GM(1,1)模型建立与预测方法

实验四 GM 模型(1，1)及新陈代谢模型的应用实验目的：熟练应用GM 模型(1，1)及新陈代谢模型进行人口预测。

实验内容：GM(1，1)模型的原理及其应用一、原理GM （1，1）主要特点是能够用较短的基础数据序列，通过系统过去和现在采集的数据，将无规律的数据通过累加找出规律，然后对系统未来的发展趋势做出预测。

在当前土地资料不完整的情况下，运用GM （1，1）模型，进行预测研究无疑十分适宜。

其基本思路是将无规律的原始数据，通过一定方法的处理，变成比较有规律的时间序列数据，再建立模型进行预测。

二、建立GM （1，1）模型的步骤如下：⑴按关系式()()()()∑==ki i x k x101求原始数列()0x 的1--AGO 序列()1x 。

即：1、建立原始序列，并记作：X （0）＝{X (0)(1)，X (0)(2)，……X (0)(n)} 2、对原始序列作一次累加生成，得到X （1）＝{X (1)(1)，X (1)(2)，……X (1)(n)} 其中：X (1)(t)＝X (0)(1)＋ X (0)(2)＋ ……＋ X (0)(t)⑵求数据矩阵()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-=1121::1322112121111111n x n x x x x x B 建立数据列()()()()()()()Tn n x x x Y 000,...,3,2=⑶用最小二算法求参数列∧a()n T TY B BB b a a 1-∧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其时间函数为：()()()()ab e a b x k x ak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∧1101⑷求导还原为：()()()()ak e a b x a k x-∧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+1100⑸计算()()t x 0与()()t x 0ˆ之差及相对误差： 记作：()()()()()()()()()()()%100,ˆ000⨯=-=t x t e t q t x t x t e o o最后还需检验模型的精度，如不满足精度要求还需对模型进行修正，才能进行预测。

小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。

目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。

特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。

灰色模型的优点（一） 不需要大量的样本。

（二） 样本不需要有规律性分布。

（三） 计算工作量小。

（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。

（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。

（六） 灰色预测精准度高。

二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。

灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。

同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。

因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。

GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。

灰色系统模型GM(1，1)进行水文灾变预测问题的讨论王正发(国家电力公司西北勘测设计研究院，西安，710001)关键词灰色系统模型灾变预测误差摘要在简述灰色系统预测基本原理的基础上，用灰色系统模型GM(1，1)进行水文灾变预测，并用实例进行检验，结果表明预测精度是令人怀疑的，近期不宜用灰色系统模型进行水文灾变预测。

1 水文系统的灰色特征灰色系统理论认为：部分信息已知，部分信息未知的系统叫―灰色系统‖。

水文系统就其本身而言具有灰色系统的一些基本特征，即水文系统中长期观测到的水文资料只是水文系统中极少的一部分，如有限年代的雨量、流量记录等；更有未知信息部分，如未来年代的雨量大小、流量丰枯，洪水、干旱的出现时刻以及水环境的前景变化等；因此，水文系统是一灰色系统，可用灰色系统理论对其进行分析、研究。

