常用树的存储结构

数据结构笔试复习⼀选择题1．下述哪⼀条是顺序存储结构的优点？（）A．存储密度⼤ B．插⼊运算⽅便 C．删除运算⽅便 D．可⽅便地⽤于各种逻辑结构的存储表⽰2.数据结构在计算机内存中的表⽰是指( ）。

A. 数据的物理结构B. 数据结构C. 数据的逻辑结构D. 数据元素之间的关系3．下⾯关于线性表的叙述中，错误的是哪⼀个？（）A．线性表采⽤顺序存储，必须占⽤⼀⽚连续的存储单元。

B．线性表采⽤顺序存储，便于进⾏插⼊和删除操作。

C．线性表采⽤链接存储，不必占⽤⼀⽚连续的存储单元。

D．线性表采⽤链接存储，便于插⼊和删除操作。

4.若线性表最常⽤的操作是存取第i个元素及其前驱的值，则采⽤( ）存储⽅式节省时间。

A. 单链表B. 双向链表C. 循环链表D. 顺序表5．线性表是具有n 个（）的有限序列（n>0）。

A．表元素 B．字符 C．数据元素 D．数据项 E．信息项6．若某线性表最常⽤的操作是存取任⼀指定序号的元素和在最后进⾏插⼊和删除运算，则利⽤（）存储⽅式最节省时间。

A．顺序表 B．双链表 C．带头结点的双循环链表 D．单循环链表7．某线性表中最常⽤的操作是在最后⼀个元素之后插⼊⼀个元素和删除第⼀个元素，则采⽤（）存储⽅式最节省运算时间。

A．单链表 B．仅有头指针的单循环链表 C．双链表 D．仅有尾指针的单循环链表8．设⼀个链表最常⽤的操作是在末尾插⼊结点和删除尾结点，则选⽤( )最节省时间。

A. 单链表B.单循环链表C. 带尾指针的单循环链表D.带头结点的双循环链表9．若某表最常⽤的操作是在最后⼀个结点之后插⼊⼀个结点或删除最后⼀个结点。

则采⽤（）存储⽅式最节省运算时间。

A．单链表 B．双链表 C．单循环链表 D．带头结点的双循环链表10. 链表不具有的特点是（）A．插⼊、删除不需要移动元素 B．可随机访问任⼀元素C．不必事先估计存储空间 D．所需空间与线性长度成正⽐11、3个结点可构成_____棵不同形态的⼆叉树。

数据结构(一)目录第1章序论 (1)1.1 什么是数据? (1)1.2 什么是数据元素? (1)1.3 什么是数据结构及种类? (1)1.4 数据的逻辑结构 (1)1.5 数据的物理结构 (1)1.6 算法和算法分析 (1)1.7 算法的五个特性 (1)1.8 算法设计的要求 (2)1.9 算法效率的度量 (2)第2章线性表 (3)2.1 线性表举例 (3)2.2 线性表的存储 (4)2.3 线性表-栈 (4)2.4 队列 (4)2.5 双端队列 (6)第3章树和二叉树 (6)3.1 树 (6)3.1.1 树的基本概念 (6)3.1.2 树的常用存储结构 (6)3.1.3 树的遍历 (7)3.2 二叉树 (7)3.2.1 二叉树的基本概念 (7)3.2.2 二叉树与树的区别 (7)3.2.3 树及森林转到二叉树 (7)3.2.4 二叉树的性质 (8)3.2.5 满二叉树 (8)3.2.6 完全二叉树 (8)3.2.7 完全二叉树的性质 (9)3.2.8 二叉树的四种遍历 (9)3.2.9 二叉排序树 (10)3.2.10 平衡二叉树 (11)3.2.11 m阶B-树 (11)3.2.12 最优二叉树 (11)3.2.13 二叉树的存储结构 (12)3.3 广义表 (13)3.4 矩阵的压缩存储 (14)3.4.1 特殊矩阵 (14)3.4.2 压缩存储 (14)第4章历年真题讲解 (15)4.1 2009年上半年 (15)4.2 2009年下半年 (15)4.3 2010年上半年 (15)4.4 2011年上半年 (16)4.5 2011年下半年 (16)4.6 2012年上半年 (17)4.7 2012年下半年 (17)4.8 2013年上半年 (18)4.9 2013年下半年 (18)4.10 2014年上半年 (18)4.11 2014年下半年 (19)4.12 2015年上半年 (19)4.13 2015年下半年 (19)4.14 2016年上半年 (20)第1章序论什么是数据?所有能输入到计算机中并能够被计算机程序处理的符号的总称,它是计算机程序加工的原料。

