立方根专题复习(教师版)

【同步教育信息】人教七下求立方根及用根号表示立方根及等腰三角形复习学案一. 本周教学内容：代数：求立方根及用根号表示立方根；几何：等腰三角形的性质和判定常添的辅助线［学习目标］代数：会求立方根，会用根号表示立方根；几何：会添加一些常见的辅助线二. 重点、难点：重点：代数：立方根的理解几何：添加辅助线难点：代数：立方根的求解及表示几何：辅助线的添加属于构造图形，相对来说是较难的。

三. 知识要点：代数：1. 立方根（三次方根）——定义符号a3⎧⎨⎪⎩⎪2. 开立方：立方↔开立方3. 立方根的个数——正数有一个正的立方根的立方根是负数有一个负的立方根00⎧⎨⎪⎩⎪4. 平方根与立方根的比较（1）任何数都有立方根，而负数没有平方根。

（2）任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根。

5. 用计算器求立方根几何等腰三角形——性质定理及推论判定定理及推论⎧⎨⎩应用等腰三角形的性质和判定解题时常添的辅助线：（1）连结两点构成等腰三角形（2）截取或延长线段，得到相等的线段，构成等腰三角形（3）作等腰三角形顶角的平分线或底边上的高线或底边上的中线（4）在大角内作一个角等于已知小角，构成等腰三角形【典型例题】例1. 求下列各式的值（1）-3383 （2）1063 （3）1093（4）()-a 33 （5）417273+分析：（1）首先把带分数转化成假分数（2）（3）先把被开方数写成3次方的形式（4）注意符号问题（5）先计算出被开方数，写成假分数的形式解：（1）-=-=-3382783233 （2）101010100632332===() （3）1010101000933333===()（4）()-=-a a 33 （5）4172727417271252753333+=+==×例2. 解方程（1）x 30125=. （2）34153603()x --=分析：（1）x 即是0.125的立方根 （2）把方程化为()x -=4153633，把x -4看成一个整体。

A．2 B．-2 C．±2 D．±4考查目的：考查立方根的概念．答案：B．解析：由于，根据立方根的概念可得-8的立方根为-2．2．下列说法正确的是( )．A．负数没有立方根 B．8的立方根是±2C．立方根等于本身的数只有±1 D．考查目的：考查立方根的概念和性质．答案：D．解析：根据立方根的概念和性质可判断：所有的数都有立方根，且立方根只有一个，所以选项A、B错误；立方根等于本身的数有三个，分别为0，±1，所以选项C错误；由可知，选项D 正确．3．的平方根是( )．A．±4 B．4 C．±2 D．不存在考查目的：考查立方根和平方根的概念以及立方根的符号表示．答案：C．解析：表示64的立方根，根据立方根的概念，得=4，再根据平方根的概念，得4的平方根为±2．4．估算10 000的立方根的范围大概是( )．A．10～15 B．15～20 C．20～25 D．25～30考查目的：考查无理数的估算能力．答案：C．解析：因为，，，，，又8000＜10000＜15625，所以10000的立方根应在20和25之间，故答案选C．5．已知：，，则等于( )．A．-17．38 B．-0．01738 C．-806．7 D．-0．08067考查目的：考查被开方数与立方根之间的小数点变化规律．答案：D．解析：根据可知，须先求出的值．0．000525是把525的小数点向左移动6位得到的，根据规律：被开方数的小数点每向右或向左移动3位，立方根的小数点向右或向左移动1位，可知，0．000525的立方根应把的立方根8．067向左移动2位，即0．08067．所以=-0．08067．6．在，1，-4，0这四个数中，最大的数是( )．A． B．1 C．-4 D．0考查目的：考查立方根的定义和大小比较．答案：．解析：因为正数大于负数和零，所以最大数应在和1中选，因为＞，即＞1，故答案选A．二、填空题7．如果，则的值是．考查目的：考查立方根的性质．答案：．解析：由已知可知，，根据立方根的性质，．8．的立方根是 (结果用符号表示)．考查目的：考查算术平方根与立方根的概念以及算术平方根、立方根符号表示．答案：．解析：=9，9的立方根为．9．-27的立方根与64的平方根的和是．考查目的：考查平方根与立方根的概念和计算．答案：-11或5．解析：根据平方根与立方根的概念，可得：-27的立方根是-3，64的平方根是±8，所以-27的立方根与4的平方根的和是5或-11．10．估计在哪两个相邻整数之间：＜＜．考查目的：考查估算能力．答案：8 9．解析：因为＜700＜，所以8＜＜9．11．比较大小：______．考查目的：考查对平方根和立方根估算能力以及大小比较．答案：＜．解析：因为，，所以5＜＜6,；因为，，所以10＜＜11．故＜．12．一个正方形的面积变为原来的倍，则边长变为原来的倍；一个正方体的体积变为原来的倍，则棱长变为原来的倍．考查目的：考查算术平方根和立方根的概念和变化规律．答案：，．解析：由于正方形的面积为边长的平方，故边长变化的倍数是面积变化倍数的算术平方根；同理，棱长变化的倍数为体积变化倍数的立方根．三、解答题13．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．解析：本题考查求立方根的方法，需要注意的是：在求带分数的立方根时，必须先把它化成假分数．（1）；（2）；（3）；（4）．14．有一棱长为6的正方体容器中盛满水，将这些水倒入另一正方体容器时，还需再加水127才能盛满，求另一正方体容器的棱长．考查目的：考查立方根的实际应用．答案：7．解析：原正方体容器的容积=()，另一正方体容器的容=216+127=343()，其棱长为．15．求下列各式中x的值：（1）；（2）．考查目的：考查立方根的应用．答案：（1）；（2）．解析：（1）由立方根的概念，可得，；（2），由立方根的概念，可得，．16．不用计算器，研究解决下列问题:（1）已知，且为整数，则的个位数字一定是；∵8000=＜10648＜=27000，∴的十位数字一定是；∴；（2）若，且为整数，按照（1）的思考方法，直接写出的值为．考查目的：考查对于一个能开方开得尽的较大的整数，其立方根的大小估计．答案：（1）2 2 22 （2）95．解析：（1）个位为1的两位数的立方，其个位数为1；个位为2的两位数的立方，其个位数为8；依此类推，可以判断的个位数字一定是2，十位数字一定是2，故10648的立方根为22．（2）按照（1）中的方法可以推测（2）中857375的立方根为95．。

