数理方程总复习
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数理方程与特殊函数数理方程复习
r
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
数理方程重点总结共53页
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
数理方程重点总结
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数理方程复习讲解
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2V V(t02 ,
t)
a2 2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x,
0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
方程为双曲型 方程为抛物型
a122 a11a22 0
方程为椭圆型
南京邮电大学、应用数理系
行波法
数理方程
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
1 [(x at) (x at)] 1
(
x)
A sin
(2n 1)
2l
x,
n 0,1, 2,
ux x0 0
u 0 xl
2n 2l
1
2
,
X
n
(
x)
Acos (2n 1)
2l
x,
南京邮电大学、应用数理系
n 0,1, 2,
波动方程：
utt a2uxx 0
X ''(x) X (x) 0 T ''(t) a2T (t) 0
u u
x x
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)
wx wx
(0, t ) (l , t )
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
《方程的复习课》课件
二元一次方程组的应用
总结词
二元一次方程组在日常生活和科学研究中有着广泛的 应用，如路程问题、工资问题、经济问题等。
详细描述Байду номын сангаас
二元一次方程组在许多实际问题中都有应用，例如在路 程问题中，我们可以使用二元一次方程组来表示两个物 体的相对位置和速度；在工资问题中，我们可以使用二 元一次方程组来表示工人和雇主之间的利益关系；在经 济问题中，二元一次方程组可以用来描述供求关系、价 格变动等问题。此外，在物理学、化学、工程学等领域 中，二元一次方程组也经常被用来描述各种现象和规律 。
04
方程的解法技巧
消元法
总结词
通过消除两个变量，简化方程组的方 法。
详细描述
消元法是一种常用的解线性方程组的 方法，通过加减消元或代入消元的方 式，将方程组中的变量消除，从而得 到一个或多个简单的一元一次方程， 进而求解出方程组的解。
代入法
总结词
通过将一个方程的解代入另一个方程，求解 未知数的方法。
详细描述
代入法是解线性方程组的一种基本方法，通 过将一个方程的解代入另一个方程，将一个 未知数消除，从而将问题简化为一个一元一 次方程，进而求解出未知数的值。
公式法
总结词
通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解的方法。
详细描述
公式法是一种通用的解线性方程组的方法， 通过对方程进行变形，将其转化为标准形式 ，然后使用公式求解未知数的值。这种方法 适用于任何线性方程组，但需要对方程进行
适当的变形。
图像法
总结词
通过绘制方程的图形，直观地求解未知数的方法。
详细描述
图像法是一种直观的解线性方程组的方法，通过绘制 方程的图形，可以直观地观察到方程的解。这种方法 适用于一些简单的线性方程组，但需要具备一定的几 何基础。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
南邮-数理方程复习总结共35页文档
谢谢！
35
南邮-数理方程复习总结
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
数学专项复习方程
数学专项复习方程方程是数学中的重要概念，也是解决许多实际问题的有力工具。
在数学学习中，掌握方程的解法和应用至关重要。
接下来，让我们一起深入复习方程的相关知识。
一、方程的定义方程是含有未知数的等式。
例如：2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个简单的方程，其中 x 是未知数。
方程的本质是通过等式关系来描述未知量与已知量之间的关系，从而求解未知量。
二、方程的分类1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
其一般形式为 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）。
例如：3x 5 ＝ 0 。
2、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。
一般形式为 ax ＋ by ＝ c （a、b、c 为常数，a、b ≠ 0）。
比如：2x ＋ 3y ＝ 8 。
3、一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 （a ≠ 0）。
