对一道高考向量试题的探究

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景.向量既是代数研究对象，又是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.2020年的13份高考数学试卷中对平面向量内容均有考查，这些试题视角宽、层次多、区分度强，在考查向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用等内容的同时，也考查转化与化归、数形结合等思想方法.本文针对平面向量试题的考点分布、命题特点和命题趋势，对教学和复习备考提出建议.一、考点分析1.题型分布与分值难度2020年的13份高考数学试卷中平面向量试题的题型分布、分值和难度统计如下表所示.卷别全国Ⅰ卷全国Ⅱ卷科别理文理文题型分布填空题14解答题20填空题14解答题21填空题13选择题5分值51251255难度容易较难容易较难容易容易卷别全国Ⅲ卷全国新高考Ⅰ卷全国新高考Ⅱ卷北京卷上海卷天津卷江苏卷浙江卷科别理文——————————————题型分布选择题6选择题6选择题7选择题7填空题13填空题12解答题20填空题15解答题18填空题13解答题18填空题17分值555555165155164难度容易容易中等中等中等较难较难中等较难较难较难较难续表根据上表的统计，我们从以下两个方面分析.（1）从题型分布上看，各份试卷均命制了平面向量的试题，每份试卷都有一道选择题或填空题，分值占全卷的3%左右.其中，全国Ⅰ卷（文、理科）、上海卷、天津卷、江苏卷中又都出现了一道与解析几何结合的平面向量解答题，这几份试卷对平面向量的考查分值都在17分以上.对比往年的题型和分值情况，发现2020年高考对平面向量的考查力度有所加强，特别是加强了对平面向量与其他数学知识交会的考查.（2）从试题的难度上看，与往年相比，2020年平收稿日期：2020-08-25作者简介：王峥（1988—）男，中学一级教师，主要从事数学教学研究.2020年高考“平面向量”专题命题分析王摘要：针对2020年13份高考数学试卷中涉及的平面向量试题，从题型分布、分值难度、考点分析、文理差异、核心素养等角度横向比较分析了考查内容和命题特点，在分析考查重点和难点的基础上，探索高考中平面向量试题的命题特点和命题趋势，并针对该专题的教学和复习给出了建议．关键词：2020年高考；平面向量；命题分析；复习建议··2面向量高考试题的难度比较平稳，选择题和填空题延续了题干简洁清晰、几何背景丰富、入口宽泛、解法多样的风格特点，基础题、中档题、压轴题都有出现.大部分试题考查学生的基础知识、基本方法、基本技能，而江苏卷、上海卷、浙江卷中的平面向量试题出现在填空题最后两题的位置上，这三道题对学生能力的要求较高.涉及平面向量的解答题，都与解析几何交会，难度较高，要求学生在平时的学习中形成较好的数学抽象和数学运算素养.2.考点分布2020年高考对平面向量内容的考查主要集中在：平面向量的基本概念；平面向量的线性运算和基本定理；平面向量数量积的概念、几何背景、运算及应用；平面向量与解析几何、三角、函数、不等式交叉考查. 3.文、理科差异2020年很多省份都实行了新高考改革.北京卷、上海卷、天津卷、江苏卷、浙江卷、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷都不分文、理科，而全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷针对文、理科学生能力的差异命制了不同的平面向量试题.总体来看，文、理科试题难度差别不大，以考查学生基础知识、基本方法、基本技能为主，需要学生具有较好的数学抽象、直观想象、数学运算素养.4.核心素养的考查《标准》指出，高中数学关注学生知识技能的掌握，更应该关注数学学科核心素养的形成和发展.因此，立足基础、突出能力、聚焦核心素养是2020年高考数学命题的显著特点.各份高考数学试卷紧紧围绕平面向量的概念、平面向量的运算、向量基本定理及坐标表示、向量的应用等高中平面向量体系的主干内容进行设置，各份试卷不刻意追求知识的覆盖面.除了对基础知识、基本技能的考查，又重点考查学生进一步发展所需要的数学抽象、数学运算、直观想象等数学学科核心素养.二、命题思路分析1.平面向量基本概念和运算的考查平面向量基本概念和运算的考查内容主要集中在向量的加、减法运算，向量的数乘运算及其意义，向量的数量积运算及其意义，两个向量相等、共线、垂直的含义及相应的坐标表示和坐标运算.试题围绕平面向量的基础知识、基本技能命制，对学生的要求以理解和初步应用为主.例1（全国Ⅰ卷·文14）设向量a=()1，-1，b=()m+1，2m-4，若a⊥b，则m的值为.【评析】该题以平面向量的垂直为背景，即a⊥b⇔a·b=0，考查平面向量的坐标运算.例2（全国Ⅱ卷·理13）已知单位向量a，b的夹角为45°∘，k a-b与a垂直，则k的值为.【评析】该题考查平面向量数量积的运算和平面向量的垂直性质.例3（全国Ⅱ卷·文5）已知单位向量a，b的夹角为60°∘，则在下列向量中，与b垂直的是（）.（A）a+2b（B）2a+b（C）a-2b（D）2a-b【评析】该题考查平面向量数量积的运算、平面向量垂直的性质，以及平面向量的加、减运算.例4（全国Ⅲ卷·理6）已知向量a，b满足||a=5，||b=6，a·b=-6，则cos a，a+b的值为（）.（A）-3135（B）-1935（C）1735（D）1935【评析】该题以平面向量的数量积为背景，考查学生对数量积、模长、夹角之间关系的掌握情况，需要学生具备较好的数学运算素养.2.平面向量基本定理、数量积和几何背景的考查平面向量基本定理和数量积都具有丰富的几何特征，如等和线、投影、极化恒等式等可以用向量语言和坐标语言描述，进行代数化运算，结合函数、三角函数、解析几何、不等式等背景命题，综合性较强，常出现在选择题和填空题较靠后的位置上.此类问题是高考的重点和热点，常考常新，具有很好的区分度和选拔功能，可以很好地考查学生的数学抽象、直观想象、数学运算素养.例5（全国Ⅰ卷·理14）设a，b为单位向量，且||a+b=1，则||a-b的值为.【评析】该题考查平面向量数量积和模长之间的转化，以及平面向量数量积的运算，有一定的几何背景，与2017年浙江卷第15题背景相似.··3例6（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ·AB 的取值范围是（）.（A ）()-2，6（B ）()-6，2（C ）()-2，4（D ）()-4，6【评析】该题考查平面向量数量积的几何背景——投影，也考查学生运用坐标语言描述、解决平面几何数量积问题的能力.例7（北京卷·13）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足 AP =12() AB + AC ，则||PD 的值为；PB · PD 的值为.【评析】该题以学生十分熟悉的图形——正方形为命题背景，考查平面向量数量积和模的处理，也考查平面向量基本定理，即用基底思想或坐标语言描述、解决平面几何数量积问题的能力.例8（天津卷·15）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ， AD ·AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|| MN =1，则 DM ·DN 的最小值为.A NM DCB图1【评析】该题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的基底思想、正交分解和坐标表示.该题第（2）小题也可以用极化恒等式解决，即 DM · DN =|| DS 2-14|| MN 2，其中S 为MN 的中点.该题入口宽泛，解法多样，区分度好，体现了从能力立意到素养导向的转变.例9（江苏卷·13）如图2，在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，点D 在边BC 上，延长AD 到点P ，使得AP =9，若 PA =m PB +æèöø32-mPC （m 为常数），则CD 的长度是.AC图2【评析】该题将解三角形和平面向量结合，考查学生平面向量的基底思想和坐标系下的正交分解及坐标表示，考查学生用向量的方法解决平面几何问题的能力，让学生体会向量在解决数学和实际问题中的作用.该题需要学生在掌握平面向量基础知识、基本技能的前提下，探究合适有效的解题方法.其中，应用等和线的结论入手较为简便，即向量系数m +æèöø32-m =32，故||PA || PD=32.该题要求学生在平时的学习中善于总结反思，具有较好的数学探索能力.该题有较好的区分度.例10（上海卷·12）已知a 1，a 2，b 1，b 2，…，b k ()k ∈N ∗是平面内两两互不平行的向量，满足||a 1-a 2=1，且||a i -b j ∈{}1，2（其中i =1，2，j =1，2，…，k ），则k 的最大值为.【评析】该题突出对平面向量符号语言到几何背景转化的考查，需要学生有较好的数形结合的思维能力和数学抽象、直观想象素养，体现了上海卷近年来淡化解题技巧、重视思维分析的风格特点.例11（浙江卷·17）已知平面单位向量e 1，e 2满足||2e 1-e 2≤2.设a =e 1+e 2，b =3e 1+e 2，a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是.【评析】该题以向量为背景，考查学生对数量积和夹角之间关系的理解.同时，结合函数思想进行范围求解，在考查学生数学运算能力的同时，也考查了学生综合应用不同知识的能力，具有较好的选拔功能和教学导向.3.平面向量与解析几何交会点的考查平面向量是沟通几何和代数的桥梁，长度、角、斜率、平行、垂直等都可以用向量表示.近几年，借助几何背景和代数工具结合解析几何、三角、函数、不等式等知识命制的试题经常出现.此类试题常以解答题的形式出现，难度较大，对学生的能力素养要求较高.例12（全国Ⅲ卷·文6）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若 AC ·BC =1，则点C 的轨迹为（）.（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）直线例13（全国Ⅰ卷·理20/文21）已知A ，B 分别··4为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1()a >1的左、右顶点，G 为E 的上顶点， AG ·GB =8.P 为直线x =6上的动点，PA与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.例14（天津卷·18）已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的一个顶点为A ()0，-3，右焦点为F ，且||OA =||OF ，其中O 为原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知点C 满足3 OC =OF ，点B 在椭圆上（点B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.例15（江苏卷·18）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B.（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求 OP ·QP 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标.例16（上海卷·20）双曲线C 1：x 24-y2b2=1，圆C 2：x 2+y 2=4+b 2()b >0在第一象限交点为A ()x A ，y A ，曲线Γ：ìíîïïx 24-y 2b 2=1，x 2+y 2=4+b2()||x >x A .（1）若x A =6，求b ；（2）若b =5，C 2与x 轴交点记为F 1，F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足||PF 1=8，求∠F 1PF 2；（3）过点S æèçöø÷0，2+b 22且斜率为-b 2的直线l 交曲线Γ于M ，N 两点，用b 的代数式表示 OM ·ON ，并求出 OM ·ON 的取值范围.【评析】以上几道例题，以向量的几何背景和代数工具为载体，考查圆锥曲线中长度、角的大小、平行、垂直等几何背景问题.利用向量既有几何背景，又能通过坐标表示转化为代数工具的重要特点来命制解析几何解答题，是近年来的趋势，如2017年浙江卷第21题、2018年北京卷理科第19题等.三、复习建议随着新高考在全国各地的陆续推行，越来越多的高考数学试卷不分文、理科，起点低、区分度好、覆盖面全、思维能力要求高是这些试卷的共同特点.关注高考的变化趋势，研究高考试题，可以引领课堂教学和高三复习.1.重视知识本质，提升数学学科核心素养《标准》指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）.同时，高考改革使得高考命题正在由能力立意向素养导向变革.在平面向量的教学中，一定要以教材为依据，以高考试题为导向，切实理解平面向量的概念；掌握平面向量加法、减法、数乘、数量积运算及其运算法则，理解其几何意义；理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.