2 灰色系统预测的基本原理2．1 灰色预测及其分类以灰色系统理论的GM(1，1)模型为基础的预测，叫灰色预测。

它可以分为以下7类：(1)数列预测：对某一事物发展变化趋势的预测。

(2)灾变预测：即灾变出现时间的预测，灾变有多种，如洪水、干旱、涝等灾害。

(3)季节灾变预测：指对灾害出现在一年内的某个特定时区的预测。

(4)拓朴预测：也叫波形预测、整体预测，是用GM(1，1)模型来预测未来发展变化的整个波形。

(5)系统预测：指对系统的综合研究所进行的综合预测。

(6)包络GM(1，1)灰色区间预测：参考数列分布趋势构造一个上、下包络线为边界的灰色预测带，建立上、下2个包络模型。

(7)激励——阻尼预测：将激励、阻尼因数以量化形式反映在GM(1，1)模型中的预测，叫激励——阻尼预测。

本文主要讨论GM(1，1)模型用于水文灾变预测的问题。

2．2 GM(1，1)模型GM(1，1)模型是适合于预测用的1个变量的一阶灰微分方程模型，它是利用生成后的数列进行建模的，预测时再通过反生成以恢复事物的原貌。

假定给定时间数据序列｛x(0)(k)，k＝1，2，…，n｝，作相应的1阶累加序列｛x(1)(k)，k＝1，2，…，n｝，则序列｛x(1)(k)，k＝1，2，…，n｝的GM(1，1)模型的白化微分方程为：dx(1)(t)/dt + ax(1)(t)=u (1)经过拉普拉斯变换和逆变换，可得到:x(1)(k十1)＝(x(0)(1) –u/a)e (-k)+u/a (2)利用最小二乘法进行参数辨识，参数向量A的估计公式为：＝(B T B) -1B T Y N (3)其中：式(3)即为GM(1，1)模型的一般数学表达式。

1⑹Y n = (X (0)(2), X (0)(3)，…,X °)( n ))T⑺灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程灰色系统预测模型 GM(1,1) 1. GM(1,1)的一般形式设有变量X (0) = {X (0) (i) , i=l,2 , ..., n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对 X (0)进行一次累加(1 — AGO, Acumulated Generating Operator) 生成一次累加序列:X (1) = {X (1)(k), k = 1 , 2 ,…,n}其中kX ⑴(k)= X (0)(i)i =4X (1)(k) = (X (0)(1) — u )e 」(k ‘) a式中：k 为时间序列，可取年、季或月。

2. 辩识算法记参数序列为a , a = [a,u]T ,a 可用下式求解：T -1 T ”a = (B B) B Y n式中:B —数据阵；Y n —数据列1 (1) , (1)卜 2(X (1) +X (2))—1 (X (1) (2) +X (1) (3)) 2 —2(X (1)(n -1) +X (1)(n))=X ⑴(k —1)+ X (°)(k)对X (1)可建立下述白化形式的微分方程dX(1)dt十 aX (1) = u即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为(离散响应)：(1)(0)U _ak , U X ()(k+1) = (X ()(1) — )e +a a (1)⑵⑶3. 预测值的还原由于GM 模型得到的是一次累加量， k ・{n+1,n+2,…}寸刻的预测值， 必须将GM 模型 所得数据X ⑴(k+1)(或X ⑴(k))经过逆生成即累减生成(I — AGO)还原为X(0)(k+1)(或X (0)(k))，即：kX ⑴(k)八 X (0)(i)i 4 k J八 X (0)(i) + X (0)(k)i 4、r k /、X (0)(k) = X (1)(k)_ 7 X (0)(i)i 二X (0)(i)，所以 X (0)(k)= X ⑴(k) - X (1)(k -1)。

5.1.2 灰色系统GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型的建立由于统计数据信息不完整，故有部分日用水量数据和70%以上的水厂日供水量数据采用曲线拟合法进行回归分析不能得到令人满意的结果，所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测，建立GM(1,1)模型。

记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值。

Step1：令)0(x 为GM （1，1）建模序列，表示灰导数(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =其中)()()0(k x k x =，...3,2,1=kStep2：令)1(x 为)0(x 的AGO 序列，对)0(x 作累加生成，即得到新的序列)1(x ，(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())x x x x n =(1)(0)(1)(1)x x =(1)(0)1()()km x k x m ==∑Step3：令)1(z 为)1(x 的均值（MEAN ）序列，表示白化背景值(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+- （5.9）(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())z z z z n =则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为b k az k x =+)()()1()0( （5.10）式中：b a 、为待估计参数，分别称为发展灰度和内生控制灰度。

