投影与三视图知识点总结

初中数学知识归纳三视的法与投影关系数学中，三视图是指通过不同的视角观察一个物体所得到的三幅图像，分别展示了物体的正视图、侧视图和俯视图。

这种绘制方法可以帮助我们更好地理解物体的形状和结构。

在三视图的基础上，还有一个重要的概念，那就是投影关系。

在本文中，我们将对初中数学中的三视图法与投影关系进行归纳和总结。

一、三视图法的基本原理三视图法是通过使用直角投影的原理将一个物体从不同方向投影到不同的平面上，再将这些投影图形展示出来，从而形成一个全面的物体图形信息。

具体来说，三视图法包括以下几个基本原理：1. 正视图：以物体正面为观察面，将物体投影在水平面上得到的视图称为正视图。

正视图一般用物体的封闭轮廓线表示，如长方体的正视图是一个矩形。

2. 侧视图：以物体左侧或右侧为观察面，将物体投影在垂直平面上得到的视图称为侧视图。

侧视图能够展示物体的高度和深度，如长方体的侧视图是一个矩形。

3. 俯视图：以物体顶部为观察面，将物体投影在水平平面上得到的视图称为俯视图。

俯视图能够展示物体的长宽比例关系，如长方体的俯视图是一个矩形。

通过正视图、侧视图和俯视图的综合运用，我们可以绘制出一个物体的全貌，并且能够对物体的形状、尺寸和比例关系进行准确描述。

二、三视图法的实际应用三视图法在日常生活中有着广泛的应用，尤其是在工程设计、建筑设计和制造过程中起到了重要的作用。

下面通过一些例子来说明三视图法的实际应用。

1. 建筑设计：在建筑设计中，三视图法可以帮助建筑师将设计图纸清楚地呈现给施工方。

以一栋房子为例，正视图展示建筑的正面轮廓、门窗的位置等信息，侧视图展示建筑的高度和深度，俯视图展示建筑的布局和屋顶形状。

2. 机械制造：在机械制造中，三视图法可以帮助工程师将设计的零件准确传达给加工人员。

通过正视图、侧视图和俯视图，可以清晰地展示零件的各个面以及它们之间的相对位置关系，从而提高生产效率和准确性。

3. 衣物设计：在衣物设计中，三视图法可以帮助设计师将设计的服装展示给制作厂家。

三视与正交投影的相关知识在学习技术绘图和工程制图时，了解三视图和正交投影是非常重要的。

它们是描述三维物体的二维投影，以便更好地理解和绘制工程图纸。

本文将介绍三视图和正交投影的相关知识。

一、三视图三视图是将三维物体投影到三个平面上得到的正交投影。

这三个平面分别是主平面、左侧平面和顶视平面。

通过观察三个平面上的投影，可以充分了解物体的形状和尺寸。

1. 主平面主平面是一块垂直于观察者眼睛方向，面对观察者的平面。

在主平面上，我们可以看到物体的前、上、后、下四个面的轮廓。

这些轮廓线可以绘制在主平面上，形成主视图。

2. 左侧平面左侧平面是一个与主平面垂直、与观察者的左侧呈90度的平面。

在左侧平面上，我们可以看到物体的左、上、右、下四个面的轮廓。

这些轮廓线可以绘制在左侧平面上，形成左视图。

3. 顶视平面顶视平面与主平面和左侧平面相似，是一个垂直于观察者眼睛方向，面对观察者的平面。

在顶视平面上，我们可以看到物体的上、前、下、后四个面的轮廓。

这些轮廓线可以绘制在顶视平面上，形成顶视图。

通过绘制三个平面上的轮廓线，我们可以形成三个视图，即主视图、左视图和顶视图。

这三个视图可以提供完整的物体外观信息，有助于设计和制造。

二、正交投影正交投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法。

在正交投影中，投影线垂直于投影平面，保持物体的真实形状和尺寸。

通过正交投影，我们可以得到正面、侧面和顶面的二维视图，用来展示物体的各个面。

正交投影包括正视投影、侧视投影和顶视投影。

1. 正视投影正视投影是将物体的正面投影到垂直于观察者的平面上。

在正视投影中，投影线垂直于观察者的视线方向，因此保持了物体的真实形状和尺寸。

正视投影可以显示物体的正面轮廓。

2. 侧视投影侧视投影是将物体的侧面投影到垂直于观察者的平面上。

在侧视投影中，投影线垂直于观察者的视线方向，可以显示物体的侧面轮廓。

3. 顶视投影顶视投影是将物体的顶面投影到垂直于观察者的平面上。

在顶视投影中，投影线垂直于观察者的视线方向，可以显示物体的顶面轮廓。

2-1 投影法与三视图物体在光线照射下，在地面或墙壁上产生影子。

人们对这种自然现象加以抽象研究，总结其中规律，创造了投影法。

所谓投影法，就是投射线通过物体，向选定的平面（投影面）投影，并在该平面上得到图形（投影图）的方法。

投影法分为两大类：中心投影法和平行投影法。

一、中心投影法投射线交于一点（投射中心）的投影法称为中心投影法。

如图2-1所示：采用中心投影法绘制的图样，立体感较强，在建筑效果图中经常使用。

但是，在用中心投影法绘制的图样中，若改变物体和投射中心的距离，则物体投影图的大小会发生改变，即中心投影不能反映物体的真实形状和大小，因此在机械图样中常常采用另一种投影法。

