随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析 ln

信息与通信工程学院实验报告（软件仿真性实验）课程名称：随机信号分析实验题目：随机信号通过线性系统的分析 指导教师：陈友兴班级： 学号： 学生姓名：一、 实验目的和任务1、掌握随机信号通过线性系统的分析方法2．掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解二、 实验内容及原理实验内容：1．产生一信号为123()sin 2sin 2sin 2()X t f t f t f t N t πππ=+++，其中1f nkHz =(n 为学号)，22f nkHz =，33f nkHz =，()N t 为高斯白噪声；求出()X t 的时域信号、频谱、自相关、功率谱密度、期望、方差等。

2.设计一FIR 低通滤波器()h t ，通带截止频率为1f ，阻带截止频率为2f ，通带最大衰减为40dB ，阻带最小衰减为1dB 。

3. 将信号()X t 通过()h t 得到响应()Y t ，求出()Y t 的时域信号、频谱、自相关、功率谱密度、期望、方差等，并分析与()X t 性能参数的差异；实验原理：1、线性系统的时域分析方法系统输入和输出的关系为：ττ-τ=ττ-τ==⎰⎰∞∞-∞∞-d )t (x )(h d )t (h )(x )t (h *)t (x )t (y输出期望：∑∞===0m X Y )m (h m )]t (Y [E m输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-2、线性系统的频域分析方法输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω 输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω 三、 实验步骤或程序流程1. 产生三个正弦信号和高斯白噪声叠加的信号，求叠加信号的均值、方差、自相关函数，计算功率谱密度以及傅里叶变换；绘出叠加信号时域特性曲线、傅里叶变换特性曲线、自相关函数曲线、功率谱密度曲线；2. 设计低通滤波器；3. 分析滤波后信号时域、频域的各参数的特性。

实验名称线性系统对随机过程的响应一、实验目的通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。

二、实验平台MATLAB R2014a三、实验要求(1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。

(2)设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。

(3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。

(4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。

(5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。

(6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，观察二者是否基本一致。

四、实验代码及结果A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。

代码实现：波形图：分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。

B、设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。

代码实现：波形图：分析：正态随机序列通过离散时间线性系统生成的仍是正态随机序列。

C、随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。

实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。

二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。

随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_班级：_学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2)实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18)实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。

2.实现随机序列的数字特征估计。

实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。

即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：，序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。

定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。

(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experimentnumber = 49; %学号49I = 8; %幅值为8u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5;N = 64;C0 = 1; %计数p(1) = exp(-u);for m = 2:Nk = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/2220(){()()}(2)!m k m k m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X X C m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。

本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一 随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。

2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。

实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=N y x n n /=序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。

下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯； 3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n)功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。

（2）正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n)功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。

实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1、掌握随机信号通过线性系统的分析方法2、掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解二、实验设备计算机、Matlab 软件三、实验内容与步骤已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。

编写程序求：（1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；（2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；（3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；（4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。

四、实验原理1、线性系统的时域分析方法 系统输入和输出的关系为：ττ-τ=ττ-τ==⎰⎰∞∞-∞∞-d )t (x )(h d )t (h )(x )t (h *)t (x )t (y输出期望：∑∞===0m X Y )m (h m )]t (Y [E m输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu)u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-2、线性系统的频域分析方法输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω 输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω五、实验报告要求1、写出时域分析、频域分析的必要原理，以及求上述特征的必要公式；2、输出上述各步骤地功率谱密度和相关函数的序列波型，输出各数字特征的值；3、附上程序和必要的注解；4、对实验的结果做必要的分析（如时域分析法与频域分析法求解结果的对比等）六、实验过程function y = experiment3 clc;R_x=zeros(1,81);R_x(41)=sqrt(5); % 输入自相关 S_x=fftshift(abs(fft(R_x))); % 输入功率谱密度 No = 35; %学号 r = 1 - 1/(No + 1); h0 = zeros(1,40);i = 1:41; h1 = r.^i;h = [h0,h1]; %系统单位冲激函数 H = fftshift(abs(fft(h)));%频率响应函数m_x = 0; %输入期望，方差，平均功率 sigma_x = R_x(41); P_x = R_x(41);figure(1),subplot(221),stem(R_x),title('RX');gtext('1105064235 陈郁炜'); subplot(222),stem(S_x),title('SX'); subplot(223),stem(h),title('h'); subplot(224),stem(H),title('H');%时域法求解R_xy = conv(R_x,h);R_xy = R_xy(41:121);R_yx = conv(R_x,fliplr(h));R_yx = R_yx(41:121);R_y = conv(R_yx,h);R_y = R_y(41:121);m_y = sqrt(R_y(81));D_y = R_y(1) - R_y(81);figure(2),subplot(321),stem(R_x);title('Rx'); gtext('1105064235 陈郁炜');subplot(322),stem(R_xy);title('Rxy'); % 互相关subplot(323),stem(R_yx);title('Ryx');subplot(324),stem(R_y);title('Ry'); %输出自相关subplot(325),stem(m_y);title(' m_y 时域法期望值');%输出时域法期望值subplot(326),stem(D_y);title(' D_y时域法方差值 ');%输出时域法方差值S_xy = abs(fft(R_xy));S_xy = fftshift(S_xy);S_yx = fftshift(abs(fft(R_yx)));S_y = fftshift(abs(fft(R_y)));figure(3),subplot(221),stem(S_x);title('Sx');subplot(222),stem(S_xy);title('Sxy'); gtext('1105064235 陈郁炜'); %互功率谱密度subplot(223),stem(S_yx);title('Syx');subplot(224),stem(S_y);title('Sy'); %输出功率谱密度%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%频域分析法S0_xy = S_x.*H;S0_yx = S_x.*fliplr(H);S0_y = S0_yx.*H;figure(4),subplot(221),stem(S_x);title('Sx');subplot(222),stem(S0_xy);title('S0xy'); gtext('1105064235 陈郁炜')subplot(223),stem(S0_yx);title('S0yx'); subplot(224),stem(S0_y);title('S0y'); % 输出功率谱密度R0_xy = fftshift(abs(ifft(S0_xy)));R0_yx = fftshift(abs(ifft(S0_yx)));R0_y = fftshift(abs(ifft(S0_y)));m0_y = sqrt(R0_y(81));D0_y = R0_y(1) - R0_y(81);figure(5),subplot(321), stem(R_x);title('Rx'); gtext('1105064235 陈郁炜');subplot(322), stem(R0_xy);title('R0xy'); %互相关subplot(323), stem(R0_yx);title('R0yx');subplot(324), stem(R0_y);title('R0y');%输出自相关subplot(325), stem(m0_y);title('m0 - y频域法期望值');%输出频域法期望值subplot(326), stem(D0_y);title(' D0 - y '); %输出频域法方差值七、实验结果及分析RX1105064121 王斌050100SXh50100HRx1105064121 王斌RxyRyxRy00.51 1.5200.51 m y 时域法期望值00.51 1.52-101 D y 时域法方差值50100Sx1105064121 王50100Sxy50100SyxSy50100Sx1105064121 王斌50100S0xy50100S0yxS0yRxR0xyR0yxR0y00.51 1.5200.51m0 - y 频域法期望值00.51 1.5212-15D0 - y分析：从该实验的结果可以看出，频域相对于时域来说,求解的过程可以得到简化。

实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。

2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。

等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。

（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。

任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。

图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。

分析方法：卷积积分法；频域法。

3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果ζ的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。

显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。

它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。

3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。

（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。

那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。

所以，输出随机过程为宽平稳的。

可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。