其中，∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---=----=n k nk n k n k n k n k n k n k n k n k n k k z k z n k x k z k z k z k z b k z k z n k x k z n k x k z a 222)1(2)1(22)0(22)1()1(2)1()1(222)1(2)1(2)0()1(22)0()1())(()()1()()()()()(;))(()()1()()()1()()( 经变换后得到)()()1()0(k az b k x -= （5.11）GM(1,1)模型的求解在（5.11）两端同时乘以ak e 得，(0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b +=即(1)()()ak ak t z k e be d C -=+⎰ ak b Ce a-=+ 将代入上式中，可得0(1)b C x a=- 于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值(1)0ˆ(1)[(1)]ak b b x k x e a a-+=-+ （5.12） 我们把上式（5.12）作为预测方程。

灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。

处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。

高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。

为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。

过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。

而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。

如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。

二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。

在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。

数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。

即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。

（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。

南昌市民用汽车保有量灰色GM(1,1)模型预测灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色模型适合于小样本情况的预测，当然对于大样本数据，灰色模型也可以做，并且数据个数的选择有很大的灵活性。

原始序列X (0)：表1 南昌市民用汽车保有量年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 南昌市民用汽车保有量(万辆)24.410926.730730.387836.380741.016143.7348.41615763.1第一步：构造累加生成序列X (1)； 第二步：计算系数值；通过灰色关联分析软件GM 进行灰色模型拟合求解，得到：α= -0.101624 ， μ=25.290111 ， 平均相对误差为4.685749%第三步：得出时间响应预测函数模型为：()()858996.248269896.2731101624.01-=+⋅k e k X第四步：进行灰色关联度检验。

真实值：{24.4109,26.7307,30.3878,36.3807,41.0161,43.7300,48.4100,61.0000,57.0000,63.1000} 预测值：{24.4109,29.2310,32.3578,35.8190,39.6504,43.8917,48.5867,53.7839,59.5371,65.9056}计算得到关联系数为： {1，0.906683，0.444273，0.416579，0.82377，0.357133，0.715694，0.843178，0.333333，0.770986} 于是灰色关联度：r=0.661163关联度r=0.661163满足分辨率ρ=0.5时的检验准则r>0.60，关联性检验通过。

GM模型建立与预测方法1.灰色系统理论简介：灰色系统理论是由中国科学家李文建于1982年提出的，它是一种描述不确定性系统的理论方法。

灰色系统理论将系统划分为有较多信息和有较少信息的两个部分，将有较多信息的部分称为白色信号，将有较少信息的部分称为黑色信号。

2.GM(1,1)模型的建立步骤：(1)原始数据序列的累加生成：将原始数据序列累加得到累加序列，令累加序列为$$X^{(1)}=\sum_{i=1}^n X(i),\quad i=1,2,...,n.$$(2)累加生成序列的一次累减生成：将累加序列的每个相邻数据相减得到累减序列，令累减序列为$$Z^{(1)}=\sum_{i=1}^{n-1} X(i),\quad i=1,2,...,n-1.$$(3)GM(1,1)微分方程的建立：由累减生成序列得到微分方程为$$\hat{X}(k+1)-a\hat{X}(k) = b,$$其中 $\hat{X}(k)$ 表示 $Z^{(1)}$ 的紧邻均值，即$$\hat{X}(k)=\frac{Z^{(1)}(k)+Z^{(1)}(k+1)}{2},\quadk=1,2,...,n-1.$$系数$a$是发展系数，系数$b$可以由初始数值求得。

(4)模型参数的计算：根据微分方程，可以得到模型参数的计算公式：$$a = \frac{\sum_{i=1}^{n-1}(X^{(1)}/X(i))}{n-1},\quad b = X(1)-\frac{a}{1-a}X^{(1)}.$$3.GM(1,1)模型的预测方法：(1)模型参数的计算：根据已有的数据序列，利用上述步骤计算得到模型的参数$a$和$b$。

