《生活中的数学》上帝的骰子-排列组合与概率

排列组合概率第一篇：排列组合概率1。

排列组合：可“区分”的叫做排列abc P33不可“区分”的叫做组合aaa C33用下列步骤来作一切的排列组合题：（1）先考虑是否要分情况考虑（2）先计算有限制或数目多的字母，再计算无限制，数目少的字母（3）在计算中永远先考虑组合：先分配，再如何排（先取再排）例子：8封相同的信，扔进4个不同的邮筒，要求每个邮筒至少有一封信，问有多少种扔法？第一步：需要分类考虑（5个情况）既然信是一样的，邮筒不一样，则只考虑4个不同邮筒会出现信的可能性。

第二步：计算数目多或者限制多的字母，由于信一样就不考虑信而考虑邮筒，从下面的几个情况几列式看出每次都从限制多的条件开始作。

先选择，再考虑排列。

5个情况如下：a.5 1 1 1：4个邮筒中取一个邮筒放5封信其余的3个各放一个的分法：C(4,1)=4b.4 2 1 1：同上，一个邮筒4封信，其余三个中间一个有两封，两个有一封：C(4,1)* C(3,1)=12c.3 3 1 1: C(4,2)=6d.3 2 2 1: C(4,1)* C(3,2)= 12e.2 2 2 2 :14＋12＋6＋12＋1＝35种放法[原创]如何解决排列后的组合问题(大家讨论哦)很多CDer问的排列组合的问题中最多的是关于排列后的组合问题，这种题目确实很头疼，且考场上时间紧迫，头脑紧张，更没有时间考虑这些问题，所以出错多在此处。

根据我的经验：如果排列后重新组合一般是两种排列的组合，这时可以看排列中和组合中的两组事务的性质，如果有一方是同质的或者是随机的，则不用重新组合；需要组合的情况只在两者都是异质或者非随机的时候。

例题1：从10个人中取出2个人住进2个屋子，有多少种住法？解答：C10,2,不用排列可以这样考虑，取出2个人是随机的，房子没有说有区别，两个随机，所以不用排列其实两个中有一个是随机的，就不用考虑排列了两个都是有顺序或者编号的才用考虑排列（这个答案可能不对）例题2：从10个人中取出2个人住进A、B，2个屋子，有多少种住法？解答：C10,2,不用排列这样考虑，从10个中取2个出来，是C10，2，这两个是同质的，没有区别，取哪个放在A中还是B中是没有区别的，所以不用排列。

有趣的概率问题
概率是数学中的一个分支，它研究的是随机事件发生的可能性。

在日常生活中，我们会遇到很多有趣的概率问题，下面就介绍一些常见的概率问题：
1、掷骰子问题：如果我们掷一个六面骰子，那么每个数字出现的概率是相等的，即1/6。

那么如果我们掷两个骰子，两个骰子点数之和为7的概率是多少呢？答案是1/6，因为掷两个骰子，总共有36种可能的结果，其中只有6种结果是点数之和为7的，所以概率为
6/36=1/6。

2、生日问题：如果一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少呢？答案是50.7%。

这个问题的解法比较复杂，需要用到排列组合的知识，有兴趣的读者可以自行搜索。

3、扑克牌问题：如果我们从一副扑克牌中随机抽取5张牌，那么这5张牌中有至少一张红桃的概率是多少呢？答案是52.5%。

这个问题的解法也比较复杂，需要用到加法原理和减法原理，有兴趣的读者可以自行搜索。

以上只是一些常见的概率问题，实际上概率问题的种类非常多，而且很多问题的解法都比较复杂，需要用到高等数学知识。

但是对于日常生活中的一些简单问题，我们可以通过简单的计算和推理来得到答案，这不仅可以锻炼我们的数学能力，还可以让我们更好地理解概率的应用。

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上帝掷骰子的科学解释
"上帝掷骰子"是一个著名的引用，通常被用来描述某种情况或事件的随机性或不可预测性。

然而，科学上并没有直接解释上帝掷骰子的概念，因为它是一种隐喻或象征性的说法，而不是实际描述现实世界中的事件。

在科学领域，我们通常使用概率和统计学的原理来描述和解释事件的随机性。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，而统计学则是通过数据分析和推断来研究随机事件的规律性和模式。

对于一些现实世界中的随机事件，如掷骰子、抛硬币或放射性衰变，我们可以使用概率模型来预测它们发生的可能性，并通过大量实验和数据来验证这些预测。

然而，即使我们可以预测事件的概率，我们也无法完全预测每一次具体的结果，因为这些事件受到许多复杂的因素和变量的影响。

因此，当我们说"上帝掷骰子"时，实际上是在强调某种事件的随机性和不可预测性，而不是提供科学上的解释。

这个说法帮助我们理解有些事情是无法完全掌控或预测的，而我们必须对不确定性保持谦逊和开放的态度。

科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。

隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。

或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。

然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。

直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。

棋盘上的数学问题在我们的日常生活中，数学无处不在。

而在棋盘上，数学也有着重要的应用。

本文将从数学的角度，探讨棋盘上的数学问题。

一、棋盘上的排列组合问题在8x8的棋盘上，有多少种不同的摆法可以放置8个皇后，使得它们互不攻击？这是一个经典的排列组合问题。

我们可以通过枚举法、递归法、回溯法等多种方法来解决这个问题。

其中，回溯法是最常用的方法。

通过不断地试错，我们可以找到所有的解。

二、棋盘上的概率问题在掷骰子游戏中，我们经常会遇到棋盘上的概率问题。

例如，如果我们掷两个骰子，那么点数和为7的概率是多少？我们可以通过列出所有可能的组合，来计算出点数和为7的组合数。

在这个问题中，点数和为7的组合数为6，而总的组合数为36。

因此，点数和为7的概率为6/36=1/6。

三、棋盘上的几何问题在棋盘上，我们还可以遇到一些几何问题。

例如，在8x8的棋盘上，如果我们将两个对角线上的方格涂黑，那么剩下的方格中，黑色方格和白色方格的数量分别是多少？我们可以通过计算棋盘上的黑色方格和白色方格的数量，来解决这个问题。

在这个问题中，黑色方格和白色方格的数量分别为30和34。

四、棋盘上的算术问题在棋盘上，我们还可以遇到一些算术问题。

例如，在8x8的棋盘上，如果我们将两个对角线上的方格涂黑，那么剩下的方格中，每行和每列的数字和分别是多少？我们可以通过计算每行和每列的数字和，来解决这个问题。

在这个问题中，每行和每列的数字和都是180。

总之，棋盘上的数学问题是多种多样的。

通过解决这些问题，我们可以提高自己的数学能力，同时也可以更好地理解数学在日常生活中的应用。

⽣活中有趣的概率问题作⽂ 在⽣活中，有很多有趣的现象和问题我们都可以⽤概率来解释，让我们拨开云雾，豁然开朗。

上个⽉，我去平顶⼭参加⼀个讲课活动，讲课的顺序是按抽签的顺序来定的。

由于路途较远，我赶到时，已有⼀多半的⽼师抽过签了，⼼想肯定吃亏了，千万别抽到1号呀，结果偏偏就是第⼀个上场，这就更让我坚信“先下⼿为强”的道理了。

可学过“概率”问题后，我才恍然⼤悟，抽签⽅式绝对是公平公正的，根本不存在谁先抽谁沾光的道理。

⽐如，10张奖券，2张有奖，8张⽆奖。

我们来进⾏计算；第⼀个⼈抽到有奖的概率是2/10即1/5。

我们可以把这个事件（第⼀个⼈抽到有奖的概率）表⽰为：P(A1)=1/5。

第⼆个⼈抽到有奖的概率就和第⼀个⼈有关了，可以分为两种情况：第⼀个⼈抽到奖和第⼀个⼈没抽到奖。

所以第⼆个⼈抽到有奖的概率是P(A2)=1/5·1/9+4/5·2/9=1/5。

同理，第三个⼈抽到奖的概率和前两个⼈有关。

如果前两个⼈都抽到奖了，第三个⼈就抽不到奖了；如果第⼀个⼈抽到奖，第⼆个⼈没抽到奖，第三个⼈有可能抽到奖；如果第⼀个⼈没抽到奖，第⼆个⼈抽到奖，第三个⼈有可能抽到奖；如果第⼀个⼈没抽到奖，第⼆个⼈没抽到奖，第三个⼈有可能抽到奖。

