下载文档原格式
2010年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1．
化简三角有理式x
x x x x
x x x 2
2662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x
2．
若2
:(1)30,:2p x x x q x +++≥≥-，则p 是q 的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 3．
集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或
C. {6,3}x x x <->或
D. {6,3}x x x <->-或 4．
设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等
边三角形，则k ，r 的取值为（ ） A ．132k r -±==
B ．1313
,22k r ±±==
C ．132k r ±==
D ．1313
,22
k r -±-±==
5．
在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105° 6．
设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是
（ ）A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b > 7．
若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ ）
A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项 8．
设()cos
5x
f x =，12111(lo
g ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ
===，则下述关系式正确的是
（ ）。 A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >>
9．
下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ ）
A.
32π B. 23π C. 43π D. 34
π 10. 设有算法如下：
如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 满足方程2009220102009220102x x x x ---+-+-=所有实数解为 。
12. ,x R ∈ 函数()2sin 3cos 23
x x
f x =+的最小正周期为 .
13. 设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为 .
14. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角形，试求△ABC
的最小内角的取值范围为 。
15. 设z 是虚数，1
w z z =+，且12w -<<，则z 的实部取值范围为 .
16. 设442)1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为 . 17. 设R q p ∈,，q x p x x f ++=||)(2。当函数)(x f 的零点多于1个时，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 .
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18. 设数列 ,1
,,12,
1,,13,22,31,12,21,11k
k k -， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少；
正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形 侧视图： 半径为1的1
4
圆以及高为1的矩形
俯视图： 半径为1的圆
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.
19. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。
20. 已知椭圆)1(1222
>=+a y a
x ，Rt ABC ∆以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC 与椭圆交于两
点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为
27
8
，求a 的值。 四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21. 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点。记AB
AF
CA CE BC BD =
==
γβα,,。证明：ABC DEF S S ∆∆≥ αβγ。
22. （1）设0a >，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线3
y ax =过格点（n ，m ），记1x n ≤≤对应的曲线段上的格点数为N 。证明：
3
311n
m
k k k N ak mn a ==⎡⎤
⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∑∑。
(2) 进而设a 是一个正整数，证明：
3
2
31(1)(31)4an k k a n n n n a =⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦
∑。 （注[]x 表示不超过x 的最大整数）
参考答案
1、解答为 A 。