图2-1 中心投影法二、平行投影法投射线相互平行的投影法称为平行投影法。

按投射线与投影面倾斜或垂直，平行投影法又分为斜投影法和正投影法两种。

图2-2 斜投影法图2-3 正投影法1、斜投影法：投射线与投影面倾斜的平行投影法。

由此得到的图形称为斜投影图（简称斜投影）。

如图2-2所示。

2、正投影法：投射线与投影面垂直的平行投影法。

由此得到的图形称为正投影图（简称正投影）。

如图2-3所示。

正投影图度量性好，作图简单，机械图样常常采用正投影法绘制。

三、正投影的基本特性(单投影面)1、真实性：当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）。

如图2-4(a)。

2、积聚性：当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，其投影积聚成直线（或点）。

如图2-4(b)。

3、类似性（亦称收缩性）：当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影收缩成原来形状的类似形。

如图2-4(c)。

图2-4 正投影的特性四、三视图的形成及投影规律1、三投影面体系一般情况下，物体的一个投影图（二维）不能准确地反映物体（三维）的完整形状，如图2-5所示。

要想准确表达物体的结构形状，就必须增加投影图。

工程上常采用在三投影面体系中得到的三面投影图来表达物体的形状，如图2-6所示。

高考三视图知识点高考是每个学生都将面临的一次重要考试。

其中，物理学科对于很多学生来说可能是一个难点。

而在物理学中，三视图是一个重要的知识点，需要学生掌握和理解。

本文将重点介绍高考物理中的三视图知识点，从不同角度深入讨论，帮助学生更好地理解和应对考试。

一、什么是三视图？三视图是指一个物体在不同方向上的投影图。

通常来说，我们可以通过正视图、左视图和俯视图来理解一个物体的形状和结构。

正视图是指从物体正前方看的投影图，左视图是指从物体左侧看的投影图，俯视图是指从物体上方看的投影图。

二、三视图的应用三视图在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。

在建筑设计中，工程师需要通过三视图来理解和描述建筑物的形状和结构，从而进行合理的设计和施工。

在机械加工中，工人需要通过三视图来理解和操作机械设备，保证产品的准确加工。

在电子电路设计中，工程师需要通过三视图来理解和布局电路板的组成部分，确保电子设备的正常工作。

三、如何绘制三视图？绘制三视图需要一定的技巧和方法。

首先，我们需要确定物体的主视图，即选择一个合适的方向作为正面。

然后，根据物体的形状和尺寸，我们可以绘制正视图和左视图。

在绘制正视图时，需要注意保持比例和准确度，确保投影图能够准确地反映物体的形状和结构。

在绘制左视图时，需要将物体按照一定角度倾斜，以获得合适的投影图。

最后，通过观察和分析正视图和左视图，我们可以绘制出俯视图，从不同角度全面地了解物体。

四、三视图与三维几何的关系三视图是三维几何的重要组成部分，可以通过观察三视图来判断物体的形状和结构。

在三维几何中，我们通过描述物体的点、线和面来构建物体的形态。

而三视图则通过将这些点、线和面在不同方向上投影到二维平面上来描述物体。

因此，三视图可以看作是三维几何与二维平面之间的桥梁，帮助我们理解和描述三维物体。

五、常见的三视图题型在高考物理中，三视图经常出现在选择题和计算题中。

例如，考生可能会遇到给定一个物体的正视图和俯视图，需要根据给定信息绘制出左视图的题目。

教学过程一、布置绘图任务1．班级各小组下发绘图任务书。

2．各小组拆解齿轮式机油泵，小组成员查阅相关资料认识齿轮泵各部件并了解其工作原理。

各小组穿插、讨论解决存在问题二、新课引入如果要通过图形反映机油泵从动轴、钢球、销、轴衬的形状结构，图形应该怎样绘制，需要掌握什么知识？提问与思考：请同学们看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的?同学观看图片这种现象称为是投影投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.三、新课讲解第一节投影的基本知识一、投影的概念投影——空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。

投影法——在投影面上作出物体投影的方法称为投影法二、投影法的种类1．中心投影法：特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。

同学观看图片：结论：从图中可以看出，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线．中心投影后的图形与原图形相比，虽然改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时，经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．2．平行投影法1）正投影法特性：投影大小与物体和投影面之间距离无关2）斜投影法：投影线倾斜于投影面。

提问：观察正投影法、斜投影法与中心投影法得到的得到的投影与原物体比较有什么特点。

结论：正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种辅助图样。

小结：中心投影：投影线汇交于一点平行投影法：（1）斜投影法：投影线互相平行但与投影面倾斜（2）正投影法：投影线互相平行并且与投影面垂直(本节主要学习利用正投影绘制空间图形的三视图,并能根据所给的三视图了解该空间图形的基本特征)三、正投影法的主要特性1．点的投影：点的投影仍是一点。