共有4种情况。

所以，第三个⼈抽到奖的概率是：0+1/5·8/9·1/8+4/5·2/9·1/8+4/5·7/9·2/8=1/5。

同理，再往下算，每个⼈抽到奖的概率都是1/5。

说明，抽奖不受先后顺序的影响，“先下⼿为强”对于抽奖、抽签来说是错误的，“抽签”是⼀种绝对公平公正的.⽅法。

我们再来⽤古典概率解释⼀下关于“⽣⽇问题”吧。

如果⼀年有365天，我们知道，需要366⼈才能保证⾄少有两个⼈同⼀天⽣⽇。

但现实⽣活中，⼀个47⼈的班级⼏乎就有两个⼈同⼀天⽣⽇，这是为什么呢？现在，我们来算⼀算“47⼈⾄少有两⼈⽣⽇相同”这个事件发⽣的概率。

费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用费马帕斯卡排列组合原理，在数学领域被广泛应用，并且在日常生活中也有着重要的作用。

排列组合原理指的是对一组元素进行排列或组合的方法和原则，它在解决各种实际问题中具有广泛的应用价值。

本文将重点探讨费马帕斯卡排列组合原理在生活中的应用，并且通过例子来阐释其在实际生活中的重要性。

费马帕斯卡排列组合原理在计算概率和统计学中有着重要的应用。

在日常生活中，我们经常会面临一些需要计算概率的情况，比如抽奖、赌博、购买彩票等。

费马帕斯卡排列组合原理可以帮助我们计算出不同事件发生的概率，从而帮助我们做出明智的选择。

比如在购买彩票时，我们可以利用排列组合原理来计算不同号码组合的中奖概率，从而有针对性地选择号码，提高中奖的几率。

在商业领域中，费马帕斯卡排列组合原理也有着广泛的应用。

比如在市场营销中，我们经常需要设计不同的促销方案，通过排列组合原理可以快速计算出各种组合的方案数目，从而帮助我们选择最具吸引力和效益的方案。

在物流配送中，排列组合原理可以帮助我们优化货物的分配和运输路径，提高物流效率，降低成本。

在生产制造领域，费马帕斯卡排列组合原理也发挥着重要的作用。

比如在工厂的生产线上，我们需要将不同的零部件进行组合装配，通过排列组合原理可以快速计算出所有可能的组合方式，帮助我们选择最优的装配方案，提高生产效率。

在产品设计中，排列组合原理可以帮助我们设计出多样性的产品组合，满足不同消费者的需求，提高产品的竞争力。

排列组合原理在信息技术领域中也有着广泛的应用。

在密码学中，我们需要设计安全的密码和加密算法，通过排列组合原理可以帮助我们评估不同组合的密码强度，从而提高信息安全性。

在数据处理和分析中，排列组合原理可以帮助我们快速计算出各种数据集的排列组合方式，从而加快数据处理的效率。

费马帕斯卡排列组合原理在生活中具有广泛的应用价值，它不仅可以帮助我们解决数学和逻辑问题，还可以应用到各个领域中，帮助我们优化决策、提高效率，实现更多的可能性。

生活中有趣的概率论例子•相关推荐生活中有趣的概率论例子概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等。

在我们的生活中无处不在。

自然界的现象分为确定性现象和随机现象两大类。

对于确定性现象就是在一定条件下必然发生的`现象，例如：太阳东升西落，水从高处流向低处等，也就是描述条件决定结果。

而随机现象是指在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，例如：抛掷一枚硬币，可能是正面也有可能是反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，可能是1，2，3，4，5，6点中任意一点，也就是条件不能完全决定结果。

概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科。

随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系，其数量关系无法用函数加以描述。

随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性，概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科。

随机现象又是由随机试验来进行研究的。

随机试验要求试验能在相同条件下重复进行多次；每次可能结果不止一个，并且事先能知道所有的结果；每次试验之前，并不知道哪个试验结果会发生。

随机试验在我们生活中无处不在。

例如：记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数；从一批灯泡中任取一只，测试其寿命等等。

我们把随机试验所有可能的结果组成的集合称之为样本空间。

所以在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间。

我们所研究一般的问题在概率论中称之为事件，它是样本空间的子集。

随机试验、样本空间与随机事件的关系就是每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件。

我们知道如果一个函数满足对任意事件的函数值大于等于0，样本空间的函数值为1并且对于可列个两两互不相容的事件满足函数的可列可加性，这个函数就记为事件的概率。

在概率中古典概型是经典模型。

概率论：起源于“玩骰子游戏”的数学理论概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。

正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。

你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。

甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。

因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。

然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。

1. 机会性游戏所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。

这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。

著名的希腊历史学家希罗多德（Herodotus）在他的巨著《历史》中写道：早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿的困扰，经常聚集在一起掷骰子和紫云英，这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏，照一定规则，根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。

大约从公元前1200年起，人们把纯天然的骨骼（如脚上的距骨）改进成了立方体的骰子，方法是摩擦骨骼使其成为一个粗糙的立方体，骰子的六面就形成了，再在骰子面上刻上不同的数字。

它是游戏中常用的随机发生器，可能因为当时没有表示数字的符号或简单标记，早期骰子各面的数字都被刻成浅浅的印迹。

现在相对面的数字之和是7的骰子大约产生于公元前1400年的埃及。

到了中世纪，基督教堂曾发起多次活动以反对玩骰子和纸牌，对这种游戏的抵制不仅仅因为是赌博活动，更是因为与赌博相伴随的酗酒和其它恶行的出现。

但是，赌博仍然屡禁不止，甚至在1190年的第三次十字军战争中，不得不作出这样一个规定：任何一个骑士身份以下的人不允许赌钱，而骑士和牧师则可以玩，但在24小时之内不得输过20先令。

