它的俯视图． 【考点】平面图形的直观图与三视图 4.【答案】D【解析】由回归方程为0.85571ˆ8.x y-=知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(,)x y ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．【提示】根据两变量之间的回归方程，即可判断两者之间的关系． 【考点】线性回归分析 5.【答案】A【解析】设双曲线22221x a C yb -=:的半焦距为c ，则210c =，5c =， 又C 的渐近线为by x a=±，点P （2，1）在C 的渐近线上，12ba∴=⨯，即2a b =，又222c a b =+，a ∴=b =C ∴的方程为221205x y -=．【提示】根据给出的双曲线的焦距及其渐近线上一点，即可求出双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】B【解析】π1π()sin cos sin sin 626f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin [1,1]6x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为[．【提示】根据给出的三角函数表达式，结合两角差的正弦即可求出其值域． 【考点】两角差的正弦，三角函数的值域 7.【答案】A【解析】由图知，||||cos(π)2||(cos )1AB BC AB BC B BC B =-=⨯⨯-=，1cos 2B BC∴=-，又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=，解得BC =．【提示】根据给出的三角形两边及数量积，结合数量积运算及余弦定理即可求解另一边． 【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理8.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y m =，8(0)21y m m =>+，2|log |y x =图象如图， 由2|log |x m =，得12m x -=，22mx =，由28|log |21x m =+，得82132m x -+=，82142m x +=，依照题意得82122mm a --+=-，82122m mb +=-，8218218218212222222m m mm mm m m b a++++--+-===-，8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭【提示】根据给出的三个函数表达式，画出函数图象，结合图象与不等式即可判断b a最小值．【考点】函数图象的应用，基本不等式 二、填空题 9.【答案】32【解析】曲线1112x t C y t=+⎧⎨=-⎩：，直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；曲线2sin 3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩：，直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0)a -，(,0)a ， 由0a >，曲线1C 与曲线2C有一个公共点在x 轴上，知32a =． 【提示】根据给出的两条直线的参数方程与极坐标方程，分别转化成直角坐标方程，根据题意设交点求解．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与普通方程的转化10.【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()|21|2|1|f x x x =+--，则由13,()21()41,(1)23,(1)x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，得()0f x >的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．【提示】设函数表达式，求其等价的分段函数，再分段求其大于零时的解集即可． 【考点】绝对值不等式 11.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为r ，由割线定理知PA PB PC PD =， 即1(12)(3)(3)r r ⨯+=-+，r ∴=．【提示】根据给出的线段长，由切割线定理PA PB PC PD =，即可求出圆的半径． 【考点】切割线定理 12.【答案】10【解析】22(3i)96i i 86i z =+=++=+，||10z ==． 【提示】根据给出的复数表达式，进行四则运算，即可求出其模． 【考点】复数代数形式的四则运算 13.【答案】160-【解析】6⎛ ⎝的展开式项公式是6631662(1)rr r r r r rr T C C x ---+⎛==- ⎝， 由题意知30r -=，3r =，所以二项展开式中的常数项为333462(1)160T C =-=-． 【提示】根据给出的二项式，即可求出其展开式的常数项．【考点】二项式定理 14.【答案】4-【解析】输入1x =-，3n =，执行过程如下：2i =，6233S =-++=-；1i =，3(1)115S =--++=；0i =，5(1)014S =-++=-，所以输出的是4-．【提示】根据程序框图的逻辑关系，并根据程序框图即可求出S 的值． 【考点】循环结构的程序框图 15.【答案】3π4【解析】①()cos()y f x x ωωϕ'==+，当π6ϕ=，点P的坐标为⎛ ⎝⎭时，πcos 6ω= 3ω∴=；②由图知2ππ22T AC ωω===，1π22ABC S AC ω==△， 设A ，B 的横坐标分别为a ，b ，设曲线段弧ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ， 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为π2π24ABC S P S ===△． 【提示】根据给出的函数导数的图象判断ω的大小，由定积分求面积，并结合概率求解即可．【考点】函数图象的应用，定积分的几何意义，几何概型 16.【答案】643211n -⨯+【解析】①当16N =时，0123456P x x x x x x x =…，可设为(1,2,3,4,5,6,…，113571524616P x x x x x x x x x =……，即为(1,3,5……，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =…，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)…，7x 位于2P 中的第6个位置；②方法同①，归纳推理知173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．【提示】根据题意归纳推理求解即可． 【考点】归纳推理 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）由已知，得251055y ++=，35x y +=，所以15x =，20y =，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，得：153(1)10020P X ===， 303( 1.5)10010P X ===，251(2)1004P X ===，X 的数学期望为()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2．5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且，由于顾客的结算相互独立，且1X ，2X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X PX P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=． 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980． 【提示】根据给出的数据求分布列与期望，判断事件之间互斥关系，从而求得对立事件的概率即可．【考点】用样本数字特征估计总体数字特征，对立事件的概率18.