23.2相似三角形判定__直角三角形相似判定定理

三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。

2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。

4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。

通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。

直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。

如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。

2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。

三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。

四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。

五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。

如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。

六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。

七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。

八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。

九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。

三角形相似的定义与判定方法三角形是几何学中研究的基本形状之一，它们的相似性是几何分析中一个重要的概念。

在本文中，我们将探讨三角形相似的定义与判定方法。

一、三角形相似的定义两个三角形被认为是相似的，如果它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

换句话说，如果两个三角形的内角相等，并且三边的比值相等，那么它们就是相似的。

二、判定方法一：AA相似定理AA相似定理是判定两个三角形相似性的常用方法。

根据该定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们就是相似的。

三、判定方法二：SAS相似定理SAS相似定理是另一种常用的判定方法。

根据该定理，如果两个三角形之间存在一个对应的边长比例，并且这两个边的夹角相等，那么它们就是相似的。

四、判定方法三：SSS相似定理SSS相似定理是另一种用于判定三角形相似性的方法。

根据该定理，如果两个三角形的三条边长比例相等，那么它们就是相似的。

五、判定方法四：底角相等定理对于两个三角形的底边的边长比例相等，并且两个三角形的顶角都相等，那么它们就是相似的。

这条定理也可以用来判定三角形的相似性。

六、判定方法五：割线定理割线定理是基于圆的相关性质中的一个重要定理。

如果两个三角形的两边分别平行于另一个三角形的两边，并且这些边是由同一个圆的弦所连接的，那么这两个三角形是相似的。

七、应用举例通过上述相似定理和判定方法，我们可以解决许多与三角形相似性相关的问题。

例如，当两个三角形的两个内角相等时，我们可以利用AA相似定理判定它们的相似性。

同样地，当两个三角形的边长比例相等时，我们可以使用SAS相似定理来判定它们是否相似。

结论：在几何学中，相似性是一个非常基础且重要的概念。

通过扩展对三角形的定义与判定方法的了解，我们可以更好地理解和应用相似性的概念。

相似性在许多实际应用中发挥着关键的作用，包括图像处理、地理测量等领域。

因此，深入了解三角形相似的定义与判定方法对我们的学习和应用有着重要的意义。

通过以上讨论，我们希望读者能够对三角形相似的定义与判定方法有更清晰的认识，并且能够在实际问题中正确应用这些知识。

相似三角形的判定条件相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

判定两个三角形是否相似的条件包括三个方面：对应角相等、对应边成比例和三边对应比例相等。

1. 对应角相等两个三角形的对应角相等是判断其相似性最基本的条件之一。

如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。

具体地，设三角形ABC和三角形DEF，如果∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。

2. 对应边成比例相似三角形的另一个判定条件是对应边成比例。

在两个相似三角形中，对应边的比值要保持一致。

设三角形ABC和三角形DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。

3. 三边对应比例相等除了对应角相等和对应边成比例外，相似三角形还需要满足三边对应比例相等的条件。

具体地，设三角形ABC和三角形DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。

基于以上判定条件，我们可以利用相似三角形的特点进行问题求解和证明。