骰子模型揭开概率统计之谜——抽象形象与数形思想●骰子坦然设局不公一赌场庄主正在大声吆喝：恭喜发财，骰子可爱，输1元钱，赢100块！这种吆喝还真有效果，围上赌席的赌客还真的不少.一位中学数学教师对这种赌局也产生了“兴趣”，钻上前去想看个究竟.原来，赌具是三粒骰子：赌局设计如下：如果同时出现3个6点（即下图）：则赌客可以赢得庄家的100元！如果不同时出现3个6点（下图为其一种）：则赌客输给庄家的只是1元钱！难怪有这么多人参赌的，原来输赢之比竟为1：100！这位数学教师稍微一想，差点笑了出来! 此时也正好与一个赌客回头相见：“你站在这儿干啥，还不快点押，输一赢百，天下哪有这种便宜事！”说也奇怪，赌场上还真的有赢100元的人，当然他不一定是押的3个6，也可能押的是3个5，或3个4的，总之都是输一赢百.数学教师摇了摇头，小声对那位赌客说：“假如我手中现在有216元钱，按这种赌局，在未投下骰子之前，我事先就输子116元！”那位赌客听不懂这位教师的话，回头又赌去了.这数学教师对满场的赌客感到遗憾，但又无法说服他们.回家之后，赶紧挥笔，写下这篇奇文——抛掷骰子，揭开概率统计之谜！●一掷骰子敲开概率之门投掷一枚骰子后，不论哪一面朝上，都是一个“事件”.不同的人去投掷这枚骰子，或同一个人多次投掷这枚骰子，结果会不尽相同.所以每次投掷，都是“随机事件”.投掷一枚骰子的结果，不看也知道：出现的点数必定是1，2，3，4，5，6之一，所以出现1-6点是“必然事件”.不论什么人投掷这枚骰子，决不会出现1—6以外的点.所以出现这些点都是“不可能事件”.投掷一枚骰子，有6种不同的结果，每种结果出现的可能性相同，所以又称这样的事件为“等可能事件”.投掷一枚骰子，既然是等可能事件，所以出现1—6的任何一点，可能性都是16.或者说，出现1—6的任何一点，概率都是16. 投掷一枚骰子，既然出现1—6的任何一点，概率都是16，而且这6个16之和是1，所以必然事件发生的概率是1；出现1—6以外的任何一点都不可能，所以不可能事件发生的概率是0；而随机事件是既可能发生，也可能不发生，所以随机事件发生的概率总界于0与1之间.概率学就是研究事物发生的可能性的.我们在今后的社会实践中一定会碰到大量的“事件”，通过“骰子模型”学好了概率论，掌握其基本规律，就能最大限度地避免有害事件，促成有益事件，有应对各种不同事件的强大能力.● 再掷骰子 认知概率初步【例1】将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？【解析】 （1）一枚骰子抛掷一次，骰子向上的点数可以是1，2，3，4，5，6.共6种不同的结果.先后抛掷两次，属于重复排列，故有2636=种不同的结果.（2）用数对(),x y 表示先后两次抛掷骰子出现的点数，那么向上的点数之和是5的情况有（1，4）；（2，3）；（3，2）；（4，1）共4种.（3）由（1）知将骰子先后抛掷2次的基本事件总数为36n =，由（2）知事件A ：其中向上的点数之和是5的事件A 的种数4m =.故向上的点数之和是5的概率是：()19m P A n ==. 【说明】 本例提供了求等可能事件概率的基本方法：如果一次试验中可能出现的结果有card （I ）=n 个，其中某个特殊事件A 出现的结果有card （A ）=m 个，则事件A 发生的概率P （A ）=()1m n.公式（1）就是古典概率的基本公式.链接：一个骰子连续投2 次，点数和为4的概率是 ． 【答案】112● 三掷骰子 找到加法公式【例2】 抛掷骰子一次，（1）出现2点或3点的概率是多少？（2）不出现2点或3点的概率是多少？【解析1】 （1）设抛掷骰子一次，出现2点或3点的事件为A ，因为基本事件总数n =6，而事件A 的种数m =2.由公式（1）：()2163p A == （2）设抛掷骰子一次，不出现2点或3点的事件为B ，则B 有1，4，5，6共四种可能.即这时n =6，m =4. 由公式（1）：()4263p B ==.【解析2】 （1）设抛掷骰子一次，出现2点的事件为A ，出现3点的事件为B ，那么：()()1,6p A p B ==故出现2点或3点的概率()()()111663p A B p A p B +=+=+=.（2）设抛掷骰子一次，不出现2点或3点的事件为C ，则()()1211.33p C p A B =-+=-=在本例中，抛掷骰子一次，出现2点与出现3点不能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.互斥事件适合概率的加法，即若事件A 与B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） （2）.若事件A ，B ，C ，…X 互斥，那么P （A +B +C +…+X ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）+…+P （X ） （2′）. 抛掷骰子一次，出现2或3点与不出现2或3点也不能同时发生.所以这两个事件也是互斥事件.但抛掷骰子一次，出现2或3点与不出现2或3点又必定有一个发生.这种其中必定有一个发生的事件称为对立事件. 故若记事件A 的对立事件为A ，那么()()()13P A P A +=.互斥事件与对立事件的关系：两事件互斥时不一定对立，但两事件对立则一定互斥.也就是说：两事件互斥是它们对立的必要不充分条件.反过来，两事件对立则是它们互斥的充分不必要条件.链接：从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A ．929 B ．1029 C ．1929 D ．2029【分析】 本题不属于“骰子模型”，但很容易将其改造成为“骰子模型”：投掷30枚骰子，其中有20枚出现奇数点，10枚出现偶数点.从中任取3枚既有奇数点又有偶数点的概率是多少？【解析1】 （利用互斥事件）不受限制的选法有3301C 30292840606=⨯⨯⨯=种，选出的3名同学中既有男生又有女生有两种情况，1男2女的选法有122010C C 2045900⋅=⨯=种，2男1女的选法有212010C C 190101900⋅=⨯=种.这两种情况互斥，故选出的3名同学中既有男生又有女生的选法共有1900+900=2800种，其概率为280020406029P ==.选D.【解析2】 （利用对立事件）不受限制的选法有3301C 30292840606=⨯⨯⨯=种，选出的3名同学中全为男生的选法有3201C 20191811406=⨯⨯⨯=种，全为女生的选法有310C 110981206=⨯⨯⨯=种.故不合条件的选法有1140+120=1260种，其概率为12609406029P ==.于是选出的3名同学中既有男生又有女生的选法，其概率为20129P P =-=，选D.● 四用骰子 弄明乘法规律【例3】 回到文首的问题上来，某一家赌场开出的参赌条件是：每人每次出资1元掷骰子3枚，如出现3个6点则奖100元，否则付出的1元归赌主所有.你认为这条规则公平吗？试简述理由.【解析】 不妨将投出的3枚骰子编号为1，2，3.显然第1枚骰子出现6点的概率是16；在第1枚骰子出现6点的条件下，第2枚骰子出现6点的概率也是16；在1，2号骰子都出现6点的条件下，第3枚骰子再出现6点的概率还是16.根据分步计数原理，3枚骰子同时出现6点的概率是1111666216⨯⨯=.这就是说，这家赌场所设置的参赌规则1：100是不公平的，只有将规则定为1：216才算公平.事实上，一切赌场都是赢利机构，它们所制定的参赌规则都不可能公平.在本例中掷骰子3枚，每枚是否出现6点互相没有影响，这种事件就是相互独立事件. 一般地：相互独立事件A 与B 同时发生的概率是P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）. （4）如果事件A ，B ，…X 都互相独立，那么它们同时发生的概率是P （A ·B ·…·X ）=P （A ）·P （B ）·…·P （X ）. （4′）链接：某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）A ．81125 B.54125 C.36125 D.27125【解析】 设此人在3次射击中，至少有两次击中目标的事件为A ，则A 有两种情况.一是3次全击中，其概率为33275125⎛⎫= ⎪⎝⎭；另一是3次射击恰有两次击中，这又有23C 种情况，每种情况都是2中1不中，故其概率为：2233354C 155125⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 这两种情况互斥，根据公式2，所求概率为()275481125125125p A =+=，选A. 【说明】 1.本题虽然不是骰子模型，却很容易改造成为骰子模型：掷骰子3枚，其中至少出现2个6点的概率是多少？读者不妨解之.（参考答案：227） 2.本例的题型属于“独立重复试验”.一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中该事件恰好发生k 次的概率()()()15n kk kn n P k C P P -=-.● 五看骰子 见到概率“期望”抛掷一枚骰子，设得到的点数为ξ，则ξ可能取的值有1，2，3，4，5，6共6种不同的结果，每种结果出现的概率都是1，写成分布列就是：这样，抛掷一枚骰子，得到点数的期望是：()1123456 3.56E ξ=+++++= ()11226n n E x p x p x p ξ=++++L L.需要说明的是：1．ξ是随机试验过程中的自变量，而P 则是ξ的函数.在本质上它与函数()y f x =中的变量x 与y 的关系是一样的.不同的是，一般地说，x 表示连续型的变量，它是不可数的；而ξ则是离散型的随机变量，它是可数的，只能在正整数范围内取值；2．写出离散型随机变量的分布列，实质上是写出某种试验过程中所有不同的试验结果及其发生的概率；3．任一离散型随机变量的分布列都具有如下的两个性质：（1）0,1,2,i P i ≥=L ； （2）121P P ++=L . 这两个性质是检测分布列是否写得正确的主要标准.4．所谓ξ的数学期望就是ξ各种取值的平均数.如果ξ的不同值出现的概率都相等，它就是简单平均数；如果ξ的不同值出现的概率不全相等，它就是加权平均数.例如：同时投掷10枚骰子，出现3个1点，4个2点，2个5点和1个6点，那么这次投掷中平均点数是多少？显然，用()11256 3.54+++=计算是不妥的，正确的算法是： ()113245261 2.7110⨯+⨯+⨯+⨯=.这里所掷相同点的次数3，4，2，1便称为权.如果利用期望公式6，那么应该先写出点数ξ的分布列. ∵()()()()34211,2,5,6p p p p ξξξξ========，故有： ξ的期望1256 2.7210101010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=比较1,2两种算法，可见它们的实质是一样的.而且在多种情况下，第1种算法更为简便.因此我们说，求期望就是求平均数.【例4】 掷骰子3枚，如果出现6点就能获奖，写出离散型随机变量ξ的分布列和获奖的数学期望.【解析】 掷骰子3枚，随机变量ξ=0，1，2，或3.ξ=0表示3枚骰子中没有一个出现6点，∴P （ξ=0）=351256216⎛⎫= ⎪⎝⎭；ξ=1表示3枚骰子中恰有一个出现6点，∴P （ξ=1）=2131575C 66216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭； ξ=2表示3枚骰子中恰有2个出现6点，∴P （ξ=2）=2231515C 66216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭；ξ=3表示3枚骰子都出现6点，，∴P （ξ=3）=3116216⎛⎫= ⎪⎝⎭.ξ的数学期望是：E ξ=0×125216+1×75216+2×15216+3×1216=12.