高一数学课件 数列综合复习

a
1、0时，Sn
n(n
1)a an1 (1 a)2
（二）提高练习
1、求数列 {n
1 2n
}
前n项和Βιβλιοθήκη 解： S n 1 1 2 2 1 4 3 8 1 n 2 1 n
错位相消法 ①
1 2 S n 1 1 4 2 8 1 3 1 1 6 (n 1 ) 2 1 n n 2 1 n 1 ② 两式相减：1 2Sn1 21 48 1 21nn21 n11 2(11 121n)2n n1
解： a n 1 2 1 (n 1 ) (n 1 )2 n (2 ) 2 (n 1 1 n 1 2 )
S n 2 [1 2 ( 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) ( n 1 1 n 1 2 ) 2 ] ( 1 2 n 1 2 ) n n 2
（三）创新练习
数列复习综合课
• ——数列求和 • 秦洪银
（一）知识提炼
（1）等差(比)数列的前n项和公式
等差数列 Snn(a12 an)n1a n(n 2 1)d
，S ，S 等比数列 当 q 1 时 n a 1 ( 1 1 q q n ) a 1 1 a q n q ,当 q 1 时 n n1a
（2）常用数列的前n项和
（四）方法小结
（1）求和方法 （2）注意点
公式法 分项求和 倒序相加 错位相消 裂项相消
①用公式时注意项数 ②用等比数列求和公式 时有时需对q讨论
（五）课后作业
1,求数列：1，1+2，1+2+22，…,(1+2+22+…+2n-1)…
的前n项的和。
2,求数列：1，1+a, 1+a+a2, …(1+a+a2+…+an-1)…

.
15
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(2010浙江) 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5 S6 +15=0. (Ⅰ)若S5 =5，求S6及a1； (Ⅱ)求d的取值范围。
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(2009宁夏海南)等差数列{an}的前n项和为Sn，am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38则m= (A)38 (B)20 (C)10 (D)9 .
2 a (2)判定数列{an}的单调性． n
)＝2n(n∈ N+ )．
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等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差,常用d表示 an+1- an=d
an=a1+(n-1)d
Sn
n( a1 2
210
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4.(2001 全国)设 {an}是递增的等差数
列，前三项的和为12，前三项的积为16页/共52页
5.(2000全国)在等差数列{an}中， Sn 为
{an}的前n项和，已知S7 =7， S15 =75，
Tn为数列
{
Sn n
S 1 q n q 1时， m
S 1 q m
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1.
(
n
1
)
n 2
n
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2.在等比数列{an}中，a5+a6=ab，2 a15+a16=b ，则a25+a26=______a____.
a5+a6， a15+a16 ，a25+a26也成等比数列 故(a15+a16 )2= ( a5+a6 ) (a25+a26 )

1）最小
a n
a
n
a n 1 a n1
最大
2）考虑数列的单调性
an
a
n
a n 1 a n1
求数列 2n29n3中的数值最大的项.
解:
an
2(n
9 )2 4
105 , 8
又2 9 3, n N* 4
n2 时 an取 最 大 值 1 3 .
数 列 - 2 n29n3中 数 值 最 大 的 项 为 a21 3 .
a6 30
（2）若 a52,a1010,则 a 1 5 50
（3）已知 a3a4a5 8,求 a2a3a4a5a6.
= 32
（4）若a 1 a 2 3 2 4 ,a 3 a 4 3 6 ,则a5 a6 4
一、求通项公式的几种方法
1、观察法猜想求通项： 2、特殊数列的通项：
3、公式法求通项：
6,n1 an 4n1,n2
设 S n 数列 a n 的前 n 项和，
知和求项:
即 S n a 1 a 2 a 3 a n
则
an
SSn1
n1 Sn1n2
单调性： （1）若an+1>an恒成立，则{an}为递增数列 （2）若an+1<an恒成立，则{an}为递减数列
返回
最值问题
求数列中最大最小项的方法：
2．等差数列中基本量的计算 例 2 等差数列的前n项和为Sn，若S12 =84，S20 = 460，求S28.
三、等比数列知识点
1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常
数的数列称作等比数列.an1
an
2．通项公式 an a1qn,1 推广形式:
q(q为不等