第29章投影与三视图一、目标与要求1.会从投影的角度理解视图的概念2.会画简单几何体的三视图3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系4.明确正投影与三视图的关系5.经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图6.培养动手实践能力，发展空间想象能力。

二、知识框架四、重点、难点重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图，能够做出简单立体图形的三视图的画法。

难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图，三视图中三个位置关系的理解。

四、中考所占分数及题型分布本章在中考中会出1道选择或者填空，也有可能不出。

在简答题中会在几何题中穿插应用，本章约占3-5分。

第29章 投影与三视图29.1 投影1.投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

2.平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影是平行投影.3.中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影。

4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

例.把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置：(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？通过观察、测量可知：(1)当线段AB 平行于投影面P 时，它的正投影是线段11A B ，线段与它的投影的大小关系为11AB A B =；(2)当线段AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段22A B ，线段与它的投影的大小关系为22AB A B =；(3)当线段AB 垂直于投影面P 时，它的正投影是一个点3A .例.把一正方形硬纸板P （记正方形ABCD ）放在三个不同位置：（1）纸板平行于投影面；（2）纸板倾斜于投影面；（3）纸板垂直于投影面。

一、知识框架二、重点、难点重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图，能够做出简单立体图形的三视图的画法。

难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图，三视图中三个位置关系的理解。

三、知识点、概念总结第一节投影投影：从初中数学的角度来说，一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影。

中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。

平行投影与中心投影的区别与联系：正投影：投影线垂直于投影面产生的投影。

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。

斜投影：投影线不平行于投影面产生的投影。

第二节 三视图三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。

一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状。

从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状。

从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。

还有其它三个视图不是很常用。

三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

1.投影规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等 即：主视图和俯视图的长要相等主视图和左视图的高要相等左视图和俯视图的宽要相等。

在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。

如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。

可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。

一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

投影与三视图一、视角与盲区如图,小明眼睛的位置称为视点由视点出发的线称为视线,两条视线的夹角称为视角. 小明看不到的地方称为盲区。

哪个区域是盲区 小丽坐在哪里,小明就可以看到明她二、投影：1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

（1）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影。

（2）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。

（3）两者区别与联系：区 别联系 光线物体与投影面平行时的投影 平行投影 平行的投射线 全等都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。

(即都是投影)中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)例1. 有两根木棒AB 、CD 在同一平面上竖着，其中AB 这根木棒在太阳光下的影子BE 如下图所示，则CD 这根木棒的影子DF 应如何画 分析：利用平行投影的相关性质。