像 x² 2x 3 ＝ 0 就是一元二次方程。
三、方程的解法1、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为：去分母（如果有分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 。
例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （x 1) ／ 2 ＝ 1 。
第一步，去分母，两边同时乘以 6 ，得到：2(2x ＋ 1) 3(x 1) ＝ 6 。
第二步，去括号，得到：4x ＋ 2 3x ＋ 3 ＝ 6 。
第三步，移项，将含有 x 的项移到左边，常数项移到右边，得到：4x 3x ＝ 6 2 3 。
第四步，合并同类项，得到：x ＝ 1 。
2、二元一次方程的解法二元一次方程的解法主要有代入消元法和加减消元法。
代入消元法：将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
例如，方程组：x ＋ y ＝ 5 ①， 2x y ＝ 1 ②。
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
数理方程复习
∞
J −1 / 2 ( x ) =
2 cos x πx
Ex12 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程 （不解贝塞尔方程）
1 ⎧ 2 ⎪ utt = a ( uρρ + ρ uρ ), ( t > 0,0 < ρ < 1) ⎪ ⎪ ⎨ uρ |ρ =1 = 0, u |ρ = 0 < +∞ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = 1 − ρ 2 ⎪ ⎪ ⎩
1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x −atψ (ξ )dξ 2 2a x – at < 0 1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) − ϕ (at − x )] + ∫at − xψ (ξ )dξ 2 2a 7/16
− ( 1 + iλ ) x
dx
∞ 0
1 e ( 1 − iλ ) x = 1 − iλ
1 e − ( 1 + iλ ) x − −∞ 1 + iλ
1 1 2 = + = 1 − i λ 1 + iλ 1 + λ 2
13/16
例6 用付氏变换解热传导问题
⎧ ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), (− ∞ < x < +∞ , t > 0 ) ⎪ ∂x ⎨ ∂t ⎪u ⎩ t =0 = ϕ ( x )
∞
n≥1
6/16
达朗贝尔公式
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 ∂t 2 ∂x ∂u u t = 0 = ϕ ( x ), ∂t
J −1 / 2 ( x ) =
2 cos x πx
Ex12 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程 （不解贝塞尔方程）
1 ⎧ 2 ⎪ utt = a ( uρρ + ρ uρ ), ( t > 0,0 < ρ < 1) ⎪ ⎪ ⎨ uρ |ρ =1 = 0, u |ρ = 0 < +∞ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = 1 − ρ 2 ⎪ ⎪ ⎩
1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x −atψ (ξ )dξ 2 2a x – at < 0 1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) − ϕ (at − x )] + ∫at − xψ (ξ )dξ 2 2a 7/16
− ( 1 + iλ ) x
dx
∞ 0
1 e ( 1 − iλ ) x = 1 − iλ
1 e − ( 1 + iλ ) x − −∞ 1 + iλ
1 1 2 = + = 1 − i λ 1 + iλ 1 + λ 2
13/16
例6 用付氏变换解热传导问题
⎧ ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), (− ∞ < x < +∞ , t > 0 ) ⎪ ∂x ⎨ ∂t ⎪u ⎩ t =0 = ϕ ( x )
∞
n≥1
6/16
达朗贝尔公式
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 ∂t 2 ∂x ∂u u t = 0 = ϕ ( x ), ∂t
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
西安理工大学研究生数理方程课件及复习题
A 0
，即一维热传导方程
为抛物型的，类似可得弦振动方程和二维Laplace方程分别 为双曲型和椭圆型的。
3.2、两个自变量的二阶微分方程的化简 下面我们通过自变量的变换，对方程在区域 内的某点 ( x0 , y0 ) 的近旁进行化简。
