专题训练(二)有理数计算的六个技巧

有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。

以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。

例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。

2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。

这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。

3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。

例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。

4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。

例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。

5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。

例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。

6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。

例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。

这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。

在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。

有理数的运算技巧有理数是指可用整数比值得数，包括整数、分数以及这两者之间的有限小数或循环小数。

有理数具有很多特点和规律，掌握一些运算技巧可以帮助我们更快更准确地进行有理数的运算。

下面将介绍一些常用的有理数运算技巧。

1.整数的加减运算：a)同号相加减：将它们的绝对值相加，结果的符号与原来相同。

b)异号相加减：将绝对值较大的数减去绝对值较小的数，结果的符号与绝对值较大的数相同。

2.分数的运算：a)分数的加减：先找到两个分数的最小公倍数，然后将两个分数的分子乘以最小公倍数除以原分母，再进行相加减即可。

b)分数的乘法：将两个分数的分子乘积作为结果的分子，分母乘积作为结果的分母。

c)分数的除法：将除数分数的分子与被除数分数的分母相乘，除以除数分数的分母与被除数分数的分子的乘积。

3.有理数的混合运算：首先进行混合数的整数部分的加减运算，然后再进行分数部分的运算。

如：31/4+22/5=(3+2)+(1/4+2/5)4.有理数的乘方运算：将有理数的底数按照要求进行相应的运算，然后再求幂。

如：(-2/3)^3=(-2/3)*(-2/3)*(-2/3)5.有理数的开方运算：对于完全平方数的有理数，可以直接提取出有理数的平方根。

对于非完全平方数的有理数，可以先将其化成最简分数形式，再进行开方运算。

6.有理数的逆运算：a)有理数的相反数：改变有理数的符号即可。

如：(-5)的相反数为5b)分数的倒数：将分子与分母互换位置即可。

如：1/4的倒数为4/17.有理数的化简：a)两数的最大公约数：将两数各自分解质因数，然后将公共的质因数相乘，得到的结果即为最大公约数。

b)两数的最小公倍数：将两数各自分解质因数，将各自分解质因数中的若干个质因数按照次数最多的那一组相乘，得到的结果即为最小公倍数。

8.小数的进位和舍位：a)进位：小数的末尾数大于等于5时，前一位数进位。

b)舍位：小数的末尾数小于5时，前一位数舍去(不进位)。

以上是有理数运算的一些常用技巧，通过掌握这些技巧，我们可以更加便捷和准确地进行有理数的运算。

专题 有理数运算中的6大技巧【专题综述】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，同学们在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公式等正确地运算。

