有限元边界元习题答案2010

有限元课后习题答案1.1有限元法的基本思想和基本步骤是什么首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

1.2有限元法有哪些优点和缺点优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。

缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。

对无限求解域问题没有较好的处理办法。

1.3有限元法在机械工程中有哪些具体的应用静力学分析模态分析动力学分析热应力分析其他分析2.1杆件结构划分单元的原则是什么？1）杆件的交点一定要取为节点2）阶梯形杆截面变化处一定要取为节点3）支撑点和自由端要取为节点4）集中载荷作用处要取为节点5）欲求位移的点要取为节点6）单元长度不要相差太多2.2简述单元刚度矩阵的性质。

单元刚度矩阵是描述单元节点力与节点位移之间关系的矩阵。

2.3有限元法基本方程中每一项的意义是什么？{Q}---整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束力）;{}---整个结构的节点位移列阵；[K]---结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。

2.4简述整体刚度矩阵的性质和特点。

对称性奇异性稀疏性主对角上的元素恒为正2.5位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。

2.6写出平面刚架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式2.7推导平面刚架局部坐标系下的单元刚度矩阵。

2.8简述整体坐标的概念。

单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’O’Y’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。

______________________________________________________________________________________________________________华南理工大学机械与汽车工程学院 2010-2011年第 2 学期期末考试《 汽车有限元法 》全日制本科 试卷（B 卷）答案（.本试卷共有 三大题，满分 100 分，考试时间 120 分钟）一．简答题(共24分)1．弹性力学与材料力学在研究对象上的区别（2分）弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。

材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。

弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。

2．弹性力学中的五点假设（5分）(1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。

(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。

这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。

(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。

这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。

(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

(5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程.答题时仅需要答案的第一句的内容表达清楚就可以给分。

2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。

而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。

矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。

矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。

因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。

2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。

在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。

若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

有限元边界元习题2010有限元部分1.什么是单元的协调性和完备性要求？为什么要满足这些要求？平面问题三角形单元如何满足这些要求？矩形4节点平面单元呢？2.对于平面3节点三角形单元，如果在单元内假定位移模式为2212322456αααααα?=++?=++?u x xy y v x xy y 试讨论此时单元的形状函数矩阵、单元刚度矩阵以及这种单元的特征。

3.就平面梁单元而言，在刚体位移的状态下，讨论刚度矩阵的性质。

4.一般情况下，有限元方法总是过高计算了结构的刚度，因而求得的位移小于真实解，为什么？如果单元不满足协调性要求，情况如何？为什么？5.证明：单元的常应力项或常应变项是保证收敛性的前提条件。

6.对于弹性结构，若给定的荷载列阵为{}P ，对应的位移列阵为{}d ，则势能泛函中的外力功为{}{}T P d ，但静力加载过程中做的功为1{}{}2TP d ，为什么？ 7.证明：单元的刚度矩阵是半正定的。

8.证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系=++??=++?i i j j k k i i j j k k x x L x L x L y y L y L y L 9.证明二维平行四边形单元的Jacobi 矩阵是常数矩阵。

10.为什么虚位移原理可适用于线性与非线性问题，而最小势能原理只适用于线弹性问题？11.用最小势能原理推导单元刚度矩阵。

12.如图3个三角形单元，画出完整多项式各项的Pascal 三角形。

13.证明常应变三角形单元形函数N j 在j 、k 边界上的值与i 节点坐标无关。

14.证明常应变三角形单元发生刚体位移时，不会在单元内产生应力。

15.证明常应变四面体单元是完备协调元。

16.证明常应变四面体单元是等参元。

17.证明常应变三角形单元形函数满足1=∑i i N。

18.导出矩阵[]ij H 、[]ij G ()=i j 中元素H 12和G 11的表达式。

19.推证格林公式。

20.试由,,()0λ+++=i ij j ii j G u Gu b ，写出其直角坐标表达式。

有限元习题及答案一判断题（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

二、填空1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。

2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。

3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。

4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。

5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。

6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。

等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。

7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]e D B σδ=。

（用符号表示即可）8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元三选择题1 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______的插值函数。

有限单元法考试题和答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 有限元法中，节点是指（）。

A. 网格的交点B. 网格的边界C. 网格的内部点D. 网格的对称中心答案：A2. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是二维的（）。

A. 杆单元B. 梁单元C. 壳单元D. 体单元答案：C3. 有限元法中，以下哪种类型的边界条件是自然边界条件（）。

A. 位移边界条件B. 力边界条件C. 力矩边界条件D. 压力边界条件答案：B4. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是三维的（）。

A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 四面体单元答案：C5. 有限元法中，以下哪种类型的单元是一维的（）。