【答案】（Ⅰ）如图，连接AC ，由4AB =，3BC =，90ABC ∠=，得5AC =， 又5AD =，E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）过点B 作BG CD ∥，分别与AE ，AD 相交于F ，G 连结PF ， 由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ，于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥，由PA ⊥平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，4AB =，2AG =，BG AF ⊥由题意，知PBA BPF ∠=∠，因为sin PA PBA PB ∠=，sin BFBPF PB∠=，所以PA BF =，由90DAB ABC ∠=∠=， 知，AD BC ∥，又BG CD ∥，所以四边形BCDG 是平行四边形，故3GD BC ==，于是2AG =，在Rt BAG △中，4AB =，2AG =，BG AF ⊥，所以BG =，2AB BF BG ===于是PA BF ==， 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=【解析二】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA h =，则相关的各点坐标为：(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,3,0)C ，(0,5,0)D ，(2,4,0)E ，(0,0,)P h ；（Ⅰ）易知(4,2,0)CD =-，(2,4,0)AE =，(0,0,)AP h =，8800CD AE =-++=，0CD AP =，所以CD AE ⊥，CD AP ⊥，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，CD ，AP 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量，而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,CD PB PA PB <>=<>，即||||||||C D P BP A P BC D P B P A P B =，由（Ⅰ）知，(4,2,0)CD =-，(0,0,)AP h=-由(4,0,)PB h =-，故2216516h hh++，解得5h =，又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1112851633V S PA =⨯⨯=⨯=【提示】根据定理判定线面垂直；找出四棱锥的高求其体积． 【考点】直线与平面垂直的判定，四棱锥的体积19.【答案】（Ⅰ）对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-，即1122n n a a a a ++-=-，亦即21214n n a a a a +--=-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，于是1(1)443n a n n =+-⨯=-； （Ⅱ）①必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=， 由0n a >知，()A n ，()B n ，()C n 均大于0，于是231121212()()()n n n na a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++…………， 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++…………， 即()()()()B nC n q A n B n ==， 所以三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列；②充分性：若对于任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列， 则()()B n qA n =，()()C n qB n =，于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-， 得2211()n n a a q a a ++-=-，即2121n n a qa a a ++-=-， 由1n =有(1)(1)B qA =，即21a qa =，从而210n n a qa ++-=， 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==， 故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．【提示】根据给出的三个关系式，根据三者之间的关系结合等差、等比性质求解即可． 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质20.【答案】（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为1()T x ，2()T x ，3()T x 由题设有1230001000()6T x x x ⨯==，22000()T x kx=，31500()200(1)T x k x =-+，其中x ，kx ，200(1)k x -+均为1到200之间的正整数；（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),()f x T x T x T x =，其定义域为2000,1x x x k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭N ， 易知，1()T x ，2()T x 为减函数，3()T x 为增函数，注意到212()()T x T x k=，于是：①当2k =时，12()()T x T x =，此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭， 由函数1()T x ，3()T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =，由于40044459<<，而1250(44)(44)11f T ==，3300(45)(45)13f T ==，(44)(45)f f <， 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =；②当2k >时，12()()T x T x >，由于k 为正整数，故3k ≥，此时375()50T x x=-，{}1()max (),()x T x T x ϕ=易知()T x 为增函数，则{}{}1311000375()max (),()max (),()()max ,50f x T x T x T x T x x x x ϕ⎧⎫=≥==⎨⎬-⎩⎭，由函数1()T x ，()T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =，由于400363711<<而1250250(36)(36)911T ϕ==>，375250(37)(37)1311T ϕ==>，此时完成订单任务的最短时间大于25011；③当2k <时，12()()T x T x <，由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数2()T x ，3()T x 的单调性知， 当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =， 类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011．综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．【提示】根据题意建立模型，判断单调性求最值即可．【考点】分段函数模型，函数单调性的判断，利用函数单调性求最值21.【答案】（Ⅰ）解法一：设M 的坐标为(,)x y，由已知得|2|3x +，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧，于是20x +>，5x =+，化简得曲线1C 的方程为220y x =；解法二：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =；（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，即040kx y y k -++=，于是3=，整理得2200721890k y k y ++-=①，设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，则1y ，2y 是方程①的两个实根，故001218724y y k k +=-=-②，由10124020k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩，得21012020(4)0k y y y k -++=③，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，4y ，则1k ，2k 是方程③的两个实根，所以0112120(4)y k y y k +=④，同理可得0234220(4)y k y y k +=⑤，于是由②，④，⑤三式，得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦==．所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400． 【提示】根据给出的圆的方程及两曲线之间的关系，联立方程由韦达定理即可求解． 【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系 22.【答案】（Ⅰ）{1}（Ⅱ）0x 的取值范围为212211e e ln,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x e 1ax x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >，而()e 1ax f x a '=-，令()0f x '=，得11lnx aa =，当11ln x a a<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a >时，()0f x '>，()f x 单调递增．