2011学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末模拟试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室高等数学
考试日期 2010年1月11日
注意事项
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1．
2
1
lim()
x
x x e x →-=
.
2．
()()120051
1x x x x e e dx --+-=
⎰
.
3．设函数()y y x =由方程
2
1
x y t e dt x
+-=⎰
确定，则0
x dy
dx
==
.
4. 设()x f 可导，且1
()()x
tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .
二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．设常数0>k ，则函数
k e x x x f +-
=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.
（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *
=+; （D ）x A y 2sin *
=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.
（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有
()()⎰⎰
≤b
a
d
c
dx
x f dx x f ;
（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b
a
f x dx ≥⎰;
（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=T
T
a a
dx
x f dx x f 0
;
（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0x
t f t dt ⎰也为奇函数.
4. 设
()x
x e e
x f 11
321++=
, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）
1
．计算定积分2
30
x x e dx
-.
2．计算不定积分dx x x
x ⎰
5cos sin .
3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在
2π=
t 处的切线的方程.
4. 设20
()cos()x
F x x t dt
=-⎰，求)(x F '.
5．设n n n n n x n
n )
2()3)(2)(1( +++=
，求n
n x ∞→lim .
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
2．设平面图形D 由
222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.
3. 设1,a >at a t f t
-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.
五．证明题（7分）
设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
1
(0)=(1)0,()12f f f ==，
试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1． 2
1
lim()x
x x e x →-=
2
1
e .
2．
()()120051
1x x x x e e dx --+-=
⎰
e 4.
3．设函数()y y x =由方程2
1
x y
t e dt x +-=⎰确定，则0
x dy
dx
==
1-e .
4. 设()x f 可导，且
1
()()
x tf t dt f x =⎰
，1)0(=f ，则()=x f 2
2
1x e
.
5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为x
e x C C y 221)(-+=.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数0>k ，则函数
k
e x
x x f +-
=ln )( 在
),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）
（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=；
（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *
=+； （D ）
x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
(A) (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有
()()⎰⎰≤b
a
d c
dx x f dx x f ;
(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b
a
f x dx ≥⎰;
(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有
()()⎰⎰
+=T
T a a
dx
x f dx x f 0
;
(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0x
t f t dt ⎰也为奇函数.