例如，当我们已知一些三角形的角度或边的比例时，可以利用相似三角形的判定条件来推导出其他相关的角度或边的比例关系，从而解决一些三角形的性质和应用问题。

需要注意的是，相似三角形的判定条件是充要条件，即满足此条件的三角形一定是相似的，但只满足部分条件并不能保证三角形之间的相似性。

因此，在应用相似三角形的定理时，我们需要确保已满足了所有的判定条件。

综上所述，相似三角形的判定条件是对应角相等、对应边成比例和三边对应比例相等。

通过判定这三个条件是否满足，我们可以准确地判断两个三角形是否相似，并可以利用相似三角形的性质进行问题求解和证明。

相似三角形及判定在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活中的许多领域有着广泛的应用。

首先，咱们来弄清楚啥是相似三角形。

简单来说，相似三角形就是形状相同但大小不一定相同的三角形。

这就好比是同一个模子印出来的不同大小的图形。

两个三角形相似，它们对应的角相等，对应的边成比例。

那怎么判定两个三角形相似呢？这就有几个关键的方法。

第一种方法是“两角对应相等，两三角形相似”。

比如说，有两个三角形，其中一个三角形的两个角分别和另一个三角形的两个角相等，那这两个三角形就是相似的。

这就好比咱们拿着两把同样角度的扇子，不管大小，形状就是相似的。

第二种判定方法是“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。

想象一下，有两个三角形，其中两条边的比例一样，而且它们之间的夹角也相等，那这两个三角形就相似啦。

接下来是“三边对应成比例，两三角形相似”。

这个比较好理解，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边的比例都一样，那它们就是相似的。

就好像是用不同长度的三根棍子按照相同的比例搭成的两个架子。

为了更好地理解相似三角形的判定，咱们来看几个实际的例子。

比如说在建筑设计中，设计师要根据小模型来设计出实际的大楼。

小模型中的三角形结构和实际大楼中的某些三角形结构就是相似的。

通过对小模型中三角形的测量和计算，再运用相似三角形的判定和性质，就能准确地设计出大楼的尺寸和形状。

在地图绘制中也能看到相似三角形的身影。

地图上的一个区域和实际的那个区域可以看作是相似的。

通过测量地图上的距离，再利用相似三角形的知识，就能算出实际的距离。

相似三角形的判定在数学考试中也是经常出现的考点。

很多同学在做这类题的时候，可能会因为概念不清楚或者判定方法没掌握好而出错。

所以，一定要把这些判定方法理解透彻，多做一些练习题来巩固。

咱们再深入思考一下，相似三角形的知识其实和我们的生活是紧密相连的。

比如在摄影中，通过调整镜头的角度和焦距，可以拍出不同大小但形状相似的画面。

年级：九年级 学科：数学 主备人：牛方元 审核：仲军 王宝宝濉溪县杨柳中心校数学教学案系列----------沪科版 第二十三章123.2.2 相似三角形的判定定理（2）学习目标1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法2、会用三角形的判定定理1解决一些简单的实际问题。

学习重点：三角形相似的判定定理1——“两角对应相等，两个三角形相似” 学习难点：会运用三角形相似的条件“两角对应相等”解决实际问题。

一.知识链接(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过判定三角形相似的方法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 二、探索新知认真阅读课本71--72页内容，解决以下问题1、 完成71页探究内容，同桌交流，并思考所得的两个三角形相似吗？2、 用语言归纳你所得的结论：如果一个三角形的 与另一个三角形的相等，那么这两个三角形 。

3、根据下列内容，完成你对这个结论的证明：已知：如图△ABC 和△A`B`C`中 ,∠A ＝∠A` ，∠B ＝∠B` 。

求证：△ABC ∽△A`B`C`证明:在△ABC 的边AB 、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD= ,AE= ,连结 . ∠A=∠A`, 这样,△ADE ≌ . 则∠B`= ∵∠B ＝∠B` ∴ ∠B = ∴DE ∥ ∴△ADE ∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC 三、效果检测：1、逐一解决自学指导中的问题。

2、下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 基础过关：3、 已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．4：如图：已知矩形ABCD 中，Q 是CD 上一点，PQ ⊥AQ 交BC 于P ， 求证：ADQ ∆∽QCP ∆四、分层提高例 已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点， DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长五、总结归纳1、谈谈本节课你有哪些收获．2、相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; （2）两角对应相等的两三角形相似。