链接：甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 【解析】 5个人分配到4个岗位服务，每岗至少1人，所以必然是某一个岗位有2人，其余各岗都是1人.于是基本事件总数为2454C A 240⋅=.（Ⅰ）设“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”的事件为A ，则其余3人只能分配到B ，C ，D 岗各1人，所以事件A 的种数为33A 6=，于是332454A 1()C A 40P A ==.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）设“甲、乙两人不在同一个岗位服务的”事件为B ，则其对立事件为B ：“甲、乙两人在同一个岗位服务”.由（Ⅰ），甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.同理，甲、乙两人同时参加B ，C ，D 岗位服务的概率也是140.这四种情况互斥，∴()114.4010p B =⨯=，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是()1911010p B =-=.（Ⅲ）由条件，参加A 岗位服务的人数至少1人，最多2人.所以随机变量ξ=1或ξ=2.且这两类世间互相对立.设事件C ：恰有两人同时参加A 岗位服务，则事件C 的种数为2353C A 60⋅=，而基本事件总数仍为2454C A 240⋅=.∴()()60122404p C p ξ====. 而()()1311.44p p C ξ===-=于是ξ的分布列是● 六邀骰子 妙释 “方差” 真谛【例5】 在某次商业活动中，甲、乙2人同时获得了头彩.可是头奖名额只有一个，于当商家看到这个结果时全傻眼了.如果计算总点数，两人都是35；如果计算平均数，两人都是3.5.商家让他们重掷，却又遭到两人拒绝.亲爱的读者，你有办法解决吗？【分析】 解决本例，仅用期望的知识已经不够了，必须借助方差：()()()()22211227n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L或标准差：()8σξ=.【解析】 记甲在每次投掷骰子中所获得的点数为ξ. 则ξ的期望()1122231415262 3.510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，其方差： ()()()()()()2222222211 3.52 3.53 3.51010101224 3.55 3.56 3.5 3.45101010D ξ=-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅=记乙在每次投掷骰子中所获得的点数为η，则η的期望()1112133435161 3.510E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=其方差： ()()()()()()2222221131 3.52 3.53 3.51010103114 3.55 3.56 3.5 1.85101010D η=-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅+-⋅=因为乙所掷出的点数波动较小.故若两人中有且只有一人获头奖，则头奖应给乙.【说明】 1.由于期望的实质就是平均数，所以本例利用求加权平均数的方法去求期望，计算反而更为简单；2.判断期望与方差的优劣，标准是不一样的.一般的说，因为期望反映平均数，所以其值越高越好，而方差则是反映数据温带性的，所以波动越小越好.链接：甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．231s s s >> 【分析】 虽然是一道选择题，但数据不少，计算繁多.若处理不当，必然耗时费力.对于客观题的基本原则是尽可能多想少算.即如本题要选出正确答案，按常规须要4个步骤：（1）求期望；（2）求方差；（3）求标准差；（4）比较3个标准差的大小.以上繁复计算达10次之多.如此操作决不是命题人的本意.减少计算量的主要途径是：（1）利用求加权平均数的方法期望；（2）尽可能使用心算.【解析】 ()7891058.520x +++⨯==Q 甲()()()()222221578.588.598.5108.5 1.2520s ⎡⎤⨯-+-+-+-⎣⎦∴==()()71068948.520x +⨯++⨯==Q 乙()()()()222222678.5108.5488.598.5 1.4520s ⎡⎤⎡⎤⨯-+-+⨯-+-⎣⎦⎣⎦∴== ()()71048968.520x +⨯++⨯==Q 丙()()()()222223478.588.5688.598.5 1.0520s ⎡⎤⎡⎤⨯-+-+⨯-+-⎣⎦⎣⎦∴== 于是由222213s s s >>，得213s s s >>，选B.● 七让骰子 验明“正态”真身【例6】 将1枚投掷骰子1次，若出现奇数点则记0分，出现偶数点则记1分.试写出这枚骰子投掷10次后得分和的分布列.【解析】 记这枚骰子投掷10次后的得分和为ξ，则ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.共11种.记投掷骰子1次出现奇数点的事件为A ，那么出现偶数点的事件为A . 显然()()111,1.222p A p A ==-=由公式（5）：()()1n k k kn nP k C P P -=-得： ()010010101110C 1221024p ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()11011101011101C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21022101011452C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()310331010111203C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()410441010112104C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()510651010112525C 1;221024p -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图1 以下()()101021064;1024p p ==()()101012073;1024p p ==()()10104582;1024p p == ()()10101091;1024p p ==()()101011001024p p ==可知ξ的分布列是：ξ 012345678910P110241010244510241201024210102425210242101024120102445102410102411024我们仔细观察这张表，不难发现它除仍然符合（1）0,1,2,i P i ≥=L ； （2）121P P ++=L 外，还具有对称性，即与首末等距离的两概率之值相等. 如果再计算期望与方差，可得：()1512001090360840126012608403609010510241024E ξ=++++++++++== ()1256025160405480210021048040516025 2.510241024D ξ=++++++++++==如果在直角坐标系中画出它的图象如图1，那么我们已经可以见到正态曲线的雏形：它关于直线x =5对称，这正好与E ξ=5相吻合.（而方差或标准差则正态曲线的“高低”，“胖瘦”，这里略去.）在这个图象中，如果过折线的各个顶点依次向右画x 轴的平行线段，得到10个小矩形.显然这些矩形面积之和近似等于折线与x 轴及其两端的垂线所包围平面部分的面积.由于这些小矩形的宽度都是1，所以所有矩形面积的和为：110451111024102410241024S ⎛⎫=++++⨯= ⎪⎝⎭L .以上所分析的是n =10的情况.可以设想：当n →+∞时，这条折线的极限就是正态曲线，这与利用频率分布直方图所得到的正态曲线，在实质上是一样的.正态曲线的性质很多.但在解题中，最重要最实用的性质是如下两条：图 2图3 图4 （1）它关于直线x μ=对称.这里μ表示总体平均数，即总体中变量ξ的期望；（2）它的主要功能是利用面积来表示概率.如图2，当[],x a b ∈时，直线x a =与x b =之间所包围的平面部分的面积，就是总体在区间(),a b 内取值的概率.特别地，整条正态曲线与x轴所包夹的平面部分面积，一定是1.链接1：设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-, 则 c =( )A.1B.2C.3D.4【解析】 条件(1)(1)P c P c ξξ>+=<-表示如图3中两块阴影部分的面积相等，所以x c =必为正态曲线的对称轴.条件(2,9)N 说明题中总体平均数μ=2，也就是正态曲线的对称轴为x =2.（方差29s =或标准差3σ=）.故知c =2，选B.链接2：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，2σ）（σ>0），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为 .【解析】 如图4，条件N （1，2σ）说明正态曲线的对称轴x =1，故当ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，时ξ在（1，2）内取值的概率亦为0.4，∴ξ在（0，2）内取值的概率为0.8.链接3：已知随机变量服从正态分布()22,N σ，()40.84P ξ≤=，则()()0P ξ≤=A ．0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84【解析】 如图5，正态曲线的对称轴为x =2.图 5 图6 ∵()40.84P ξ≤=，∴()410.840.16P ξ≥=-=. 而()()2222,p p ξξ≥+=≤-即()()040.16p p ξξ≤=≥=.选A.【评注】 以上3道试题，从题型看它们都不是 标准正态分布（标准正态分布的条件是期望μ=0，即 相应正态曲线的对称轴为y 轴）.若按常规解题，应首 先通过公式()F x =φx μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭转化为标准正态分布.其方法是：以下的解析是方法吗？？？ 【解析】由()()224220.84P P P ξξξσσ-⎛⎫≤=-≤=≤=⎪⎝⎭， ()()022P P ξξ≤=-≤-22P ξσσ--⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭ 222211P ξφφσσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.16=. 显然这个计算将繁杂得多.链接4：设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图6所示.则有（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>【解析】 正态分布2()(0)N μσσ>，中，x μ=表示对称轴，由图6知12120,0,μμμμ<>∴<.σ表示标准差.由正态分布公式 ()()()222,,2πx f x x μσσ--=∈-∞+∞可知，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，∴12σσ<.选A.。

