《高等数学》试卷（同济六版上）
一、 选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
1、若函数x
x x f =)(，则=→)(lim 0
x f x （ ）.
A 、0
B 、1-
C 、1
D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln
(0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4
x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.
A 、极大值点
B 、极小值点
C 、驻点
D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.
A 、必要但非充分条件
B 、充分但非必要条件
C 、充分必要条件
D 、既非充分又非必要条件
5、下列无穷积分收敛的是（ ）.
A 、⎰+∞
sin xdx B 、dx e x ⎰+∞
-0
2 C 、dx x ⎰
+∞
1
D 、dx x
⎰+∞01
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
6、当k= 时，2
,
0(),
x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.
7、设x x y ln +=,则
_______________dx
dy
=. 8、曲线x e y x
-=在点（0，1）处的切线方程是 .
9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =.
10、定积分dx x x
x ⎰-+5
54231
sin =____________.
三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、求极限 x
x x 2sin 2
4lim 0
-+→.
12、求极限 2
cos 1
2
0lim x
t x e dt
x -→⎰
.
13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy .
14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .
15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰.
16、设,0
()1,01x e x f x x x ⎧<⎪
=⎨≥⎪+⎩，求20
(1)f x dx -⎰.
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17、证明：dx x x n m )1(1
-⎰=dx x x m n )1(1
-⎰ (N n m ∈,).
18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时，ln b a b b a
b a a
--<<
.
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）
19、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？
20、设曲线2x
y=与2y
x=所围成的平面图形为A，求
（1）平面图形A的面积；
（2）平面图形A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积.
《高等数学》试卷（同济六版上）答案
一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分）
6、1
7、
1x
x
+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、解：x x x 2sin 2
4lim
-+
→x →= 3分
01128
x →=
= 6分
12、解：
2
cos 1
2
lim
x
dt e x t
x ⎰-→2
cos
0sin lim 2x
x xe x
-→-= 3分
1
2e
=-
6分 13、解：)
111(112
2
x
x
x y ++++=
' 4分
211
x +=
6分
14、解：t t t t dx dy 211211
22=
++= 3分
2
22
2
321
12()241d y t d dy dx
t dt
t dt dx dx
t t -
+===-+ 6分
15、解：212122
sin(3)sin(3)(3)23
dx d x x x +=-++⎰
⎰ 3分
12
cos(3)2C x
=++ 6分 16、解：
⎰⎰
⎰⎰--+==-01
1
1
1
2
0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01
10
d 1x
x
e dx x -=++⎰⎰ 3分
1
010
|ln(1)x e x -=++
11ln 2e -=-+ 6分
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：1
1
(1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分
1
1
(1)(1)m n
m n
t t dt x x dx
=-=-⎰⎰ 8分
18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<
显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有
()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分
由于1
()f x x
'=
, 因此上式即为 ln ln b a b a ξ--=.
又由.a b ξ<< b a b a b a
b a
ξ---∴
<< 当0a b <<时，
ln b a b b a
b a a
--<<
8分
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=
∴表面积222
2
222222V V S r rh r r r r r
ππππππ=+=+=+ 4分 令2
2'40V
S r r π=-
=
得 r =
2h =
答：底半径r =
2h = 8分