2020年中考数学人教版专题复习：平方根、立方根一、学习目标：1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4. 理解开立方与立方的关系。

二、重点、难点：重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。

难点：算术平方根与平方根的区别与联系。

三、考点分析：中考命题以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主，多以选择题和填空题的形式出现，试题的难度不大，只要对平方根、算术平方根、立方根的有关概念和性质熟练掌握，就能解决中考试题，比较容易得分。

知识梳理一. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

当0a≥时，a a”，a叫做被开方数。

2. 平方根的概念及其性质（1）平方根的定义如果一个数的平方等于a，即2x a=，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。

即如果2=，那么x叫做a的平方根。

x a（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

当a≥时，a的平方根表示为。

（3）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

3. 用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。

二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

即如果3x a=，那么x叫做a的立方根，记作0的立方根是0。

2. 开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。

3. 用计算器求立方根很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。

典例精析知识点一：算术平方根例1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。

实数第六章实数 平方根与立方根1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.算术平方根的表示：_________________________________________________ 算术平方根的性质：2. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 叫做a 的平方根 平方根的表示：______________________________________________________平方根的性质：A 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数 B 零有一个平方根，它是零本身 C 负数没有平方根开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

例题：一个数的平方等于9,这个数是几呢？又如一个数的平方等于425，这个数是几呢？若x 2=a （x ≥0），那么x 叫做a 的__________________。

记作：_______________4.立方根的定义：如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作例如：8的立方根，记作任何数都有立方根：①正数的立方根是________数； ②负数的立方根是________数； ③ 0的立方根是________； 立方和开立方互为________运算. 综上所述，有a (a ≥0)2a =│a │=-a (a<0)两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()a (3333==.x知识点1： 算术平方根，平方根的， 立方根的概念 求一个数的算术平方根，平方根，立方根 1.下列说法正确的有______个.①(−3)2的算术平方根是√3②81的算术平方根是9③a 2的算术平方根是a ④ -1的算术平方根是1 ⑤ 0的算术平方根是02.下列说法正确的有______个. ①√81=±9②0.01算术平方根是0.1 ③49的算术平方根是7 ④2是4的算术平方根 ⑤正数的算术平方根是正数3.下列说法错误的有______个. ①36的平方根是6 ②|−5|的平方根是5③(−4)2的平方根是±4 ④a 的平方根是±√a4.下列说法错误的是( )A 立方根等于它本身的数有-1,0,1B 立方根等于其绝对值的数只有0C 如果−∛a =b,那么a=−b3D 立方根等于平方根的数只有0 5.36的平方根是______；的平方根是_______；的平方根是_______；9的算术平方根是_______；16的算术平方根的平方根是____________.＝________________；－________；知识点2. 算术平方根--求字母的值--被开方数的非负性--结果的非负性1.4的算术平方根为2m −2，则3m 的算术平方根等于___2.若y=x -1+1-x +4，则x+y=______.4.21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．知识点3：平方根的性质--求字母的值--解方程 平方根与算术平方根的区别与联系1.若一个正数的两个平方根为2m −6与3m+1，则这个数是______；若a+3与2a −15是x 的平方根，则x=______.2.若某一个数的正的平方根为2m+6，它的平方根为±(m −2)，则这个数是_____3.已知13(1−2x)2+6＝9．则x=_____（写过程）4.已知25(x+2)2﹣36＝0，则x=_____（写过程）5.下列语句错误的有______个. ①36的平方根是6； ②±9的平方根是±3； ③√16＝±4；④0.01是0.1的平方根； ⑤42的平方根是4； ⑥81的算术平方根是±96.下列语句正确的有______个.①4的算术平方根是±2②负数一定没有平方根③平方根等于它本身的数有0和1④0.9的算术平方根是0.3⑤任何数都有算术平方根⑥一个正数的平方根仍然是正数知识点4：立方根的性质--求相关式子的值--解方程平方根与立方根的区别与联系立方根与平方根的运算0,1，-1的平方根和立方根4.解方程：(1) (x－1)3＝8；(2)8.平方根等于本身的数______立方根等于本身的数______知识点5.平方根，立方根--规律探究根据算术平方根的意义，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，其结果的小数点也向左（或向右）移动一位如果被开方数的小数点向左（或向右）每移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位．1. 若√3.2104≈1.792,√3210.4≈56.66，则√32104≈______；√32.104≈______.2. 若3√0.3670=0.7160，3√3.670=1.542，则3√367=______，3√−0.003670=______．33 3.8x-=答案卷1.a2.平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是在此处键入公式。