(2)模型的状态方程和预测方程：状态方程可以表示为$$X^{(1)}(k+1)=aX^{(1)}(k)+b,$$预测方程可以表示为$$\hat{X}(k+1) = X(1)-\frac{b}{a}[1-\exp(-a)]\exp(a(k+1)).$$ (3)模型的残差检验：计算原始序列和预测序列的离差，如果离差不满足预先设定的阈值，说明预测的效果较好；否则需要调整模型参数重新预测。

【数学建模】day14-建⽴GM（1,1）预测评估模型应⽤学习建⽴GM(1,1)灰⾊预测评估模型，解决实际问题：SARS疫情对某些经济指标的影响问题⼀、问题的提出 2003 年的 SARS 疫情对中国部分⾏业的经济发展产⽣了⼀定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关⾏业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。

直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等⾏业。

很多⽅⾯难以进⾏定量的评估，现仅就 SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进⾏定量的评估分析。

究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多⼤，已知某市从 1997 年 1 ⽉到 2003 年 12 ⽉的商品零售额、接待旅游⼈数和综合服务收⼊的统计数据如下⾯三表所⽰。

试根据这些历史数据建⽴预测评估模型，评估 2003 年 SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。

⼆、模型的分析与假设模型分析： 根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律。

这样，对于每⼀个经济指标，考虑从两部分着⼿建⽴预测评估模型：1. 利⽤灰⾊理论建⽴GM(1,1)模型，根据1997-2002年的平均值序列，预测2003年的平均值。

2. 通过历史数据计算每⼀个⽉的指标值与全年总值之间的关系，并将此关系拓展到2003年，进⽽预测出2003年每⼀个⽉的指标值。

进⽽与真实数据值作⽐较，从⽽得出结论。

模型假设：1. 假设所有的统计数据真实可靠。

2. 假设该市SARS疫情流⾏期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其他随机因素的影响。

三、建⽴灰⾊预测模型GM(1,1) 由已知数据，对于1997-2002年的某项指标记为A= (a ij)6*12,计算每年的平均值作为初始数列。

记为： 并要求级⽐。

对x(0)做⼀次累加得1-AGO序列： 式中： 取x(1)的加权均值序列： 式中，α是确定参数。

GM(1,1)预测模型的应用灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1)数列预测。

这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。

(2)灾变预测。

这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。

(3)季节灾变预测。

若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。

(4)拓扑预测。

这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。

例1（数列预测）：设原始序列)679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X 试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。

解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得)558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。

由)1()()()1()0(-=k x k x k ρ得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。

当k>3时准光滑条件满足。

第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。

由)(1)1()()()1()1()1(k k x k x k ρσ+=-=得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ当k>3时，5.0],5.1,1[)k ()1(<=∈ρσ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。

第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得)718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2(,1718.141184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()1()1()1(x x x x Y z z z z B 第五步：对参数列T b a ],[ˆ=α进行最小二乘估计。

基于GM(1,1)模型的亚马逊平台下B电商公司销量预测随着互联网的快速发展，电子商务行业也日益繁荣，其中亚马逊作为全球最大的在线零售平台之一，为各类产品的销售提供了一个便捷的渠道。

在这个大平台上，许多B2B电商公司也逐渐崛起，他们通过在亚马逊上销售商品，实现了快速增长和盈利。

对于这些B2B电商公司来说，如何准确预测产品的销量是至关重要的，因为它关系到他们的库存管理、市场定位和生产计划等方面。

本文将以某B2B电商公司在亚马逊平台上销售的产品为例，基于GM(1,1)模型对其销量进行预测，并探讨该模型对销量预测的应用价值。

一、GM(1,1)模型简介GM(1,1)模型是一种灰色系统建模方法，它是在灰色系统理论研究的基础上发展起来的，主要用于对中短期趋势的预测。

该模型以少量数据为基础，通过数学模型对数据进行分析、建模和预测，适用于中小样本、无规律、无法精确描述的系统。

GM(1,1)模型主要包括建模、求解微分方程、模型检验和预测等步骤，通过对原始数据的灰色转换和累加得到灰微分方程，然后对灰微分方程进行数值求解，最终得出预测结果。

