一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点
F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin
31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【答案】2.5m.
【解析】
试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得
AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．
试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，
∴CF=tan·DF=，
又∵CB=4，
∴BF=4－，
∵AB=6，DE=1，BM= DF=，
∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，
在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，
tan==0．60，
解得=2．5，
答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．
考点：解直角三角形．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．
【解析】
试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出
∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．
试题解析：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．
∵KG2=KD•GE，即，
∴，
又∵∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，
又∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如图3所示，
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
∵sinE=sin∠ACH=
，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．
∵EF为切线，
∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，
∴FG=
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
3．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以
的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.
与交于点O,且关于对称
四边形是菱形.
（2）①连接,直线分别交于点,交于点
关于的对称图形为
在矩形中，为的中点，且O为AC的中点
为的中位线
同理可得：为的中点，
②过点P作交于点
由运动到所需的时间为3s
由①可得，
点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A
即：
由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.
在中，设
