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圆锥曲线的定义
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：
1、当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2、当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5、当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6、当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7、当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
圆锥曲线是在平面上由一个动点P和一个定点F（焦点）以及一个定直线D（准线）所确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
以下是与每种圆锥曲线相关的定理：
1. 椭圆的定理：
- 稳定焦点定理（First Focal Theorem）：椭圆上任意一点到焦点的距离之和等于固定常数（焦距）的两倍。
- 稳定准线定理（Second Focal Theorem）：椭圆上任意一点到准线的距离之差等于固定常数（准线距离）。
- 已知焦点和准线求椭圆方程：已知焦点和准线的坐标，可以通过准线距离和焦距来确定椭圆的方程。
2. 双曲线的定理：
- 已知焦点和准线求双曲线方程：已知焦点和准线的坐标，可以通过焦点和准线的距离关系来确定双曲线的方程。
- 面积定理：双曲线所围成的面积与焦点和准线的位置有关，可以通过积分计算得到。
3. 抛物线的定理：
- 焦准距离定理（Focal Property）：抛物线上任意一点到
焦点的距离等于该点到准线的距离。
- 定义焦点定理：抛物线定义为到定点和定直线距离相等的所有点的集合。
这些定理帮助我们理解和分析圆锥曲线的特性和性质，以及它们与焦点和准线之间的关系。
同时，这些定理也在数学和物理学的应用中起到重要的作用。
圆锥曲线的几个定义
1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
7）当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
圆锥曲线常用方法
圆锥曲线是一类常见的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
以下是圆锥曲线的几种常用方法：
1. 构造法：通过一些特定的几何操作来构造圆锥曲线。
例如，通过圆的平移和旋转可以构造椭圆，通过圆的平移和拉伸可以构造椭圆和双曲线，通过直线的截切可以构造抛物线等。
2. 解析法：通过解析几何的方法，即使用数学方程来描述圆锥曲线。
例如，椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b是椭圆的半长轴和半短轴，通过调节a和b的值可以得到
不同形状的椭圆。
3. 参数方程法：通过引入参数来描述圆锥曲线上的点的坐标。
例如，椭圆的参数方程可以表示为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，
其中t是参数，通过改变t的取值可以得到椭圆上的所有点。
4. 矩阵法：通过矩阵的运算来描述圆锥曲线的性质和变换。
例如，通过矩阵乘法可以进行平移、旋转、拉伸等操作，从而得到不同形状的圆锥曲线。
5. 数值方法：通过数值计算来求解圆锥曲线的相关问题。
例如，可以通过数值逼近的方法来求解圆锥曲线的焦点、顶点、离心率等性质。
这些方法各有特点，可以根据具体问题的要求选择合适的方法来处理圆锥曲线的相关问题。
圆锥曲线知识点总结6篇第1篇示例：圆锥曲线是解析几何学中非常重要的概念，它们分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，圆锥曲线具有丰富的性质和应用，掌握其基本知识对于理解其在几何、物理、工程等多个领域的应用至关重要。
本文将对圆锥曲线的基本性质和特点进行详细总结。
我们从圆锥曲线的定义入手。
圆锥曲线是平面上一点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比为常数的点的轨迹。
根据这个定义，椭圆的准线是实直线，双曲线的准线是虚直线，而抛物线的准线是平行于其自身的直线。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种。
椭圆的定义是到焦点和准线的距离之比小于1的点构成的轨迹。
椭圆具有对称性，其焦点到准线的垂直距离之和恒等于两焦距之和，这个性质被称为焦点定理。
椭圆还有面积、周长等重要性质，在几何中有重要的应用。
抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种，其定义是到焦点和准线的距离相等的点构成的轨迹。
抛物线具有对称性，其焦点到准线的垂直距离恰好等于焦距。
抛物线是一种非常重要的曲线，常见于物理学和工程学中的抛物线运动、光学、无线电通信等领域。
除了上述基本性质外，圆锥曲线还有许多重要的定理和性质。
焦点、准线、焦距、离心率等概念是理解圆锥曲线的重要基础。
圆锥曲线的方程形式也是研究和应用圆锥曲线的关键，椭圆和双曲线的标准方程分别为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1和x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，而抛物线的标准方程为y^2 = 2px。
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，掌握其基本性质和定理对于理解几何学、物理学和工程学中的问题有重要意义。
通过对圆锥曲线的学习，我们不仅可以深入理解几何形体的性质，还可以应用圆锥曲线的知识解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