帮助学生理清知识网络，引导学生养成用图形语言、向量语言、坐标语言去思考和解决平面向量问题的习惯，培养和发展学生的数学抽象、直观想象、数学运算等数学学科核心素养.2.关注高考差异，转变课堂教学模式教育部公布的“一核”“四层”“四翼”的中国高考评价体系中指出，高考的核心功能是“立德树人、服务选才、引导教学”.2020年起山东、海南率先使用了全国新高考数学试卷；2021年起江苏使用全国卷；2023年起浙江使用全国卷.横向比较各份高考数学试卷的差异，纵向关注历年高考的命题趋势，可以发现高考对平面向量内容的考查总体变化不大，但是对平面向量问题中数形结合思想应用的考查和将平面向量作为沟通几何和代数的工具解决三角、解析几何问题的考查明显增多.在高中数学教学中，要立足教材，··5以高考的变化引领高中数学课堂的改变，优化课程结构，改进教学过程，重视思想方法的渗透，强化学科核心素养的培养.3.加强热点研究，把握高考命题方向近几年的高考数学试卷中对向量基础知识和基本方法的考查是平稳变化的，而平面向量基本定理、数量积及其应用等重点问题一直是高考试题的热点、亮点和生长点.例如，2019年江苏卷第12题，2019年浙江卷第17题，2018年浙江卷第9题，2017年天津卷文科第14题，2017年上海卷第15题，2017年浙江卷第15题等，都体现了高考继承和创新的特点.因此，教师在引导学生复习时，要合理利用历年高考试题，研究问题的本质，总结并推广应用，如等和线的结论应用、极化恒等式a ·b =14[]()a +b 2-()a -b 2、向量三角不等式||||a -||b ≤||a ±b ≤||a +||b 等.这样学生可以在高考解题中迅速抓住问题的本质，理解命题意图，进而精准解决问题.四、模拟题欣赏1.在△ABC 中，若 AB · BC = BC · CA =2 CA ·AB ，则|| AB || BC的值为（）.（A ）1（B）（C）（D）解法1：设 CA ·AB =t ，则 AB ·()BC + CA = AB · BC + AB ·CA =2t +t =3t ，即-|| AB 2=3t ，|| AB 2=-3t .因为 BC ·()AC - AB = BC · AC - BC ·AB =-2t -2t =-4t ，所以|| BC 2=-4t .所以|| AB 2|| BC2=-3t -4t ，即|| AB || BC=.故答案选C.解法2：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由题意，得-ac cos B =-ab cos C =-2bc cos A .结合余弦定理，有a 2+c 2-b 22=a 2+b 2-c 22=b 2+c 2-a 2.得b =c ，且3a 2=4c 2.故|| AB || BC=c a=.故答案选C.2.在平面直角坐标系xOy 中，A ()2，0，B ()0，3，点C 在线段AB 上，若 OC · AB =143，||AC ||AB 的值为.解：由已知，得AB =()-2，3.设||AC ||AB =λ，则 AC =λ AB ，λ∈[]0，1.所以 OC · AB =()OA + AC · AB=()OA +λ AB · AB=()2-2λ，3λ·()-2，3=13λ-4=143.解得λ=23.故||AC ||AB 的值为23.3.已知向量a ，b 满足||a =4，||b -t a ()t ∈R 的最小值为1，当b ·∙()a -b 最大时，||a -2b 的值为.解：设 OA =a ，OB =b .由题意，知||OA =4，点B 到直线OA 的距离为1.设OA 的中点为C ，得b ·()a -b = OB ·()OA -OB=- BO · BA=-()BC 2- CA2=4- BC 2≤4-1=3，当且仅当||BC =1时，等号成立.此时||a -2b =||OA -2 OB =2||BC =2.4.设平面向量a ，b 满足||a ，||b ，||a -b ∈[]1，5，则a ·b 的最大值为，最小值为.解：因为a ·b =||a 2+||b 2-()a -b 22≤5+5-12=92，··6a ·b =()a +b 2-()a -b 24≥-()a -b 24=-54，所以a ·b 的最大值为92，最小值为-54.5.已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b =60，||a -b =4，||c -a =1，则||c 的取值范围为.解法1：因为a ·b =60，||a -b =4，所以a 2+b 2=136.因为||a ||b ≥a ·b =60，所以||b ≥60||a .所以a 2+b 2≥a 2+3600a 2.所以36≤a 2≤100，即6≤||a ≤10.因为||c -a =1，所以1=||c -a ≥||||c -||a .所以||a -1≤||c ≤||a +1.所以5≤||c ≤11.解法2：如图4，由极化恒等式，得a ·b =|| OD 2-|| DA 2=60.O图4所以||OD =8.因为6≤||OA ≤10，所以5≤|| OA -|| OC ≤|| AC ≤|| OA +||AC =11，即5≤||c ≤11.6.已知平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，||a -b =5，c -a ，c -b 的夹角为3π4，||c -a =32，则a ·c 的最大值为.解：如图5，设a =OA ，b = OB ，c =OC .图5因为a ，b 的夹角为π4，c -a ，c -b 的夹角为3π4，所以∠AOB =π4，∠ACB =3π4.所以∠AOB +∠ACB =π.所以O ，A ，B ，C 四点共圆.设圆心为O ′，圆的半径为R ，取AC 的中点M ，则a ·c = OA ·OC =OM 2-MC 2，2R =AB sin∠ACB ∘=5sin 3π4=52.所以||O ′M =22.所以||OM max =22+R =.所以()a ·c max =èø2-èø2=36.7.已知非零向量a ，b ，c 满足||a =2，a ·b =3||b ，c 2=32a ·c -2，则对任意实数t ，||c -t b 的最小值为.解：由||a=2，a ·b =3||b ，得2||b cos a ，b 3||b ，即cos a ，b .由a ，b ∈[]0，π，得a ，b =π6.如图6，记a = OA ，b = OB ，c =OC .则点B 的轨迹在与OA 夹角为π6的两条射线上.（方法1）由c 2=32a ·c -2，得c ·∙æèöøc -32a =-2.由极化恒等式，可得æèöø2c -32a 2-æèöø32a 24=-2.因为||a =2，化简，得||||||c -34a =14.记34a = OM ，得||||||c -34a =||OC - OM =|| MC =14，··7即点C 在以点M 为圆心、以12为半径的圆上运动.所以||c -t b min =|| CC 0≥||MM 0-r =34-12=14.（方法2）由||a =2，c 2=32a ·c -2，得c 2-32a ·c +12a 2=0.配方，得æèöøc -34a 2=116a 2，即||||||c -34a =14.下同解法1.8.已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b =74，||a -b =3，()a -c ·()b -c =-2，则||c 的取值范围是.解法1：由||a -b =3，得||a -b 2=||a 2+||b 2-2a ·b =9.因为a ·b =74，所以||a +b 2=||a 2+||b 2+2a ·b =16，即||a +b =4.由()a -c ·()b -c =a ·b -()a +b ·c +||c 2=-2，得||c 2+154=()a +b ·c ≤||a +b ||c =4||c ，即||c 2-4||c +154≤0.所以32≤||c ≤52.解法2：如图7，设 OA =a ， OB =b ，OC =c .图7由||a -b =3，得AB =3.取线段AB 的中点为D ，则由极化恒等式，得a ·b =|| OD 2-|| AD 2=74.所以||OD =2，即点O 在以点D 为圆心、以2为半径的圆上运动.同时，()a -c ·()b -c =|| CD 2-|| AD 2=-2.所以||CD =12，即点C 在以D 为圆心，12为半径的圆上运动.因此|| OD -|| CD ≤||c ≤|| OD +|| CD .所以32≤||c ≤52.9.如图8，已知矩形ABCD 中，AD =1，AB =2，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点）， DP =λ DC ()0<λ<1.设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG ·AP 的最小值是.PGE DCBA图8解：因为△AGE ∽△PGD ，所以AG GP =AE DP =12λ.则 AG · AP =11+2λ· AP 2=11+2λ()1+2λ2.令t =1+2λ()1<t <3，则 AG · AP =t 2-2t +32t =12æèöøt +3t -1≥3-1.当且仅当t =3，即λ=2()0，1取到等号.所以 AG ·AP 的最小值为3-1.10.已知平面向量a ，b 满足||a =1，||b =2，向量a ，b 的夹角为π3，则||λa +b -||||||a -λ2b （其中λ为实数）的最大值为.解：因为||a =1，||b =2，向量a ，b 的夹角为π3，所以a ·b =1.所以()λa +b 2=λ2+2λ+4，即æèöøa -λ2b 2=λ2-λ+1.所以||λa +b -||||||a -λ2b =λ2+2λ+4-λ2-λ+1=()λ+12+3-=()λ+12+()0-32-.（下转第13页）··8题，一些试题源于教材又高于教材，重点考查向量问题的一般处理方法.因此，对于高三阶段的向量复习，教师应当帮助学生追本溯源，构建向量知识结构体系；引导学生紧追“数”和“形”两条主线，重视向量的几何背景；倡导学生举一反三，形成解决向量问题的一般思路.1.追本溯源，理清向量知识结构体系概念、定理与运算法则是知识运用的前提，如果没有对主干知识的理解，那么对向量体系的掌握也就无从谈起.因此，在高三向量复习中，教师的首要任务就是帮助学生梳理、建构向量的主干知识体系，明晰向量的概念和两个定理，熟练掌握向量数量积的运算及其几何意义，掌握向量平行、垂直的数量表示，掌握与长度、角度有关的运算技巧及坐标运算等核心知识.2.数形结合，充分重视向量的几何背景向量具有大小和方向，具有数与形两方面的特征.从核心知识点来说，向量服从平行四边形法则和三角形法则，具有明显的几何特征，向量的数量积运算也具有几何特征，特别在平行与垂直、长度与角度运算中起到纽带作用.因此，复习中要特别重视数形结合思想.例如，三角形四心问题的向量表述务必引导学生在理解的基础上掌握.教师要通过典型例题，引导学生明晰诸如三点共线的充要条件、距离为定长引发的圆、极化恒等式、绝对值三角不等式、阿波罗尼斯圆等常见模式，掌握这些常见模式应用的前提条件，引导学生既要善于转化图形关系，把向量问题几何化，使问题简洁直观，又要把几何问题向量化，通过平面向量运算解决一类几何问题.数形结合、类比联想是解题的核心思想.3.举一反三，初步形成问题解决思路在知识体系构建、数学思想方法提炼的基础上，教师要善于收集、整理近几年高考试题和各地模拟试题中的典型问题，引导学生通过举一反三进行重点强化训练，逐步形成解决向量问题的一般思路.例如，几何直观相对明确的问题，要尽可能理解其几何背景，挖掘出其几何意义，使问题表述简明直观，便于寻找解题的切入点.又如，涉及平面向量数量积的计算问题时，优先考虑三种常规方法，即定义法、基底法、坐标法.定义法局限性较大，如果没有模和夹角，很难直接套用.如果几何意义也不明显，就要考虑基底法是否适用，合理选取一组向量基底，把其余向量用基底表示，再进行运算；如果图形背景较为直观，就要建立坐标系实现坐标转化，把几何问题转化为代数运算是比较好的选择.几种方法各具特色，教师要引导学生进行甄别，合理选取方法求解问题，提升高三复习效率.参考文献：［1］庄迁福.品读平面向量考题、构建复习教学框架［J ］.中学教研，2018（10）：36-38.［2］邓城.平面向量的复习策略及其案例设计［J ］.中国数学教育（高中版），2018（3）：21-26.则问题转化为求平面内的动点P ()λ，0到两个定点A ()-1，3，B æèçø12，距离之差的最大值.当A ，B ，P 三点不共线时，||||PA -||PB <||AB =3；当A ，B ，P 三点共线时，||||PA -||PB =||AB =3.故||||PA -||PB ≤3.所以æèçöø÷||λa +b -||||||a -λ2b max =3.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2018.［2］金克勤.2017年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2017（7/8）：53-59，96.［3］邹发明，张晓斌.2018年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2018（7/8）：46-51，58.［4］张永成.2019年高考“平面向量”专题命题分析［J ］.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：53-57.（上接第8页）··13。

