《复数的四则运算》人教A版高中数学精讲课件
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7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
人教A版高中数学选修2-2课件：第三章 3.2.2复数代数形式的四则运算(共44张PPT)
ห้องสมุดไป่ตู้
重要的不是发生了什么事，而是要做哪些事来改善它。 有理想在的地方，地狱就是天堂。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 世上最累人的事，莫过于虚伪的过日子。 努力耕耘，少问收获。 不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。 语言是心灵和文化教养的反映。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。 种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 游手好闲会使人心智生锈。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。 不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。
重要的不是发生了什么事，而是要做哪些事来改善它。 有理想在的地方，地狱就是天堂。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 世上最累人的事，莫过于虚伪的过日子。 努力耕耘，少问收获。 不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。 语言是心灵和文化教养的反映。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。 种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 游手好闲会使人心智生锈。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。 不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 只有品味了痛苦，才能珍视曾经忽略的快乐；只有领略了平凡，才会收藏当初丢弃的幸福。
人教高中数学必修二A版《复数的四则运算》复数说课教学课件复习(复数的乘、除运算)
所以原方程的根为
x＝－32±
7 2 i.
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(3)Δ＝9－8c，
当 Δ≥0，即 c≤98时，x＝－3±49－8c；
当 Δ<0，即 c>98时，x＝－3± 48c－9i＝－34±
8c－9 4 i.
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答案：(1)C (2)A
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探究三 复数范围内解方程
[例 3] 在复数范围内解下列方程：
(1)2x2＋3＝0；(2)x2＋3x＋4＝0；
(3)2x2＋3x＋c＝0(c∈R)．
[解析] (1)因为 x2＝－32，所以 x＝± 26i.
(2)配方，得(x＋32)2＝－74，
即 x＋32＝± 27i，
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知识梳理 复数除法的法则： (a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋＋dbii＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i
(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)．
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知识点三 实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 预习教材，思考问题 (1)一元二次方程 x2＋1＝0 在实数范围内有解吗？引入虚数单位 i 后，方程的解是什 么？ [提示] 没有，x＝±i.
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7．2 复数的四则运算 7．2.2 复数的乘、除运算
课件
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内容标准
学科素养
1.掌握复数代数表示式的乘除运算．
人教A版高中数学《复数的四则运算》全文课件1
人教A版高中数学《复数的四则运算》 全文课 件1
思考：| z z1 | r(r 0) 表示复数 z 的对应点的轨迹是什么？
以复数 z1 a bi 表的对应点（a,b）为圆心半径为 r 的圆
人教A版高中数学《复数的四则运算》 全文课 件1
【知识应用】 人教A版高中数学《复数的四则运算》全文课件1
2.运算律： ①交换律： z1 • z2 z2 • z1 ②结合律： (z1 • z2 ) • z3 z1 • (z2 • z3 ) ③分配率： z1 • (z2 z3 ) z1 • z2 z1 • z3
注：复数乘法中可以类比多项式的运算，应用平方差公式，完全平方公式。
(a bi)(a bi) a2 b2 ， (a bi)2 a2 b2 2abi
【分析】 根据条件求复数时，可考虑设出复数的代数形式，
利用待定系数法来解决。
山东省莱州市第一中学人教A版（2019 ） 必修（第二册）课件：7.2复数的四则 运算( 共22张P PT)
山东省莱州市第一中学人教A版（2019 ） 必修（第二册）课件：7.2复数的四则 运算( 共22张P PT)
【变式】 1. 复数 z 的共轭复数为 z ，若 (1 2i)z 4 3i ，求 z 。 2. 设复数 z 满足关系式 z z 2 i ，求 z。
【例 1】计算：（1） (5 6i) (2 i) (3 4i) （2） (i2 i) | i | (1 i)
人教A版高中数学《复数的四则运算》 全文课 件1
【知识应用】 人教A版高中数学《复数的四则运算》全文课件1
【例 2】已知平形四边形 OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复数分别为 0， 3 2i, 2 4i . （1）求 AO 表示的复数；（2）求 CA 表示的复数；
7.2 复数的四则运算(六大题型)(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