但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所措。

下面介绍几种有理数的计算方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

【典型例题】一、连续自然数的和 112123123412481.2334445555494949++++++++++++++L L 例计算 【答案】588练习：观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示） 【答案】23322n n +．二、凑整法例2.计算3998＋2997＋1996＋195【答案】9186练习：（1）﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 【答案】﹣114练习：（2）（﹣200856）+（﹣200723）+401723+（﹣112） 【来源】【全国市级联考】山东省潍坊市高密市2017-2018学年七年级（上）期中数学试卷【答案】-13三、拆项相消法 1113.12231011+++⨯⨯⨯L 例计算： 【答案】1011=练习：计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）． 【来源】2014－2015学年江苏省启东市长江中学八年级12月月考数学试卷【答案】21n n +四、分组法例4.计算123420012002s =-+-++-L【答案】1001=-练习：计算：101﹣102＋103﹣104＋…＋199﹣200=______．【来源】苏科版七年级数学上册第二章 2.5 有理数的加法与减法同步测试【答案】－50五、错位相减法例5.计算232018*********s =+++++L 【答案】20181(2)(1)22s =-减得：练习：在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1，∴S ＝9312-. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【来源】2016年初中毕业升学考试（山东东营卷）数学（带解析）【答案】201711m m --.六、倒序相加法例6.计算135799+++++L【答案】2500s ∴=练习：符号“H ”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H （1）=2，H （2）=3，H （3）=4，H （4）=5… 则H （7）+H （8）+H （9）+…+H （91）的结果为____．【来源】人教版七年级数学上册1.3有理数的加法【答案】4250【强化训练】1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）A. 0B. 100C. ﹣1003D. 1003【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C2．六个整数的积36a b c d e f ⋅⋅⋅⋅⋅=， a b c d e f 、、、、、互不相等，则a b c d e f +++++= ( ) ．A. 0B. 4C. 6D. 8【来源】北师大版七年级数学上册2.11 有理数的混合运算 课堂练习【答案】A3．50个连续正奇数的和1+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）A. 0B. 50C. ﹣50D. 5050【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C4．对于正数x ，规定f （x ）=x x +1，例如f （2）=32212=+，f (31)=4131131=+，根据规定，计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f (21)+f (31)+f (41)+…+f (20151)= ． 【来源】2016届四川南充市中考二诊数学试卷（带解析）【答案】201412 5．已知f （x ）=1+x 1，其中f （a ）表示当x ＝a 时代数式的值，如f （1）=1+11，f （2）＝1＋21， f （a ）=1+a1，则f （1）·f （2）·f （3）…·f （100）= ． 【来源】2015－2016学年江苏省江阴市要塞片七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】1016．已知0|1||2|=-+-a ab ，则： a ＝ ，b ＝ ．在此条件下，计算：+ab 1()()111++b a ()()221+++b a ++Λ()()201420141++b a ＝ ． 【来源】2014－2015学年浙江省新登镇中学共同体七年级10月月考数学试卷（带解析）【答案】1; 2；20152016． 7．请观察下列等式的规律：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯， 1111()57257=-⨯，1111()79279=-⨯， …则111113355799101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析） 【答案】50101．8．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M =1+3+32+33+…+3100，则3M =3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M =3101﹣1，所以M =101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．【来源】2015年初中毕业升学考试（广东茂名卷）数学（带解析） 【答案】2016514-． 9．若1(21)(21)n n -+=21a n -+ 21b n +，对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：m =113⨯+135⨯+157⨯+ …+11921⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（广东汕尾卷）数学（带解析）【答案】a =12，b =－12；m =102110．【问题一】：观察下列等式 111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出： ()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420162017++++=⨯⨯⨯⨯L ____________； ②()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+L ______________． （3）探究并计算：①111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯L ． ②1111111132435465717191820-+-+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【问题二】：为了求23201712222+++++L 的值，可令23201712222S =+++++L ，则23201822222S =++++L ，因此2018221S S -=-，所以． 23201720181222221+++++=-L .仿照上面推理计算：（1）求23201715555+++++L 的值；（2）求23499100333333-+-++-L 的值.【来源】浙江省慈溪市2017－2018学年七年级上学期期中考试数学试题 【答案】111n n -+；20162017；111n -+。

专题02有理数常用技巧与方法（方法清单）（6个题型解读+提升训练）【方法清单】有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。

一、四个原则1.整体性原则:乘除混合运算统一化乘，统一进行约分;加减混合运算按正负数分类分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。

2．简明性原则:计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来:运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

3口算原则:在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

4分段同时性原则: 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算二、运算技巧题型一：巧用凑整法计算将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率【变式】(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)．题型二：运用拆项法计算题型三：巧用组合法计算运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

【例3】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)； (3)23－18－(－13)＋(－38)．题型四：巧用裂项相消法计算凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法【变式】先观察下列各式：11111434æö=-ç÷´èø；111147347æö=-ç÷´èø；11117103710æö=-ç÷´èø；…；1111(3)33n n n n æö=-ç÷++èø，根据以上观察，计算：1111447710+++´´´ (120052008)+´的值．题型五：正逆用分配律计算正难则反逆用运算定律以简化计算乘法分配律a(b+c)-ab+ac 在运算中可简化计算，而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立有时逆用也可使运算简便。

有理数的加法与减法运算技巧一、有理数加法运算技巧1.同号有理数相加：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相加，结果的绝对值即为两数相加的绝对值，符号与原数相同。

2.异号有理数相加：–取绝对值较大的数的符号；–用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的绝对值为两数相加的绝对值，符号与绝对值较大的数相同。

–任何有理数加零，结果为该有理数本身。

3.加法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a + b = b + a。

二、有理数减法运算技巧1.同号有理数相减：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相减，结果的绝对值即为两数相减的绝对值，符号与原数相同。

2.异号有理数相减：–转换为加法运算，即将被减数取相反数后与减数相加；–按照同号有理数相加的方法进行计算。

–任何有理数减零，结果为该有理数本身。

3.减法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a - b = b - a。

4.减法的性质：– a - (b + c) = (a - b) - c；– a - b = a + (-b)。

三、加减法运算技巧1.结合律：–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。

2.分配律：–对于任何三个有理数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c；–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) × c = a × c + b × c。