八年级数学重要复习资料：立方根八年级数学重要复习资料：立方根知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。

立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。

(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。

求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X 的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。

如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。

立方和开立方运算，互为逆运算。

互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

负数不能开平方，但能开立方。

立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2) 任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个. 平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。

⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。

⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。

二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一：平方根的概念：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作x=± ，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算. 例1 的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3 解:因为=9，所以的平方根就是9的平方根，即± =±3，故选择B. 注:应现将化简后再求值. 知识点二: 算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，0的算术平方根是0. 例2若a<0，则a2的算术平方根是( ).A.-aB.aC.±aD. ± 解:当a<0时，=|a|=-a，故选择A. 例3一个数的算术平方根是a，则比这个数大5的数是( ). A.a+5 B.a-5 C. a2+5 D. a2-5 解:一个数的算术平方根是a，则这个数是a2，故比这个数大5的数是a2+5，从而选择C. 知识点三: 平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根，它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数，即a≥0. 例4若m的平方根是2a-3和a-12，求m的值. 解:由正数有两个平方根，它们互为相反数知，(2a-3)+(a-12)=0，解得a=5，所以m=(2a-3)2=72=49. 例5若2a-3和a-12是m的平方根，求的值. 解析:本例与例4貌似一样，其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12"，得知2a-3和a-12互为相反数，而"若2a-3和a-12是m的平方根"，可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时， a= -9.所以2a-3=-18-3=-21，所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时，a=5，所以2a-3=10-3=7，所以m=72.故m=441或=49. 例6(北京海淀区)已知实数x，y满足，求代数式的值. 解析:因为| |≥0，≥0又.所以解得当时，. 知识点四:立方根的概念及性质: 若x3=a，则x叫做a的立方根，记作x= .0的立方根是0，任何实数都有立方根，并且只有一个，同时立方根的符号与其本身符号相同. 例7求4 的立方根. 解:因为4 = 所以.知识点五: 利用计算器求平方根、立方根等. 例8（陕西省）用计算器比较大小: （填"＞"、"＝"、"＜"）．解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目，要注意按键顺序.故填>. 优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。

平方根、立方根专题复习算术平方根（1）一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的，记作_________.其中a 叫做______________. 规定，0的算术平方根为 。

(2)只有__________数才有算术平方根，并且有且仅有_______个算术平方根，算术平方根一定是_________数。

（3）算术平方根等于本身的数只有______和_______.（4）被开方数一定是___________数.被开方数越大，相应算术平方根越大。

（5）两个公式：（a ）2＝ ； 2a平方根（1）一般的，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的，记作_________.其中a 叫做______________.（2）只有__________数才有平方根。

的平方根有2个，它们互为 ，其中正的平方根就是相应_____________;______的平方根就是0本身; 没有平方根。

（3）平方根等于本身的数只有______. （4）求一个数的平方根的运算叫做_____________。

__________与___________互为逆运算。

平方表112= 122= 132= 142= 152= 162=172=182=192=252=平方根表23 5知识点一：求平方根和算数平方根 例1、求下列各数的平方根和算术平方根。