加强对圆锥曲线知识的学习和应用是十分必要的。
第2篇示例：圆锥曲线是解析几何中最重要的一类曲线，它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种。
这些曲线在数学和物理学等领域中有着重要的应用，是我们熟悉的常见数学概念之一。
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的分支，研究的是平面内的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。
它们都是根据圆锥与一个平面的截痕而得到的。
首先来看椭圆。
椭圆是圆锥与一个平行于其中一条母线的平面相交而得到的。
椭圆有两个焦点，记作F1和F2，以及一个长轴AB和一个短轴CD。
椭圆的特点是到焦点的距离之和等于常数2a（焦距）。
在椭圆上的点P到焦点F1的距离记作PF1，到焦点F2的距离记作PF2，则有PF1 + PF2 = 2a。
椭圆还具有反射定律，即从椭圆的一个焦点出发的光线，在椭圆上反射后都会经过另一个焦点。
接下来是双曲线。
双曲线是圆锥与一个与其母线不平行的平面相交而得到的。
双曲线有两个焦点，记作F1和F2，以及两个虚焦点，记作F1'和F2'。
双曲线同样具有焦点定理，即到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a（焦距）。
双曲线还具有渐近线，即与双曲线在无穷远点趋近平行的两条直线。
最后是抛物线。
抛物线是圆锥与一个平行于母线的平面相交而得到的。
抛物线有一个焦点F和一个直线准线。
抛物线的特点是到焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线还具有对称性，即图像关于焦点F的直线对称。
抛物线还有重要的应用，如抛物面反射器、天线、喷气式飞机的火箭等。
除了上述的基本知识点，圆锥曲线还有许多重要的性质和应用。
比如，圆锥曲线可以用来描述物体的轨迹，例如行星绕太阳的轨道就是一个椭圆。
它们还有广泛的应用于数学、物理、工程等领域，如电磁场理论中的电磁波的传播路径，航天器轨道设计等。
在解题时，我们可以用方程来表示圆锥曲线。
对于椭圆，它的方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点。
对于双曲线，它的方程可以写成(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心点。
对于抛物线，它的方程可以写成y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
圆锥曲线的三种定义
圆锥曲线可以通过多种定义来描述，下面我将从三种不同的角度来回答你的问题。
1. 几何定义：
圆锥曲线是通过圆锥和平面的交点集合而成的曲线。
当平面与圆锥的两个母线夹角小于圆锥的夹角时，交点为椭圆；当平面与圆锥的两个母线夹角等于圆锥的夹角时，交点为圆；当平面与圆锥的两个母线夹角大于圆锥的夹角时，交点为双曲线。
2. 代数定义：
圆锥曲线也可以通过代数方程来定义。
例如，椭圆的代数方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，圆的代数方程为x^2 + y^2 = r^2，双曲线的代数方程为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
这些方程描述了平面上的点满足的条件，从而定义了不同类型的圆锥曲线。
3. 参数方程定义：
圆锥曲线还可以通过参数方程来定义。
以椭圆为例，其参数方程可以写为x = acos(t)，y = bsin(t)，其中t为参数，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
通过不同的参数取值，可以得到椭圆上的各个点的坐标，从而描述了整个椭圆曲线。
综上所述，圆锥曲线可以通过几何、代数和参数方程三种不同的方式来定义，每种定义方式都能够全面而准确地描述圆锥曲线的特性和性质。
圆锥曲线的基本概念与性质1. 圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，它是由平面与圆锥相交而产生的曲线。
本文将详细介绍圆锥曲线的基本概念和性质。
1.1 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
椭圆具有以下性质：- 椭圆是一个闭曲线，即从椭圆上的任意一点到椭圆的另一点的距离之和是一个常数，即椭圆的周长。
- 椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离之和等于一个常数。
- 椭圆是一个中心对称图形，它的中心是圆心。
1.2 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥不垂直于母线的相交曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线是一个开曲线，即从双曲线上的任意一点到双曲线的另一点的距离之差等于一个常数的绝对值，即双曲线的离心率。
- 双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离之差等于一个常数。
- 双曲线是一个中心对称图形，它的中心是圆锥的顶点。
1.3 抛物线抛物线也是圆锥曲线的一种，它是平面与圆锥平行于母线的相交曲线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线是一个开曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。
- 抛物线的焦点到任意一点的距离等于准线到该点的距离。
- 抛物线是一个轴对称图形，它的轴对称于对称轴。
2. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在几何学以及其他学科领域中都有广泛的应用。
2.1 几何学在几何学中，圆锥曲线被广泛用于描述平面上的点与直线之间的关系。
例如，在解决两点之间的最短路径问题时，可以利用椭圆的性质来确定最短路径。
