856高等代数考研真题答案09
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、2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准
科目代码： 856 科目名称： 高等代数
一. （20分）证明下列命题：
(1). （10分）设()d x ,()f x ,()g x 都是数域P 上的多项式。如果()|()d x f x ，
()|()d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，证明：()d x 是()f x 与()g x 的一个最
大公因式。
(2). （10分）)(x f 是数域F 上次数大于零的多项式，0,≠∈c F c 则
)()(x f c x f ≠-.
证明：(1).由题意，存在多项式(),()u x v x , 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.（4分）如果()|()h x f x ，()|()h x g x ,那么()|()h x d x .（8分）又由于()|()d x f x ，()|()d x g x , 所以()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。（10分） (2).如果()()f x c f x -=, 那么(0)()(2)f f c f c ===
.（3分）
考虑()()(0)g x f x f =-.（6分） 显然，()()g x f x ∂=∂, 并且()0,1,2,g nc n ==.
()g x 有无限多个根，这是不可能的。
（10分） 二.（15分）已知行列式3
07
4
375167894
352-=
D . 求24232221A A A A +++，其中ij A 是元素ij
a 的代数余子式。
解：考虑行列式2534111115734
7
03
C -=，按它的第二行展开。（5分）由于C 和
D 除了第
二行外均相同，故21222324C A A A A =+++，（10分）而计算可得
253411117215734
7
03
C -=
=. 所以2122232472A A A A +++=.（15分）
三.（20分）证明n
阶行列式
1
1
1
1
1
n
n a b ab a
b ab a b a b
a
b
ab a
b
.
解：当1n 结论显然成立。假设结论对1n 阶行列式成立。（2分）
对n 阶行列式，将第一列拆成两项。第二项按第一行展开。第一项的第一列乘b -加到第二列，第2列乘b -加到第3列，……，第n-1列乘b -加到第n 列。然后用归纳假设。
1011
1
1
n
a a
b b ab
a b ab a
b ab a b
a
b
D ab ab a b a
b
（10分）
1011
01
1
a
a b ab a a b
a
b ab a
b
a
（15分）
111n n n n n
n
n a b a b a bD a b a b a b
++---=+=+=--（20分）
四．（15分）已知1V 是120n x x x +++=的解空间，2V 是12n x x x ===的解空间，
证明：12n P V V =⊕。 证：12(,,,)n a a a V ∀∈, 令 121
()n a a a a n
=
+++.
我们有1212(,,
,)(,,,)(,,
,)n n a a a a a a a a a a a a =---+.（5分）
而且1212(,,,),(,,,)n a a a a a a V a a a V ---∈∈. 因此12n P V V =+.（7分）
如果1212(,,,)n b b b V V ∈⋂,那么120n b b b +++=, 且12n b b b ===.（10分）
从而120n b b b ==
==.（12分）
因此12{0}V V ⋂=. 总之，12n P V V =⊕（15分）
五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为)3,2,1(=η. 解：考虑以)3,2,1(=η为解的方程1122330k x k x k x ++=， 那么1231230k k k ++=.（3分）
把它看成123,,k k k 的方程。得到基础解系(2,1,0),(3,0,1)--.（7分） 由此得到方程组
121
3
2030
x x x x -+=⎧⎨-+=⎩
它以)3,2,1(=η为基础解系。（10分）
六.（20分）设实二次型222
12
31323()222f X x x x x x tx x =++++，求当t 是何整数时二次型()f X 是正定的，并求一个线性替换Y TX =将二次型()f X 化为标准形。
解：此二次型的矩阵为：1010112A t t ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，若要f 为正定的，则要求其各级顺序主子
式都大于零，（5分）即
2101
0110,12t t t =-> (0)t > （8分）
因t 为整数，故0t =（10分）； 当0t =时
()222
12313
2
2
2132
3
()22f X x x x x x x x x x
=+++=+++， （12分）
作线性替换：