二、销量预测实施步骤1. 数据采集需要收集某B2B电商公司在亚马逊平台上某产品的历史销量数据，包括销售时间序列和销售数量。

这些数据既可以从亚马逊平台的销售报表中获取，也可以通过公司内部的销售数据进行提取。

数据的准确性和完整性直接关系到预测结果的准确性，因此需要尽可能多地收集销售数据。

2. 数据预处理在收集到销售数据后，需要进行数据清洗和预处理。

包括对数据的去噪处理、数据平滑处理和数据规范化处理等，以确保数据的准确性和稳定性。

还需要对数据进行可视化分析，了解销售趋势和规律，为后续的建模和预测提供依据。

3. GM(1,1)模型建立在数据预处理完成后，即可开始建立GM(1,1)模型。

通过对历史销量数据进行灰色转换和累加，得到灰微分方程，然后应用数值方法对灰微分方程进行求解，从而得到模型参数和预测结果。

GM(1,1)灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。

灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。

同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型，因此，灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

1．GM(1,1)模型预测方法已知参考数据列()(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x x n =⋅⋅⋅,1次累加生成序列(1AGO)- ()()(1)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()(1),(1)(2),,(1)()x x x x n x x x x x n =⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+其中：(1)(0)1()(),1,2,,ki x k x i k n ===⋅⋅⋅∑。

(1)x 的均值生成序列 ()(1)(1)(1)(1)(2),(3),,()z z z z n =⋅⋅⋅其中：(1)(1)(1)()0.5()0.5(1),2,3,,z k x k x k k n =+-=⋅⋅⋅。

建立灰微分方程(0)(1)()(),2,3,,,x k az k b k n +==⋅⋅⋅相应的白化微分方程为(1)(1)()dx ax t b dt+= 记T [,]u a b =，T (0)(0)(0)(2),(3),,()Y x x x n ⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z z B z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则由最小二乘法，求得使T ()()()J u Y Bu Y Bu =--达到最小值的u 的估计值为()T1T T ˆˆˆ,u a b B B B Y -⎡⎤==⎣⎦于是求解其白化微分方程得ˆ(1)(0)ˆˆ(1)(1),0,1,,1,ˆˆak b b x k x e k n a a -⎛⎫+=-+=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2. GM(1,1)模型预测步骤（1）数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理。

灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。

J 是关于a , b的二元函数。

由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。

7.3 灰色预测模型7.3.1 GM （1,1） 模型符号含义为G M （1， 1）Grey Model 1阶方程 1个变量1．GM(1,1)模型令为GM(1,1)建模序列，，为的一次累加序列，，,令为的紧邻均值（MEAN ）生成序列=0.5+0.5则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为(7.3.2)式中称为发展系数，为灰色作用量。

设为待估参数向量，即，则灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估计参数列满足= 其中=，=称(7.3.3)为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。

如上所述，则有1） 白化方程的解也称时间响应函数为2） GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为(0)X(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())X x x x n =(1)X (0)X (1)(1)(1)(1)((1),(2),...,())X x x x n =(1)(0)1()()ki x k x i ==∑1,2,...,k n =(1)Z(1)X(1)(1)(1)(1)((2),(3),...,())Z z z z n =)()1(k z )()1(k x )1()1(-k x b k az k x =+)()()1()0(a b ˆαˆ(,)Ta b α=∧αn TT Y B B B 1)(-B (1)(1)(1)(2)1(3)1......()1z z z n ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n Y (0)(0)(0)(2)(3)...()x x x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)(1)dx ax b dt +=b k az k x =+)()()1()0((1)(1)dx ax bdt +=(1)(1)ˆ()((0))at b bxt x e a a -=-+b k az k x =+)()()1()0([]+， 3） 取，则 []+，4） 还原值上式即为预测方程。

基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测研究与应用1. 引言1.1 背景介绍随着经济全球化的不断深化和物流行业的快速发展，物流货运量的预测成为一个重要的课题。