1
2
,1
C．
1
2
2+i 7
，则 在复平面内对应的点的坐标为（
(1−i) 2
1
, −1
D． 1, 2
【答案】B
【解析】由题意得 =
2+i 7
(1−i) 2
=
2−i
−2i
=
所以z在复平面内对应的点的坐标为
故选：B
1
2
(2−i)i
2
=
,1 ．
1
2
+i ，
）
典型例题
题型五：复数代数形式的除法运算
【变式5-1】（2024·全国·高一专题练习）若 =
以 、 为邻边作平行四边形 ，则对角线对应的向量是，
由于 = + = (, ) + (, ) = ( + , + )，所以 和 的和
就是与复数( + ) + ( + )对应的向量．
知识梳理
知识点三、复数的乘除运算
值．
【解析】由| + 2 − 2 | = 1得
| − (−2 + 2 )| = 1，
因此复数z对应的点Z在以 0 = −2 + 2 对应的点 0
为圆心，1为半径的圆上，如图所示．
设 = | − 2 − 2 |，
则y是Z点到2 + 2 对应的点A的距离．
又 0 = 4，
∴由图知 min = | 0 | − 1 = 3．
【例2】（2024·山东济宁·高一统考期末）在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，若向量
， 对应的复数分别是 1 − ，−1 + 2 ，则向量 对应的复数是
新教材人教A版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算 精品教学课件
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝____(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___， z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
高中数学 3.2复数代数形式的四则运算课件 新人教A版选修1-2
4．1 复数代数形式的四则运算
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1
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栏 目 链 接
2
题型一 复数的加减运算
例 1 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5－6i)；
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
栏
解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5－6i)＝(1＋3－5)＋(2－4＋6)i＝－1 目
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i
＝－11i.
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5
题型二 复数加减法的几何意义
例 2 在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为 1－3i，－2
＋4i，则向量B→C对应的复数是_________________________________． 栏
＝12i－ 23(1＋i)
＝12i－
23－12－
3 2 i.
＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
(3)(21＋－2i)i2＋1＋2i2 012
＝2－＋22ii＋1＋2i21 006
＝－1＋i＋(－i)1
006 ＝－2＋i.
点评：①复数的除法中，要牢记“分母实数化”．②应用复数运
算的性质，会简化计算．
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＝i＋i1 006＝－1＋i.
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10
题型三 共轭复数及其应用
例 4 已知复数 z 的共轭复数是－z ，且 z－－z ＝－4i，z·－z ＝13，
栏
试求－zz .
目 链
接
分析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，根据条件建立关于 x，y 的方程组，
求出 x、y 的值，从而得到 z，进而计算－zz 的值．
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1
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栏 目 链 接
2
题型一 复数的加减运算
例 1 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5－6i)；
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
栏
解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5－6i)＝(1＋3－5)＋(2－4＋6)i＝－1 目
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i
＝－11i.
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5
题型二 复数加减法的几何意义
例 2 在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为 1－3i，－2
＋4i，则向量B→C对应的复数是_________________________________． 栏
＝12i－ 23(1＋i)
＝12i－
23－12－
3 2 i.
＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
(3)(21＋－2i)i2＋1＋2i2 012
＝2－＋22ii＋1＋2i21 006
＝－1＋i＋(－i)1
006 ＝－2＋i.
点评：①复数的除法中，要牢记“分母实数化”．②应用复数运
算的性质，会简化计算．
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＝i＋i1 006＝－1＋i.
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10
题型三 共轭复数及其应用
例 4 已知复数 z 的共轭复数是－z ，且 z－－z ＝－4i，z·－z ＝13，
栏
试求－zz .