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
D( , ) x 假设上述变换是二次连续可微的，且 D ( x, y ) x
其中
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
x l
u x
0
x l
u x (l , t ) 0
(3) 弹性支承端：在 x l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的支承。
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
数学物理方程与特殊函数
第 章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (l , t ) 0
(2)自由端：x l 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u T x
0
第 章 典型方程和定解条件的推导
第一章 典型方程和 定解条件
数理方程复习试卷2014
一、（15分）用达朗贝尔公式求解定解问题：�ðð2uu ððtt 2=16ðð2uu ððxx 2，−∞<xx <+∞，tt >0uu |tt=0=3xx 2，ððuu ððtt |tt=0=9xx 解：∵uu (xx ,tt )=12[φφ(xx +aatt )+φφ(xx −aatt )]+12aa ∫ψψ(ξξ)ddξξxx+aatt xx−aatt∴φφ(xx )=3xx 2，ψψ(xx )=9xx , aa =4 ∴uu (xx ,tt )=12[3(xx +4tt )2+3(xx −4tt )2]+18∫9ξξddξξxx+4tt xx−4tt =3xx 2+9xxtt +48tt 2二、（15分）用分离变量法求解定解问题：⎩⎪⎨⎪⎧ðð2uu ððtt 2=aa 2ðð2uu ððxx 2，0<xx <ll ，tt >0uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0uu |tt=0=5，uu tt |tt=0=3ssss ss 3ππxx 2ll 解：∵令uu (xx ,tt )=XX (xx )TT (tt )∴TT ,,(tt )aa 2TT (tt )=XX ,,(xx )XX (xx )=−λλ ∴�TT ,,(tt )+λλaa 2TT (tt )=0…①XX ,,(xx )+λλXX (xx )=0…②∵uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0 ∴XX (0)=XX ,(ll )=0 （1）当λλ<0时，XX (xx )=AAee √−λλxx +BBee −√−λλxx ∵XX (0)=XX ,(ll )=0，则AA =BB =0 ∴λλ不能小于零。
数理方程重点总结.ppt
据此，解得G( x)
G( x) x2 H (0)
(5)
因此有
u( x, y) 1 x3 y2 H( y) x2 H (0)
(6)
6
又 依 据 u(1, y) cos y， 代 入 （6） 式 ， 有
cos y 1 y2 H ( y) 1 H (0) 6
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
泛定方程 边 界 条 件 （ 第 一 类 、 第二 类 ！ ！ ！ ） 初始条件
数学物理方法
第二讲
直接积分法
( Method of Direcit Integration )
另附：直接积分法 解微分方程边值问题
a2
d 2W ( x) d x2
f (x) 0
(5)
W ( x) x0 M（1 常数），W ( x) xl M（2 常数） , t 0
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
T a2T 0 （ 时 间 变 量 的 微 分方 程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二 、 空 间 变 量 常 微 与 边界 条 件 捆 绑 ， 构 成 本 征值 问 题 。 （ 解 本 征 值 问题 ）
X X 0
(1)
u x
u
0,
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达朗贝尔行波解
行波解的物理意义：
由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向 正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方 程中的常数 a ，这就是达朗贝尔公式的物理意义。达朗 贝尔解表示正行波和反行波的叠加给出波动特性。
特点： 基于波动特点； 引入坐标变换简化方程求解，解的形式简单。 缺点：适用范围窄，无界域的波动或相近问题。
utt a 2u xx f ( x, t ) u x, 0 x ut x, 0 x
I I utt a2uxx f ( x, t ) utt a2uxx 0 u |t 0 ( x) ＋ u |t 0 0 u t |t 0 0 u | ( x)
v(r, t ) ru(r, t )
vtt a vrr
2
从而：
v(r, t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
