《平方根》典型例题
例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系．
解（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．
（2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．
例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起．
（1）算出A 点到B 、C 、D 、E 、F 之间的长度．
（2）以图中A 、B 、C 、D 、E 、F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“
分析 利用勾股定理可以算出A 点与C 、D 、E 、F 各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．
解 （1）3=AB cm ．171422=+=AC cm ．
5254202422=⨯==+=AD cm ．
5253422==+=AE cm ．
133222=+=AF cm ．
（2）图中BEF CEF ∆∆,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ∆是等腰三角形． 又因为101322=+==BF BE cm ，因此BEF ∆是等腰三角形．
例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，若46.13,23.9==b a ，
求c 的长（精确到0.01）
分析 根据勾股定理222c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值．
解 222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ， ∴32.163645.26646.1323.92222≈=+=+=b a c ．
例4 求下列各数的平方根．
（1）9 （2）49223
（3）0.81 解：（1）∵ 9)3(2=±
∴9的平方根是3±，即39±=±．
（2）∵4916949223
=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即.7
1349223±=± （3）∵81.0)9.0(2=±
∴0.81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．
说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．
②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．
③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．
例5 求下列各数的平方根和算术平方根．
（1）0.0064 （2）49
22 （3）2)1312(1- （4）2)7(- 解答 （1）因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．
（2）因为491004922
=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是7
10． （3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以2)13
12(1-的平方根是13
5±，它的算术平方根是135． （4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．
说明 本题考查求平方根和求算术平方根的方法．
因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了．
例6 求下列各式中的x ：
（1）02892=-x （2）81)1(2=+x ．
分析 根据平方根的定义，或22a x =，则)0(≥±=a a x ，其中（2）中)1(+x 看成一个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．
解答：（1）∵ 02892=-x ，即2892=x ．
∴ 17289±=±=x ．
（2）∵ 81)1(2=+x ，
∴ 9811±=±=+x ，
当91=+x 时，8=x ；
当91-=+x 时，10-=x ．
例7 已知0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．
分析 只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解已知方程． 解答1：由0144252=-x 得251442=
x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 当512=x 时，.10252135
12521352==+⨯=+x 解答2 由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，
∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 如果031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．
分析 已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．
解答 ∵
0,03,01≥++≥-≥+z y x y x ∴ 031≥+++-++z y x y x ∵031=+++-++z y x y x
∴应有⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x
解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=.231z y x
说明 求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．
例9 选择题：下列命题
（1）;2.04.0= （2）;4
3169±= （3）22-的平方根是2-； （4）2)3(-的算术平方根是3-；
（5）5
7±是25241的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根；
（7）21的算术平方根是41. 中真命的个数是（ ）.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义.
（1）4.004.0)2.0(2≠=
2.0∴不是4.0的算术平方根.
故（1）是假命题.
（2）题中
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9是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题.
（3）题中422-=-，由平方根性质：负数没有平方根. 所以（3）也是假命