向量问题在高考题中的体现作者：李克峰来源：《中学教学参考·理科版》2012年第04期高考题注重知识间的联系及知识网络的融合与交汇，进而考查学生灵活运用知识的能力.而向量恰好具有代数和几何的双重形式，具有很强的数形结合的工具性，因此高考考查中经常会出现它的影子一、平面向量的基础知识的体现以平面向量的基础知识出题主要是突出向量的加减运算、模、夹角等问题，题目小、巧、活，难度不大，容易得分【例1】已知向量a,b,c满足|a｜＝1，|a--c)·(b-c)=0，若对每一个确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m,n，则对任意的向量b，m+n的最小值为．分析：刚接触这题时，学生往往感到无从下手，其实向量本身就具有代数和几何的双重身份，因而可以利用坐标系将向量转化为代数计算解：令a=(1,0)，由|a-b|=|b|得a·b=12，从而b表示的点的轨迹为直线设c=(x,y)，b=(12,b)，由(a-c)·(b-c)=0得(x--，所以，故m+n的最小值为回顾：这类题主要是考查学生对平面向量的基本知识的了解与运算能力.从阅卷情况来看学生的失分率极高，学生失分的主要原因是对向量的理解与运用能力欠缺.所以我们应该强调让学生进行一些向量的基本运算，同时积累一定的数形结合的思想，以便帮助他们打开解题的思路二、平面向量与三角函数结合的体现将三角函数变换与平面向量的数量积进行有机结合，不仅考查三角变换，而且深化了向量的运算，同时也拓宽了三角与向量的命题范围【例2】已知向量m=(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n=1.若向量n与向量q=(1,0)的夹角为，向量，其中A、B、C为△ABC的三个内角，且A、B、C依次成等差数列，求|n+p|的取值范围解：由向量n与向量q＝（1，0）的夹角为得n=(0,-1)，因为A、B、C依次成等差数列，所以，，所以0＜A＜∵-，∴［-2A)］，因为0＜A＜，所以＜＜，所以＜54，即∈［12,54),所以|n+p|∈［22，52）三、平面向量与解析几何结合的体现向量本身就可以用坐标表示，而解析几何正好是用代数方法研究几何问题，向量与解析几何有着极其密切的联系，它们都有共同的特征：几何、数量特征【例3】过点C(0,1)的椭圆＞b＞0)的离心率为32.该椭圆与x轴交于两点A(a,0)，B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一个点D，并与x轴交于P点.直线AC与直线BD交于点Q.当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长解：由已知得b=1,ca=32，解得a=2.所以椭圆方程为椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为y=-33x+1，代入椭圆方程得-83x=0，解得，所以点D的坐标为(837,-故|CD|=(837--17-回顾：由b=1，e=32，可得a=2,c=3是解决问题的关键，可易求CD长，而P点运动时，求点D的坐标，才能得点Q的坐标当然，向量知识还可以和其他诸多知识交汇，只要我们不断积累，认真总结，抓住向量的本质，就能达到触类旁通的学习效果(责任编辑金铃）。