费马帕斯卡排列组合原理在生活中应用费马、帕斯卡排列组合原理是数学中常用的排列组合方法，它们在生活中有很多应用。

1. 费马原理：费马原理也被称为鸽巢原理或抽屉原理。

它指出，如果有n+1个物体放入n个容器中，那么至少有一个容器会放置两个或更多的物体。

这个原理在生活中的一个应用是抽屉中的袜子。

假设你有10只袜子，但只有9个抽屉可供放置袜子，根据费马原理，至少有一个抽屉中会有两只袜子。

2. 帕斯卡原理：帕斯卡原理是组合数学中的一个重要原理，它描述了二项式系数的性质。

根据帕斯卡原理，对于任意非负整数n和k，二项式系数C(n, k)等于C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。

帕斯卡原理在生活中的一个应用是计算排列组合的方式。

例如，在一场比赛中，有10名选手参加，需要选出3名获奖者。

根据帕斯卡原理，可以使用组合数C(10, 3)来计算不同获奖者的组合方式。

除了以上两个原理，排列组合在生活中还有很多其他应用，例如：
3. 人员安排：在组织活动或制定班级课程表时，需要考虑不同人员的排列组合方式，以确保每个人都有机会参与或轮流担任某个职务。

4. 随机选择：排列组合方法可以用于随机选择物品。

例如，在抽奖活动中，通过排列组合可以计算出每个人中奖的概率。

5. 地址编码：在邮政编码系统中，不同的数字或字母组合可以用于表示不同的区域或地址。

总之，费马、帕斯卡排列组合原理在生活中有广泛的应用，帮助我们解决各种排列组合问题，优化资源利用和决策。

概率在生活中的几个典型问题概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学，其思维方法独特。

概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最重要的知识之一。

正如十九世纪著名数学家拉普拉斯所说，“对于生活中的大部分最重要的问题，实际上只是概率问题，你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定，甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。

因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。

” 的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。

然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学，却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索——人们对于机会性游戏的研究思考。

所谓机会性游戏，就是靠运气取胜。

随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念，只有正确地理解和真正掌握，才能学好概率论。

在自然界及各种社会活动中，人们所观察到的现象大致可分为两类：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象。

我们把在一定的条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。

例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任意地抽取3件进行检验，这3件1/ 6产品绝不会全是次品；向上抛掷一枚硬币必然下落，等等。

这类现象的一个共同点是事先可以断定其结果。

我们把在一定的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。

例如，从10件产品(其中2件是次品，8件是正品)中，任取1件出来，可能是正品，也可能是次品；向上抛掷一枚硬币,落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；将要出生的婴儿可能是男性，也可能是女性。

这类现象的一个共同点是事先不能预知多种可能结果中究竟出现哪一种。

本文主要是对随机事件和概率的一些容易混淆的概念进行辨析，探讨生活中与概率相关的一些例子。

一、抽奖问题例如：如果有5张可当场兑奖的彩票，其中2张是有奖的。

生活中的概率趣事1.安迪·鲁尼50-50-90规则“当你有50%的机会才对一件事时，那么也许有90%的可能你猜的是错的”也就是说，如果两件事机会均等，那么猜对事件发生的可能性微乎其微。

2.掷骰子问题甲、乙二人参与掷3颗骰子的游戏，如果三个数相加之和为9，则甲赢，如果三个数之和为10，则乙赢。

如果既不是9也不是10，那么继续投掷，这个游戏公平么？3.扔瓶盖的策略假设你和你的朋友准备用扔硬币的方法来解决你们之间的矛盾，恰巧两人都没有硬币，于是决定用扔瓶盖来代替硬币，但不能保证瓶盖正反两个事件的概率相等，有什么方法能保证结果的公平性么？4.令人匪夷所思的是，对一件事情解释得越详细，其可信度越低。

如果要让自己值得信赖，那就尽量避免细节化。

5.如果两个事件不能同时发生，那么它们一定是独立的吗？6.如果要保证至少两个人的生日为同一天的概率不小于50%，最少要多少个人呢？7.购物策略问题在前37%产品中选择最优惠的产品，再接下来的产品中有比这个产品更优惠的就买下来。

那么此时你赢的概率是37%。

这个策略是最优策略。

8.决斗问题A,B,C，三人决斗，假设A总能射中目标，B每次射中目标的概率是90%，而C则是50%。

从C开始，依次射击下一个人（除非他自己已经被击中了）。

那么C能幸存的最优策略是什么呢？9.细胞分裂假设有一种细胞，分裂和死亡的概率相同，如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少呢？10.把牌洗好并一张一张地把牌翻到正面。

在任何时候你都可以说“停，下一张是红色”，如果你是正确的，你赢，但你必须在某个时间点上说出来，如果我翻完51张牌你还没有叫停。

你就必须猜最后一张牌是红色的，除此之外，你可以自由运用任何策略。

那么最好的策略是什么呢？你赢的概率是多少？11.任何一个“理性的策略”只有在决定性条件发生时才会显示出优势，但是这种优势常常会因为决定性条件不发生而不起作用。

12.如果让你任意把64颗米粒摆在一块棋盘上，你会空出多少格呢？如果事件成功的概率是百万分之一，你试了一百万次之后不成功的概率是多少呢？在科罗拉多州的杰克逊县随便选定一平方英里的范围，然后在里面溜达遇不到任何人的概率是多少？如果有人告诉你平均每一千年就会发生大规模的陨星撞击地球的事情，那么接下来的一千年里会有多少流星撞击地球呢？这些问题的答案都是37%13.小概率事件，我们切忌忽略他们，因为一个事件即使再稀有也不意味着它永远不会发生。