2.2 物理学在物理学中，圆锥曲线被应用于描述天体运动、光的传播以及其他各种物理现象。
例如，开普勒行星运动定律中的椭圆轨道就是以椭圆为基础建立的。
2.3 工程学在工程学中，圆锥曲线被广泛应用于建筑设计、桥梁设计等领域。
通过合理利用椭圆和抛物线的性质，可以设计出更加稳定和美观的建筑结构。
3. 结论圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学和工程学等不同领域都有广泛的应用。
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
《圆锥曲线与方程》教学解读一、内容安排为了体现“基础性”“多样性”“选择性”的原则，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“课标”）螺旋上升地在必修和选修模块中设置了解析几何内容。
1.必修模块，要求学生在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
2.选修1、2模块（必选），要求学生学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
3.作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，“课标”设置了《坐标系与参数方程》专题（任选），要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
直线与方程-----圆与方程----圆锥曲线与方程-----极坐标与参数方程螺旋上升二、思想理念1.坐标法是核心(1)强调数形结合思想(2)强调经历用坐标法解决问题的完整过程•直线与圆---------基础,强调与平面几何研究方法的比较,坐标法的体验•圆锥曲线---------体现坐标法的威力(有限接触)•坐标系与参数方程---------充分展示坐标法的综合性,坐标系的多样性,曲线方程的多样性,联系方法的多样性等.2.解析几何是方法论(1)重视“先行组织者”的作用-----解析法的引入，研究方法的引导（2）重视“几何要素”的分析-----有效使用解析法的前提•先用几何眼光观察、分析•再用坐标法推理、论证和求解（3）加强联系与综合-----解析几何的学科特点三、编写意图（1）突出坐标法的核心地位，强调数形结合思想①随时随地强调坐标法的基本思想，明确表述坐标法的基本步骤，并将其概括为“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算与变换，解决代数问题第三步：分析代数结果的几何含义，并“翻译”成几何结论。
②用坐标法解决典型的平面几何问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。
例如，用坐标法证明三角形、平行四边形的性质，证明与圆相关的一些命题等。
这些问题在平面几何中有一定困难，但用坐标法解决却“轻而易举”。
③在解析几何学习的入门阶段，不安排涉及复杂代数运算的题目，减少代数变换的困难，但通过各种机会渗透和概括坐标法思想，强调经历用坐标法解决问题的完整过程，使学生集中精力于坐标法的学习。
在后续阶段，逐步加强“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路。
2）根据学生学习心理安排教学内容第一，强调“先行组织者”的使用。
认知心理学认为，“先行组织者”有助于学生形成有意义学习的心向，能够为学生的学习建立一个“导游图”，避免学习的盲目性，同时也为新旧知识间搭建了一座桥梁。
第二，坐标法、数形结合、运动变化思想等“默会知识”，采取“渗透——明确——应用”的过程。
第三，改变“从定义出发”的教材呈现方式，尽量用“归纳式”呈现教材，注意从简单到复杂从单一到综合地组织内容，按照从具体到抽象、从特殊到一般的方式，给学生提供归纳、概括的机会。
（3）问题引导学习，改进教与学的方式第一，充分发挥“史料”的作用，从整体上展示解析几何所研究的问题。
第二，利用“观察”“思考”“探究”栏目提出问题，引导学生主动学习。
（4）加强背景和应用，完善学习过程加强背景和应用，使学生经历完整的用坐标法解决问题的过程，变“掐头去尾烧中段”为“接头续尾烧全鱼”，是解析几何教学中必须予以充分重视的问题。
第一，加强确定各类图形的几何要素的分析，在此基础上建立适当的坐标系。
第二，加大用坐标法思想分析问题的力度（5）加强联系与综合，体现“思想性”第一，与已有知识的联系。
第二，与实际问题的联系。
（6）体现教学设计思想解析几何中只有坐标系、曲线与方程、斜率、直线的方程、圆锥曲线的方程等不多的核心概念，但坐标法、数形结合思想等极其重要。
因此，如何以这些核心概念为载体，更好地体现坐标法和数形结合的基本思想，设计恰当的“问题串”以引导学生独立地、有序地、积极地思考，从而把积极主动的学习方式落在实处，就成为解析几何教材中体现教学设计思想的关键。
三、教学建议1.把握教学要求本章理科共分四大节.第一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤.后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质.插入用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.教学时力求突出主干知识，精选内容(1)研究圆锥曲线方程时,主要介绍标准方程，不涉及一般方程;(2)利用方程研究圆锥曲线的几何性质时只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；(3)根据问题的难易度及学生的认知水平,只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线定义”.2.突出基本思想(1)解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质.(2)在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上,不要在定义的两个方面作过多研究.