高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。

下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。

例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。

解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。

设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。

根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。

由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。

所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。

通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。

然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。

再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。

例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。

解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。

则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。

由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。

直线l的法向量为(1,-2)。

因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。

将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。

综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。

但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。

同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。

合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。

1.1～1.3 习题课1．【多选题】下列命题中，是真命题的是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 答案 ABC解析 对于A ，向量是有向线段，不能比较大小，故A 为真命题；对于B ，两向量相等说明它们的方向相同，模长相等，若起点相同，则终点也相同，故B 为真命题；对于C ，零向量为模长为0的向量，故C 为真命题；对于D ，共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D 为假命题．2．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为( ) A.52，－12，－1 B.52，12，1 C ．－52，12，1 D.52，－12，1答案 A解析 d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3.又因为d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.3．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1，1)，b ＝(1，y ，1)，c ＝(2，－4，2)，且a ⊥b ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A ．2 2 B.10 C ．3 D ．4 答案 C解析 因为b ∥c ，所以2y ＝－4×1，所以y ＝－2，所以b ＝(1，－2，1)．因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x ＋1×(－2)＋1＝0，所以x ＝1，所以a ＝(1，1，1)，a ＋b ＝(2，－1，2)．所以|a ＋b |＝22＋（－1）2＋22＝3.4．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝1，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且cos θ＝1010，则该四面体的体积为( )A.13B.23C.43D.83 答案 A5．【多选题】已知向量AB →＝(1，1，1)，AC →＝(1，2，－1)，AD →＝(3，y ，1)，下列结论正确的是( )A ．若A ，B ，C ，D 四点共面，则∃λ，μ∈R ，使得AD →＝λAB →＋μAC →，λ＝2B ．若A ，B ，C ，D 四点共面，则∃λ，μ∈R ，使得AD →＝λAB →＋μAC →，μ＝2 C ．若A ，B ，C ，D 四点共面，则y ＝4 D ．当AD ⊥AC 时，y ＝1 答案 AC解析 由A ，B ，C ，D 四点共面，得∃λ，μ∈R ，使得AD →＝λAB →＋μAC →，所以λ(1，1，1)＋μ(1，2，－1)＝(3，y ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，λ＋2μ＝y ，λ－μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，y ＝4，故A 、C 正确，B 不正确．由AD ⊥AC ，得AD →⊥AC →，所以AD →·AC →＝0.所以3＋2y －1＝0，解得y ＝－1，D 不正确．6.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都为a ，点M ，N ，E ，F 分别是AB ，CD ，BC ，AD 的中点，则( )A ．MN ⊥AB B ．MN ⊥CDC ．向量AN →与CM →所成角的余弦值为23D ．四边形MENF 为正方形 答案 ABD解析 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，所以MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.所以MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD ，A 、B 正确．设向量AN →与MC →的夹角为θ，因为AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，所以AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝⎛⎭⎫q －12p ＝12(q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p )＝12(a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°)＝12⎝⎛⎭⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22.又因为|AN →|＝|MC →|＝32a ，所以AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.所以cos θ＝23.从而向量AN →与CM →所成角的余弦值为－23，C 错误．因为ME →＝12AC →，FN →＝12AC →，所以ME →＝FN →.所以四边形MENF 为平行四边形．因为EN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)，所以EN →·ME →＝12(AD →－AB →)·12AC →＝0.所以EN →⊥ME →，|EN →|＝|ME →|＝12a .所以四边形MENF 为正方形．D 正确．7．从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)的方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A ．(－1，－2，3)B ．(9，4，－13)C ．(－7，0，19)D ．(1，－2，－3) 答案 C8.【多选题】如图，在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，△P AC 为等腰直角三角形，P A ＝PC ＝4，平面P AC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则( )A ．AP ⊥BCB ．异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24 C ．异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为24D ．三棱锥P －ABC 的体积为1663答案 BCD解析 取AC 的中点O ，连接OP ，OB .因为P A ＝PC ，所以AC ⊥OP ，因为平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，所以OP ⊥平面ABC ，又因为AB ＝BC ，所以AC ⊥OB .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△P AC 是等腰直角三角形，P A ＝PC ＝4，△ABC 为等边三角形，所以A (0，－22，0)，B (26，0，0)，C (0，22，0)，P (0，0，22)，D (6，－2，0)，所以AP →＝(0，22，22)，BC →＝(－26，22，0)，AP →·BC →＝8≠0，A 不正确；因为AC →＝(0，42，0)，PD →＝(6，－2，－22)，所以cos 〈AC →，PD →〉＝AC →·PD →|AC →||PD →|＝－842×4＝－24，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24，B 正确；因为PC →＝(0，22，－22)，AB →＝(26，22，0)，所以cos 〈PC →，AB →〉＝PC →·AB →|PC →||AB →|＝84×42＝24，所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为24，C 正确；三棱锥P －ABC 的体积V P －ABC ＝13S △ABC ·PO ＝13×34×(42)2×22＝1663，D 正确． 9．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC的重心，则OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝________．答案 14310．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，有|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1，x 0，y 0∈R ，则|b |＝________． 答案 2 2解析 问题等价于|b －(x e 1＋y e 2)|当且仅当x ＝x 0，y ＝y 0时取到最小值1，平方即|b |2＋x 2＋y 2－2b ·e 1x －2b ·e 2y ＋2e 1·e 2xy ＝|b |2＋x 2＋y 2－4x －5y ＋xy .已知上式在x ＝x 0，y ＝y 0时取到最小值1，x 2＋y 2＋(y －4)x －5y ＋|b |2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2－7＋|b |2，所以⎩⎨⎧x 0＋y 0－42＝0，y 0－2＝0，－7＋|b |2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝2，|b |＝2 2.11.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．答案303012.如图，已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，过点B 作BM ⊥AC 1于点M ，则点M 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3解析 由题意，知A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C 1(0，a ，a )，设M (x ，y ，z )， 则AC 1→＝(－a ，a ，a )，AM →＝(x －a ，y ，z )，BM →＝(x －a ，y －a ，z )．因为BM →⊥AC 1→，所以BM →·AC 1→＝0. 所以－a (x －a )＋a (y －a )＋az ＝0，即x －y －z ＝0.①因为AC 1→∥AM →，所以设AM →＝λAC 1→，则x －a ＝－λa ，y ＝λa ，z ＝λa (λ∈R )，即x ＝a －λa ，y ＝λa ，z ＝λa .②由①②，得x ＝2a 3，y ＝a 3，z ＝a3.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3. 13.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是四棱柱，底面ABCD 是正方形，AA 1＝3，AB ＝2，且∠C 1CB＝∠C 1CD ＝60°，设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示A 1C →；(2)已知O 为对角线A 1C 的中点，求CO 的长．解析 (1)A 1C →＝A 1A →＋AD →＋DC →＝－AA 1→＋BC →－CD →＝－CC 1→－CB →－CD →＝－c －b －a ＝－a －b －c .(2)由题意知|a |＝2，|b |＝2，|c |＝3，a ·b ＝0，a ·c ＝2×3×12＝3，b ·c ＝2×3×12＝3，∵CO →＝12CA 1→＝12(a ＋b ＋c )，∴|CO →|＝14（a ＋b ＋c ）2＝14（a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ）＝14×（22＋22＋32＋0＋2×3＋2×3）＝294＝292.14．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．(1)若点D 在直线AC 上，且BD →⊥AC →，求点D 的坐标； (2)求以BA ，BC 为邻边的平行四边形的面积．解析 (1)由题意知，AC →＝(1，－3，2)，点D 在直线AC 上， 设AD →＝λAC →＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)， ∴D (λ，2－3λ，2λ＋3)， BD →＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2，1，6) ＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)， ∵BD →⊥AC →， ∴AC →·BD →＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3)＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，∴λ＝12，∴D ⎝⎛⎭⎫12，12，4. (2)∵BA →＝(2，1，－3)，BC →＝(3，－2，－1)， ∴|BA →|＝22＋12＋（－3）2＝14， |BC →|＝32＋（－2）2＋（－1）2＝14， ∴BA →·BC →＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，∴cos B ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝714×14＝12，∴sin B ＝32，∴S ＝14×14×32＝73，∴以BA ，BC 为邻边的平行四边形的面积为7 3.15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线为x ，y ，z 轴建立直角坐标系Dxyz ，点M 在线段AB 1上，点N 在线段BC 1上，且MN ⊥AB 1，MN ⊥BC 1.求：(1)〈AB 1→，BC 1→〉； (2)MN →的坐标．解析 (1)由题意可知D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)，所以AB 1→＝(0，1，1)，BC 1→＝(－1，0，1)， AB 1→·BC 1→＝0×(－1)＋1×0＋1×1＝1， |AB 1→|＝02＋12＋12＝2， |BC 1→|＝（－1）2＋02＋12＝2，所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝12×2＝12.所以〈AB 1→，BC 1→〉＝π3.(2)设点M (1，x ，x )，N (y ，1，1－y )， 则MN →＝(y －1，1－x ，1－x －y )．因为MN →·AB 1→＝0，MN →·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧（y －1，1－x ，1－x －y ）·（0，1，1）＝0，（y －1，1－x ，1－x －y ）·（－1，0，1）＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－2x －y ＝0，2－x －2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝23，所以MN →的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，13，－13.1．【多选题】已知向量a ＝(1，1，0)，则与a 共线的单位向量e 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，－22，0B ．(0，1，0) C.⎝⎛⎭⎫22，22，0D ．(1，1，1)答案 AC 2．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →＝14OA →＋16OB →＋λOC →，若M ，A ，B ，C 四点共面，则λ等于( ) A.712 B.13 C.512 D.12 答案 A3．在正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →>AE →·CD → D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 答案 C解析 因为AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝0，AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD →＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|·cos 120°－|AB →|·|BC →|·cos 120°＋12|BC →|·|CD →|cos 120°<0.所以AE →·BC →>AE →·CD →.4．已知a ＝(1，－2，3)，b ＝(－1，1，－4)，c ＝(1，－3，m )，则“m ＝1”是“{a ，b ，c }构成空间的一个基底”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当m ＝1时，c ＝(1，－3，1)，易得a ，b ，c 不共面，即{a ，b ，c }能构成空间的一个基底，即“m ＝1”是“{a ，b ，c }构成空间的一个基底”的充分条件；当{a ，b ，c }能构成空间的一个基底时，则a ，b ，c 不共面，设a ，b ，c 共面，即c ＝x a ＋y b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，y －2x ＝－3，3x －4y ＝m ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，m ＝2，即当{a ，b ，c }能构成空间的一个基底时，m ≠2，即当{a ，b ，c }能构成空间的一个基底时，不能推出m ＝1，即“m ＝1”是“{a ，b ，c }构成空间的一个基底”的不必要条件．综上所述，“m ＝1”是“{a ，b ，c }构成空间的一个基底”的充分不必要条件．5．已知P (3cos α，3sin α，1)和Q (2cos β，2sin β，1)，则|PQ →|的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，25] C ．[1，5] D ．(1，5) 答案 C6．在四面体O －ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则log 3|xyz |等于________． 答案 －37．已知空间三点A (2，1，0)，B (2，2，1)，C (0，1，2)．(1)求AB →·AC →的值；(2)若(AB →＋kAC →)⊥(AB →＋AC →)，求k 的值．解析 (1)因为A (2，1，0)，B (2，2，1)，所以AB →＝(0，1，1)．又C (0，1，2)，所以AC →＝(－2，0，2)，所以AB →·AC →＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.(2)由(1)可知AB →＝(0，1，1)，AC →＝(－2，0，2)，所以AB →＋kAC →＝(－2k ，1，2k ＋1)，AB →＋AC →＝(－2，1，3)．因为(AB →＋kAC →)⊥(AB →＋AC →)，所以4k ＋1＋3(2k ＋1)＝0，解得k ＝－25.8.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点．(1)求AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，求N 点的坐标． 解析 (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (3，0，0)，C (3，1，0)，D (0，1，0)，P (0，0，2)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1， 从而AC →＝(3，1，0)，PB →＝(3，0，－2)． 设AC 与PB 的夹角为θ，则cos θ＝|AC →·PB →||AC →|·|PB →|＝327＝3714.∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内，故可设N 点坐标为(x ，0，z )，则NE →＝⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ， 由NE ⊥平面P AC 可得，⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·（0，0，2）＝0，⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·（3，1，0）＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1，即N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫36，0，1时，NE ⊥平面P AC .。