数学地奇妙：我们身边地概率和博弈问题在很多人眼里,数学是书本上地知识,是研究者地领域,而事实上,在我们地生活中,数学无处不在,其中具有典型意义地就是概率和博弈问题.只要留心,生活处处存在概率和博弈,了解并学会如何运用它们,会使我们解决生活中地问题变得简单化,往往让我们意想不到.中世纪欧洲盛行掷骰子赌博,其中提出许多很有趣地概率问题.当时法国地帕斯卡、费尔马和旅居巴黎地荷兰数学家惠更斯都对此类问题感兴趣,他们用组合数学研究了许多与掷骰子有关地概率计算问题.自20世纪30年代柯尔莫哥洛夫提出概率公理化以来,概率论迅速发展成为数学领域里一个相对较新地和充满活力地学科,并且在工程、国防、生物、经济和金融等领域得到了广泛地应用,而且与人们地生活有着密切地联系.拉普拉斯有一句名言:“生活中最重要地问题,绝大部分其实只是概率问题”.在遵守一定“游戏规则”地前提下,具有竞争或对抗性地行为称为“博弈”,比如打牌、下棋、企业经营或国际间地政治和军事谈判等.博弈地思想历史渊源悠久.《史记》中就记载了战国时期“田忌赛马”地故事,这是运用博弈思想以弱胜强地经典例子.《孙子兵法》中含有丰富而深刻地博弈论思想.1944年美国数学家冯·诺伊曼和摩根斯特恩地著作《博弈论与经济行为》创立了博弈论这门学科.上世纪80年代以后,博弈论已经成为整个社会科学特别是经济学地核心.著名经济学家萨缪尔森认为:要想成为现代社会中有文化地人,必须对博弈论有大致地了解.下面我试图通过若干例子来向大家展示概率论和博弈论是如何成为我们“日常生活指南”地.一."生日悖论"n个人中至少有两人生日相同地概率P(n>是多少？这是有名地"生日问题".答案是:对于n≤365,P(n>=1－Q(n>,其中Q(n>为n个人生日都不相同地概率:下面是一张对照表:令人难以置信地是:随机选取地23人中至少两人生日相同地概率居然超过50％,50人中至少两人生日相同地概率居然达到97％！这和人们地直觉是抵触地.因此这一结果被称为生日悖论,尽管它在数学上是正确无误地.理解"生日悖论"地关键在于任意两个人地搭配方式可以很多,例如23个人可以产生23×22/2=253种不同地搭配.二.如何理解社会和大自然中出现地奇迹？对单个彩民和单次抽奖来说,中乐透头奖地概率是2250万分之一,但到2008年之前,在"纽约乐透"史上发生过3次一人中两次头奖地事件.例如,2007年8月30日美国纽约地安杰洛夫妇喜中"纽约乐透"头奖,获得500万美元奖金.他们1996年与另外3人共分了1000万美元头奖.这真是堪称一个奇迹.在河北省著名旅游景点野三坡地蚂蚁岭左侧,断崖边缘有一块直径10M、高4M地"风动石",此石着地面积不足覆盖面积地1/20,尤其基部接触处只有两个支点.这也算是一个奇迹.从概率论观点看,上述两个奇迹地发生并不奇怪,因为即使是极小概率事件,如果重复很多次,会有很大概率发生."纽约乐透"每周三及周六晚间各开奖一次,每年开奖104次,15年间经历约1500次开奖.假定以前中过"纽约乐透"头奖地人还经常买"纽约乐透"彩票,而且他们下地总注数每次超过3000 注(注意:中过大奖地人一次可能下很多注>,那么在15年间他们之中有人再中头奖地概率超过1/5,这已经不是很小地概率了.大自然中地奇迹是地壳在亿万年地变迁中偶然发生地,但这种奇迹在历史地长河中最终出现则是一种必然现象.三.在分组对比中占优,总体上一定占优吗？答案是:不一定！下面是一个例子.假定有两种药(A和B>,要通过分组临床实验对比其疗效.以下是实验结果地统计表:从甲乙两组实验结果看,药物A地疗效都优于药物B,但总体来看,药物B地疗效反而优于药物A.早在20世纪初,当人们为探究两种因数是否具有某种相关性而进行分组研究时就发现了这种现象:在分组比较中都占优势地一方,在总评中反而是劣势.直到1951年英国统计学家辛普森在他发表地论文中才正式对这一现象给予理论解释.后人就把这一现象称为"辛普森悖论".四.如何评估疾病诊断地确诊率？假想有一种通过检验胃液来诊断胃癌地方法,胃癌患者检验结果为阳性地概率为99.9％,非胃癌患者检验结果为阳性("假阳性">地概率为0.1％.假定某地区胃癌患病率为0.01％.问题是:(1>检验结果为阳性者确实患胃癌地概率(即确诊率>是多大？(2>如果"假阳性"地概率降为0.01％、0.001％和0,确诊率分别上升为多少？(3>用重复检验方法能提高确诊率吗？早在18世纪中叶,英国学者贝叶斯(Bayes>就提出"由结果推测原因"地概率公式(贝叶斯公式>.我们用"＋"表示阳性,用H、F分别表示胃癌患者和非胃癌患者,则由贝叶斯公式,确诊率为:P(H|＋>=P(＋|H>P(H>/P(＋>.问题(1>地答案是:确诊率为1/11；问题(2>地答案是:如果"假阳性"地概率降为0.01％、0.001％和0,确诊率分别上升为50％、90.9％和100％；问题(3>地答案是:有一定地提高,但大幅度提高地可能性很小.原因是"假阳性"主要是检验技术本身问题造成地,重复检验地结果相关性很大,不能按独立事件对待.五.在猜奖游戏中改猜是否增大中奖概率？这一问题出自美国地电视游戏节目’Let’smakeadeal’.问题地名字来自该节目地主持人蒙提·霍尔.上世纪90年代曾在美国引起广泛和热烈地讨论.假定在台上有三扇关闭地门,其中一扇门后面有一辆汽车,另外两扇门后面各有一只山羊.主持人是知道哪扇门后面有汽车地.当竞猜者选定了一扇门但尚未开启它地时候,节目主持人去开启剩下两扇门中地一扇,露出地是山羊.主持人会问参赛者要不要改猜另一扇未开启地门.问题是:改猜另一扇未开启地门是否比不改猜赢得汽车地概率要大？答案是:改猜能增大赢得汽车地概率,从原来地1/3增大为2/3.也许有人对此答案提出质疑,认为改猜和不改猜赢得汽车地概率都是1/2.为消除这一质疑,不妨考虑有10扇门地情形,其中一扇门后面有一辆汽车,另外9扇门后面各有一只山羊.当竞猜者猜了一扇门但尚未开启时,主持人去开启剩下9扇门中地8扇,露出地全是山羊.显然:原先猜地那扇门后面有一辆汽车地概率只是1/10,这时改猜另一扇未开启地门赢得汽车地概率是9 /10.六.如何设计对敏感性问题地社会调查？设想要对研究生论文抄袭现象进行社会调查.如果直接就此问题进行问卷调查,就是说要你直说你是否抄袭,即使这样地调查是无记名地,也会使被调查者感到尴尬.设计如下方案可使被调查者愿意做出真实地回答:在一个箱子里放进1个红球和1个白球.被调查者在摸到球后记住颜色并立刻将球放回,然后根据球地颜色是红和白分别回答如下问题:你地生日是否在7月1日以前？你做论文时是否有过抄袭行为？回答时只要在一张预备好地白纸上打√或打×,分别表示是或否.假定被调查者有150人,统计出共有60个√.问题是:有抄袭行为地比率大概是多少？已知:P(红>=0.5,P(√|红>=0.5,P(√>=0.4,求条件概率P(√|白>=？用贝叶斯公式算出地答案是30％.七.为什么企业间地"价格联盟"往往是短命地？在博弈论里有一个著名地"囚徒困境"问题:两个共同犯案囚徒不坦白也不揭发对方可能得到最轻地处罚(判刑1年>；如果一方坦白并揭发对方,另一方不坦白,坦白方判刑2年,不坦白方判刑10年；如果两方都坦白和揭发对方,各判刑5年.但一方总会怀疑另一方为了减刑而出卖自己,如果自己不坦白就会受到加重处罚,所以选择坦白和揭发对方是两个囚徒共同地最佳策略.因为在对方坦白前提下自己不坦白将被加重处罚.这是非合作博弈地"纳什均衡":任何一方单方面改变策略只能对自己造成不利."纳什均衡"理论对人类社会有着广泛而深刻地意义.它已经深入到社会地政治、军事、文化、经济领域各个层面,成为人们思维地一部分.从博弈论地角度分析,在一个竞争地市场中,如果商品严重地供大于求,则要陷入"囚徒困境".因为对任何供应商来说,最佳策略都是降价促销,以期获得更大地营业额,从而价格战不可避免.要从"囚徒困境"解脱,供应商被迫形成"价格联盟".但每个商家都想自己偷着降价给自己带来好处.因此,价格联盟只能是短命地,因为它不是一个"纳什均衡".八.为什么现实生活中"搭便车"现象不可避免？