准确预测物流货运量可以有效指导物流企业的运营和管理决策，提高运输效率，降低运输成本，提升竞争力。

由于物流环境的复杂性和不确定性，传统的预测方法往往存在着精度低、稳定性差等问题，难以满足实际需求。

在这样的背景下，基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测方法备受关注。

该模型结合了马尔科夫链和GM(1,1)模型的优势，能够较好地解决时间序列数据中的非线性、非平稳性等问题，具有较高的预测精度和稳定性。

通过对物流货运量的影响因素进行分析，并运用马尔科夫GM(1,1)模型进行预测，可以帮助物流企业更准确地制定运输计划、调配资源，提高运输效率，实现可持续发展。

开展基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测研究与应用具有重要的理论和实践意义。

1.2 研究意义物流货运量预测在现代物流管理中具有重要意义，可以帮助企业合理规划物流运输资源，提高运输效率和降低运输成本。

随着物流业务的不断发展和物流运输环境的日益复杂化，如何精准地预测物流货运量成为了亟待解决的问题。

基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测研究有着重要的实践意义。

该模型能够较为准确地预测未来一段时间内的货运量，对于企业的物流运营和管理具有重要的参考价值。

通过该模型预测，企业可以更好地安排运输计划、提前调配资源、减少库存压力，从而有效应对市场需求变化、提升竞争力。

本研究将探讨基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测方法，通过对影响物流货运量的关键因素进行分析，结合实证分析与案例研究，探讨模型的优缺点，从而为实际物流管理提供决策支持。

通过本研究，不仅可以提高物流货运量预测的准确性及精度，还可以提升企业整体物流运营水平，实现运输效率的最大化。

1.3 研究方法研究方法是本研究的关键步骤，它将指导我们如何进行物流货运量的预测研究。

目录摘要 (1)关键词 (1)1.引言 (1)1.1国内旅游人数预测的意义： (1)1.2国内旅游的相关规定： (1)1.3国内旅游人数现状： (2)2.国内旅游人数预测 (3)2.1．灰色预测模型GM(1,1)的基本原理 (3)2.2基于GM(1,1)模型的国内旅游人数预测 (4)2.3基于GM(1,1)模型的国内城镇居民旅游人数预测 (7)3.国内城镇居民季度旅游人数的预测 (9)3.1移动平均趋势剔除法 (10)3.2 GM(1，1)趋势剔除法 (13)3.3模型比较 (17)4. 总结 (18)参考文献 (18)Abstract (19)Key Words (19)中国国内旅游人数基于GM(1,1)的预测数学与计算科学学院数学与应用数学专业吴丹学号：2002144031【摘要】旅游人数的科学预测为各个相关旅游部门合理规划，制定各项工作有着重大意义。

本文在介绍国内旅游人数现状的基础上，通过建立GM(1,1)模型，分别对国内旅游人数，国内城镇居民旅游人数进行了预测；以及运用移动平均趋势剔除法和GM(1,1)趋势剔除法对国内城镇居民季度旅游人数进行预测。

经检验，GM(1,1)模型的预测精度更高，预测结果更为接近真实值，可以为实际的预测工作提供参考。

【关键词】国内旅游人数；GM(1,1) 模型；移动平均；预测1.引言1.1国内旅游人数预测的意义旅游是整个经济发展到一定阶段的产物，随着经济的发展，人们可支配收入的增多，旅游业开始兴起，旅游市场呈迅速扩张态势。

作为朝阳产业，旅游业对我国经济的发展产生日益明显的推动作用。

在旅游业的经营过程中，能对旅游人数进行准确预测更是十分的重要。

从宏观产业经济发展的角度讲，国内旅游人数预测为国家旅游经济主管部门制定未来旅游发展的总体规划提供了依据参考。

从微观角度看，旅游企业需根据对国内旅游人数的预测进行合理的支配有限的资源以及最大限度降低风险和获得最大收益。

同样为企业制定战略计划和日常经营管理提供依据。