08高考数学运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A1B 1C 1D 1ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a , =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，、1CC 中两两所成夹角为θ，于是-==a －b ，CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD .［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅<∴CB BC CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==A C∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M . ●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.(★★★★)已知△ABC=a ，=b ，a ·b <0，S△ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150° 二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设=a ， =b ， =c ,=λa ,(0<λ<1), =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a .(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NM PM ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41+++=.参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=D 点分的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=(3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA BC BA ABC 歼灭难点训练一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又||=5， =(5，3），||=34，∴||≠|},ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°.又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］.6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）, 且=(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AC 49240221=++=⋅∴a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， =－=(－1－x ,－y ）,-= =(1－x ,－y ), =－NM =(2,0),∴·=2(1+x ), PM ·=x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ).于是，NM PM ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM x x x y x y x PM y x PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则+=++=++=+=)(21 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=EH ） (2）因为21)(212121=-=-=-=. 所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知21=，同理21=，所以=，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++=+=+=.。

高中数学向量题型详解和解答技巧在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有着广泛的应用，而且在物理等其他学科中也具有重要的作用。

掌握好向量的性质和运算规则，对于解答数学题目至关重要。

本文将详细解析高中数学中的向量题型，并给出解答技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

一、向量的基本概念和性质在开始解答向量题目之前，我们首先需要了解向量的基本概念和性质。

向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

向量的大小叫做向量的模，通常用|AB| 或 ||AB|| 表示。

向量的方向可以用有向线段的方向来表示，也可以用角度来表示。

在向量的运算中，我们常常会用到向量的加法、减法和数量乘法。

向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)；向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即 A-B=A+(-B)；向量的数量乘法满足分配律，即k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA。

二、向量的坐标表示和运算在解答向量题目时，我们通常会用坐标表示向量。

对于平面上的向量，我们可以用两个有序实数表示，称为向量的坐标。

例如，向量 AB 的坐标可以表示为 (x2-x1, y2-y1)。

在进行向量的运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。

向量的加法和减法可以直接对应坐标的加法和减法，即 (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)，(x1,y1)-(x2, y2)=(x1-x2, y1-y2)。