这首先要从博弈论中著名地"智猪博弈"故事说起.这个故事有多种版本,其大意是说:在一个长长地猪圈里,有一头大猪和一头小猪,猪圈一端有个踏板,需要多次费力踩踏板,猪圈另一端才会落下一些食物到食槽.如果小猪去踩踏板,大猪会在小猪跑到食槽之前就吃完落下地9成食物,而小猪只能得到1成食物；如果是大猪踩踏板,则大猪能在小猪吃完3成落下地食物之前就跑到食槽,抢到其余地7成食物.假定踩踏板要费掉相当于2成食物转化地体能,两只猪各自会采取什么策略呢？对小猪而言,等待大猪去踩踏板是最佳策略,这就是所谓地"搭便车"策略.对大猪而言,由于知道小猪地等待是最佳策略,它不得不去踩踏板,这是它地唯一选择,否则它也要和小猪一样挨饿.在现实社会生活中,懒人和偷奸取巧地人从生活经验地积累中无意识地就学会了"搭便车"策略.九.为什么在多人非合作博弈中弱者有时反倒有利？下面是著名地"三个快枪手决斗"模型:甲、乙、丙同时开枪进行决斗,幸存者进入下一轮决斗.如果他们地命中率分别是0.9,0.8和0.5,则他们地最优策略是甲、乙互射,丙对准甲射击.结果是相对较弱地乙和丙结成了"暂时联盟".三国时期地孙权和刘备就是结成了暂时联盟对付曹操地.通过概率计算, 甲、乙、丙经过两轮决斗后幸存下来地概率分别是4.5％,5％,90.5％.当然,这一模型是理想化地数学模型,但它给了我们很好地启示:弱者在强者竞争地夹缝中幸存下来地例子在商界是层出不穷地.十.存在完美地民主选举制度吗？早在18世纪,法国思想家孔多赛就提出了著名地"投票悖论"(Votingparadox>:假设甲乙丙三人面对a、b、c三个备选方案有如下地偏好次序:甲:a＞b＞c,乙:b＞c＞a,丙:c＞a＞b.如果对备选方案进行两两对决,投票结果是:a优于b,b优于c,c 优于a,得出自相矛盾地结果！所以按照少数服从多数地投票规则,不一定能得出合乎大多数人意愿地所谓"社会偏好次序".受到孔多赛地"投票悖论"地启发,1951年,美国著名数理经济学家阿罗用数学公理化方法对通行地投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿地领导者进行了研究.结果,他得出了一个惊人地结论(即阿罗"不可能"定理>:当至少有3名候选人和2位选民时,不存在满足阿罗公理地选举规则.由于他地"不可能"定理和在一般均衡理论方面地突出贡献获得了1972年诺贝尔经济学奖.按照著名经济学家萨缪尔森地评价,阿罗"不可能"定理可以和数理逻辑学中地哥德尔"不完备性定理"相媲美.相关链接概率论(probabilitytheory>是研究随机现象数量规律地数学分支.随机现象是相对于决定性现象而言地.在一定条件下必然发生某一结果地现象称为决定性现象.随机现象则是指在基本条件不变地情况下,一系列实验或观察会得到不同结果地现象.每一次实验或观察前,不能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性.随机现象地实现和对它地观察称为随机实验.随机实验地每一可能结果称为一个基本事件,一个或一组基本事件统称随机事件,或简称事件.事件地概率则是衡量该事件发生地可能性地量度.虽然在一次随机实验中某个事件地发生是带有偶然性地,但那些可在相同条件下大量重复地随机实验却往往呈现出明显地数量规律.概率论地起源与赌博问题有关.16世纪,意大利地学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中地一些简单问题.17世纪中叶,当时地法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规则是玩家连续掷4次骰子,如果其中没有6点出现,玩家赢,如果出现一次6点,则庄家(相当于现在地赌场>赢.按照这一游戏规则, 从长期来看,庄家扮演赢家地角色,而玩家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生地,因此当时人们也就接受了这种现象.后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用2个骰子连续掷24次,不同时出现2个6点,玩家赢,否则庄家赢.当时人们普遍认为,2次出现6点地概率是一次出现6点地概率地1/6,因此6倍于前一种规则地次数,也既是24次赢或输地概率与以前是相等地.然而事实却刚好相反,从长期来看, 这回庄家处于输家地状态,于是他们去请教当时地数学家帕斯卡,求助其对这种现象作出解释,这个问题地解决直接推动了概率论地产生.随着18、19世纪科学地发展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性,从而由机会游戏起源地概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身地发展.概率与统计地一些概念和简单地方法,早期主要用于赌博和人口统计模型.随着人类地社会实践,人们需要了解各种不确定现象中隐含地必然规律性,并用数学方法研究各种结果出现地可能性大小,从而产生了概率论,并使之逐步发展成一门严谨地学科.现在,概率与统计地方法日益渗透到各个领域,并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中.博弈论(GameTheory>亦名"对策论"、"赛局理论",属应用数学地一个分支,目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛地应用.博弈论主要研究公式化了地激励结构间地相互作用,是研究具有斗争或竞争性质现象地数学理论和方法,也是运筹学地一个重要学科.博弈论考虑游戏中地个体地预测行为和实际行为,并研究它们地优化策略.生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论地某些结果.古语有云,世事如棋.生活中每个人如同棋手,其每一个行为如同在一张看不见地棋盘上布一个子,精明慎重地棋手们相互揣摩、相互牵制,人人争赢,下出诸多精彩纷呈、变化多端地棋局.博弈论是研究棋手们"出棋"招数中理性化、逻辑化地部分,并将其系统化为一门科学.换句话说,就是研究个体如何在错综复杂地相互影响中得出最合理地策略.事实上,博弈论正是衍生于古老地游戏或曰博弈如象棋、扑克等.数学家们将具体地问题抽象化,通过建立自完备地逻辑框架、体系研究其规律及变化.这可不是件容易地事情,以最简单地二人对弈为例,稍想一下便知此中大有玄妙:若假设双方都精确地记得自己和对手地每一步棋且都是最"理性"地棋手,甲出子地时候,为了赢棋,得仔细考虑乙地想法,而乙出子时也得考虑甲地想法,所以甲还得想到乙在想他地想法,乙当然也知道甲想到了他在想甲地想法……博弈论思想古已有之,我国古代地《孙子兵法》就不仅是一部军事著作,而且算是最早地一部博弈论专著.博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中地胜负问题,人们对博弈局势地把握只停留在经验上,没有向理论化发展.1928年,冯·诺依曼证明了博弈论地基本原理,从而宣告了博弈论地正式诞生.1944年,冯·诺依曼和摩根斯坦共著地划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统地应用于经济领域,从而奠定了这一学科地基础和理论体系.1950～1951年,约翰·福布斯·纳什(JohnForbesNashJr>利用不动点定理证明了均衡点地存在,为博弈论地一般化奠定了坚实地基础.纳什地开创性论文《n人博弈地均衡点》(1950>,《非合作博弈》(1951>等等,给出了纳什均衡地概念和均衡存在定理.此外,塞尔顿、哈桑尼地研究也对博弈论发展起到推动作用.今天博弈论已发展成一门较完善地学科.博弈论(GameTheory>和决策论(DecisionTheory>、运筹学(OperationsResearch>等一起构成现代企业经济、军事战略等系统管理学地理论基础.。