初三数学---相似三角形和解直角三角形一、相似三角形1．相似三角形判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．即“两角对应相等，两三角形相似”．（3）判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”．（4）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．即“三边对应成比例，两三角形相似”．（5）若△1∽△2、△2∽△3、则△1∽△3．对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（6）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（7）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、锐角三角函数1．掌握锐角三角函数的定义，准确地进行计算．2．互余角的三角函数间的关系（1）sin（90°－）＝cos；（2）cos（90°－）＝sin；（3）．3．同角三角函数间的关系（1）；（2）．三、解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角之间的关系：，，．2．如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC的面积，得ab＝ch．从三角函数的角度考虑，有由，得a2＝pc；同理，得b2＝qc；由，得h2＝pq；由，得ab＝ch．在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”．3．如图1，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则（1）CD＝AD＝BD＝；（2）点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径．4．如图2，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．图1 图2 图3 5．直角三角形的面积：（1）如图2，S△ABC．（2）如图3，S△ABC．6B＝90°－A，，，由求角A，B＝90°－A，由求角A，B＝90°－A例题分析例1．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）你认为图中哪两个三角形相似，为什么?（2）当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．例2．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值．例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin B·sin C的值．例4．如图，D是AB上一点，且CD⊥AC于C，S△ACD∶S△CDB＝2∶3，，AC＋CD＝18，求tan A的值和AB的长．5．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝与x轴交于点E．求点E的坐标．6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝4，CD＝6．（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M，作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．图（a）图（b）答案例1、解：（1）△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．说明：此图形结构可以称为“一线三等角问题”．（2）作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝1.5．假设存在P点，使CE＝1.5，由△ABP∽△PCE，得，可得BP·PC＝AB·CE＝6．设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．∴x（7－x）＝6，即x2－7x＋6＝0．解得x1＝1，x2＝6．答：当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．例2、解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°．∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．∴∠CMN＋∠AMB＝90°．在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN．∴Rt△ABM∽Rt△MCN．（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，，即．．．当x＝2时，y取最大值，最大值为10．（3）∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM ∽△AMN，只需．由（1）知．∴BM＝MC．∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．例3、分析:为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B，C，向CA，BA的延长线作垂线段，即可顺利求解．解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．；．又∵CD＝CA＋AD＝10，，．同理，可求得．．说明：由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4、解：作DE∥AC交CB于E，则∠EDC＝∠ACD＝90°．∵，设CD＝4k（k＞0），则CE＝5k，由勾股定理得DE＝3k．∵△ACD和△CDB在AB边上的高相同，∴AD∶DB＝S△ACD∶S△CDB＝2∶3．．即．．∵AC＋CD＝18，∴5k＋4k＝18．解得k＝2．．．说明：本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例5、解：作AF⊥x轴于F．∴OF＝OA·cos60°＝1，AF＝OF·．∴点A坐标为（1，）．代入直线解析式，得．．．当y＝0即时，x＝4．∴点E坐标为（4，0）．例6、解：（1）作AH⊥CD于点H（如图（c））可得∠1＝∠2＝∠D．由AB＝BC＝CH＝4可得HD＝CD－CH＝2．．．∴BE＝2，即E为BC的中点．（2）图（d），作NP⊥CD于点P，则PN＝y．可得∠4＝∠5＝∠6，它们的正切值相等．，即．，．，，∵CD＝CF′＋PF′＋PD，，即．整理，得．若点F′与点D重合（见图（e）），则∠BEM＝∠EDC，．．．∴x的取值范围为。

三角形相似的判定方法三角形是初中数学中的重要内容，而三角形的相似性是其中的重要概念之一。

在数学学习中，我们经常会遇到需要判定三角形是否相似的问题，因此，了解三角形相似的判定方法是十分重要的。

接下来，我们将介绍三角形相似的判定方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下什么是相似三角形。

两个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等时，我们称这两个三角形是相似的。

在实际问题中，我们通常需要通过给定的条件来判定三角形是否相似。

下面，我们将介绍几种常见的判定方法。

1. AAA判定法。

AAA判定法是指如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

这是最为简单的相似三角形的判定方法之一。

例如，如果两个三角形的对应角分别为∠A、∠B、∠C和∠A'、∠B'、∠C'，且满足∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'，那么这两个三角形就是相似的。

2. AA判定法。

AA判定法是指如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

例如，如果两个三角形的对应角分别为∠A、∠B和∠A'、∠B'，且满足∠A=∠A'、∠B=∠B'，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法。

SSS判定法是指如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。

例如，如果两个三角形的对应边分别为AB/AB'、BC/BC'、AC/AC'，且满足AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，那么这两个三角形就是相似的。

4. 直角三角形的判定法。

对于直角三角形，我们还可以利用斜边和直角边的长度比来判定是否相似。

如果两个直角三角形的斜边和直角边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。

需要注意的是，判定三角形相似时，至少需要满足三个条件中的一个。

在实际问题中，我们可以根据已知条件来选择合适的判定方法，从而判定三角形是否相似。