A. 杆单元B. 梁单元C. 壳单元D. 体单元答案：A6. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是平面应力单元（）。

A. 轴对称单元B. 平面应变单元C. 壳单元D. 体单元答案：B7. 有限元法中，以下哪种类型的单元是平面应变单元（）。

A. 轴对称单元B. 平面应力单元C. 壳单元D. 体单元答案：A8. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是轴对称单元（）。

A. 平面应力单元B. 平面应变单元C. 壳单元D. 体单元答案：A9. 有限元法中，以下哪种类型的单元是四面体单元（）。

A. 二维单元B. 三维单元C. 壳单元D. 体单元答案：B10. 在有限元分析中，以下哪种类型的单元是六面体单元（）。

A. 二维单元B. 三维单元C. 壳单元D. 体单元答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 有限元法中，单元刚度矩阵的计算需要基于______假设。

答案：小变形2. 在有限元分析中，节点位移向量通常表示为______。

答案：U3. 有限元法中，整体刚度矩阵的组装是通过______实现的。

答案：节点编号4. 在有限元分析中，边界条件的处理需要考虑______和______。

答案：位移边界条件；力边界条件5. 有限元法中，单元的形函数是用于描述单元内______分布的函数。

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为假设干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩.5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角 .7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系.8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个.9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个.10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值 ,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是三角形单元内部坐标的线性函数他反映了单元的位移状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为双线性位移模式19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何各向同性20、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1.诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的根本思想是什么答：首先,将表示结构的连续离散为假设干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体.其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量.3.有限元法的分类和根本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移.4.有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解；通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便, 对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点.缺点：有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算, 所消耗的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的. 对无限求解域问题没有较好的处理方法. 尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术, 但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验.5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：由每个节点位移分量的总和确定6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量.7.有限元法根本方程中的每一项的意义是什么P14答：Q——整个结构的节点载荷列阵〔外载荷、约束力〕；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵.8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解.9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正.10简述整体坐标的概念P25答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标,又叫做统一坐标系.11.简述平面钢架问题有限元法的根本过程答：1〕力学模型确实定,2〕结构的离散化,3〕计算载荷的等效节点力,4〕计算各单元的刚度矩阵,5〕组集整体刚度矩阵,6〕施加边界约束条件,7〕求解降价的有限元根本方程, 8〕求解单元应力,9〕计算结果的输出.12.弹性力学的根本假设是什么.答：连续性假定,弹性假定,均匀性和各向同性假定,小变形假定,无初应力假定.13.弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么不同.答：研究对象：材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移.弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等.因此,弹性力学的研究对象要广泛得多.研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别.弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答.而材料力学虽然也考虑这几方面的条件,但不是十分严格的,材料力学只研究和适用于杆件问题. 14.简述圣维南原理. 答；把物体一小局部上的面力变换为分布不同但静力等效的面力,但影响近处的应力分量, 而不影响远处的应力.“局部影响原理〞15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例.答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度,沿板面受有平行板的面力,且沿厚度均匀分布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后外表上无外力作用平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸,且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同,受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷,约束条件沿z向也不变,即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化.区别：平面应力问题中z方向上应力为零,平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零.举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体,受力方向沿板面方向,荷载不沿板的厚度方向变化,且板的外表无荷载作用.