向量的数量乘法也可以直接对应坐标的数量乘法，即k(x, y)=(kx, ky)。

三、向量的共线和垂直性质在解答向量题目时，我们经常会遇到判断向量共线和垂直的情况。

两个向量共线的条件是它们的方向相同或相反，即向量 A=kB 或 A=-kB。

两个向量垂直的条件是它们的数量积为零，即 A·B=0。

根据共线和垂直的性质，我们可以解决一些与共线和垂直相关的题目。

例如，已知向量 A 和向量 B 的坐标分别为 (2, 3) 和 (-1, 2)，求证向量 A 和向量 B 垂直。

高考数学如何利用向量解决平面几何题目在高考数学中，平面几何题目是一类重要且需要灵活运用数学知识的题型。

在解决这类问题时，向量是一种非常有用的工具。

通过运用向量的性质和运算，我们可以简化计算，提高解题效率。

本文将探讨如何利用向量解决高考数学中的平面几何题目。

一、向量的基本概念和性质在进一步探讨如何利用向量解决平面几何题之前，我们需要对向量的基本概念和性质有所了解。

向量可以用来表示大小和方向都有意义的物理量。

常用的表示向量的方法是使用箭头或者使用字母加上上方的箭头符号，如a→。

向量的几何意义是有起点和终点的有向线段，起点和终点分别称为向量的始点和终点。

两个向量相等，意味着它们有相同的大小和方向。

两个向量的和是将它们的起点放在一起，然后将它们的终点连成一条线段。

向量的运算有加法、减法和数量乘法。

向量加法满足交换律和结合律。

向量减法可以通过加上负向量来实现。

数量乘法是将向量的大小与标量相乘，同时改变向量的方向。

二、向量解决平面几何题目的应用1. 向量的共线性在平面几何问题中，有时需要判断三个点是否共线。

可以使用向量来解决这个问题。

考虑三个点A、B、C，如果向量AB和向量BC平行或者反向，则可以判断这三个点共线。

2. 向量表示线段通过向量的性质，我们可以使用向量表示线段。

考虑线段AB，可以用向量→AB来表示。

线段的长度可以通过求向量的模来计算。

3. 向量的垂直性在平面几何问题中，有时需要判断两条直线的垂直性。

可以使用向量的内积来判断。

如果两条向量的内积等于0，则可以判断这两条直线垂直。

4. 向量的平行性判断两条直线的平行性也可以使用向量。

如果两条直线的方向向量平行或者反向，则可以判断这两条直线平行。

5. 向量的投影在解决平面几何问题中，有时需要求一个向量在另一个向量上的投影。

可以通过计算这两个向量的内积，再除以投影向量的模得到。

6. 向量运算简化计算通过利用向量的运算规则，有时可以简化计算过程。

特别是在证明平行四边形性质或计算面积时，向量运算可以大大简化计算过程。

CD（图2）浙江省向量试题评析及向量运算的几何解读浙师大附中 周建峰向量部分试题一直以来是浙江省高考数学试卷的一大亮点，多年来命题组形成了具有浙江卷特色的命题视角、命题方式，不断有创新型问题出现，题目简洁、新颖，思维创新性、灵活性强，试题丰富多彩。

试题有单独成题，也有与其它知识交汇成题。

向量与其它知识交汇考查主要有以下三个方面：（1）立体几何解答题一般可以用空间向量和空间逻辑推理两种方法解决。

引入空间向量，大大降低了立体几何对空间想象能力的要求，充分发挥向量的工具性作用。

（2）平面向量可以与三角的交汇命题，往往借助向量的数量积、向量的模、向量的坐标运算等设置综合问题的背景。

（3）向量还可能与圆锥曲线大题交汇出题，主要是考查向量的坐标运算，实现向量运算、几何运算向代数运算转化。

向量单独考查多以选择题、填空题形式出现，尤以填空题居多，考查的重点是向量的性质和运算法则，数乘、数量积与共线问题，常用技巧是数形结合，文理科多以相同题（题号不同）或姊妹题出现。

一、浙江省2011——2013年样卷与高考真题向量部分试题回顾 2011年样卷：（理14）已知单位向量α，β，满足(α＋2β)⋅(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为_______．（文13）已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α-2β），则|2α+β|的值是________． 高考卷：（文15、理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ． 2012年样卷：（理9）如图1，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则BC AO ⋅的值是（ ）A ．8-B ．1-C ．1D ．8高考卷：（文7、理5）设，是两个非零向量，则（ ）A ．若||||||-=+，则⊥B ．若⊥，则||||||-=+C ．若||||||-=+，则存在实数λ，使得λ=D ．若存在实数λ，使得λ=，则||||||-=+ （文、理15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB _．2013年样卷：(文7、理6) 如图2，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥D C ．若|AB |=a ，|AD |=b ，则AC BD ⋅=（ ）A ．22a b - B ．22b a - C ．22b a + D ．ab(图1)（图3）高考卷：（理7）设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则（ ） A ．∠ABC =90︒ B ．∠BAC =90︒C ．AB =ACD ．AC =BC(文、理17) 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于 ． 二、浙江省向量部分试题命题视角解读试题主要围绕向量运算设计，考查向量的概念、线性运算、坐标运算、几何运算。

向量⾼考经典试题（附详细答案）向量⾼考经典试题⼀、选择题1．（全国1⽂理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r，则a r 与b rA ．垂直B ．不垂直也不平⾏C ．平⾏且同向D ．平⾏且反向解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。

2、（⽂5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ?-=-+=?= 2=a 。

3、（⽂4理10）若向量,a b r r 满⾜||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2；解析：1311122a a ab ?+?=+??=r r r r ，4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2mb m α=+r其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则mλ的取值围是C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2m b m α=+r 2,a b =r r 可得2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ=代⼊⽅程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα??-=+ ?--??，再化简得22422cos 2sin 022k k αα??+-+-= ?--??再令12t k =-代⼊上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因⽽11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（理11）在直⾓ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，则下列等式不成⽴的是（A ）2AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r （B ） 2BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r（C ）2AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =-=??=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上⼀点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+332(B)31(C) -31(D) -32 解．在?ABC 中，已知D 是AB 边上⼀点，若AD =2DB ，=CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1233CA CB +u u u r u u u r ，4 λ=32，选A 。

求解高考几何题的向量方法高考几何题中，向量方法是一种常用的解题思路，它能够简化问题，提供一种直观的方式来分析和解决几何问题。

在以下的文章中，我们将探讨向量方法在高考几何题中的应用。

首先，在理解和运用向量方法之前，我们需要了解几何中的基本概念和性质。

向量是一个有大小和方向的量，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在平面几何中，向量通常用一个有序数对表示，例如，向量OA可以表示为(a,b)，其中a和b是实数。

在解决几何问题时，向量方法的核心思想是将几何问题转化为向量问题。

具体来说，我们可以用向量表示平面上的点，用向量表示平面上的直线和平面，利用向量运算的性质来分析几何问题。

首先，考虑求解两条直线的关系问题。

给定两条直线L1和L2，我们可以通过求解两条直线的方程组来确定它们的交点或者平行关系。

然而，这种方法可能比较复杂。

相比之下，通过向量方法，我们可以更加简洁地分析两条直线的关系。

假设两条直线L1和L2的方向向量分别为a和b，如果这两个向量相等或者平行（即a=k*b，其中k是一个实数），那么L1和L2就是平行的。

如果这两个向量垂直（即a·b=0），那么L1和L2就是垂直的。

除了直线的关系，向量方法还可以帮助解决平面上的点的位置关系问题。

例如，给定三个点A、B和C，我们可以通过向量运算来判断它们的位置关系。

具体来说，我们可以将向量AB和向量AC表示为向量OA和向量OC的线性组合，即向量AB=x*向量OA+y*向量OC，其中x和y是实数。

如果x和y都大于等于0，并且x+y<=1，那么点D就在线段AB上。

如果x和y都大于等于0，并且x+y=1，那么点D就在线段AB上的延长线上。

除了点的位置关系，向量方法还可以帮助我们解决平面上的角的关系问题。

例如，给定两条直线L1和L2，我们可以通过向量运算来获得它们的夹角。

具体来说，我们可以将直线L1的方向向量和直线L2的方向向量分别表示为向量a和向量b，那么这两条直线的夹角θ可以通过向量的点积公式计算得到，即cosθ=(a·b)/(，a，*，b，)。