故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln f a a a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥，令()ln g t t t t =-，则()ln g t t '=-，当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减．故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =，因此，当且仅当11a=即1a =时，a 的取值集合为{1}； （Ⅱ）由题意知，21212121()()e e 1ax ax f x f x k x x x x --==---，令2121e e ()()e ax ax axx f x k a x x ϕ-'=-=--，则121()12121e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=-----，212()21221e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=----， 令()e 1tF t t =--，则()e 1tF t '=-．当0t <时，()0F t '<，()F t 单调递减；当0t >时，()0F t '>，()F t 单调递增． 故当0t =，()(0)0F t F >=，即e 10t t -->， 从而21()21e()10a x x a x x ---->，12()12e()10a x x a x x ---->，又121e 0ax x x >-，221e 0ax x x >-， 所以1()0x ϕ<，2()0x ϕ>，因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0x ϕ=，2()e 0axx a ϕ'=>，()x ϕ单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211e e ln ()ax ax c a a x x -=-，故当且仅当212211e e ln ,()ax ax x x a a x x ⎡⎤-∈⎢⎥-⎣⎦时，0()f x k '>．综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为212211e e ln ,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦． 【提示】给出函数解析式，利用导数判断函数单调性求参数的取值范围；利用导数判断段单调性并求不等式．【考点】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题。
2012年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解答：解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．点评：本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．（5分）（2012•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；故选C点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题4．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．5．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）（2012•湖南）函数f（x）=sinx﹣cos（x+）的值域为（）A．[﹣2，2]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣，]考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：通过两角和的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．解答：解：函数f（x）=sinx﹣cos（x+）=sinx﹣+=﹣+=sin（x﹣）∈．故选B．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的定义域和值域，考查计算能力．7．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AB=2，AC=3，•=1，则BC=（）A．B．C．2D．考点：解三角形；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设∠B=θ，由•=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵•=1，设∠B=θ，AB=2，∴2•BC•cos（π﹣θ）=1，即cosθ=﹣，又根据余弦定理得：cosθ==，∴﹣=，即BC2=3，则BC=．故选A点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，余弦定理，以及诱导公式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．8．（5分）（2012•湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A．16B．8C．8D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值．解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣log2x C=，log2x D=；∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，x D=．∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，∴==||=2m•=．又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥2﹣=（当且仅当m=时取“=”）∴≥=8．故选B．点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题．二、填空题（共8小题，考生作答7小题，每小题0分，满分35分，9,10,11三题任选两题作答；12～16必做题）9．（2012•湖南）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题．10．（5分）（2012•湖南）不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．解答：解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x ﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（5分）（2012•湖南）如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出圆的半径，根据切割线定理推出PA•PB=PC•PD，代入求出半径即可．解答：解：设圆的半径为r，且PO与圆交于C，D两点∵PAB、PCD是圆O的割线，∴PA•PB=PC•PD，∵PA=1，PB=PA+AB=3；PC=3﹣r，PD=3+r，∴1×3=（3﹣r）×（3+r），r2=6∴r=，故答案为：．点评：本题主要考查切割线定理等知识点，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．12．（5分）（2012•湖南）已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．解答：解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．点评：本题考查复数模的求法，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力．13．（5分）（2012•湖南）（）6的二项展开式中的常数项为﹣160（用数字作答）．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．解答：解：（）6展开式的通项为T r+1=C6r•（2）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C6r•26﹣r•x3﹣r，令3﹣r=0，可得r=3，其常数项为T4=（﹣1）r•C6r•26﹣r=﹣160；故答案为﹣160．点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题．14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=﹣4．考点：循环结构．专题：计算题．分析：列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前x=﹣1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=﹣6+2+1=﹣3，i=1，第2次判断后S=5，i=0，第3次判断后S=﹣4，i=﹣1，第4次判断后﹣1≥0，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．15．（5分）（2012•湖南）函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ=，点P的坐标为（0，），则ω=3；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为．