3.运算顺序：–先算乘除，后算加减；–同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。

4.带符号移项：–将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到等式的另一边；–移项时，注意改变移项后项的符号。

5.运用括号：–括号前面是加号时，括号内的数不变号；–括号前面是减号时，括号内的数变号。

通过以上知识点的学习与理解，同学们可以掌握有理数加减法的运算技巧，并在实际运算中灵活运用，提高解题速度和正确率。

有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。

一、注意事项：①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。

这样可以防止出错。

②应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。

③在进行有理数的加减法运算时，先观察有没有相加后为0的数，若有，先将它们结合起来；然后把同分母的数相加；若是带分数，还可以将其整数和分数部分分别结合相加；若既有小数又有分数，通常将小数化为分数（熟记一些常见的数据：0.125=____，0.25=______，0.375=____，0.75=______等）。

在进行有理数混合运算时，若有公因数，一般先提出，然后运算。

有时可以利用因数之间关系获得公因数。

在运算过程中应注意符号的变化。

二、运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。

三、四个原则：①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。

②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。

如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。

有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。

有理数的计算方法与技巧
1. 嘿，你知道吗，有理数计算有个超棒的方法叫凑整法！就好像搭积木一样，把能凑成整数的数字放在一块儿。

比如算 37+63，这不是很明显能凑成 100 嘛！这样计算起来多轻松呀，是不是很妙啊？
2. 还有哦，转化法也很厉害呀！把分数呀小数呀转化成容易计算的形式。

比如说不就等于四分之一嘛，这样一转换，计算就简单多啦。

就像给数字变个魔法一样，多有趣呀！
3. 哇塞，裂项相消法也绝对不能错过！当遇到那种一连串可以拆分的式子，就像拆礼物一样把它拆开。

比如算 1/2+1/6+1/12，把它们拆成
1/(12)+1/(23)+1/(34)，然后一消，结果就出来啦，神奇吧！
4. 特殊值法也超好用的呀！有时候不用费劲去算复杂的式子，找个特殊值代入试试。

比如说要研究一个式子的规律，随便找个方便的数带进去，不就大概能知道啦，多快捷呀！
5. 整体代入法也非常酷哦！当式子中有相同的部分，就像发现宝藏一样把它拎出来整体代入。

比如前面算出一个值后面又用到，直接代入，多省力呀！
6. 倒推法有时候也能派上大用场呢！从结果反推回去找答案。

就好像走迷宫从出口往入口找路一样，是不是很特别啊！
7. 分类讨论法也很关键呢！根据不同情况分别去算。

好比走不同的路去寻找答案，每一条路都可能有惊喜呢！
总之，有理数的计算方法和技巧那可真是丰富多彩呀，掌握了这些，计算起来就像玩游戏一样有趣又轻松！。

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913.【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【题型2 凑整法】【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4； （2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4） （2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5；（2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)；【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【变式4-2】计算：﹣991517×34．【变式4-3】计算：399498399×(−6)【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【题型6 裂项相消法】【例6】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值． （3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝ ，1772= ＝ ．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【变式6-3】阅读理解题 第1个等式：12=2−12×1=1−12； 第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式： ； （2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．。

关于有理数运算中的解题技巧有理数是数学中的一类基础数，有着广泛的应用。

在日常生活和学习中，遇到有理数的运算、解题等问题时，往往需要掌握一些基本技巧和方法。

本文将介绍有理数运算中常用的解题技巧。

一、有理数的加减法1. 同符号数相加减同符号的两个有理数相加减，只需将它们的绝对值相加减，并保持原来的符号不变。

举例：3.5+2.1=5.6(−3.5)−(−2.1)=−1.42. 异符号数相加减异符号的两个有理数相加减，先将它们变为同符号数，然后按照同符号数相加减的方法进行计算。

举例：2.5−(−3.2)=2.5+3.2=5.7(−4.5)+7.8=7.8−4.5=3.33. 带分数的加减法若要对带分数进行加减法运算，可以先将其转化为假分数，然后再按照同符号数相加减的方法进行计算。

举例：$$\\frac{3}{4}+\\frac{1}{2}=\\frac{3\\times2}{4\\times2}+\\frac{ 1\\times 4}{2\\times4}=\\frac{6+4}{8}=\\frac{5}{4}$$$$\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}=\\frac{1\\times 3}{2\\times3}-\\frac{2\\times 2}{3\\times2}=\\frac{3-4}{6}=-\\frac{1}{6}$$二、有理数的乘除法1. 乘法有理数的乘法，可以先将它们的绝对值相乘，再确定符号。