平面向量模问题的求解策略研究——从一道高考真题说起徐志刚
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2024()4
【摘要】平面向量是高考命题的重要考点,尤其是平面向量模的问题,时常出现在高考题的填空题中.我们知道,向量既有大小又有方向,这里的大小就是指向量的模,也叫向量的长度.计算向量的模或模的最值(取值范围)是一类常考题型.那么这类问题该如何破解,本文从一道高考真题谈起.
【总页数】2页(P58-59)
【作者】徐志刚
【作者单位】福建省福安市第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一道高考平面向量题的一题多解
2.平面向量巧搭台“取值范围”唱好戏——以近五年高考试题为例谈平面向量中“取值范围”问题的求解
3.探真题得“真经”——一道高考向量题的多角度解析
4.对一道典型的平面向量模最值问题的求解与教学启示
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高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧在高考数学中，平面向量与空间向量是一个重要而且常见的考点。

理解和掌握平面向量与空间向量的几何问题解析技巧对于解题非常关键。

本文将通过实例和分析，介绍高考数学中平面向量与空间向量几何问题解析的技巧和方法。

一、平面向量的几何问题解析技巧1. 问题转化为向量求解在解决平面向量的几何问题时，可以将问题转化为向量求解的问题。

通过将图形和线段等几何信息表示成向量形式，可以简化问题的复杂度，从而更容易求解。

例如，给定平面中的三角形ABC，若已知点A、B、C的坐标，要求证明三角形ABC是等腰三角形。

我们可以将AB和BC两个向量相等，即AB = BC，然后通过向量的运算和坐标的计算来证明等腰性质。

2. 平面向量的投影问题在解决平面向量的投影问题时，我们可以运用向量的投影公式来求解。

向量的投影是一个较为常见的考点，多表现为线段或者阴影的长度。

例如，给定平面中的点P和直线L，要求求点P到直线L的距离。

我们可以先求点P到直线L的方向向量以及直线L上的点B坐标，然后使用向量的投影公式计算出点P到直线L的距离。

3. 平面向量的共线问题解决平面向量的共线问题时，我们可以运用向量共线的判断方法。

共线的判断一般通过向量的线性组合关系来实现。

例如，给定平面中的三个点A、B、C，要求判断三个点是否共线。

我们可以将AB和BC两个向量进行线性组合，若存在实数k使得AB+ kBC = 0，则可以判定三个点共线。

二、空间向量的几何问题解析技巧1. 空间向量的平行问题在解决空间向量的平行问题时，我们可以通过向量的夹角关系来判断。

例如，给定空间中的向量a和向量b，要求判断向量a和向量b是否平行。

我们可以计算向量a和向量b的夹角，若夹角为0度或180度，则可以判定向量a和向量b平行。

2. 空间向量的垂直问题在解决空间向量的垂直问题时，我们可以通过向量的数量积关系来判断。

例如，给定空间中的向量a和向量b，要求判断向量a和向量b是否垂直。

如何解决高考数学中的平面向量题高考数学中的平面向量题是一个常见且复杂的考点，对于许多学生来说，解决这类问题常常是一项挑战。

然而，只要我们能够掌握一些基本的解题技巧和方法，就能够轻松解决这些题目。

本文将介绍一些解决高考数学中平面向量题的方法，希望对广大考生有所帮助。

一、理解平面向量的基本概念在解决平面向量题之前，首先需要理解平面向量的一些基本概念，包括向量的表示方法、向量的运算法则以及向量的性质等。

只有对这些基本概念有了深入的理解，才能更好地解决相关的题目。

二、掌握平面向量的坐标表示方法在解题过程中，平面向量的坐标表示方法是一个非常重要的工具。

对于给定的平面向量，可以将其分解为两个分量，分别表示在x轴和y 轴上的投影。

利用这种表示方法，可以简化平面向量的运算，进而解决相关的题目。

三、了解平面向量的运算法则平面向量具有加法、减法和数量乘法等运算法则。

掌握这些运算法则是求解平面向量问题的关键。

需要熟练掌握向量的加法减法运算法则，以及数量乘法的运算规律。

通过灵活运用这些法则，可以大大简化解题的过程。

四、熟练掌握平面向量的性质平面向量具有一些独特的性质，如平行四边形定理、三角形面积公式等。

对这些性质的熟悉和理解，对于解决相关题目至关重要。

例如，利用平行四边形定理，可以推导出两个向量平行的条件；而利用三角形面积公式，可以计算两个向量构成的三角形的面积。

通过应用这些性质，可以更加高效地解答相关问题。

五、多加练习，熟悉各种题型解决高考数学中的平面向量题，需要进行大量的练习，熟悉各种题型。

只有通过不断地练习，才能够在考试中熟练灵活地应用解题方法，提高解题的速度和准确性。

建议考生多做真题和模拟题，尽可能涵盖各个难度层次的题目，从而全面提高解题能力。

六、培养逻辑思维和分析问题的能力解决平面向量题需要良好的逻辑思维和分析问题的能力。

在处理复杂的向量运算时，需要思考运算的顺序和方法，找到合适的转化和计算方式。

通过培养逻辑思维和分析问题的能力，可以更加迅速地捕捉到解题的关键点，提高解题的效率。

2013-02课堂内外浙江省向量试题高考备考策略浅议文/项土芳摘要：从浙江省高考向量试题的解法入手，揭示用“几何法”解题的优越；分析学生运用“几何法”解题时的困难所在，进一步阐述了在高考备考复习中如何培养学生运用“几何法”解题的能力.关键词：向量；几何意义；几何法一、高考卷中运用“几何法”解决的向量试题向量是高考中的必考内容，多数省的试题主要是以向量的基本计算和向量知识与解析几何、立体几何、三角函数等知识的综合题形式出现，考查要求不高，基本上涉及的是代数形式的运算.而在2005年至今的浙江卷中，基本上都侧重于向量的几何意义的运用（2009年除外），可谓是情有独钟.对于这些试题，如果能充分结合向量的几何意义，运用数形结合的思想，就可以简化运算、提高解题速度，收到较好的解题效果，这正是“几何法”优于“代数法”的地方.关于如何运用“几何法”来解近七年的浙江省高考数学试题，下面列举三例：题1.（2006年）设向量a ⭢，b ⭢，c ⭢满足a ⭢+b ⭢+c ⭢=0⭢，（a ⭢-b ⭢）⊥c ⭢，a ⭢⊥b ⭢，若a⭢=1，则a ⭢2+b ⭢2+c ⭢2的值是.【简解】如图1，由题意得四边形OACB 是边长为1的正方形，故所求的值是4.a ⭢+2a 图1图2图3题2.（2007年）若非零向量a ⭢，b ⭢满足a ⭢+b⭢=b ⭢，则（）（A ）2a ⭢>2a ⭢+b ⭢（B ）2a ⭢<2a ⭢+b⭢（C ）2b ⭢>a ⭢+2b⭢（D ）2b ⭢<a ⭢+2b⭢【简解】如图2，由AB =OB =BC 得OA ⊥OC ，所以由AC 跃OC 知答案为C .题3.（2008年）已知a ⭢，b ⭢是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c ⭢满足（a ⭢-c ⭢）·（a ⭢-c ⭢），则c ⭢的最大值是（）（A ）1（B ）2（C ）2√（D ）2√2【简解】如图3所示，点C 在以线段AB 为直径的圆上，故选C .这些试题如果用“代数法”来解，运算量有点大，且解题思路不易得到，而用“几何法”来解则简单直观明了，也体现了数形结合的思想.因此，在高三数学高考复习的教学中，我们应该有意识地培养学生运用“几何法”解向量试题的能力，明了学生在运用“几何法”解题时思维的困难之所在，找准原因，才能对症下药，加强有针对性的练习，使学生能切实地掌握这种方法.二、学生运用“几何法”解题的困难所在虽然运用向量的几何意义来解题有它的优越性，但是在将“数”转化为“形”的过程中，学生的思维还是存在一定的困难的，尤其是当题目的条件比较多的时候，学生极不容易将所有的条件有机地结合在一起，常常会顾此失彼，使解题思维受阻.如题1中，对于条件“（a ⭢-b ⭢）⊥c ⭢，a ⭢⊥b ⭢”，有些学生画出的图象如图4所示，而条件“a ⭢+b ⭢+c ⭢=0⭢”在图中就得不到体现了。