考点：导数的运算；几何概型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f′（x），再将φ=，f′（0）=代入导函数解析式，即可解得ω的值；（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ=，过点P（0，），∴ωcos=∴ω=3．故答案为：3．（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），∴曲线段与x轴所围成的区域面积为[﹣f′（x）]dx=﹣f（x）=﹣sin﹣（﹣sin）=2，三角形ABC的面积为=，∴在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P==．故答案为：．点评：本题主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属基础题．16．（5分）（2012•湖南）设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1，x2，…，x N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…x N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…x N﹣1x2x4…x N，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，当2≤i≤n ﹣2时，将P i分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置．（1）当N=16时，x7位于P2中的第6个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第3×2n﹣4+11个位置．考点：演绎推理的基本方法；进行简单的演绎推理．专题：压轴题．分析：（1）由题意，可按照C变换的定义把N=16时P2列举出，从中查出x7的位置即可；（2）根据C变换的定义及归纳（1）中的规律可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，3，5，7，9，11，13，15，2，4，6，8，10，12，14，16，再173=16×10+13，即可确定出x173位于P4中的位置．解答：解：（1）当N=16时，P0=x1x2…x16．由C变换的定义可得P1=x1x3…x15x2x4…x16，又将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2，故P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，由此知x7位于P2中的第6个位置；（2）考察C变换的定义及（1）计算可发现，第一次C变换后，所有的数分为两段，每段的序号组成公差为2的等差数列，且第一段序号以1为首项，第二段序号以2为首项；第二次C变换后，所有的数据分为四段，每段的数字序号组成以4公差的等差数列，且第一段的序号以1为首项，第二段序号以3为首项，第三段序号以2为首项，第四段序号以4为首项，依此类推可得出P4中所有的数字分为16段，每段的数字序号组成以16为公差的等差数列，且一到十六段的首项的序号分别为1，9，5，13，…，由于173=16×10+13，故x173位于以13为首项的那一段的第11个数，由于N=2n（n≥8）故每段的数字有2n﹣4个，以13为首项的是第四段，故x173位于第3×2n﹣4+11=3×2n﹣4+11个位置．故答案为3×2n﹣4+11点评：本题考查演绎推理及归纳推理，解题的关键是理解新定义，找出其规律，本题是探究型题，运算量大，极易出错，解题进要严谨认真，避免马虎出错三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次性购物量1至4件 5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x 30 25 y 10结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且X i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论．解答：解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；将频率视为概率可得P（X=1）==0.15；P（X=1.5）==0.3；P（X=2）==0.25；P（X=2.5）==0.2；P（X=3）==0.1X的分布列X 1 1.5 2 2.5 3P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）由于各顾客的结算相互独立，且X i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125．点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题．18．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题．分析：解法一：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．法二：（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及•=0．即可证明结论；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA 的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．解答：解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG==2，BF===．于是PA=BF=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．（Ⅰ）=（﹣4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．因为=﹣8+8+0=0，•=0．所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．由第一问知=（﹣4，2，0），=（（0，0，﹣h），又=（4，0，﹣h）．故||=||．解得h=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．19．（12分）（2012•湖南）已知数列{a n}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+a n，B（n）=a2+a3+…+a n+1，C（n）=a3+a4+…+a n+2，n=1，2，…．（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a n}的通项公式．（2）证明：数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．考点：等差数列的性质；充要条件；等比关系的确定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由于对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，可得到B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即a n+1﹣a1=a n+2﹣a2，整理即可得数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列，从而可得a n．（2）必要性：由数列{a n}是公比为q的等比数列，可证得即==q，即必要性成立；充分性：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，可得a n+2﹣qa n+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而a n+2﹣qa n+1=0，即充分性成立，于是结论得证．解答：解：（1）∵对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，∴B（n）﹣A（n）=C（n）﹣B（n），即a n+1﹣a1=a n+2﹣a2，亦即a n+2﹣a n+1=a2﹣a1=4．故数列{a n}是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．（2）证明：（必要性）：若数列{a n}是公比为q的等比数列，对任意n∈N*，有a n+1=a n q．由a n＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是===q，===q，即==q，∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；（充分性）：若对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）﹣B（n）=q[B（n）﹣A（n）]，即a n+2﹣a2=q（a n+1﹣a1），亦即a n+2﹣qa n+1=a2﹣qa1．由n=1时，B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而a n+2﹣qa n+1=0．∵a n＞0，∴==q．