•同号相乘得正数；•异号相乘得负数。

举例：$$3.5\\times2.4=8.4$$$$(-3.5)\\times(-2.4)=8.4$$$$(-3.5)\\times2.4=-8.4$$$$3.5\\times(-2.4)=-8.4$$2. 除法有理数的除法，可以先将它们的绝对值相除，再确定符号。

•分子、分母同号，商为正数；•分子、分母异号，商为负数。

同时，当分母为0时，除法无意义，需避免出现这种情况。

专项训练：有理数混合运算的方法与技巧一、理解运算顺序①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的； ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。

例1 计算：（1）3＋50÷22×(51-)－1 （2）()[]232315.011--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-- （3）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛--388712787431二、应用四个原则1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算。

2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

3、口算原则：在每一步的计算中，要习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心，提高计算能力。

4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。

在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。

一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和．关键是分清运算符号，这是进行有理数混合运算行之有效的方法． 例2 计算：-0.252÷(－12)4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2三、掌握运算技巧（1）归类：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。

（2）凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。

（3）分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。

（4）约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例3 计算：(1) -321625 ÷(-8×4)+2.52+(12 +23 －34 －1112 )×24 (2)(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415 )四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题，因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，避免混乱。

微专题2 方法技巧 有理数加减法的运算技巧技巧一相反数结合法针对训练1.计算:1.3+0.5+(-0.5)+0.3+(-0.7)+3.2+(-0.3)+0.7.【解析】原式=(1.3+3.2)+[0.5+(-0.5)]+[0.3+(-0.3)]+[(-0.7)+0.7]=4.5+0=4.5.技巧二同号结合法——把正数和负数分别结合相加针对训练2.(2024·北京期中)计算:7+(-14)-(-9)-|-12|.【解析】原式=7+(-14)+9-12=7+(-14)+9+(-12)=(7+9)+[(-14)+(-12)]=16+(-26)=-10.3.计算:2411-113+3322-116.【解析】原式=(2411+3322)+(-113-116)=(2822+3322)+(-126-116)=512+(-212)=3.技巧三凑整结合——分数相加,把相加得整数的数结合相加针对训练 4.(2024·中山质检)计算:(-12)-(+314)+(-2.75)-(-4.5).【解析】原式=-0.5-3.25-2.75+4.5=(-3.25-2.75)+(4.5-0.5)=-6+4=-2. 5.计算: (-458)+7.75+(-138)+(-234).【解析】原式=[(-458)+(-138)]+[7.75+(-234)]=-6+5=-1.技巧四拆项计算针对训练 6.计算: (-478)+(+814)+(-318).【解析】原式=[(-4)+ (-78)]+[(+8)+ (+14)]+[(-3)+ (-18)]=-4-78+8+14-3-18=(-4+8-3)+ (-78+14-18)=1+(-34)=14.综合与实践活动 知行合一 豁然贯通幻方的探索与学习【溯源寻踪】 教材P58数学活动 活动2填幻方【描述定义】在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.【理论支持】有理数的加减法.【进程跟踪】数学研究小组根据幻方图及有理数加法法则,通过观察、计算、归纳、验证等方法对幻方的性质进行研究.一、研究三阶幻方(1)横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少?你还能发现哪些相等的关系?(2)如果把和相等的每一组数分别连线,这些线段会构成一个怎样的图形?描述你得到的图形有什么特点?(3)你能改变上述幻方中数字的位置,使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗?(4)在你构造的幻方中,最核心的位置是什么?有没有“成对”的数?归纳总结:三阶幻方的性质:每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等.二、制作三阶幻方(1)将1,2,3,4,5,6,7,8,9填入到3×3的方格中,使得每行、每列、对角线上的三个数之和相等.(2)将2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格中,使得每行、每列、对角线上的三个数之和相等.(3)将-2,-1,0,1,2,3,4,5,6填入到3×3的方格中,使得每行、每列、对角线上的三个数之和相等.归纳总结:将(1)三阶幻方中每个数加1就得到(2)题中的幻方,将每个数减3就得到(3)题中的幻方.【规律总结】一般地,原来幻方中的每个数分别增加任意一个相同的数,每个数同时扩大相同的倍数,先扩大相同的倍数、再同时增加另一个数,仍构成一个幻方.【实践应用】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(图1所示),是世界上最早的矩阵,又称“幻方”,用今天的数学符号翻译出来,“洛书”就是一个三阶“幻方”(图2所示).在新“幻方”(图3所示)中,将-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5分别填入九个空格内,使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,现在a,b,c分别表示其中的一个数,则b-a+c的值为1.。