（1）100； （2）25121（3）0.25例2、求下列各式的值： （1）4 （2）2516-（3）±16 （4）()27±知识点二：利用平方根的性质巧解方程 例3、求其中正数x 的值：（1）2x =36 （2） 24225x =求其中x 的值：（1）0324)1(2=--x （2） 264(3)90x --=知识点三：平方根的性质的综合运用 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.20132014a a a -+-=1、若21121y x x =-+-+，则x y 的值为2、已知12422,y x x =-+-+求yx的值.3、若 ，求22013a -的值。

人教版七年级期中复习之立方根一．选择题（共15小题）1．（2021秋•东营期末）下列运算正确的是（）A．＝±2B．（﹣3）3＝27C．＝3D．＝2 2．（2021秋•诸暨市期末）下列说法中不正确的是（）A．10的平方根是B．8是64的一个平方根C．﹣27的立方根是﹣3D．的平方根是3．（2021秋•上虞区期末）下列说法正确的是（）A．4的平方根是2B．﹣8的立方根是﹣2C．64的立方根是±4D．平方根是它本身的数只有0和14．（2021秋•龙华区校级期末）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．C．＝4D．5．（2021秋•隆昌市校级期末）下面有四种说法，其中正确的是（）A．﹣64的立方根是4B．的立方根是C．49的算术平方根是±7D．的平方根是±36．（2021秋•会宁县期末）下列说法：①﹣27的立方根是3，②36的算术平方根是±6，③的立方根是，④的平方根是±3，其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．47．（2021秋•桓台县期末）下列说法中正确的是（）A．9的平方根是3B．0的立方根是0C．的平方根是±4D．1的立方根是±18．（2021秋•漳州期末）1的立方根是（）A．±1B．﹣1C．±D．19．（2021秋•淮阳区期末）已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（）A．8B．﹣8C．±4D．﹣410．（2021春•惠阳区月考）下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D．＝﹣11．（2021•河口区校级模拟）64的平方根的立方根（）A．2B．﹣2C．±2D．都不对12．（2021秋•西区期中）下列说法正确的是（）A．的平方根是±3B．C．1的立方根是±1D．0没有平方根13．（2021秋•东台市期末）下列说法正确的是（）A．4的算术平方根是2B．0.16的平方根是0.4C．0没有立方根D．1的立方根是±114．（2021秋•万州区期末）下列等式正确的是（）A．B．C．D．15．（2021春•淮南月考）已知x是（﹣）2的平方根，y是64的立方根，则x+y的值为（）A．﹣1B．7C．﹣1或7D．1或7二．填空题（共10小题）16．（2021秋•普陀区期末）如果x2＝64，那么＝，最小正整数与最大负整数的积等于．17．（2021秋•宁远县期末）的平方根是．18．（2021秋•朝阳区期末）＝．19．（2021秋•太原期末）若x3＝27，则x＝．20．（2021秋•肃州区期末）的平方根是，﹣的立方根是．21．（2021秋•蓬莱市期末）﹣27的立方根与的平方根的和是．22．（2022•九龙坡区校级开学）x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y2的算术平方根是．23．（2021秋•兰考县期末）已知y2＝1，则＝．24．（2021秋•毕节市期末）若一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a﹣10，则m的立方根为．25．（2021秋•汉寿县期末）﹣8的立方根是；16的算术平方根是；的平方根是．。

夏季“七升八”数学VIP 小班立方根复习回顾：（1). 16的平方根是______ （2) -16的平方根是________ （3) 0的平方根是________一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零,负数没有平方根.情景引入：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？新课讲授：讲解点1：立方根的意义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

代数式表示：如果3x =a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：x= 3a ,读作“三次根号a ”例如：33=27，则3是27的立方根，表示为327 =3。

()33-=-27，则-3是-27的立方根。

表示为 327- =-3。

注意：在3a 中，根指数3不能省略，因为当根指数省略时，规定它只表示算术平方根。

如何求一个数a 的立方根？ 关键：把求立方根转化为立方运算 求下列各数的立方根（1）-0.064； （2）8191-∵(-0.4)3=-0.064；∴-0.064的立方根是-0.4。

即 3064.0- =-0.4评析：求一个数的立方根，应先找出所要求的数是哪个数的立方；求带分数的立方根，应先化成假分数讲解点2：立方根的性质（1）一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则3a >0；（2）一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则 3a <0；（3）0的立方根是0，即若a=0，则3a =0。

说明：（1）任何数的立方根有且只有一个；一个数a 与 3a 同号；（3）互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。

重要性质：33a a -=-在3a 中，a 的取值范围是全体实数。

求下列各式的值： （1）评析：解这类题时，当被开方数是负数时，一般先利用立方根的性质33a a -=-进行化简；当被开方数很复杂时，必须先进行整理后再求值。

讲解点3：开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方。