与它的序号之间的关系，找出其中的规律，得出数列的通项公式.
知识清单
考点二 数列的通项公式
注意：
（1）不是所有的数列都有通项公式，如π的不同近似
值数列，3,3.1，3.14,3.141，….
（2）有的数列的通项公式不一定唯一，如数列1,-1,1，
-1,1，-1，….
它的通项公式可以写成 = −1
知识清单
考点四 数列的前n项和Sn
数列的前n个数的和叫作数列的前n项和，用 表示，即 = 1 + 2 +
3 + ⋯ + .
1 = 1 ，
前n项和 与通项公式 的关系： = ቊ
− −1 ≥ 2 .
典例精析
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
数列
高中
数学
§第一节 数列的概念
（复习+习题练习）
知识清单
考点一
数列的概念
一般地，把按一定次序排成的一列数叫作数列.数列中的每一个数都是这
个数列的项，各项依次叫作这个数列的第1项（或首项），第2项，第3
项，…，第n项，….数列的一般形式可以写成1 , 2 , 3 , ⋯ , , ⋯ , 简记作 ，
其中 是这个数列的第n项.
知识清单
考点二 数列的通项公式
如果一个数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫作数列的通项公式，即 =f(n).因此，如果已知一个数
列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，4，…代替公式中的n就可以求出
这个数列的各项.
求数列的通项公式，通常先求出数列的前几项，再观察数列各项的值

高一数学期末复习 数列一、概念回顾：1． 数列，数列的项，数列的通项公式与求和公式，数列的通项公式与求和公式之间的关系；2． 等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，等差或等比数列中五个量之间的关系；3． 等差数列与等比数列的项的性质及和的性质；等差中项与等比中项；4． 等差数列与等比数列的综合应用。

5． 等差等比数列中的主要思想方法；二、基本练习：1． 在等差数列}{n a 中，公差0≠d ，前6项的和是06=S ，若m m m a a a 21,,+三项成等比数列，求m 的值．2． 数列{a n }中，a 1=1, 且n n n a a 21+=+，试求出a 2, a 3, a 4后，猜想数列的通项公式。

3． 在2和20之间插入两个数, 使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是多少？4． 若数列{a n }，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ≥1)，则a 100的值是（A ）9900 （B ）9902 （C ）9904 （D ）101005． 1＋211+＋3211++＋……＋n++++ 3211＝ （A ）2(1－n 1) （B ）2(1－11+n ) （C ）2(1＋11+n ) （D ）2(1＋n 1) 6． 某企业在今年初贷款a 万元，年利率为r ，从今年未开始每年未偿还一定金额预计5年内还清，则每年应偿还的金额为（ ）万元（A ）1)1()1(55-++r r a （B ）1)1()1(55-++r r ar （C ）1)1()1(45-++r r ar （D ）5)1(r ar +三、例题选讲：例1 数列{}n a 中，11=a , 322+=a , 6543++=a , 109874+++=a , ……，求10a 的值。

例2 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两个数之和是21，中间两个数的和是18，求这四个数．例3 已知数列}{n a 的前n 项的和12-=n n S ，求数列}1{na 前n 项的和． 例4 是否存有等比数列}{n a ，其前n 项的和n S 组成的数列}{n S 也是等比数列？ 例5 数列}{n a 是首项为0的等差数列，数列}{nb 是首项为1的等比数列，设 n n n b ac +=，数列}{n c 的前三项依次为1，1，2，（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前10项的和。

用反证法
h
6
数列的实际应用
例2、某容器中盛满10kg的纯酒精，倒出
2kg后再补上同样多的水，混合后再倒出
2kg又补上同样多的水，如此继续n次后,
求容器中纯酒精的质量(kg)。
a n1 an
ห้องสมุดไป่ตู้
4 5
h
7
练习：农民收入由工资性收入和其他收 入两部分构成，2006年某地区农民人均 收入为3150元（其中工资性收入为1800， 其它收入为1350元），预计该地区自 2007年起的5年内，农民的工资性收入将 以每年6%的年增长率增长，其它收入每 年增加160元，根据以下数据，2011年该 地区农民人均收入介于（ ） B A 4200—4400 B 4400—4600 C 4600—4800 D 4800—5000
Sn1与an1的关，系再利S用 n Sn1 an，把已知
条件化a为 n之间的递h 推式
11
则log2[f(a1 )f(a2 ) f(a3 )….f(a10))]= -6
h
5
典型例题
例1.等差数列｛an｝的前n项和Sn,
（1a）1 求1 数列2, ｛S3 an ｝9的3 通项2与前n项和Sn
（意2不）同设的b三n 项Sn都n 不,求可证能：成数为列等｛比b数n｝列中.任
a n 2 n 1 2 , S n n( 2 n )
A.S1 B.S2 C.S3 D.S4
(C)
h
3
2.在数列｛an｝中,已知a1 =1,a2 =5,
an+2 =an+1 –an ,则a2009等于 A.1 B.-5 C.4 D.5
(B)
练:习 已 知数 an满 列足 n ana(n3(1nn67.))