专题 有理数运算中的6大技巧【专题综述】有理数运算是中学数学中一切运算的基础，同学们在理解有理数的概念、法则的基础上，能够利用法则、公式等正确地运算。

但有些有理数计算题，数字大、项数多，结构貌似复杂，致使同学们望题生畏，不知所措。

下面介绍几种有理数的计算方法，以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

【典型例题】一、连续自然数的和 112123123412481.2334445555494949++++++++++++++L L 例计算 【答案】588练习：观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是 （用含n 的式子表示） 【答案】23322n n +．二、凑整法例2.计算3998＋2997＋1996＋195【答案】9186练习：（1）﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 【答案】﹣114练习：（2）（﹣200856）+（﹣200723）+401723+（﹣112） 【来源】【全国市级联考】山东省潍坊市高密市2017-2018学年七年级（上）期中数学试卷【答案】-13三、拆项相消法 1113.12231011+++⨯⨯⨯L 例计算： 【答案】1011=练习：计算：2222122334(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＝__________（n 为正整数）． 【来源】2014－2015学年江苏省启东市长江中学八年级12月月考数学试卷【答案】21n n +四、分组法例4.计算123420012002s =-+-++-L【答案】1001=-练习：计算：101﹣102＋103﹣104＋…＋199﹣200=______．【来源】苏科版七年级数学上册第二章 2.5 有理数的加法与减法同步测试【答案】－50五、错位相减法例5.计算232018*********s =+++++L 【答案】20181(2)(1)22s =-减得：练习：在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1，∴S ＝9312-. 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.【来源】2016年初中毕业升学考试（山东东营卷）数学（带解析）【答案】201711m m --.六、倒序相加法例6.计算135799+++++L【答案】2500s ∴=练习：符号“H ”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H （1）=2，H （2）=3，H （3）=4，H （4）=5… 则H （7）+H （8）+H （9）+…+H （91）的结果为____．【来源】人教版七年级数学上册1.3有理数的加法【答案】4250【强化训练】1．计算1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2005﹣2006的结果是（ ）A. 0B. 100C. ﹣1003D. 1003【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C2．六个整数的积36a b c d e f ⋅⋅⋅⋅⋅=， a b c d e f 、、、、、互不相等，则a b c d e f +++++= ( ) ．A. 0B. 4C. 6D. 8【来源】北师大版七年级数学上册2.11 有理数的混合运算 课堂练习【答案】A3．50个连续正奇数的和1+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）A. 0B. 50C. ﹣50D. 5050【来源】【北师大版】初一数学第一学期2.6有理数的加减混合运算 同步练习【答案】C4．对于正数x ，规定f （x ）=x x +1，例如f （2）=32212=+，f (31)=4131131=+，根据规定，计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f (21)+f (31)+f (41)+…+f (20151)= ． 【来源】2016届四川南充市中考二诊数学试卷（带解析）【答案】201412 5．已知f （x ）=1+x 1，其中f （a ）表示当x ＝a 时代数式的值，如f （1）=1+11，f （2）＝1＋21， f （a ）=1+a1，则f （1）·f （2）·f （3）…·f （100）= ． 【来源】2015－2016学年江苏省江阴市要塞片七年级上学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】1016．已知0|1||2|=-+-a ab ，则： a ＝ ，b ＝ ．在此条件下，计算：+ab 1()()111++b a ()()221+++b a ++Λ()()201420141++b a ＝ ． 【来源】2014－2015学年浙江省新登镇中学共同体七年级10月月考数学试卷（带解析）【答案】1; 2；20152016． 7．请观察下列等式的规律：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯， 1111()57257=-⨯，1111()79279=-⨯， …则111113355799101+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（湖南郴州卷）数学（带解析） 【答案】50101．8．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M =1+3+32+33+…+3100，则3M =3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M =3101﹣1，所以M =101312-，即1+3+32+33+…+3100=101312-，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．【来源】2015年初中毕业升学考试（广东茂名卷）数学（带解析） 【答案】2016514-． 9．若1(21)(21)n n -+=21a n -+ 21b n +，对任意自然数n 都成立，则a = ，b = ； 计算：m =113⨯+135⨯+157⨯+ …+11921⨯= ． 【来源】2015年初中毕业升学考试（广东汕尾卷）数学（带解析）【答案】a =12，b =－12；m =102110．【问题一】：观察下列等式 111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出： ()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果：①111112233420162017++++=⨯⨯⨯⨯L ____________； ②()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+L ______________． （3）探究并计算：①111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯L ． ②1111111132435465717191820-+-+++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【问题二】：为了求23201712222+++++L 的值，可令23201712222S =+++++L ，则23201822222S =++++L ，因此2018221S S -=-，所以． 23201720181222221+++++=-L .仿照上面推理计算：（1）求23201715555+++++L 的值；（2）求23499100333333-+-++-L 的值.【来源】浙江省慈溪市2017－2018学年七年级上学期期中考试数学试题 【答案】111n n -+；20162017；111n -+。