平面应变问题一一水坝用于很长的等截面四柱体,其上作用的载荷均平行于横截面,且沿柱长方向不变法.16.三角形常应变单元的特点是什么矩形单元的特点是什么写出它们的位移模式.答：三角形单元具有适应性强的优点,较容易进行网络划分和逼近边界形状,应用比较灵活.其缺点是它的位移模式是线性函数,单元应力和应变都是常数,精度不够理想.矩形单元的位移模式是双线性函数,单元的应力、应变式线性变化的,具有精度较高, 形状规整,便于实现计算机自动划分等优点,缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界,也不能随意改变大小,适用性非常有限.17.写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关.答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵,局部坐标系下的单元刚度矩阵,节点位移有关的坐标变换矩阵.18.如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵〔叠加法〕答：〔1〕把单元刚度矩阵扩展成单元奉献矩阵 ,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列, 空白处用零子块填充.〔2〕把单元的奉献矩阵的对应列的子块相叠加, 即可得出整体刚度矩阵 .19.整体刚度矩阵的性质.答：〔1〕整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移,而其他节点都保持为零的变形状态,在各节点上所需要施加的节点力；〔2〕整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；〔3〕整体刚度矩阵是一个对称阵；〔4〕整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵.〔5〕整体刚度矩阵式一个奇异阵,在排除刚体位移后,他是正定阵.20.简述形函数的概念和性质.答：形函数的性质有：〔1〕形函数单元节点上的值,具有“本点为一、他点为零〞的性质；〔2〕在单元的任一节点上,三角函数之和等于1; 〔3〕三角形单元任一一条边上的形函数,仅与该端点节点坐标有关,而与另外一个节点坐标无关；〔4〕型函数的值在0〜1之间变换.21.结构的网格划分应注意哪些问题 .如何对其进行节点编号.才能使半带宽最小.P50, P8相邻节点的号差最小答：一般首选三角形单元或等参元.对平直边界可选用矩形单元,也可以同时选用两种或两种以上的单元.一般来说,集中力,集中力偶,分布在和强度的突变点,分布载荷与自由边界的分界点,支撑点都应该取为节点,相邻节点的号差尽可能最小才能使半带宽最小22.为了保证解答的收敛性,单元位数模式必须满足什么条件答：〔1〕位移模式必须包含单元刚体位移；〔2〕位移模式必须包含单元的常应变；〔3〕位移模式在单元内要连续,且唯一在相邻单元之间要协调.在有限单元法中,把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元,把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元.23有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件.答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移,2.位移模式必须包含单元的常应变,3.位移模式在单元内要连续,且位移在相邻单元之间要协调.24.简述等参数单元的概念.答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数,这种单元称为等参单元.25.有限元法中等参数单元的主要优点是什么答：1〕应用范围广.在平面或空间连续体,杆系结构和板壳问题中都可应用.2〕将不规那么的单元变化为规那么的单元后,易于构造位移模式.3〕在原结构中可以采用不规那么单元,易于适用边界的形状和改变单元的大小.4〕可以灵活的增减节点,容易构造各种过度单元.5〕推导过程具有通用性.一维,二维三维的推导过程根本相同.26.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程.答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元,并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程,得到单元应变分量的计算式,再将单元应变代入平面问题的物理方程,得到平面四节点等参数单元的应力矩阵〔4〕用虚功原理球的单元刚度矩阵,,最后用高斯积分法计算完成.27.为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数为什么要引入雅可比矩阵答：简化计算得到形函数的偏导关系.28. ANSYS软件主要包括哪些局部各局部的作用是什么答：1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具,用户可以方便地构造有限元模型.2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析,可以模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析水平.3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出.29. ANSYS软件提供的分析类型有哪些答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析.30.简述ANSYS软件分析静力学问题的根本流程.答：1.前处理器：1〕定义单元类型,2〕定义实常数,3〕定义材料属性,4〕创立实体几何模型,5〕划分网络；2.求解器：1〕定义分析类型,2〕施加载荷和位移约束条件,3〕求解；三角形三节点单元的位移是连续的,应变和应力在单元内是常数,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变.矩形单元的边界上,位移是线性变化的,显然,在两个相邻矩形单元的公共边界上,其位移是连续的.节点的选用原那么：一般说,集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点.单元的划分原那么：〔1〕划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.〔2〕单元的大小,可根据部位的不同而有所不同.1、试述街节点力和节点载荷的区别.节点力是单元与节点之间的作用力；如果取整个结构为研究对象,节点力为内力,节点载荷是作用在节点上的外载荷.2、试述求整体刚度矩阵的两种方法.分别建立各节点的平衡方程式,写成矩阵形式,可求得整体刚度矩阵；将各单元刚度矩阵按规律叠加,也可得整体刚度矩阵.3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好不是越多越好.划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.随着单元数目的接连多,有限元解逐步逼近于真实解,但是,单元数目接连加,刚求解的有限元线性方程组的数目接连多, 需要占用更多的计算机内存资源,求解时间接连长,所以,在计算机上进行有限元分析时,还要考虑计算机的性能.单元数过多并不经济.4、写出单元刚度矩阵的表达式,并说明单元刚度与那些因素有关[B]-单元应变矩阵,[D]-弹性矩阵,t-厚度〕单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平移而改变.5、选择多项式为单元的位移模式时,除了要满足单元的完备性和协调性要求,还须考虑什么因素还须考虑两个因素：1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,即几何各向同性. 2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数,通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等.。