高一数学复习考点知识讲解课件第2课时数列的递推公式考点知识1.能根据数列的通项公式解决简单的问题.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.3.进一步理解数列与函数的关系． 导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本学案上的例1. 一、数列的通项公式的简单应用例1已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2－n ，n ∈N *. (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n }中的项，3是否为数列{a n }中的项． 解(1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，故3不是数列{a n }中的项． 反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{a n}的通项公式为a n＝q n，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，a n＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，a n＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为a n ，你能发现a n 与a n ＋1之间的关系吗？提示其实把n ＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n 个金属片移到2号位，需要a n 步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n 个金属片移到3号位，需要a n 步，故a n ＋1＝2a n ＋1. 知识梳理一般地，如果已知一个数列{}a n 的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式． 注意点：(1)通项公式反映的是a n 与n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项． 例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，n ∈N *，求a 2021.解a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，…∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第3项是() A ．1B.12C.34D.58 答案C解析a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n 答案B解析方法一 (归纳法) 数列的前5项分别为 a 1＝1，a 2＝1＋1－12＝2－12＝32， a 3＝32＋12－13＝2－13＝53，a 4＝53＋13－14＝2－14＝74， a 5＝74＋14－15＝2－15＝95， 又a 1＝1，由此可得数列的一个通项公式为 a n ＝2n －1n .方法二(迭代法)a 2＝a 1＋1－12， a 3＝a 2＋12－13，…， a n ＝a n －1＋1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝a 1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n (n ≥2)．又a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)． 方法三(累加法)a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，a 1＝1， a 2－a 1＝1－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，以上各项相加得a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n .所以a n ＝2n －1n (n ≥2)．因为a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．(2)已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n ()n ∈N *，则a n 等于()A ．n ＋1B ．n C.1n ＋1D.1n 答案D解析由题意，因为数列{}a n 满足a n ＋1＝nn ＋1a n ()n ∈N *，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×23×12×1＝1n . 反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式． (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决． 跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n . 解因为a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，所以a n －a n －1＝n ＋1－n .所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(n ＋1－n )＋(n －n －1)＋…＋(3－2)＋1＝n ＋1－2＋1.又a 1＝1也符合上式， 所以a n ＝n ＋1－2＋1，n ∈N *.(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，ln a n －ln a n －1＝1(n ≥2)，求a n . 解因为ln a n －ln a n －1＝1， 所以ln a na n －1＝1，即a na n －1＝e(n ≥2)． 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(1)e e e n -⋅⋅⋅个·1 ＝e n －1(n ≥2)， 又a 1＝1也符合上式， 所以a n ＝e n －1，n ∈N *. 四、数列的函数特征问题2在数列的通项公式中，给定任意的序号n ，就会有唯一确定的a n 与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？提示函数． 知识梳理通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数解析式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．例4已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，n ∈N *.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 解方法一a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10且a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.方法二根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.反思感悟求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令a n ＝f (n )，通过研究f (n )的单调性来研究最大(小)项．(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设a n 最大，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，解不等式组便可得到n 的取值范围，从而确定n 的值；求最小项用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)求得n 的取值范围，从而确定n 的值．跟踪训练4已知数列a n ＝n 2－6n ＋5，则该数列中最小项的序号是() A ．3B ．4C ．5D ．6 答案A解析因为a n ＝()n 2－6n ＋9－4＝()n －32－4， 所以当n ＝3时，a n 取得最小值．1．知识清单： (1)数列的递推公式．(2)由递推公式求数列的通项公式．(3)数列的函数特征．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式．1．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.2．在数列{}a n 中，a n ＝n ＋2n ＋1，则{}a n () A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列答案D解析在数列{}a n 中，a n ＝n ＋2n ＋1＝1＋1n ＋1，由反比例函数的性质得{}a n是递减数列．