专题训练(二) 有理数计算的六个技巧▶ 技巧一 归类——将同类数(如正负数、整数、分数)归类计算 1.计算:(-100)+70+(-23)+50+(-6).2.计算:-23-35+5-13-25+4.3.计算:+37+-514+-325++47++225+-914.▶ 技巧二 凑整——将和(积)为整数的数结合计算 4.计算:278+-2712+535+-178+225+-3512.5.计算:(-0.25)×128×0.125×-34.▶技巧三对消——将相加得零的数结合计算6.计算:350+(-26)+700+26+(-1050).7.计算:(-0.125)+(-0.75)+-34+18+1.▶技巧四变序——运用运算律改变运算顺序8.计算:(23-56+112-78)×(-24).9.计算:(-20)×712-56+34×(-6).10.计算:0.7×149+234×(-17)+0.7×59+14×(-17). 11.计算:1112-79-518×36-6×1.43+3.93×6.12.计算:-427×-1112+1047×-1112--557×-1312+79-56+34×36.▶ 技巧五 换位——将被除数与除数颠倒位置 13.计算:(-130)÷(13+16-25-12).14.计算:112÷-16-23+14.▶ 技巧六 分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的形式15.计算:-214+512-413+316.16.计算:911516×(-8).17.(1)[2019·贺州] 计算11×3+13×5+15×7+17×9+…+137×39的结果是( )A .1937B .1939C .3739D .3839(2)计算:11×2+12×3+13×4+…+196×97.教师详解详析1.解:原式=[(-100)+(-23)+(-6)]+(70+50) =-129+120=-9.2.解:原式=-23+13-35+25+(5+4)=-2+9 =7. 3.解:原式=+37++47+-514+-914+-325++225=(+1)+(-1)+-125 =-125.4.解:原式=278+-178+-2712+-3512+535+225=1+(-6)+8 =3.5.解:原式=(-0.25)×(4×4×8)×0.125×-34=(0.25×4)×(8×0.125)×34×4=1×1×3=3.6.解:原式=[350+700+(-1050)]+[(-26)+26]=0.7.解:原式=-18+-34+-34+18+1 =-18+18+-34+-34+1=0+-32+1 =-12.8.解:原式=23×(-24)-56×(-24)+112×(-24)-78×(-24) =-16+20-2+21 =23.9.解:原式=(-20)×(-6)×712-56+34=120×712-56+34=70-100+90 =60.10.解:原式=0.7×149+0.7×59+234×(-17)+14×(-17) =0.7×149+59+(-17)×234+14=0.7×2+(-17)×3 =1.4-51 =-49.6.11.解:原式=1112×36-79×36-518×36+6×(3.93-1.43)=33-28-10+6×2.5 =-5+15 =10.12.解:原式=-1312×-427+1047+557+79×36-56×36+34×36 =-1312×12+28-30+27 =12. 13.解:因为13+16-25-12÷-130=(13+16-25-12)×(-30) =-10+(-5)+12+15=12, 所以(-130)÷13+16-25-12=112.14.解:因为-16-23+14÷112=-16-23+14×12=-16×12-23×12+14×12=-2-8+3=-7, 所以112÷-16-23+14=-17.15.解:原式=(-2+5-4+3)+-14+12-13+16 =2+(-312+612-412+212)=2+112=2112.16.解:原式=92-116×(-8) =92×(-8)-116×(-8)=-736+12=-73512.17.解:(1)B [解析] 原式=12×1-13+13-15+15-17+17-19+…+137-139 =12×1-139=1939. 故选B . (2)原式=1-12+12-13+13-14+…+196-197=1+-12+12+-13+13+…+-196+196-197 =1-197 =9697.。