v(r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r r
代入边界条件得：
1 u ( M 0 , t0 ) 4 a t0
n 边
1 s 2 s 1 2 1 s 2 s
定解问题包括： 初值问题：泛定方程＋初始条件 边值问题：泛定方程＋边界条件 混合问题：泛定方程＋初始条件＋边界条件 例：设有一单位球，其边界球面上温度分布为 u |r 1 cos2 ， 试写出球内的稳定温度分布的定解问题。 解：
u 0 2 u |r 1 cos , u |r 0 有限
(M )
M0
Sat0
at0
ds
(M )
at0
Sat0 M 0
ds
泊松（Poisson）公式
物理意义
2 u a u, x, y, z , t 0 例：求解 tt u |t 0 x 2 y, ut |t 0 0
1 x 2y
x x0 r sin cos 用到公式: y y0 r sin sin z z0 r cos
r
x x0 y y0 z z0
2 2
2
at
对于非齐次泛定方程问题：－－冲量原理法 定解问题：
2
提出定解问题：泛定方程＋定解条件 求解：分离变量法等 分析解答
第二章 行波解
中心：行波法求解无界空间波动问题 重点知识包括：
达朗贝尔公式－－利用坐标变换求通解的方法 泊松公式－－化三维为一维的平均值法 冲量原理－－非齐次方程定解，推迟势
对于一维问题：－－变量代换法
定解问题：
utt a2uxx
本征解
解1 解2
定解问题
齐次边 界条件
分离变量
常微分方程2 边界条件
本征值问题
解2 本征函数
（定解条件）
所求解
初始 条件
确定迭加系数
本征值
本征解
注意
（1）双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的可 能—满足齐次泛定方程及其次边界条件的若干解得叠加后仍 满足齐次泛定方程及齐次边界条件。 （2）“通解”的另一保证是满足齐次泛定方程及齐次边界 n a n a n u x, t An cos t Bn sin t sin x 条件的任意解均可表示成，
解：
, , u ( x, y , z , t ) dS 4 a t s M r r at 1 2 x at sin cos 2 y at sin sin 2 ( at ) sin d d 0 0 4 a t at 2 2 1 2 2 at x 2 y d sin d a t . cos sin d sin 2 d 0 0 0 0 4 a t
令：
( x, t; ) ( x, t; )
tt a 2 xx 0 |t 0 t |t f x,
从而：
1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t; )d f , d d 0 2a 0 x a (t )
u x, 0 x ut x, 0 x
x , t 0
思路：
utt－a uxx＝（ a （ ) a )u 0 t x t x
2
x at x at u
1 3 u sin y x sin y / 3 x y 2 / 3 xy 4 4
对于三维问题：－－平均值法
utt a u
2
x, y, z , t 0
u |t 0 M u | M t t 0
0
u u d 0d c c
u , c d f 2 f1 f 2
u x, t f1 x at f2 x at
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
t t 0
对于三维问题
utt a 2 u f ( M , t ), ( x, y, z , t 0) u |t 0 0 u | 0 t t 0
同样有：
r f ( M , t ) 1 t a ds dr u(M , t ) 4 a at SrM r a r f ( M , t ) at 1 a dsdr 2 0 S M r 4 a r r f ( M , t ) 1 a d 2 T M at 4 a r
例：求解
2 utt a u xx u |t 0 x, t x at x at 4d x at 2 2a x 4t
利用一维行波解的思想，类似可以求解：
uxx 2u xy 3u yy 0 u x, 0 sin x u y x, 0 x
推迟势
第三章 分离变量法
基本思路: 把偏微分方程通过分离变量的技巧 分解为几个常微分方程，其中有的常微分方 程带有附加条件而构成本征值问题。通过分 别求解各个常微分方程，进而利用定解条件 和广义傅立叶展开确定定解问题的解。
1. 2. 3. 4. 双齐次问题的本征函数基本迭代解 非齐次泛定方程的本征函数展开法和冲量法 非齐次边界条件的齐次化原理 正交曲线坐标系中的分离变量法和特殊函数应用
例：利用麦克斯韦方程组导出电磁场所满足的波动方程
定解条件的确定： 初始条件＋边界条件 （1）初始条件：如果泛定方程是关于时间变量t的n阶方 程，就必须给出n个初始条件，只有这样才可能给出具体 问题的定解。 （2）边界条件：三类边界条件＋自然边界条件 三类给定的边界： u 边 f (M , t ) 第一类（狄利克莱）边界条件 un 边 f (M , t ) 第二类（诺依曼）边界条件 (u hu ) f (M , t ) 第三类（混合）边界条件 （根据 f 是否为零还可以分为齐次和非齐次边界） 其他边界条件： u u 衔接性边界条件 u u n n 自然边界条件： y x0 有限 有界性自然边界条件 ( 2 ) ( ) 周期性自然边界条件