3．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且a n·a n＋2＝a n＋1(n∈N*)，则a2021的值为()A．2B．1C.12D.14答案C解析a n·a n＋2＝a n＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由a3＝2，a4＝1，得a5＝12，由a4＝1，a5＝12，得a6＝12，由a5＝12，a6＝12，得a7＝1，由a6＝12，a7＝1，得a8＝2，由此推理可得数列{a n}是一个周期为6的周期数列，所以a2021＝a336×6＋5＝a5＝12.4．323是数列{n(n＋2)}的第________项．答案17解析由a n＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)．∴323是数列{n(n＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是()A ．15B ．255C ．16D ．63答案B解析由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是()A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a nD ．a n ＋1＝－12a n答案D3．在数列{}a n 中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2021等于() A.12B ．－1C ．2D ．3答案B解析当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1；当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2； 当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；… 所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于()A ．n 2＋1B ．n ＋1C．1－n D．3－n答案D解析∵a n＋1－a n＝－1.∴当n≥2时，a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝2＋11()()()1n共(-1)个－＋－＋＋－＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋()n＋1，n∈N*，n≥2D．a n＝a n－1＋()n－1，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2.6．已知在数列{a n}中，a n＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列中最大项的值是()A．107B．108C．10818D．109答案B解析由已知得a n ＝－2n 2＋25n ＋30＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2542＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离254最近的正整数6时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中最大项的值为a 6＝108.7．已知在数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝______.答案8164解析a 1a 2…a 8＝82，①a 1a 2…a 9＝92，②②÷①得，a 9＝9282＝8164.8．数列{}a n 的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋50，则数列中的最小项是________． 答案38解析数列{}a n 的通项公式a n ＝n 2－7n ＋50＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋1514， 因为n ∈N *，所以当n ＝3或n ＝4时，a n 最小，此时a 3＝a 4＝38，则数列中的最小项是38.9．在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n (不用证明)．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n， ∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25. (2)猜想：a n ＝2n ＋1. 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2021.解(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2，n ∈N *.(2)a 2021＝4×2021－2＝8082.11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n，则数列{a n }的最大项是() A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案A解析因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ， 所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1， 所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020等于()A ．a 2021B ．a 2022C ．a 2023D ．a 2024答案A解析由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 5＋a 6＋…＋a 2020＝a 2019＋a 2020＝a 2021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是()A ．第9项，第10项B．第10项，第11项C．第11项，第12项D．第12项，第13项答案B解析假设a n＝a n＋1，则有n2－21n2＝(n＋1)2－21(n＋1)2，解得n＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0(n∈N*)，则它的通项公式a n＝________.答案1 n解析方法一(累乘法)把(n＋1)a2n＋1－na2n＋a n＋1a n＝0分解因式，得[(n＋1)a n＋1－na n](a n＋1＋a n)＝0.∵a n>0，∴a n＋1＋a n>0，∴(n＋1)a n＋1－na n＝0，∴a n＋1a n＝nn＋1，∴a2a1·a3a2·a4a3·…·a na n－1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n (n ≥2)，∴a na 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n ，n ∈N *.方法二(迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .方法三(构造特殊数列法) 同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n (n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k 叫作这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________. 答案28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列， 且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值．解若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，＝1，a2＝2.若a2为偶数，则a22若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝13(舍去)，若a1为偶数，a1＝2，a1＝4；2＝4，a3＝8.若a3为偶数，则a32若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝73(舍去)，＝8，a2＝16.若a2为偶数，则a22若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，若a1为偶数，则a1＝16，a1＝32.2故m所有可能的取值为4,5,32.21 / 21。