解析：画法： （1）连接AE （2）过点C 作小明 小丽CF三视图-画法：根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。

画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。

画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。

对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。

对称中心线和轴线用细点划线画出。

例2：如下图所示的组合体是由圆柱体和长方体两个基本几何体组成，可分别作出三视图再依情况组合。

三视图例3. 如图所示四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底是边长为2cm的正方形，下底是边长为3cm 的正方形，上、下底面间的距离为2cm ，作出它的三视图。

解析：依题意，可以画出它的三视图如下：主视图左视图俯视图2 cm 3cm 2cm 3cm 2 cm2 cm2 cm2 cm3cm 3cm。

知识点01：几何体的三视图【高频考点精讲】1、三视图（1）从正面得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

（从前往后看）（2）从水平面得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

（从上往下看）（3）从侧面得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。

（从左往右看）2、三视图的画法（1）主视图与俯视图的长相等；（2）主视图与左视图的高相等；（3）俯视图与左视图的高相等。

3、正方体、长方体、圆柱、圆锥的三视图（正视、侧视、俯视）知识点02：投影与视角【高频考点精讲】1、平行投影（1）用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，例如物体在太阳光的照射下形成的影子。

2、中心投影（1）由同一点发出光线形成的投影叫做中心投影，例如物体在灯光的照射下形成的影子。

（2）中心投影光线特点：物体与投影面平行时，物体与投影是位似变换的关系。

3、视点、视角和盲区（1）观察物体时，从物体两边（上下或左右）引出的光线与人眼的夹角就是视角。

（3）盲区：视线到达不了的区域。

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.58一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同2．（2分）（2023•枣庄）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•辽宁）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（）A．B．C．D．5．（2分）（2023•泸州）一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（）A．圆柱B．圆锥C．长方体D．三棱柱6．（2分）（2023•齐齐哈尔）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2分）（2023•襄阳）先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（）A．B．C．D．8．（2分）（2023•湖北）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥9．（2分）（2023•海南）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．10．（2分）（2023•广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021•云南）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为．12．（2分）（2023•越秀区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为．13．（2分）（2023•新吴区二模）某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和4，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为．14．（2分）（2023•齐河县模拟）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是．15．（2分）（2023•泰安模拟）如图是某圆锥的主视图和左视图，则该圆锥的表面积是．16．（2分）（2023•南海区校级模拟）如图是某几何体的三视图，根据图所给各边长度算出该几何体的体积是cm3．（结果保留π）17．（2分）（2022•青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是．18．（2分）（2023•祁阳县一模）已知圆锥的主视图是底边长为12cm，底边上的高为8cm的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）19．（2分）（2023•巧家县一模）如图，这是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的等腰三角形．若主视图的腰长5cm，俯视图是直径为6cm的圆，则这个几何体的高为cm．20．（2分）（2023•通辽）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为cm2．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•未央区校级三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？22．（6分）（2023•萧县一模）如图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．（1）这个几何体的名称为；（2）求该几何体的左视图中a的值．23．（8分）（2023•东洲区模拟）（1）计算：．（2）如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．①这个几何体的名称是；②根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留π）．24．（8分）（2023•晋州市模拟）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表所示．菜碟的个数菜碟的高度（单位：cm）1 32 3+1.83 3+3.64 3+5.4……（1）把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；（2）如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少．25．（8分）（2023•蒲城县二模）夏天到了，姗姗的妈妈买了一个防蚊罩以保护饭菜（如图1），将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．姗姗测得罩子的直径OA为40厘米，罩子内壁的最大高度为20厘米，她以罩子左边缘点O为原点、OA所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）某天，姗姗将一盘菜沿水平线OA（圆形盘子直径与OA重合）放置在罩子下，盘子左侧边缘离O点的水平距离为4厘米，她想在盘子右侧紧挨盘子沿水平线OA再放置高度为6厘米的一碗稀饭（碗的俯视图也是圆形，其直径与OA重合），已知盘子和碗的直径分别为20厘米、12厘米，要使罩子紧贴水平桌面，请通过计算说明：她这样放，罩子能否接触到碗？26．（8分）（2023•盐都区三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成了两个实验小组，在某天下午3时，同时进行了两项实验：实验一：测量高为1.5m竹竿的影长．通过测量发现影长为1m．实验二：探究长方体的影子．如图1是该长方体在当天下午3时阳光下投影，图2是图1中长方体的俯视图．（1）该长方体的高AB＝39cm，宽BE＝22cm．①此时AB的影长BC为cm；②此时测得CE＝40cm，求tan∠BCD；（2）某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．27．（8分）（2023•婺城区一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体．（1）已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．（2）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭个小立方体．28．（8分）（2023•潍坊三模）【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．。