初中数学：有理数运算常用的技巧与方法（含例题和解析）有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上，深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础。

有理数的运算不同于算术数的运算，这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算。

运算能力是运算技能和推理能力的结合，这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算速度。

有理数运算常用的技巧与方法有：利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等。

接下来，通过6道例题的解析，我们来共同体会数感是如何帮助人们利用灵活的方法作出数学判断，为解决复杂的问题提出有用的策略的！一、由于正负数、相反数、倒数的引入，加减法可以统一为加法，乘除法可以统一为乘法，此外，我们对运算的观念得以改变。

二、一些计算题涉及的数常常个数多、数字大，若能恰当处理，则能化难为易，常用的数字处理方法有：倒序相加、考虑一般式、利用公式、字母代换等。

三、例4通过构造图形，直观形象地解释了公式，验证了定理，在一定程度上，丰富了我们解决问题的策略。

你能用其他方法求例4的值吗？四、玻利亚在《怎样解题》一书中曾说：“没有任何一个题目是彻底完成的了，总还会有事情可以做，在经过充分的研究和洞察后，我们可以对问题有更深刻的理解” 对于例5，我们可进一步思考：在1，2，…，n（n个连续非负整数）前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值，需讨论，有兴趣的读者不妨一试。

五、类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论。

数学学习中，类比思想的运用有下列常见情形：1、概念的类比2、方法的类比3、结构的模型的类比4、与简单问题的类比5、低维与高维的类比6、从特殊到一般的类比与推介等。

有理数的运算知识点汇总知识点1:有理数的加减法一、有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.一个数与0相加，仍得这个数.二、有理数加法运算律：1.加法的交换律：a+b=b+a；2.加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.3.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：（1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；（2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；（3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”；（4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；（5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

三、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.知识点2：有理数的乘除法一、有理数乘法：1.有理数乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得0；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .二、有理数除法法则1.除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0三.有理数的加减乘除混合运算1.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