目 链
接
分析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，根据条件建立关于 x，y 的方程组，
求出 x、y 的值，从而得到 z，进而计算－zz 的值．
2024春高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册
即x＝－2＋ 2i或x＝－2－ 2i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
人教A版高中数学选修2-2课件：《3.2复数的四则运算(2)》.pptx
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3.2复数的四则运算
ks5u精品课件
复习: z1 a bi , z2 c di z1 z2 (a c) (b d )i
z1 • z2 ac adi bci bdi2 (ac bd ) (ad bc)i
运算满足交换律、结合律、分配律
ks5u精品课件
a=－2,b=－1;
a=－4,b=2;
ks5u精品课件
2. 复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i
求 z z=2+i
练习: P63,3,4
ks5u精品课件
实数集R中正整数指数的运算律,在复 数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及 m,n∈N*有:
zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
解：原式 （i i2 i3 i4）
（i5 i6 i7 i8） ...
（i 2001 i 2002 i 2003 i 2004） i 2005 i 2006
0 i1 i2 i 1
练习: P65,1
ks5u精品课件
例3:已知 z 1 i , 求 z100 z50 1的值。 2
解：z2 (1 i)2 i, z4 (i)2 1 2
原式 (z 4 )25 (z 4 )12 z 2 1 (1)25 (1)12 (i) 1 1 i 1 i
ks5u精品课件
【练习】 1、在复数范围内解方程 (1)x2+4=0(2)z2=2i 2、在复数范围内分解因式 (1)x2+4(2)x4-y4 3、已知复数z的平方根为3+4i, 求复数z. 4、求复数z=3+4i的平方根.
ks5uห้องสมุดไป่ตู้品课件
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3.2复数的四则运算
ks5u精品课件
复习: z1 a bi , z2 c di z1 z2 (a c) (b d )i
z1 • z2 ac adi bci bdi2 (ac bd ) (ad bc)i
运算满足交换律、结合律、分配律
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a=－2,b=－1;
a=－4,b=2;
ks5u精品课件
2. 复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i
求 z z=2+i
练习: P63,3,4
ks5u精品课件
实数集R中正整数指数的运算律,在复 数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及 m,n∈N*有:
zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
解：原式 （i i2 i3 i4）
（i5 i6 i7 i8） ...
（i 2001 i 2002 i 2003 i 2004） i 2005 i 2006
0 i1 i2 i 1
练习: P65,1
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例3:已知 z 1 i , 求 z100 z50 1的值。 2
解：z2 (1 i)2 i, z4 (i)2 1 2
原式 (z 4 )25 (z 4 )12 z 2 1 (1)25 (1)12 (i) 1 1 i 1 i
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【练习】 1、在复数范围内解方程 (1)x2+4=0(2)z2=2i 2、在复数范围内分解因式 (1)x2+4(2)x4-y4 3、已知复数z的平方根为3+4i, 求复数z. 4、求复数z=3+4i的平方根.
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数学人教A版(2019)必修第二册7.2复数的四则运算(共41张ppt)
2.加法法则
追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？
设两个任意复数 = + , = + , , , , , ∈ .
1 + 2 = + i + + i = + + + i.
2 + 1 = c + i + + i
= + + + i
= 1 + 2 .
所以2 + 1 = 1 + 2 ，复数的加法交换律成立.
类似的可得
1 + 2 + z3 = 1 + 2 + 3 .（加法结合律）
2.加法法则
探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，
而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复
数加法的几何意义吗？
结合律同理可得。
z1
Z1 (, )
3.减法法则
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数
减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
实数减法：若满足 + = (, ∈ )则称为减去的差。
复数减法：若满足 2 + = 1 (1 , 2 ∈ )则称为1 减去 的差。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
+ i + + i
= + + + i.
①复数的和仍然是一个复数; ②加法法则对实数也成立.
2.加法法则
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
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即 z· z ＝|z|2＝|z |2＝|z2|
这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个 性质.