投影与视图—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践活动中培养实际操作能力.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影. 照射光线称为投影线，投影所在的平面称为投影面.2.由于太阳的光线可看作是平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.3. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.1.线段的正投影如图所示.①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.要点诠释：一般地，线段正投影的规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.2.平面图形的正投影如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.要点诠释：一般地，平面图形正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.3.几何体的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.要点诠释：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体在一个平面上的正投影是一个平面图形.要点四、三视图1.三视图的概念（1）视图一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.（2）正面、水平面和侧面用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.要点诠释：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.3.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.要点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.要点五、棱柱1.概念：如图,这样的几何体叫做棱柱，它的上、下两个面叫做底面（△ABC、△A1B1C1互相平行且是全等的三角形），其余各面叫做侧面，相邻侧面的交线叫做侧棱.2.分类：(1)根据棱柱底面多边形的边数，棱柱可分为是三棱柱、四棱柱、五棱柱、……(2)按侧棱与底面是否垂直可分为：①侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，如图(1).②侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，如图(2).(3)底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.【典型例题】类型一、投影的作图问题1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本做法．但若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之间．特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏掉上图这一情形．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．类型二、投影的应用2．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案与解析】解：（1）AB=ACtan30°=12×=4（米）．答：树高约为4米．（2）如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=4×=2（米）．NC1=NB1tan60°=2×=6（米）．AC1=AN+NC1=2+6．当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）AC2=2AB2=；【总结升华】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，是解题的关键．类型三、由三视图描述物体的形状3．如图所示，这是个由小立方体搭成的几何体从上面看的视角，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出从正面看和左面看的视图．【思路点拨】由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可画出图形．【解析】解：如图所示：．【总结升华】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．类型四、三视图的有关计算4．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【答案与解析】长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝(cm2)，其喷漆的面积为5900+＝7910(cm2)．【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成．其表面积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成．(圆柱体的上表面补在长方体的上表面被圆柱体遮挡的部分).该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的表面积就是两几何体的表面积之和．举一反三：【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图所示)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(单位：mm)．【答案】由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(1)所示)．密封罐的高为50mm，底面正六边形的对角线为100mm，边长为50 mm，如图(2)所示．由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为S＝6×50×50+2×6×12×50×50×sin60°＝6×50°×312⎛+⎝⎭≈27990(mm2)．。

投影与视图知识梳理【知识网络】【考点梳理】一、投影1．投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．（1）平行投影：平行光线照射形成的投影（如太阳光线）。

当平行光线垂直投影面时叫正投影。

投影三视图都是正投影。

（2）中心投影：一点出发的光线形成的投影（如手电筒，路灯，台灯）3．正投影投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．要点诠释：正投影是平行投影的一种．二、物体的三视图1．物体的视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．画图时，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线。

三个图的位置展示：要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．（1）主视图：三视图（2）左视图：（3）俯视图：投影与视图专题练习类型一：平行投影1.有两根木棒AB、CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如图（1）所示，则CD这根木棒的影子DF应如何画?2.如图所示，某居民小区内A、B两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B 楼窗户朝南.B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由.（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）3.如图所示，在一天的某一时刻，李明同学站在旗杆附近某一位置，其头部的影子正好落在旗杆脚处，那么你能在图中画出此时的太阳光线及旗杆的影子吗？4.已知，如图所示，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下时投影长为6m.请你计算DE的长.类型二：中心投影1.如图所示，小明在广场上乘凉，图中线段AB表示站在广场上的小明，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯.（1）请你在图中画出小明在照明灯P照射下的影子.（2）如果灯杆高PO=12m，小明身高AB=1.6m，小明与灯杆的距离BO=13m，请求出小明影子的长度.2.确定图中路灯灯泡所在的位置。