ElemType data ; struct CSnode *firstchild, *nextsibing ; }CSNode;
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出，其详细步骤是： ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外，父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心，顺时针旋转 450，使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧：无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知，树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历：先访问根结点，然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历：先依次后序遍历完每棵子树，然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表，即有n 个结点就有n个孩子链表；
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表； 结点结构定义： 顺序表定义：
typedef struct PTNode { ElemType data ;

第5章树和二叉树一、填空题1、指向结点前驱和后继的指针称为线索。

二、判断题1、二叉树是树的特殊形式。

（）2、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子。

（）3、对于有N个结点的二叉树，其高度为。

（）4、满二叉树一定是完全二叉树，反之未必。

（）5、完全二叉树可采用顺序存储结构实现存储，非完全二叉树则不能。

（）6、若一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。

（）7、不使用递归也可实现二叉树的先序、中序和后序遍历。

（）8、先序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点不一定跟在该结点之后。

（）9、赫夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。

（）110、在赫夫曼编码中，出现频率相同的字符编码长度也一定相同。

（）三、单项选择题1、把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（A）。

A．唯一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。

2、由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（D）A．2 B．3 C．4 D．5解释：五种情况如下：3、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（D）。

A．250 B． 500 C．254 D．501解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A，度为1的结点个数为B，度为2的结点个数为C，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。

4、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（C）。

A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间解释：若每层仅有一个结点，则树高h为1025；且其最小树高为⎣log21025⎦ + 1=11，即h在11至1025之间。

数据结构树的种类树是一种基本的数据结构，用于表示具有层次结构的数据。

它由一组节点组成，其中的每个节点都可以有零个或多个子节点。

树可以有不同的种类，每种种类具有不同的特点和应用场景。

以下是一些常见的树的种类：1. 二叉树（Binary Tree）：二叉树是一种每个节点最多只有两个子节点的树结构。

它可以是空树，或者由一个根节点、左子树和右子树组成。

二叉树具有简单的结构，常用于二分和排序。

2. 二叉树（Binary Search Tree）：二叉树是一种具有以下特点的二叉树：左子树中的所有节点都比根节点小，右子树中的所有节点都比根节点大。

二叉树支持快速的查找、插入和删除操作，并在树中保持有序性。

3. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：平衡二叉树是一种二叉树，但它在插入和删除节点时会自动调整树的结构以保持树的平衡性。