高中向量高考经典大题及解析高中向量是高中数学中的一个重要内容，在高考中也是一个重要的考查点。

向量不仅是一种重要的数学工具，也是高中数学中的基础概念之一，与代数、几何、三角等都有着密切的联系。

在高考中，向量通常以解答题的形式出现，难度较大，需要考生认真理解和掌握。

一、向量的概念和基本运算在高中向量中，我们需要了解向量的概念、向量的表示方法、向量的加法、减法、数乘、数量积等基本运算。

这些基本运算不仅是学好向量知识的基础，也是解决向量相关问题的关键。

二、高考经典大题的分类和解析在高考中，向量经典大题通常分为两类：几何问题和代数问题。

1. 几何问题主要考查向量的基本运算、向量的坐标表示、向量的模长、平行和垂直等问题。

需要考生熟练掌握向量的基本概念和运算，同时还要注意向量在不同坐标系下的表示方法和运算规则。

对于这类问题，需要考生认真审题，找出题目中所给的条件，如坐标原点、坐标轴等，从而确定向量的坐标表示和方法。

例题：在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)和B(3,0)，点P在坐标轴上，当丨PA丨+丨PB丨最小时，求点P的坐标。

解析：本题考查了向量的基本运算和坐标表示，根据题意可知，点P在x轴上，设点P的坐标为(m,0)，则丨PA丨+丨PB丨=丨(m,2)+(3,0)丨=√(m^2+9)，当m=0时，丨PA丨+丨PB丨最小，此时点P的坐标为(0,0)。

2. 代数问题主要考查向量在解三角形和函数中的应用。

需要考生能够将向量知识与其他数学知识相结合，灵活运用。

对于这类问题，需要考生具备一定的数学思维和解题能力。

例题：在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cosa=(3/5),cosB=(4/5),c=5,求向量AC·AB的值。

解析：本题考查了向量在解三角形中的应用，根据题意可将向量AC·AB转化为关于a、b、c的三角函数，利用三角形的边角关系求解。

三、总结高中向量是高考中的重要内容，需要考生认真学习和掌握。

高考向量问题的探索朱霜琴（上海市市北高级中学，上海200070）向量作为一个既有大小又有方向的量，兼具几何与代数的两个特征，使得向量与几何有着天然的联系，因此题目就较为灵活，同时可以不断地推陈出新，千变万化.将数与形充分结合起来，既考查了向量和解析几何、函数、三角的知识点，又很好地考查了学生的学习数学的能力，所以受到高考命题老师的青睐.1向量的基本坐标运算与函数、不等式的结合当向量放入坐标系中，起点在坐标原点时,终点的坐标和向量的坐标之间就建立了一一对应的关系，通过向量的坐标化实现解析化.向量中的很多最值问题就可以转化为函数最值来解决，使得问题迎刃而解，这是解决向量问题最常用的基本方法之一.例1（2019年高考上海卷试题）在平面直角坐标系中，已知点4（-1,0）,B（2,0）,点E、F是y轴上的两个动点，且I丽I=2,则祝•BF的最小值为_______.=-2+5+2)y2=(%+1)2-33-3, y2e R,因此当力"I时，(葩•茹)皿"=-3.例2(2020年春季高考上海卷试题)已知A”A2,A3,A4,A5五个点满足：4”4”+；•4”+忍”+；=05=1,2,3),且I A”A”+；I•I4”+|A”+2‘I=n+l(n=1,2,3)，则I兀苻1的最小值为________•图2&4力3^5A2x分析：虽然题目中没有建立直角坐标系，但因为AA+：/”+&+；=05=1,2,3）,所以完全可以通过建立直角坐标系来解决问题以点儿为坐标原点,人虫为％轴建系，设14^21=%，则23oI A2A}1=-,1A3A41=-y,I4狙5I=〒，那么x23x虫2(%,0),A3x~2X2x24+分析：考查的是向量的坐标表示，所以可以设点E(0,y(),F(0,y2),I/!-1=2-不妨设刃>y2,Ji-y2=2,BPjj=y2+2,则4E= (1,yi),BF=(-2,九)，则AE-BF=-2+4 ?r244爾込，当且仅当厂沪即宀亍时, I心I763'例3（2012年高考上海理科卷第12题）在平行四边形ABCD中，乙人=亍，边汕、仙的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上---►---►的点,且满足翌_=冬■，则丽•丽的取值I BC I I CD I范围是________•分析：以向量血所在直线为％轴，以点A 为原点建立如图3的直角坐标系，因为AB=2,-TTAD=1,乙A=亍，所以尔0,0),B(2,0), x«y),WJlBMI=ylC)VI,\CN\=^~-x,1 I BMI=—4M—x, 22+84l\.1T—x sin—2丿3根据题意，有硕丽=代迁)+(咛色芒I2915/I5\=~T+了+肓汀所以2^AM•丽W5.2从向量的数量积的几何意义入手在计算向量数量积时，很多时候用的是坐标运算法，如果能在解题过程中恰当地运用数量积的几何意义，往往能起到事半功倍的效果.例4(2018春季高考上海卷试题)已知4、B为平面上的两个定点，且I扁I=2,该平面上的动线段PQ的端点为点P、Q,满足iRl W 5,AP-AB=6,AQ=-2AP,^动线段PQ所形成图形的面积为..................()图4(A)36；(B)60；(C)81；(D)108.分析：这道题挺灵活的，有一定的分析能力才能解决问题：(I)因为所求的是动线段PQ 所形成图形的面积，而点P、Q都是动的，通过丽=_站可知，I4QI=2\AP\，且4、P、Q三点共线，点P、Q在点人的两侧；(2)\AP\W5,则点P的轨迹是以点4为圆心,5为半径的圆面；(3)4P-AB=6且IABI=2,根据向量的数量积的几何意义，向量"在向量乔上的投影是3;(4)综合上述，丽在乔方向上的投影是-6,动线段PQ所形成图形的面积如图4所示,是两个三角形的面积和，小三角形的高就是3,大三角形的高是6,因此大三角形面积为小三角形面积的4倍，因此面积为*x3x 2^52-32+4x—x3x2^52-32=60,所以答案选(B).例5在平面直角坐标系中，已知向量忌= (I,2),0是坐标原点,M是曲线Ixl+2lyl= 2上的动点，则a-OM的取值范围为...............................................................()(A)[-2,2]；(B)[-/5,75]；(O[普普];(D)卜学詞.分析：该问题的关键是能找到a为直线I-X+2y=2的法向量，画出曲线Ixl+21/1=2,即图5中菱形PQSR,a=OA,由题意,04丄PR,OA丄QS,所以由向量的数量积的几何意义，乔•而等于1乔1与而在亦方向上的投影的积，而而在亦方向上的投影最大为0必2,最小为-0陆，可求出0岡=0皿2=学,所以-严•迈wdX•而•学，即齐OM e[-2,2],所以选(A).例6如图6,已知半圆0的直径AB=4,△OAC是等边三角形，若点P是边AC(包含端点力、C)上的动点，点Q在弧BC±,且满足OQ丄OP,^\OP-BQ的最小值为________•分析：本题的关键是帀与而之间没有直接联系，从数量积的定义出发，必须将两个向量的起点放在一起,然而并不容易•如果采用建系的方法，也很难找到各个点的坐标，因此先通过向量加减法运算入手，是一个不错的选择.由OQ丄OP,得而-OP=0.又由而=方,可得乔•而=帀・(BO+OQ)=OP-BO+OP-OQ=OP-OA.问题转化为乔与页■的数量积,而1亦1= 2为定值，因此帀-OA=2\dP\ cos厶POA,即求乔在页■方向上的投影，设C在0人上的投影为C',乔在5X方向上的投影的最小值为0C，,最大值为04.所以OC-0A OP-OA^OA即乔•丽e[2,4],可得帀•丽的最小值为2.3从平面向量分解定理和加减法的几何意义入手根据平面向量的分解定理：平面内的任何一个向量都可以用两个不平行的非零向量线性表示.因此通过向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，可以把任何一个向量转化为两个基本向量的线性关系，然后解决问题.例7如图7,平面内有三个向量方、丽、呢，其中与页与丽的夹角为120。