故数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．点评：本题考查等差数列的性质，考查充要条件的证明，考查等比关系的确定，突出化归思想，逻辑思维与综合运算能力的考查，属于难题．20．（13分）（2012•湖南）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．解答：解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）∴，，其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x）①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当时，f（x）取得最小值，此时x=∵，，，f（44）＜f（45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=∵，，∴完成订单任务的时间大于③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68． 点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，有难度． 21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1上的点均在C 2：（x ﹣5）2+y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值． （Ⅰ）求曲线C 1的方程 （Ⅱ）设P （x 0，y 0）（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别于曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D ．证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 专题：综合题；压轴题． 分析：（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），根据对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值，可得|x+2|=且圆C 2上的点位于直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C 1的方程；（Ⅱ）当点P 在直线x=﹣4上运动时，P 的坐标为（﹣4，y 0），设切线方程为kx ﹣y+y 0+4k=0，利用直线与圆相切可得，从而可得过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率k 1，k 2是方程的两个实根，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，从而可得；同理可得，由此可得当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D的纵坐标之积为定值为6400．解答：（Ⅰ）解：设M 的坐标为（x ，y ），由已知得|x+2|=且圆C 2上的点位于直线x=﹣2的右侧∴=x+5化简得曲线C 1的方程为y 2=20x（Ⅱ）证明：当点P 在直线x=﹣4上运动时，P 的坐标为（﹣4，y 0），∵y 0≠±3，∴过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y ﹣y 0=k （x+4），即kx ﹣y+y 0+4k=0， ∴，整理得①设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根 ∴②由，消元可得③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4， ∴y 1，y 2是方程③的两个实根 ∴④同理可得⑤由①②④⑤可得==6400∴当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值为6400． 点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题． 22．（13分）（2012•湖南）已知函数f （x ）=e ax ﹣x ，其中a ≠0． （1）若对一切x ∈R ，f （x ）≥1恒成立，求a 的取值集合．（2）在函数f （x ）的图象上取定两点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）（x 1＜x 2），记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使f ′（x 0）＞k 成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题． 专题： 压轴题． 分析：（1）先确定a ＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得时，f （x ）取最小值故对一切x ∈R ，f （x ）≥1恒成立，则，构建新函数g （t ）=t ﹣tlnt ，则g ′（t ）=﹣lnt ，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a 的取值集合；（2）由题意知，，构建新函数φ（x）=f′（x）﹣k=，则，，构建函数F（t）=e t﹣t﹣1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立．解答：解：（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=e ax﹣x＜1，这与题设矛盾，∵a≠0，∴a＞0∵f′（x）=ae ax﹣1，令f′（x）=0，可得令f′（x）＜0，可得，函数单调减；令f′（x）＞0，可得，函数单调增，∴时，f（x）取最小值∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则①令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1∴当且仅当=1，即a=1时，①成立综上所述，a的取值集合为{1}；（2）由题意知，令φ（x）=f′（x）﹣k=，则令F（t）=e t﹣t﹣1，则F′（t）=e t﹣1当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e t﹣t﹣1＞0∴，∵＞0，∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0∵φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且当且仅当x∈（，x2）时，f′（x）＞k综上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范围为（，x2）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查构建新函数确定函数值的符号，从而使问题得解．。
湖南省长、望、浏、宁2012届高三3月一模联考数学试题（理）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。
时间120分钟，满分150分。
参考公式：（1）柱体体积公式v sh =，其中s 为底面面积，h 为高。
（2）球的体积公式313V R π=，其中R 为球的半径一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．i 是虚数单位，若复数z 满足(1)1z i i +=-，则复数z 的实部与虚部的和是（）A ．0B ．-1C ．1D ．22．设,x y R ∈，则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是则图中正视图所标a=（）A ．1BCD ．4．已知2sin 3α=，则cos(32)πα-等于（）A ．B ．19C ．19-D 5．以双曲线22163x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（）A ．22(1x y +=B ．22(3x y -+=C ．22(3)3x y -+=D ．22(3)9x y -+=6．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩2~(90,)N a ξ，（0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分这间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A ．200B ．300C ．400D ．6007．已知平面上三个点A 、B 、C 满足||3,||4,||5AB BC CA === ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ 的值等于（）A ．25B ．24C ．-25D ．-248．设集合0123{,,,}S A A A A =，在S 上定义运算:i j k A A A ⊕⊕=，其中k 为i+j 被4除的余数，,0,1,2,3i j =，则使关系式0()i i j A A A A ⊕⊕=成立的有序数对（i ，j ）的组数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共8个小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。