平衡二叉树的常见实现包括 AVL 树和红黑树，它们可以提供在最坏情况下仍保持对数时间复杂度的查找、插入和删除操作。

4. B树（B-Tree）：B树是一种自平衡的树结构，它具有以下特点：每个节点可以有多个子节点，每个节点中的键值有序排列，并且每个节点中的键值数量有一个上限和下限。

B树通常用于大规模数据的存储和数据库系统。

5. Trie树（Trie Tree）：Trie树，也称为字典树或前缀树，是一种专门用于处理字符串集合的树结构。

Trie树的每个节点都代表一个字符串前缀，通过将字符逐级插入树中，可以高效地完成字符串的和查找操作。

6. 线段树（Segment Tree）：线段树是一种用于处理区间查询问题的树结构。

它将要处理的区间划分为一系列离散的线段，并为每个线段创建一个节点。

线段树可以高效地回答关于区间的统计性质，如区间最小值、区间最大值、区间和等。

7. 堆（Heap）：堆是一种完全二叉树，它具有以下特点：对于每个节点，它的值都大于等于（或小于等于）它的子节点的值。

堆被广泛应用于优先队列、排序算法（如堆排序）以及图算法中。

7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

纯理论的东西，没有使用价值。
树的存储结构
父亲表示法： 定义一个数组，每个数组元素为一个记录，
除了存放一个结点的数据信息外,还存放该 结点的父结点编号。数据结构定义如下：
const m=10;{树的度} type node=record
data:integer; parent:integer; end; var tree:array [1..m] of node;
end; var t:tree;
【例题】单词查找树
在进行文法分析的时候，通常需要检测一个单词是否在我们的单 词列表里。为了提高查找和定位的速度，通常都画出与单词列表对应 的单词查找树，其特点如下：
（1）根结点不包含字母，除根结点外每一个结点都仅包含一个大写 英文字母；
（2）从根节点到某一节点，路径上经过的字母一次连起来所构成的 字母序列，称为该节点对应的单词。单词列表中的每个单词，都是该 单词查找树某个结点所对应的单词；
father:tree
end;
var t:tree;
树的存储结构
孩子兄弟表示法： 每个结点包括一个数据域和两个指针域，
一个指针指向该结点的第一个孩子结点， 一个指针指向该节点的下一个兄弟结点。
const m=10; type tree=^node;
node=record; data:char; firstchild,nex每个元素称为结点； 有一个特定的结点，称为根结点或树根； 除根结点外，其余结点被分成m个互不相交
的有限集合，而每一个子集又都是一棵树。
树的基本概念
度：入度，出度； 祖宗，父亲，兄弟，儿子，子孙； 树的深度（层次）； 路径； 森林。
树的表示方法
图形表示法； 括号表示法。

《数据结构》期末复习题及参考答案 - 第6章 树和二叉树一、 选择题1、在二叉树的第I 层(I≥1)上最多含有结点数为（ ）A. 2IB. 2I-1-1C. 2I-1D. 2I -12、深度为6的二叉树最多有( )个结点A ．64 B.63 C.32 D.313、一棵树高为K 的完全二叉树至少有( )个结点A.2k –1B.2k-1 –1C.2k-1D.2 k4、有关二叉树下列说法正确的是（ ）A. 二叉树的度为2B. 一棵二叉树的度可以小于2C. 二叉树中至少有一个结点的度为2D. 二叉树中任何一个结点的度都为25、n 个结点的线索二叉树上含有的线索数为（ ）A. 2nB. n －lC. n ＋lD. n6、线性表和树的结构区别在于（ ）A ．前驱数量不同，后继数量相同B ．前驱数量相同，后继数量不同C ．前驱和后继的数量都相同D ．前驱和后继的数量都不同7、已知一算术表达式的中缀形式为 A+B*C-D/E ，后缀形式为ABC*+DE/-，则其前缀形式为( )A ．-A+B*C/DE B. -A+B*CD/E C ．-+*ABC/DE D. -+A*BC/DE8、设有一表示算术表达式的二叉树（见下图），它所表示的算术表达式是（ ）A. A*B+C/(D*E)+(F-G)B. (A*B+C)/(D*E)+(F-G)9、一棵具有 n 个结点的完全二叉树的树高度（深度）(符号⎣⎦x 表示取不大于x 的最大整数)是（ ）10、利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（）。

11、已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF，中序遍历结果为CBAEDF，则后序遍历的结果为（）。

12、某二叉树中序序列为A,B,C,D,E,F,G，后序序列为B,D,C,A,F,G,E 则前序序列是：A．E,G,F,A,C,D,B B．E,A,C,B,D,G,F C．E,A,G,C,F,B,D D．上面的都不对13、若前序遍历二叉树的结果为序列A、B、C，则有_________棵不同的二叉树可以得到这一结果。