三数等差： a d , a, a d 设 元 四数等差： a 3d, a d, a d, a 3d 技巧
首先把握好通项公式和前 n 项和公式,对于
性质主要是理．解．(也就是说自己能推导出来)
例 1.等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，
则它的前 3m 项和为（ C）
n( n1)
（A） 3 2
n2 n2
（B） 3 2
（C） 3n2 n1 （D）B
第17讲等差数列
1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
差(比即 )等a于n 同 一an个1 常 数d (，d是 这个常数数列,叫且做n等≥差2数) 列.
关系,可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的通项公式. 即 an f (n)(n N * ) .
3.递推公式:数列的第 n 项 an 与它前面相邻一项 an1 (或相邻 n 项)所满足关系式叫递推公式.
作业
练习
练习:
5
1.
已知数列 an 的通项公式 an
(1)n
n
n
1
,则
a5
=_____6_.
即 an
Sn S1
Sn1
(n ≥2,n N*) (a 1)
例 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n2 3n 1 ,
则通项 an =_________.
例 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有 2Sn (n 2)an 1,求数列 an 的通项公式.
(B) 25 9
(C) 25 16
(D) 31 15
累积法:
注意到 an
an an 1
an1 an 2

4．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比 等比中项: 成等比数列, 中项, 中项,且
b = ± ac
中有如下性质: 5．在等比数列 {an } 中有如下性质: (1)若 m + n = p + q, n, q ∈N+ 则am ⋅ an = ap ⋅ aq m, p, (2)下标成等差数列的项构成等比数列
5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多 公式法求和：所给数列的通项是关于 的多 公式法求和 项式，此时求和可采用公式法求和， 项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式 有：
1 ∑k = 1+ 2 +L+ n = 2 n(n +1) k=1 n 1 2 2 2 2 ∑k = 1 + 2 +L+ n = 6 n(n +1)(2n +1) k=1 n 1 2 2 3 3 3 3 ∑k = 1 + 2 +L+ n = 4 n (n +1) k=1
2 3 n n
n+1
2(1− 2 ) n+1 n+1 = − n ⋅ 2 = (1− n)2 − 2 1− 2 n+1 ⇒Sn = (n −1)2 + 2
{ ⇔数列an}为等比数列
(3)通项法:若 an = cqn(c, 均是不为0的常数n ∈N∗) 通项法: q均是不为0的常数, ,
{ ⇔数列an}为等比数列 项和法: (4)前n项和法:若 Sn = Aqn − A(A, 为常数，且q≠ 0, ≠ 1) q为常数， q { ⇔数列an}为等比数列
7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 方程的思想( 知三求二 问题a 知三求二” (1)方程的思想(“知三求二”问题a1、an、sn、q、n) (2)分类的思想 ① 运 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 时 , 需 要 对 ---q =1和q ≠ 1 讨论 ② 当 a1 < 0, >1或a1 > 0,0< q <1时, q

1 an1
(n
2),则a2004
_____ .
方法二：迭乘法：
在 数 列{an }中
(1)已 知a1
1 3
, an
(1)n
•
2an1 ( n
2),求a5 , an;
(2)a1
1, an1
n n
1 an ,求 此 数 列 的 通 项 公 式an;
(3)a1
1, an an1
1 2
,
则an
__________
判断一个数是否是数列中的项：
(1)试 判 断 20是 不 是 等 差 数 列0,3 1 ,7,的 项? 2
如 果 是, 是 第 几 项, 如 果 不 是, 说 明 理 由.
(2)已 知 数 列{an }的 通 项 公 式 是an
2
200 30n n2
,
试 问: 1和32是 不 是 数 列{an }中 的 项, 如 果 是,
已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
①a n
3n
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④
31 ,,
5
3 ,,
7
5 2 11 7 17
②a n
2n
2
③a n
3n 1
④a n
n2 3n 1
２、等比形式的数列
①１,2,4,8
②3,5,9,17,33
③ 2,1, 1 , 1 , 1
通项公式． • ３判断一个数是否为已知数列中的项或者
求数列的某一项． • ４待定系数法 • ５换元法（用函数的思想来解题）
已知数列的前几项求数列的通项公式．

3 7 1 1 1 9 9 123499100
50(3199)5050
10（ 0 1100） 5050 2
2
这样也可以
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专题二：.通项的求法
①公式法，
②构造定义法，构造新数列如：an1 anb
（4）若数列 { a n } 是等差数列，则 S k,S 2 k S k,S 3 k S 2 k,S 4 k S 3 k,
也是等差数列 dk2d
（ 5）在等差数数 列为 2 中 n， ， 则 S偶 若 S奇 项 nd 若项2 数 n1为 ,则 S奇S偶an(中间项 SS奇 偶） nn， 1
等比数列的重要性质
5 ) 在 等 比 数 列 中 ， 若 项 数 为 2 n ， 则 S 偶 q S 奇
练习:
a a a • ⒈在等差数列{an}中， 2=-2, 5=16，求 8=__3__4_.
运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项 • ⒉在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则
a5+a6=___2_1_0
.
运用性质： S k,S 2 k S k,S 3 k S 2 k,S 4 k S 3 k, 也是等差数列
练习:
• ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8= -128 .
• ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 .
③裂项相消法求和，如
an
1 n(n 1)