致奋战在有限元考试一线的兄弟姐妹们期末考试接近尾声了，估计咱都是剩下两门左右没考。

这两天我看了一下有限元，许多问题有些棘手。

相信大家的感觉跟我差不多。

现在是元旦假期，知道大家许多都“拖家带口”的，不容易，呵呵……小生相对来说清闲一点，就趁着这几天整理了一下有限元教材课后题的答案。

在这里，我不得不说：答案不好找。

所以找的不是太全。

而且肯定有许多疏漏之处，仅供大家参考。

希望能对大家有所帮助。

以下是我整理的答案：（温馨提示：在word2000中编辑的公式无法粘到日志当中，有关公式请大家参考教材。

）习题有限元法的基本思想：有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。

根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。

1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程式是怎样的？①离散：将连续区域分散成有限多个子区域；②给每个单元选择合适的位移函数来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。

因为节点位移个数是有限的，故无限自由度问题就转变成了有限自由度的问题；③有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。

1.2 什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力的概念？①节点力：节点对单元的作用力。

节点荷载：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效荷载，原荷载和移植后的荷载在虚位移上的虚功相等；②相对于整体结构来说，节点力是内力，节点荷载是外力。

（注：我不太确定）③节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到。

1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么？①单刚：对称性，奇异性。

2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。

而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。

矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。

矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。

因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。

2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。

在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。

若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

一、如图所示的1D 杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。

注意它的弹性模量为E 、横截面积A解：如图1.1所示的1D 杆结构，其基本变量为 位移 x u 应变 x ε 应力 x σ取微单元体Adx ，其应力状态如图1.2，由泰勒展开式知()⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂+⋅∂∂+=+22221dx x dx x dx x x x x σσσσ略去2阶以上的商阶微量知()dx xdx x xx ⋅∂∂+=+σσσ 由力的平衡知0=∑i x ：0=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+A A dx x x x x σσσ即力的平衡方程为：⋅⋅⋅⋅=0dxd xσ① 位移由图1.3知（泰勒展开，略去商阶微量）()dx xu u dx x u xx ⋅∂∂+=+ dxu dxdxdx u dx x uu ABABB A xx x x x ∂=-+-∂∂+=-=∴)(''ε应变 即几何方程为：⋅⋅⋅⋅=dxdu xx ε② 根据虎克定律知⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=dxdu E E xx x εσ③ 由①、②、③知该1D 杆的基本方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====dx du E E dx du dx d x x xx xxεσεσ0 在节点1时位移：00==x x u 在节点2时应力：APlx x==σ即其边界条件为00==x x u on u SAPlx x==σ on P S 由①式知⋅⋅⋅⋅⋅=0c x σ ④ ④代入③解得：dxdu Ec x=0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=10c x Ec u x ⑤ 0c 、1c 为待定系数结合边界条件知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+A P c c x Ec 010解知得APc =0，01=c ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅==EA P E x EA P u A P x xx x σεσ二、设平面问题中的应力问题y a x a a x 321++=σy a x a a y 654++=σ y a x a a xy 987++=τ其中i a （1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者i a 之间有什么关系才满足平衡。

习题2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。

解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。

○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。

X U Xx ∆∆=ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。

○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=γγγεεεε○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xz yz xy zz yy xx γγγεεε○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。

2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。

○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。

有限元考试一试题及答案——第一组有限元考试一试题及答案一、简答题（ 5 道，共计 25 分）。

1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5 分）答：（1）选择合适的单元种类将弹性体失散化；（2）建立单元体的位移插值函数；（3）推导单元刚度矩阵；（4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；（5）代入界线条件和求解。

2.在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5 分）答：在对于曲线界线的界线单元，其界线为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合收效比四边形矩形单元的直边好。

3. 轴对称单元与平面单元有哪些差异？（5分）答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变重量，平面单元内任意一点非零独立应变重量有三个。

4.有限元空间问题有哪些特色？（5 分）答：（1）单元为块体形状。

常用单元：周围体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。

（2）结点位移 3 个重量。

（3）基本方程比平面问题多。

3 个平衡方程， 6 个几何方程， 6 个物理方程。

5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题解析过程。

（5）分）答：（1）经过整体坐标系和局部坐标系的照射关系获取四节点四边形等参单元的母单元，并采用单元的唯一模式；（2）经过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，获取单元应变重量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，获取平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。

二、论述题（ 3 道, 共计 30 分）。

1.简述四节点四边形等参数单元的平面问题解析过程。

（ 10 分）答：（1）经过整体坐标系和局部坐标系的照射关系获取四节点四边形等参单元的母单元，并采用单元的唯一模式；（2）经过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，获取单元应变重量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，获取平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。