当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。

二叉树的顺序存储结构代码二叉树的顺序存储结构代码一、前言二叉树是一种重要的数据结构，常用于实现搜索、排序等算法。

在实际应用中，为了方便对二叉树进行操作，需要将其存储在计算机中。

本文介绍了二叉树的顺序存储结构代码。

二、二叉树的顺序存储结构1. 定义二叉树的顺序存储结构是指将二叉树中所有节点按照层次遍历的顺序依次存储到一个数组中。

2. 实现方法（1）计算数组长度：由于一个深度为k的满二叉树共有2^k-1个节点，因此可以通过计算出给定深度k下最多可能存在的节点数来确定数组长度。

（2）按层次遍历顺序存储节点：从根节点开始，按照从左到右、从上到下的顺序依次将每个节点存入数组中。

如果某个节点为空，则在数组中用特定符号表示。

3. 代码实现以下是C++语言实现的二叉树顺序存储结构代码：```#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;#define MAXSIZE 1000 // 数组最大长度#define EMPTY '#' // 空节点标记// 二叉树结点struct TreeNode {char value; // 结点值};// 二叉树顺序存储结构class SeqBinaryTree {private:TreeNode nodes[MAXSIZE]; // 存储结点的数组int depth; // 树的深度public:SeqBinaryTree(char *values, int len) { // values为层次遍历序列，len为序列长度depth = ceil(log2(len+1)); // 计算树的深度for (int i = 0; i < MAXSIZE; i++) { // 初始化数组nodes[i].value = EMPTY;}for (int i = 0; i < len; i++) { // 将节点按层次遍历顺序存入数组中nodes[i].value = values[i];}}void print() { // 输出二叉树中所有结点值for (int i = 0; i < pow(2,depth)-1; i++) {if (nodes[i].value != EMPTY) {cout << nodes[i].value << " ";}}}};// 测试代码int main() {char values[] = {'A','B','C','#','#','D','E'};SeqBinaryTree tree(values,7);tree.print(); // 输出结果：A B C # # D E}```三、总结本文介绍了二叉树的顺序存储结构代码实现方法，该方法可以方便地对二叉树进行操作。

2010年8月第16卷第3期安庆师范学院学报(自然科学版)J o ur nal o f A nqi ng T each er s C ol lege(N at u r al Sci ence Edi ti on)A ug．2010V O I．16N o．3论数据结构中二叉树的链式存储刘影(安徽电子信息职业技术学院软件学院．安徽蚌埠233000)擅要：--X树是树型结构中的重点研究对象。

二叉树的操作是以二叉树的存储为基础，其存储主要包括顺序存储和链式存储，常用的是链式存储。

目前研究者对二叉树的链式存储缺少一个全面、系统的分析。

因此本文对二叉树的动态链式存储和静态链式存储进行了全面的介绍，并对其进行了分析研究．关键词：二叉树；动态链式存储；静态链式存储中国分类号：T P311．12文献标识码：A文章编号：1007—4260(2010)03--0053--040引言在计算机领域中，树型结构是一类非常重要的非线性结构，其中二又树最为常用，对二叉树的操作和存储比树相对简单。