二、复数的除法
复数除法的法则
（a+bi）÷（c+di）＝ ac bd + bc ad i（a，b，c，d
c2 d 2
c2 d 2
∈R，且c+di≠0）.
说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）÷
x y
2，1，∴
点D对应的复数为2-i.
训练题 4［2019·广东深圳高级中学高二期末］在复平面内，
O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，
那么 BC 对应的复数为
.
4.答案： 4-4i 解析：∵ BC ＝-（ OA - OC + AB ），∴ BC 对 应的复数为-［-2+i-（3+2i）+（1+5i）］＝-［（-2-3+1） +（1-2+5）i］ ＝-（-4+4i）＝4-4i.
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
学习目标
1.能进行复数代数形式的四则运算. 2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形 结合”的思想解题.
重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几 何意义. 难点：复数减法的运算法则.
知识梳理
一.复数的加法
1. 复数的加法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的 和 （a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i. （1）两个复数相加，类似于两个多项式相加. （2）复数的加法满足交换律、结合律. （3）复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形. 2.复数加法的几何意义
方 法二 ： 因为 z+1- 3i ＝5-2i ， 所以 z＝ （ 5-2i） -（ 1-3i） ＝
4+i.
【答案】 （1）1+i （2）4+i
训练题1［2019·天津重点中学高三联考］已知z1＝3+i，z2 ＝1+5i，则复数z＝z2-z1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.答案： B 解析：z＝z2-z1＝（1+5i）-（3+i）＝-2+4i.
（3）常用运算技巧 ①（a+bi）2＝a2+2abi-b2（a，b∈R）； ②（a+bi）（a-bi）＝a2+b2（a，b∈R），即z· z ＝|z|2； ③（1±i）2＝±2i.
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3a 4b 0,
∴
3b a 2
4a b2
0, 25,
解得
a b
4, 3
或
a b
4, 3.
∴ z1＝4+3i或z1＝-4-3i. 【答案】 （1）D （2）4+3i或-4-3i
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训练题6［2019·湖北八校高三二联］已知a，b∈R，i是虚数 单位.若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ （ ）
对于任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：
z1z2＝z2z1，
（2）结合律：（z1Fra bibliotek2）z3＝z1（z2z3），
（3）分配律：
z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.
请思考:若z1，z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2， z1·z2分别是怎样的数？
提示：设z1＝a+bi，则z2＝a-bi （a，b∈R）， 从而z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R. z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi， z1·z2＝（a+bi）（a-bi ）＝a2+b2∈R.
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 6.答案：D 解析：由题意知a-i＝2-bi，∴ a＝2，b＝1， ∴ （a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i.
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.
【解析】
（1）
1 3
1 2
i
+（2-i
）-
4 3
3 2
i
＝
1 3
2
4 3
+
1 2
1
3 2
i
＝1+i.
（2）方法 一：设 z＝ x+yi（x，y ∈R），因为 z+1- 3i＝ 5-2i ，
所以x+yi+（1-3i）＝5-2i，即x+1＝5且y-3＝-2，解得x＝
4，y＝1，所以z＝4+i.
设 OZ1 ，OZ2 分别与复数a+bi，c+di对应，则两个向量 OZ1 与 OZ2 的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.如图7.2-1 （向量 OZ1 与OZ2 不共线时），这就是复数加法的几何意义（就 是向量加法的平行四边形法则）.
图7.2-1
二.复数的减法
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
<2>复数的除法运算 (1 i)3
例4.（1） (1 i)2 ＝ （ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
（2）［2019·全国Ⅲ卷］若z（1+i）＝2i，则z＝ （ ） A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
图D-7-2
【特别提醒】运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则 是复数加法、减法几何意义的依据. （2）利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数. （3）注意向量 AB 对应的复数是zB-zA（终点对应的复数减去 起点对应的复数）. （4）根据复数及复数运算的几何意义，复数的加、减运算 与向量的加、减运算可以互相转化，从而得到合理的解题方 法. （5）向量 AB 在复平面内对应的复数为点B对应的复数减去点 A对应的复数.