2.有理数加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

知识点3：有理数乘方一、乘方1.乘方的概念（1）求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

有理数运算的方法与技巧一、知识要点有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上的，深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算，这是因为有理数的运算每一步都要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．有理数运用常用的技巧与方法有：利用运算律，以符代数，恰当分组，裂项相消，分解相约，错位相减等．运算能力是运算技能与推理能力的结合，这就要要求我们技能正确的运算出结果，又能善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．分清计算的顺序是学习本讲的关键，从心理上讲，要准确的计算，还应该克服“粗心大意”这种不良的心理品质.这种不良习惯，主要表现为审题不清，知识点不能及时回应等，其实粗心大意有时与习惯有关系，例如平时就喜欢丢三落四，所以同学们在纠正这种不良习惯时，一定要持之以恒，从小事做起，在计算中培养自己的细心习惯，形成良好的解题心理品质.1．有理数的加法法则（1）同号两数相加，取______的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取____________的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加，和为_____，一个数与零相加，仍得这个数．2．有理数减法法则减去一个数等于加上这个数的___________．用式子表示为a －b ＝a ＋(－b )．3．有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号______，异号______，并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘，结果都得_____；（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是_______时，积是正数；负因数的个数是_______时，积是负数，即先确定符号，再把各因数的绝对值_______；（4）几个数相乘，如果其中一个因数是0，则积等于________．4．有理数的除法法则（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的____________；（2）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何非0的数，都得0；二、基础能力测试〖一〗填空：1．计算：（1）(－15)＋(－32)＝____ （2）100＋(－99)＝____ （3）－6＋3＝________（4）－5＋5＝___________ （5）(－3)－(－5)＝____ （6）(＋3)－(－5)＝_____（7）(－3)－(＋5)＝______ （8）3－5＝___________（9）－9－(＋5)＋(＋3)－(－7)＋(－1)＝___________2．计算：（1）(－36)×2＝_________________ （2）(－1.2)×(－3)＝_____ （3）0×(－181)＝____ （4）(－5)×(－6)×3×(－2)＝____ (5)(－25)÷(－5)＝_______ （6）(－121)÷0.5＝____ （7）(187)÷(－87)＝_____________ （8）0÷(－10)＝_________ （9）(－53)×(－321)÷(－141)÷3＝_________3．计算：32＝_____，(－3)2＝_____，－32＝_____，23＝______，(－2)3＝_____，－23＝_____，1.54＝______，05＝______．若n 为正整数，则(－1)n ＝_______，若a ＞0，则a 2______0，a 3______0；若a ＜0，则a 2______0，a 3______0；若a 101＜0，则a ______0．4．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 比绝对值最小的有理数小1，则p 2012－cd ＋abcdb a +＋m 2＝_______． 5．有理数a ，b ，c 的大小关系如图所示，则说法中一定成立的是________．①a ＋b ＋c ＞0；②|a ＋b |＜c ；③|a －c |＝|a ＋c |；④|b －c |＞|c －a |．6．3(x －1)2＋2|y ＋2|＝0，则(x ＋y )2015＝_________．7．在数1，2，3，…，2009，2010，2011，2012前任意添加“＋”号或“－”号并依次计算，其可能得到的最小的非负数是____________． 8．定义一种新运算，规则是d b ca ＝ad －bc ，则4312＝__________．9．计算：(1－2011×2010－2010×2009)(2013＋2011×2010＋2010×2009)－(1－2013－2011×2010－2010×2009)(2011×2010＋2010×2009) ＝__________．〖二〗计算：有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同一级运算从左算到右；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．（1）(＋59.8)－(－52＋(－12.8)＋563； （2）[30－(97＋65－1211)×36]÷(－5)；（3）－12－36÷|－(－3)2|÷254×425； （4）4－(－2)2－32÷(－1)2001＋0×(－2)3．三、综合·提高·创新【巧算问题】【例1】※观察分组法计算：（1）20102009......87654321100999897......87654321-+++--++----+++--++--+．（2）21＋41＋43＋61＋63＋65＋…＋20141＋20143＋…＋20142013．【例2】※裂项相消法 计算：（1）1＋231＋3151＋4351＋5631＋6991．（2）21121+＋)311)(211(31++＋)411)(311)(211(41+++＋…＋)9911)...(311)(211(991+++．〖练〗（1）951⨯＋1391⨯＋17131⨯＋…＋1051011⨯．（2）—1＋211--＋3211---＋…＋1003211-⋯----．【例3】※分解相约法 计算：nn n n n n 53106253132642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【例4】※巧用公式法计算：（1）1212-＋1412-＋…＋1201212-．（2）S ＝12－22＋32－42＋…＋992－1002＋1012，求S 被103除的余数．（3）2201320092013201120132010222-+（4）已知12＋22＋…＋n 2＝61n (n ＋1)(2n ＋1)． 求：①12＋22＋32＋...＋252；②102＋112＋122＋...＋252；③22＋42＋62＋ (502)常用公式： ()233321...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n ()()()21311......433221++=+++⨯+⨯+⨯n n n n n【数轴上的动点问题】【动点问题】※借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

有理数混合运算的方法技巧
1. 先算乘除后算加减，这可是铁律呀！就像你走路先迈左腿还是右腿，顺序不能错哟！比如3+2×5，那得先算2×5=10，再加上 3 等于 13，可别搞错啦！
2. 注意符号呀，符号可不能丢！这就像你出门不能忘了带钥匙一样重要呢！比如-3×(-4)，负负得正，结果就是 12。

3. 括号里的要先算，这就好比你进家门得先开门一样理所当然呀！像(5+3)×2，先算括号里的 5+3=8，再乘以 2 就是 16。

4. 约分能让计算变简单哦，就像给计算减肥一样！比如说12÷4/3，可以变成12×3/4=9。

5. 找规律呀，有理数运算里也有很多规律等你发现呢，就像在宝藏堆里找宝贝！比如算 2+4+6+8，不就可以找到两两相加相等的规律嘛。

6. 转换思路很重要呀，不要死脑筋！这跟你走路遇到石头得绕过去一样嘛！像计算5×19，可以变成5×(20-1)呀。

7. 别粗心大意呀，要仔细仔细再仔细！不然就像在森林里迷路一样啦！比如把 3 看成 8 可不行哦。

8. 多练习才能更熟练呀，这和你学骑自行车是一个道理！只有多练，才能在有理数混合运算的道路上畅通无阻呀！
我的观点结论就是：掌握好有理数混合运算的方法技巧真的太重要啦，能让我们算得又快又准！大家一定要好好记住这些哦！。