二叉树的存储一般采用顺序存储和链式存储。

顺序存储是将一棵二叉树的结点存放于一组地址连续的存储单元中，这种存储结构对完全二叉树而言，既简单又节省存储空间。

但对于一般二叉树，尤其对于单支结点较多的二叉树很不适合，由于对其存储也必须按完全二叉树的形式存储二叉树中的结点，从而造成存储空间的浪费。

因此，二叉树一般采用链式存储结构。

二叉树的链式存储结构分为两种，一种是动态链式存储，另一种是静态链式存储。

二叉树的动态链式存储是采用链表的形式存储二叉树，一般采用二叉链表和三叉链表。

二叉树的静态存储是用一个数组存储二叉树的各个结点，数组中不仅保存每个结点的信息，还存储该结点左、右孩子在数组中的地址信息。

下面分别对二叉树的动态链式存储和静态链式存储进行分析研究。

1二叉树的动态链式存储二叉树的动态链式存储有两种形式，一是二叉链表，即链表中每个结点由三个域组成：数据域、左孩子指针和右孩子指针。

A
B
C
G
H
DEF
I
L
J
K
《数据结构》 精品课程
第8页
4. 树的后根序列及结点次数表示法
为什么 D、E、F是 C 的 3个儿子?
树还可用后根序列和结点次数进行顺序存储. 树的后根遍历递归定义：
① 从左向右依次后根遍历根结点的诸子树 （若存在）；
② 访问树的根结点。
后根次序和结点次数表示法 后根序列 B D E F C G J K I L H A 结点次数 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 2 4 结点层数 1 2 2 2 1 1 3 3 2 2 1 0
《数据结构》 精品课程
结
点 下
标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数
据 域
双
亲
下 标
0 R 1
1A0
2B0
3C0
4D1
5E1
6F3
7G6
8H6
9K6
第2页
2.孩子表示法:层次顺序+子结点下标
R
结
点 下
标
数
据 域
子结点下标
A
B
C
0R1 2 3 1A4 5 0
DE
F
2B0 0 0
GHK
3C6 0 0
对树 T 中结点，按层次顺序用自然 数从 0 开始编号；
《数据结构》 精品课程
第10页
《数据结构》 精品课程
第9页
5. 树的层次序列和结点次数表示法
由一棵树 T 的层次序列和 T 的每个结点的次 数，则能唯一确定 T 的结构。
A
B
C
G
H
D
E
F
I

树的储存结构
⼀、树的储存结构有三种：
1.双亲表⽰法
2.孩⼦表⽰法
3.孩⼦兄弟表⽰法
⼆、
双亲表⽰法：
⽤⼀组连续空间储存树的结点，同时在每⼀个结点中增加⼀个指⽰器，⽤来标记双亲的位置。

⽅便寻找双亲，不放便查找孩⼦
孩⼦表⽰法：数据区不再是双亲的节点位置⽽是此双亲的左右孩⼦
左右分⽀均是存储的本结点的孩⼦，若没有则指针指向NULL；
孩⼦兄弟表⽰法: 先把原先的⼆叉树画出然后右孩变兄弟
同孩⼦表⽰法相似，只是将右指针域指向⾃⼰的兄弟
附加：
线索化⼆叉树：
同孩⼦表⽰法相似，但是如果没有左孩⼦，则将左指针指向此节点的前继，若没有右孩⼦，则右指针指向后继，值得注意的：注意储存⽅式顺序？中序？后序？。

数据结构的三种基本类型在计算机科学和计算机编程领域中，数据结构是指组织和存储数据的方式，是实现算法的基础。

数据结构可以分为三种基本类型：线性结构、树形结构和图形结构。

本文将详细介绍这三种基本类型，并讨论它们的特点和应用。

一、线性结构线性结构是最简单的数据结构，它的元素之间有且仅有一个直接前驱和一个直接后继。

最常见的线性结构有数组、链表和栈。

1. 数组数组是一种连续存储相同类型数据的线性结构。

它的特点是可以通过下标访问元素，时间复杂度为O(1)。

数组的大小在创建时即被确定，并且不可改变。

然而，插入和删除操作会导致元素的移动，时间复杂度为O(n)，效率较低。

2. 链表链表是一种非连续存储数据的线性结构。

它的特点是每个元素包含指向下一个元素的指针，通过指针将所有元素连接起来。

链表的插入和删除操作效率较高，时间复杂度为O(1)。

然而，访问元素需要遍历链表，时间复杂度为O(n)。

3. 栈栈是一种具有特定插入和删除规则的线性结构，遵循“先进后出”的原则。

栈的插入和删除操作都在栈顶进行，时间复杂度为O(1)。

栈常用于实现递归算法、括号匹配和表达式求值等。

二、树形结构树形结构是一种层次化的非线性结构，由节点和边组成。

每个节点可以有多个子节点，但每个节点只有一个父节点。

最常见的树形结构有二叉树、堆和AVL树。

1. 二叉树二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多只能有两个子节点。

二叉树的遍历方式包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，左子树的值小于根节点，右子树的值大于根节点，便于查找和排序。