训练题7［2019·江西赣州中学高三检测］复数z＝
（3-2i）i的共轭复数 z 等于 （ ）
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 7. 答案： C 解析：∵ z＝（3-2i）i＝3i-2i2＝2+3i，
∴ z ＝2-3i.
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【方法点拨】 （1）两个复数相乘时，首先按多项式的乘法展开；再将i2 换成-1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形 式.
（2）复数模的一个常用性质：|z|2＝| z |2＝|z2|＝z· z .
二 复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3
（1）［2019·北京卷］已知复数z＝2+i，则z·z ＝ （ ）
A. 3 B. 5 C.3 D.5
（2）若|z1|＝5，z2＝3+4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝
.
【解析】（1）方法一：∵ z＝2+i，∴ z ＝2-i，∴ z· z ＝（2+i）
三.复数的乘法
1.复数的乘法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复 数，那么它们的积
（a+bi）（c+di） ＝（ac-bd）+（ad+bc）i. 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果 中把 i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
BC ＝OC -OB ＝（-1，-2）-（-2，1）＝（1，-3）.
∵
AD＝ BC ，∴ （x-1，y-2）＝（1，-3），∴
x 2,
y
1.
∴ 点D对应的复数为2-i.
（方法二）∵ ABCD为正方形，A，C关于原点O对称，
∴ O为正方形ABCD的中心.
设D（x，y），则
x y
2 1
00，，∴
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
如果作OZ ＝ Z2Z1 ，那么点Z对应的复数就是z1-z2（如图所 示），即复数（a-c）+（b-d ）i对应 的向量 .这是 复数减 法的 几何意义（就是平面向量减法的三角形法则）.
（2-i）＝5.
方法二：∵ z＝2+i，∴ |z|＝ 22 12 ＝ 5 ，∴ z· z ＝|z|2＝5.
这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个 性质.
二、复数的除法
复数除法的法则
（a+bi）÷（c+di）＝ ac bd + bc ad i（a，b，c，d
c2 d 2
c2 d 2
∈R，且c+di≠0）.
说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）÷
x y
2，1，∴
点D对应的复数为2-i.
训练题 4［2019·广东深圳高级中学高二期末］在复平面内，
O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，
那么 BC 对应的复数为
.
4.答案： 4-4i 解析：∵ BC ＝-（ OA - OC + AB ），∴ BC 对 应的复数为-［-2+i-（3+2i）+（1+5i）］＝-［（-2-3+1） +（1-2+5）i］ ＝-（-4+4i）＝4-4i.
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
学习目标
1.能进行复数代数形式的四则运算. 2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形 结合”的思想解题.
重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几 何意义. 难点：复数减法的运算法则.
知识梳理
一.复数的加法
1. 复数的加法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的 和 （a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i. （1）两个复数相加，类似于两个多项式相加. （2）复数的加法满足交换律、结合律. （3）复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形. 2.复数加法的几何意义
方 法二 ： 因为 z+1- 3i ＝5-2i ， 所以 z＝ （ 5-2i） -（ 1-3i） ＝
4+i.
【答案】 （1）1+i （2）4+i
训练题1［2019·天津重点中学高三联考］已知z1＝3+i，z2 ＝1+5i，则复数z＝z2-z1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.答案： B 解析：z＝z2-z1＝（1+5i）-（3+i）＝-2+4i.
（3）常用运算技巧 ①（a+bi）2＝a2+2abi-b2（a，b∈R）； ②（a+bi）（a-bi）＝a2+b2（a，b∈R），即z· z ＝|z|2； ③（1±i）2＝±2i.
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3a 4b 0,
∴
3b a 2
4a b2
0, 25,
解得
a b
4, 3
或
a b
4, 3.