(3) 《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实.3.重视引入过程教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化（代数化）为“方程”，形成理性认识.其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开.四、教学提示1.重视“方法”与“思想”“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终；“数形结合”思想应让学生不断地加以体会.2.关注曲线与方程和函数与图象之间的关系曲线与方程, 函数与图象是两类不同的研究对象,它们之间有一定联系,也存在一定区别.3.圆锥曲线统一定义和非标准的圆锥曲线方程不作教学要求探究与发现: “圆锥曲线的离心率与统一方程”,供学有余力的学生学习.非标准的圆锥曲线方程没有必要补充.4. 关于信息技术使用信息技术在本节大有用武之地, 应该得到重视.但要注意你的运用是促进探究? 还是猜想验证?是呈现?还是发现?2.2.1 椭圆的标准方程一、教学目标1. 掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；2.能用标准方程判定曲线是否是椭圆 【A 组题】：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距是6，椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于10; (2) 焦点为(0，4)和(0，－4)，且5a =；(3) 与椭圆369422=+y x 有相同焦点，且经过（3，－2）；(4) 椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过两点(4，0),(2，3) 【设计意图】：对于已经指明焦点位置的椭圆，解题时可以利用待定系数法，先设出方程，进而利用条件求出方程中的系数．对于焦点位置不确定的椭圆，求其方程时应分类讨论．利用待定系数法求椭圆的方程，在计算a 、b 的过程中应注意准确运用a 2＝b 2＋c 2这一条件．如果将第（1）题中“椭圆的焦点在x 轴上”这个条件去掉，结果又将如何呢？说明：第（4）题中椭圆的焦点位置不明确，解题时可以根据焦点位置分别设出椭圆的方程，进而利用待定系数法求解．本题中，也可以设椭圆的方程为221xymn+=（m ＞0，n＞0，m ≠n ），或221nx m y +=（m ＞0，n ＞0，m ≠n ）这样可以避免讨论． 小结:求椭圆方程的一般方法.待定系数法与定义法是求曲线方程的两种基本方法，也是后面双曲线、抛物线中经常用到的方法．通过待定系数法的学习让学生进一步理解焦点、焦距的概念与椭圆的定义，领悟如何用方程的思想思考问题.运用这两种方法的关键是对椭圆的定义和标准方程的两种形式的正确理解．对于运用待定系数法求方程时有两解的问题，可以让学生通过观察图形后展开讨论，并由此总结出“先定型、后设方程、再求解”的基本原则．【B 组题】1.已知方程（2－k ）x 2＋ky 2＝2k －k 2表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围．2.在椭圆13422=+yx上，是否存在点P ，使P 与椭圆的两个焦点的连线互相垂直？若存在，求出P 点的坐标；如果不存在请说明理由． 【设计意图】说明：（1）注意充分利用椭圆的定义解题．（2）想一想：椭圆方程中的a ，b 满足何种条件时，这样的P 点存在．从数形结合的角度来思考．设椭圆的两个焦点为F 1，F 2，依题意，∠F 1PF 2＝90º，即P 在以F 1F 2为直径的圆上，问题转化为圆与椭圆是否有公共点．由a ＝2，b ＝3，c ＝1，得c ＜b ，所以它们没有公共点，当且仅当c ≥b 时，点P 才存在．对此，可引导学生观察椭圆的形状，发现椭圆越“扁”时，点P 才可能存在，从而为今后学习离心率e 作铺垫．2.2.2． 椭圆的几何性质 一、教学目标1.掌握椭圆的简单的几何性质；2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题。
【A 组题】1.已知椭圆长半轴与短半轴之比是5:3，焦距是8，焦点在x 轴上，则求椭圆的标准方程。
2.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则求椭圆的离心率。
【设计意图】：充分利用222c b a +=和ac e =，求出a 、b 、c 或它们的关系是解决这类问题的关键． 【B 组题】 1.若椭圆19422=++yk x的离心率21=e ，则求k 的值。
2.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，焦距是16，求椭圆的方程．【设计意图】：当椭圆的焦点位置不确定时，要注意讨论．2.3.1 双曲线的标准方程 一、教学目标1.了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；2.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题。
【A 组题】1.求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）双曲线的两焦点坐标是()()82,5,0,5,021=-a F F ； （2）双曲线的焦点在x 轴上，并且经过点（-5，2），6=c ；（3）32=a ,且与双曲线141622=-yx有公共焦点;（4）经过点P ()()7,26,72,3-Q . 【设计意图】第（3）小题是求已经指明焦点位置的双曲线；而第（4）小题中所求双曲线的焦点位置不确定，解题时应按焦点的位置进行讨论；（3）第（2）问也可以不讨论，直接设所求双曲线的方程为()0122<=+AB By Ax ， 双曲线经过点P ()()7,26,72,3-Q故⎩⎨⎧=+=+.14972,1289B A B A 解得251,751=-=B A ，即所求双曲线的方程为1752522=-x y .【B 组题】 1.若方程11122=--+k ykx表示双曲线，则求k 的取值范围。