2. 堆堆是一种经过排序的完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆。

大顶堆中，父节点的值大于等于子节点的值；小顶堆中，父节点的值小于等于子节点的值。

堆常用于优先队列和排序算法，如堆排序。

3. AVL树AVL树是一种自平衡二叉搜索树，每个节点的左子树和右子树的高度差最多为1。

通过旋转操作来保持树的平衡性，确保插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。

树的存储方法树（Tree）是一种重要的数据结构，常用于存储、检索和排序信息，并且有很多种不同的实现方式，包括链表、B树和搜索树等。

树结构能够更好地组织数据，提高检索、检查和更新的效率。

1、链表链表（Link List）是一种线性的数据结构，由若干节点（Node）组成，每个节点都包含一个数据域和一个指针域，指向下一个节点。

空间复杂度低、插入和删除性能高，但查询效率低，难以进行排序和搜索。

2、B树B树（B-Tree）是一种多叉树，它的每个节点有多个子节点，也就是每个节点都有多个子树，一个节点的子树的个数有限，用于存储关键字的非叶子节点，有若干子树且最多可以有m个子树，m的取值一般为2的幂次。

B树也可以实现存储、检索和排序，特别适合存储在外部设备上的大量信息。

它有较高的存储效率和搜索速度，且对于插入和删除操作也响应迅速，但它存在因为每次搜索操作都需要多次磁盘I/O操作而付出更多的性能代价。

3、搜索树搜索树（Search Tree）是在一棵二叉树上进行搜索的数据结构，其中的节点由一个键和一个值组成。

搜索树具有插入、删除和查找功能，它可以利用多叉树的二叉树结构进行快速的搜索。

它包含了B树的几乎所有特性，拥有更高的搜索效率，即使在有大量数据的情况下，也能够准确无误地完成搜索。

4、红黑树红黑树（Red-Black Tree）是一种特殊的搜索树，它是由完全平衡二叉树组成的，每个节点都有一个或红色或黑色的颜色属性，它与传统的搜索树最大的区别在于，红黑树的平衡性被保证，这使得它比传统的搜索树有更高的搜索性能。

它有较高的插入、删除和查找的速度，并且支持范围查询，可以实现更高效的记录存储和索引。

总结上面介绍了树结构常用的几种存储方法，它们都可以用于存储大量数据，并且可以根据需要进行排序和检索。

链表以其低空间复杂度和高插入、删除性能而闻名，但查询效率较低；B树可以实现存储、检索和排序，特别适合存储在外部设备上的大量信息；搜索树表现出极佳的搜索性能，响应迅速；红黑树也是一种搜索树，它的搜索效率更高，可以实现更高效的记录存储和索引。

（2）若*p结点只有左子树PL或者只有右子树PR， 此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子 树即可。显然，作此修改也不会破坏二叉排序树 的特性。
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;

二叉树的顺序存储结构代码介绍二叉树是一种常用的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

在计算机中，我们通常使用顺序存储结构来表示二叉树。

顺序存储结构是将二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次存储在一个数组中。

本文将详细介绍二叉树的顺序存储结构代码，包括初始化、插入节点、删除节点以及遍历等操作。

二叉树的顺序存储结构代码实现初始化二叉树首先，我们需要定义一个数组来存储二叉树的节点。

假设数组的大小为n，则二叉树的最大节点数量为n-1。

# 初始化二叉树，将数组中所有元素置为空def init_binary_tree(n):binary_tree = [None] * nreturn binary_tree插入节点在二叉树的顺序存储结构中，节点的插入操作需要保持二叉树的特性，即左子节点小于父节点，右子节点大于父节点。

插入节点的算法如下：1.找到待插入位置的父节点索引parent_index。

2.如果待插入节点小于父节点，将其插入到父节点的左子节点位置，即数组索引2*parent_index+1处。

3.如果待插入节点大于父节点，将其插入到父节点的右子节点位置，即数组索引2*parent_index+2处。

# 插入节点def insert_node(binary_tree, node):index = 0 # 当前节点的索引值，初始值为根节点的索引值while binary_tree[index] is not None:if node < binary_tree[index]:index = 2 * index + 1 # 插入到左子节点else:index = 2 * index + 2 # 插入到右子节点binary_tree[index] = node删除节点删除节点需要保持二叉树的特性，即在删除节点后，仍然满足左子节点小于父节点，右子节点大于父节点的条件。

删除节点的算法如下：1.找到待删除节点的索引delete_index。