∴ z1＝4+3i或z1＝-4-3i. 【答案】 （1）D （2）4+3i或-4-3i
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训练题6［2019·湖北八校高三二联］已知a，b∈R，i是虚数 单位.若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ （ ）
对于任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：
z1z2＝z2z1，
（2）结合律：（z1Fra bibliotek2）z3＝z1（z2z3），
（3）分配律：
z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.
请思考:若z1，z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2， z1·z2分别是怎样的数？
提示：设z1＝a+bi，则z2＝a-bi （a，b∈R）， 从而z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R. z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi， z1·z2＝（a+bi）（a-bi ）＝a2+b2∈R.
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 6.答案：D 解析：由题意知a-i＝2-bi，∴ a＝2，b＝1， ∴ （a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i.
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.
【解析】
（1）
1 3
1 2
i
+（2-i
）-
4 3
3 2
i
＝
1 3
2
4 3
+
1 2
1
3 2
i
＝1+i.
（2）方法 一：设 z＝ x+yi（x，y ∈R），因为 z+1- 3i＝ 5-2i ，
所以x+yi+（1-3i）＝5-2i，即x+1＝5且y-3＝-2，解得x＝
4，y＝1，所以z＝4+i.
设 OZ1 ，OZ2 分别与复数a+bi，c+di对应，则两个向量 OZ1 与 OZ2 的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.如图7.2-1 （向量 OZ1 与OZ2 不共线时），这就是复数加法的几何意义（就 是向量加法的平行四边形法则）.
图7.2-1
二.复数的减法
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
<2>复数的除法运算 (1 i)3
例4.（1） (1 i)2 ＝ （ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
（2）［2019·全国Ⅲ卷］若z（1+i）＝2i，则z＝ （ ） A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
图D-7-2
【特别提醒】运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则 是复数加法、减法几何意义的依据. （2）利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数. （3）注意向量 AB 对应的复数是zB-zA（终点对应的复数减去 起点对应的复数）. （4）根据复数及复数运算的几何意义，复数的加、减运算 与向量的加、减运算可以互相转化，从而得到合理的解题方 法. （5）向量 AB 在复平面内对应的复数为点B对应的复数减去点 A对应的复数.
训练题7［2019·江西赣州中学高三检测］复数z＝
（3-2i）i的共轭复数 z 等于 （ ）
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 7. 答案： C 解析：∵ z＝（3-2i）i＝3i-2i2＝2+3i，
∴ z ＝2-3i.
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【方法点拨】 （1）两个复数相乘时，首先按多项式的乘法展开；再将i2 换成-1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形 式.
（2）复数模的一个常用性质：|z|2＝| z |2＝|z2|＝z· z .
二 复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3
（1）［2019·北京卷］已知复数z＝2+i，则z·z ＝ （ ）
A. 3 B. 5 C.3 D.5
（2）若|z1|＝5，z2＝3+4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝
.
【解析】（1）方法一：∵ z＝2+i，∴ z ＝2-i，∴ z· z ＝（2+i）
三.复数的乘法
1.复数的乘法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复 数，那么它们的积
（a+bi）（c+di） ＝（ac-bd）+（ad+bc）i. 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果 中把 i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
BC ＝OC -OB ＝（-1，-2）-（-2，1）＝（1，-3）.
∵
AD＝ BC ，∴ （x-1，y-2）＝（1，-3），∴
x 2,
y
1.
∴ 点D对应的复数为2-i.
（方法二）∵ ABCD为正方形，A，C关于原点O对称，
∴ O为正方形ABCD的中心.
设D（x，y），则
x y
2 1
00，，∴
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
如果作OZ ＝ Z2Z1 ，那么点Z对应的复数就是z1-z2（如图所 示），即复数（a-c）+（b-d ）i对应 的向量 .这是 复数减 法的 几何意义（就是平面向量减法的三角形法则）.
（2-i）＝5.
方法二：∵ z＝2+i，∴ |z|＝ 22 12 ＝ 5 ，∴ z· z ＝|z|2＝5.