25个生活中的趣味概率现象生活中有许多趣味概率现象，这些现象以其奇特、有趣的特点吸引着我们的注意力。

下面我将介绍25个生活中的趣味概率现象。

1. 扔硬币正反面概率：扔硬币时，正反面出现的概率是相等的，即50%的概率。

2. 骰子点数概率：投掷一个六面骰子，每个点数出现的概率是相等的，即1/6的概率。

3. 路口红绿灯：在路口等待红绿灯时，绿灯亮的概率要大于红灯亮的概率，因为红绿灯的设置是根据交通流量和时间来调整的。

4. 抽奖概率：参加抽奖活动时，中奖的概率是参与人数与奖品数量的比例。

5. 天气预报准确率：天气预报的准确率是根据历史数据和气象模型计算得出的，有一定的概率误差。

6. 网络延迟概率：在使用网络时，由于网络拥塞、信号干扰等原因，会造成网络延迟，其概率与网络质量和使用情况有关。

7. 打电话被接通概率：打电话时，对方接通电话的概率与对方是否在通话中、手机是否开机等因素有关。

8. 考试分数概率：在考试中获得某个分数的概率与试卷难度、个人水平等因素相关。

9. 交通事故发生概率：在道路上行驶，发生交通事故的概率与驾驶习惯、道路状况等因素有关。

10. 足球比赛胜负概率：参与足球比赛的球队获胜的概率与球队实力、比赛策略等因素有关。

11. 摇号买车概率：参与摇号购车的人获得车牌号的概率与摇号人数和可用车牌号数量有关。

12. 电梯停靠楼层概率：乘坐电梯时，电梯停靠在某个楼层的概率与乘客在各个楼层的分布情况有关。

13. 跳水奥运项目得分概率：参与跳水比赛的选手获得某个得分的概率与选手的技术水平和裁判的评分标准有关。

14. 电子产品损坏概率：使用电子产品时，产品损坏的概率与产品质量和使用方式有关。

15. 高速公路收费站车流量概率：在高速公路上行驶，通过收费站的车流量的概率与时间段和节假日等因素有关。

16. 股票涨跌概率：参与股票交易时，股票涨跌的概率与市场行情和公司业绩等因素有关。

17. 网购物品满意度概率：网购物品后满意度的概率与商品质量、卖家服务等因素有关。

试论数学中排列组合在生活中的应用
排列组合是数学中一个重要的概念和方法，它在生活中有广泛的应用。

下面将就几个典型的例子来说明排列组合在生活中的应用。

排列组合在生活中最常见的应用之一就是概率计算。

比如在购买彩票时，我们常常会研究各种可能的号码组合，计算中奖的概率。

这就涉及到排列组合的概念，需要计算不同号码的组合数，进而计算中奖的概率。

同样，在赌场中，玩家也可以利用排列组合的方法计算不同投注方式的中奖概率，以提高自己的胜率。

排列组合在生活中还可以用来解决一些实际问题。

比如在制作菜单时，我们需要考虑不同菜品的搭配方式，这就可以利用排列组合的方法来计算不同菜品之间的组合数量，以便提供更多的选择给顾客。

又比如在编排节目或者演出时，我们需要组织不同的节目或者演员的排列方式，这就可以利用排列组合的方法来计算不同的安排方式，以实现最佳的演出效果。

排列组合是数学中非常重要的一个概念和方法，在生活中有着广泛的应用。

它可以用于概率计算、可能的排列方式的计算，也可以解决一些实际问题。

通过理解和运用排列组合的方法，我们能够更好地理解和解决各种复杂的问题，提高自己的问题解决能力。

掌握排列组合的方法对于我们的生活和学习都具有重要的意义。

生活中的数学概率问题有很多，以下是一些例子：
1. 蒙提霍尔问题（三门问题）：假设你去参加一个电视综艺节目，台上准备了三扇门，其中一扇门后藏有轿车，另外两扇门后只有山羊。

你选择了一扇门，然后主持人告诉你，你选的那扇门后面是山羊，问你要不要换一扇门？这是一个著名的数学概率问题，其实生活中有很多类似的情境，比如赌博、抽奖等。

2. 扔硬币问题：假设你有一个公正的硬币（即正面和反面的出现概率均等），你扔这个硬币，出现正面的概率是1/2，出现反面的概率也是1/2。

这个概率问题在现实生活中也有很多应用，比如赌博、决策等。

3. 扑克牌问题：在玩扑克牌的时候，不同的牌型出现的概率是不同的。

比如，出现一个特定花色的牌的概率是多少？出现一个特定牌型的概率又是多少？这些概率问题可以帮助我们更好地理解赌博的风险和策略。

4. 生日悖论：假设在一个房间里有23个人，那么至少有两个人在同一天出生的概率是多少？这个概率问题虽然看起来简单，但是背后隐藏着深刻的数学原理。

5. 赌博问题：在赌博中，经常涉及到概率和期望值的问题。

比如，掷骰子掷出6点的概率是多少？买彩票中奖的概率又是多少？这些问题的答案都涉及到概率的计算和应用。

总之，生活中的数学概率问题非常多，它们在我们的日常生活中都有应用。

通过学习和理解这些概率问题，我们可以更好地理解风险和决策，做出更明智的选择。

生活中有趣的数学例子生活中有很多有趣的数学例子，下面列举了10个例子，让我们一起来看看吧。

1. 塔罗牌的数学：塔罗牌是一种占卜工具，它有78张牌，其中包括22张大阿卡纳牌和56张小阿卡纳牌。

这些牌的排列、数字和符号都有一定的数学意义，通过运用数学的原理和方法，可以解读出塔罗牌背后的信息和含义。

2. 魔方的数学：魔方是一种立方体拼图游戏，它由6个不同颜色的面组成，每个面上有9个小块。

魔方的还原过程可以通过数学的算法来完成，例如魔方的顶层还原、中层还原和底层还原，都可以通过一系列的数学公式来实现。

3. 黄金分割：黄金分割是一个神秘而有趣的数学现象，它指的是将一段线段分割成两部分，使得整个线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。

这个比值约等于1.618，被称为黄金比例。

黄金分割在建筑、艺术和自然界中都有广泛的应用。

4. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的前两个数是0和1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。

斐波那契数列的特点是数列中的每个数都是前两个数的和，它在自然界、艺术和金融领域都有广泛的应用。

5. 约瑟夫问题：约瑟夫问题是一个古老而有趣的数学问题，它由一个圆圈排列的人依次报数，每报到第m个人就出局，然后从下一个人重新开始报数，直到只剩下一个人。

问题的关键是确定最后剩下的那个人的位置。

通过数学的方法，可以得出一个通用的解法来解决约瑟夫问题。

6. 植物的分枝规律：植物的分枝规律是一个数学上的谜题，它指的是植物的分支数量和分支角度之间存在一定的关系。

例如，一些植物的分枝数量是斐波那契数列中的数，分支角度是黄金角度的整数倍。

这种规律使得植物的分枝结构非常美观和高效。

7. 数字根：数字根是一个有趣的数学概念，它是一个数的各位数字相加的结果，如果结果大于9，则再次相加，直到结果小于等于9为止。

数字根可以用来判断一个数的整除性和其他数学性质，例如，如果一个数的数字根是3，那么这个数就可以被3整除。

排列组合在生活中的应用
排列组合在生活中有很多应用，以下是其中几个例子：
1. 生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。

例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。

2. 彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。

例如，某个彩票游戏要求选择6个数字，而数字范围是1到49之间，那么可以使用排列组合计算出一共有多少种可能的组合。

3. 旅行计划：在旅行计划中，排列组合可以帮助确定不同景点的访问顺序。

例如，如果有5个景点要游览，可以使用排列组合计算出不同的游览路线。

4. 花束组合：在花店中，排列组合可以用来确定花束的不同组合方式。

例如，花店有10种不同类型的花，而每束花包含5种花，可以使用排列组合计算出一共有多少种不同的花束组合。

5. 座位安排：在会议或演出中，排列组合可以用来确定座位的不同安排方式。

例如，如果会议厅有10个座位，而有5位与会者，可以使用排列组合计算出不同的座位安排方式。

这些都是排列组合在生活中的一些常见应用，它们能够帮助我们解决实际问题，并提供更多选择和可能性。