高三数学第一轮复习单元讲座 第26讲 平面向量的数量积及应用教案 新人教版

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座26）—平面向量的数量积及应

用

一．课标要求：

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二．命题走向

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测07年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 三．要点精讲

1．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a 与a ，作＝，＝，则∠A ＯA ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；

说明：（1）当θ＝０时，与同向； （2）当θ＝π时，与反向； （3）当θ＝

2

π

时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

（2）数量积的概念

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）。规定00a ⋅=；

向量的投影：︱b ︱cos θ=||

a b

a ⋅∈R ，称为向量

b 在a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

（3）数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积。 （4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==。 ②乘法公式成立

()()2

2

2

2

a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2

2

2

2a b a a b b ±=±⋅+2

2

2a

a b b =±⋅+；

③平面向量数量积的运算律 交换律成立：a b b a ⋅=⋅；

对实数的结合律成立：()()

()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈；

分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±。

④向量的夹角：cos θ=cos ,a b a b a b

∙<>=

∙=

2

2

2221212121y x y x y y x x +⋅++。

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00

，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800

，

同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

C

（5）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +。 （6）垂直：如果a 与b 的夹角为900

则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔02121=+y y x x ，平面向

量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式

设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x +=

。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么

221221)()(||y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)。

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。 四．典例解析

题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否： （1）00a ⋅=；

（2）00a ⋅=；

（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；

（4）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；

（6）对任意向量a ，有2

2

a a =。

解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚a ⋅0为零向量，而a ⋅0为零。

例2．（1）（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一．．定．

成立的是（ ）

A ．)()(++=++

B ．⋅+⋅=⋅+)(

C ．m （+）=m +m

D ．)()(⋅⋅=⋅⋅

（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）

b 不与

c 垂直

④（3+2）（3－2）=9||2

－4||2

中，是真命题的有（ ） A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

解析：（1）答案：D ；因为⋅⋅=⋅⋅θcos ||||)(，而⋅⋅=⋅⋅θc o s ||||)(；

而方向与方向不一定同向。

（2）答案：D ①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2

－4||2

成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角

例3．（1）（06全国1文，1）已知向量a 、b 满足1||=a 、4||=b ，且2=⋅b a ，则与的夹角为（ ）

A ．

6π B ．4π C ．3π D ．2

π

（2）（06北京文，12）已知向量=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),且±≠，那么+与-的夹角的大小是 。