偏微分方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次 我们的重点：
utt a u f
2
波动方程 热传导方程
双曲型方程 抛物型方程
ut Du f
u h
稳定场方程
椭圆型方程
定解问题： 泛定方程＋定解条件 泛定方程的确定： （1）对所研究的问题做数学抽象表述，从所研究的系统 中划出一小部分，即微元作为研究对象，分析相邻部分 与这一小微元的相互作用； （2）根据相关领域中的物理学的规律（如前面所用的牛 顿第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以数学表 达对微元的这种作用关系； （3）化简、整理，取相应的极限过程，得到数学物理方 程。
知识要点总结
主要内容包括：
1、三类典型数理方程的定解问题。 2、无界域波动方程初值问题的行波解。 3、各种边界条件下的三类方程的分离变量法。 4、特殊函数的应用。 5、积分变换法。 6、格林函数法。
第一章 定解问题 数学物理方程主要研究偏微分方程的求解问题：
u u u mu F ( x1 , x2 ,L , xn , u, , ,L , ,L , m1 m2 )0 mn x1 x2 xn x1 x2 L xn
utt a2uxx f ( x, t )
u x,0 0 ut x,0 0
x , t 0
纯强迫振动
思路： f ( x, 所引起的振动，看作是一系列 t) 将持续力 前后相继的瞬时力 ) f ( x, ) (0 t所引起的振动 的叠加。即 ( x, t ; )
定义：
1 u r, t 4 r 2 1 srM0 u M , t ds 4
r 0
M0 sr
u M ,t d
u M 0 , t0 lim u r , t0
则可以证明：
2 2 2 ( ru ) a (ru ) 2 2 t r
一、双齐次问题的本征函数基本迭代解 齐次泛定方程＋齐次边界条件＝双齐次问题
（1）双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的 可能—满足齐次泛定方程及其次边界条件的若干解得叠 加后仍满足齐次泛定方程及齐次边界条件。
（2）本征值问题是分离变量法的核心问题 。
常微分方程1--解1 偏微分 方程
分离变量
行波解的物理意义：
由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向 正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方 程中的常数 a ，这就是达朗贝尔公式的物理意义。达朗 贝尔解表示正行波和反行波的叠加给出波动特性。
特点： 基于波动特点； 引入坐标变换简化方程求解，解的形式简单。 缺点：适用范围窄，无界域的波动或相近问题。
utt a 2u xx f ( x, t ) u x, 0 x ut x, 0 x
I I utt a2uxx f ( x, t ) utt a2uxx 0 u |t 0 ( x) ＋ u |t 0 0 u t |t 0 0 u | ( x)
v(r, t ) ru(r, t )
vtt a vrr
2
从而：
v(r, t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
v(r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r r
代入边界条件得：
1 u ( M 0 , t0 ) 4 a t0
n 边
1 s 2 s 1 2 1 s 2 s
定解问题包括： 初值问题：泛定方程＋初始条件 边值问题：泛定方程＋边界条件 混合问题：泛定方程＋初始条件＋边界条件 例：设有一单位球，其边界球面上温度分布为 u |r 1 cos2 ， 试写出球内的稳定温度分布的定解问题。 解：
u 0 2 u |r 1 cos , u |r 0 有限
(M )
M0
Sat0
at0
ds
(M )
at0
Sat0 M 0
ds
泊松（Poisson）公式
物理意义
2 u a u, x, y, z , t 0 例：求解 tt u |t 0 x 2 y, ut |t 0 0
1 x 2y
x x0 r sin cos 用到公式: y y0 r sin sin z z0 r cos
r
x x0 y y0 z z0
2 2
2
at
对于非齐次泛定方程问题：－－冲量原理法 定解问题：
2
提出定解问题：泛定方程＋定解条件 求解：分离变量法等 分析解答
第二章 行波解
中心：行波法求解无界空间波动问题 重点知识包括：
达朗贝尔公式－－利用坐标变换求通解的方法 泊松公式－－化三维为一维的平均值法 冲量原理－－非齐次方程定解，推迟势
对于一维问题：－－变量代换法
定解问题：
utt a2uxx
本征解
解1 解2
定解问题
齐次边 界条件
分离变量
常微分方程2 边界条件
本征值问题
解2 本征函数
（定解条件）
所求解
初始 条件
确定迭加系数
本征值
本征解
注意
（1）双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的可 能—满足齐次泛定方程及其次边界条件的若干解得叠加后仍 满足齐次泛定方程及齐次边界条件。 （2）“通解”的另一保证是满足齐次泛定方程及齐次边界 n a n a n u x, t An cos t Bn sin t sin x 条件的任意解均可表示成，
解：
, , u ( x, y , z , t ) dS 4 a t s M r r at 1 2 x at sin cos 2 y at sin sin 2 ( at ) sin d d 0 0 4 a t at 2 2 1 2 2 at x 2 y d sin d a t . cos sin d sin 2 d 0 0 0 0 4 a t
令：
( x, t; ) ( x, t; )
tt a 2 xx 0 |t 0 t |t f x,
从而：
1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t; )d f , d d 0 2a 0 x a (t )
u x, 0 x ut x, 0 x
x , t 0
思路：
utt－a uxx＝（ a （ ) a )u 0 t x t x
2
x at x at u
1 3 u sin y x sin y / 3 x y 2 / 3 xy 4 4
对于三维问题：－－平均值法
utt a u
2
x, y, z , t 0
u |t 0 M u | M t t 0
0
u u d 0d c c
u , c d f 2 f1 f 2
u x, t f1 x at f2 x at
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
t t 0
对于三维问题
utt a 2 u f ( M , t ), ( x, y, z , t 0) u |t 0 0 u | 0 t t 0
同样有：
r f ( M , t ) 1 t a ds dr u(M , t ) 4 a at SrM r a r f ( M , t ) at 1 a dsdr 2 0 S M r 4 a r r f ( M , t ) 1 a d 2 T M at 4 a r
例：求解
2 utt a u xx u |t 0 x, t x at x at 4d x at 2 2a x 4t
利用一维行波解的思想，类似可以求解：
uxx 2u xy 3u yy 0 u x, 0 sin x u y x, 0 x
推迟势
第三章 分离变量法
基本思路: 把偏微分方程通过分离变量的技巧 分解为几个常微分方程，其中有的常微分方 程带有附加条件而构成本征值问题。通过分 别求解各个常微分方程，进而利用定解条件 和广义傅立叶展开确定定解问题的解。
1. 2. 3. 4. 双齐次问题的本征函数基本迭代解 非齐次泛定方程的本征函数展开法和冲量法 非齐次边界条件的齐次化原理 正交曲线坐标系中的分离变量法和特殊函数应用
例：利用麦克斯韦方程组导出电磁场所满足的波动方程
定解条件的确定： 初始条件＋边界条件 （1）初始条件：如果泛定方程是关于时间变量t的n阶方 程，就必须给出n个初始条件，只有这样才可能给出具体 问题的定解。 （2）边界条件：三类边界条件＋自然边界条件 三类给定的边界： u 边 f (M , t ) 第一类（狄利克莱）边界条件 un 边 f (M , t ) 第二类（诺依曼）边界条件 (u hu ) f (M , t ) 第三类（混合）边界条件 （根据 f 是否为零还可以分为齐次和非齐次边界） 其他边界条件： u u 衔接性边界条件 u u n n 自然边界条件： y x0 有限 有界性自然边界条件 ( 2 ) ( ) 周期性自然边界条件
偏微分方程的阶数、线性与非线性、齐次与非齐次 我们的重点：
utt a u f
2
波动方程 热传导方程
双曲型方程 抛物型方程
ut Du f
u h
稳定场方程
椭圆型方程
定解问题： 泛定方程＋定解条件 泛定方程的确定： （1）对所研究的问题做数学抽象表述，从所研究的系统 中划出一小部分，即微元作为研究对象，分析相邻部分 与这一小微元的相互作用； （2）根据相关领域中的物理学的规律（如前面所用的牛 顿第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以数学表 达对微元的这种作用关系； （3）化简、整理，取相应的极限过程，得到数学物理方 程。
知识要点总结
主要内容包括：
1、三类典型数理方程的定解问题。 2、无界域波动方程初值问题的行波解。 3、各种边界条件下的三类方程的分离变量法。 4、特殊函数的应用。 5、积分变换法。 6、格林函数法。
第一章 定解问题 数学物理方程主要研究偏微分方程的求解问题：
u u u mu F ( x1 , x2 ,L , xn , u, , ,L , ,L , m1 m2 )0 mn x1 x2 xn x1 x2 L xn
utt a2uxx f ( x, t )
u x,0 0 ut x,0 0
x , t 0
纯强迫振动
思路： f ( x, 所引起的振动，看作是一系列 t) 将持续力 前后相继的瞬时力 ) f ( x, ) (0 t所引起的振动 的叠加。即 ( x, t ; )
定义：
1 u r, t 4 r 2 1 srM0 u M , t ds 4
r 0
M0 sr
u M ,t d
u M 0 , t0 lim u r , t0
则可以证明：
2 2 2 ( ru ) a (ru ) 2 2 t r
一、双齐次问题的本征函数基本迭代解 齐次泛定方程＋齐次边界条件＝双齐次问题
（1）双齐次问题中的“双齐次”保证了构成“通解”的 可能—满足齐次泛定方程及其次边界条件的若干解得叠 加后仍满足齐次泛定方程及齐次边界条件。
（2）本征值问题是分离变量法的核心问题 。
常微分方程1--解1 偏微分 方程
分离变量