内蒙古高考数学文科试题版_2

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（内蒙古卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

学@科网 1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B = A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y =7．在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++- ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1 B ．2C D 112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

内蒙古2024年高考文科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A．{}1,2,3,4B．{}3,2,1 C.{}4,3D．{}9,2,12．设z =，则z z ⋅=（）A．i-B．1C.1-D．23．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，则5z x y =-的最小值为（）A．5B．12C．2-D．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A．2-B．73C．1D．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．236．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()10,4F 、()20,4F -，且经过点()6,4P -，则双曲线C 的离心率是（）A．4B．3C．2D．27．曲线()136-+=x x x f 在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．61B．2C．12D．23-8．函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的大致图像为（）9．已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．132+B．1-C．23D．31-10.已知直线02=-++a y ax 与圆01422=-++y y x C ：交于B A ,两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.611．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m =βα .下列四个命题：①若m n ∥，则n α∥或n β∥；②若m n ⊥，则n α⊥，β⊥n ；③若n α∥且n β∥，则m n ∥；④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，其中所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④12．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A．13B．13C．2D．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()sin f x x x =-在[]0,π上的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ，下底面半径均为2r ，圆台的母线长分别为()122r r -，()123r r -，则圆台甲与乙的体积之比为．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =______．16．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的前n 项和．18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（247.12150≈）19．（12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，4,=AD AD EF AD BC ，∥∥，2===EF BC AB ，且10=ED ，32=FB ，M 为AD 的中点．（1）证明：∥BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离．20．（12分）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且MF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,4P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与直线MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+．（1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若2AB =，求a 的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）实数a ，b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题1.A 解析：由题意可得{}843210，，，，，=B ，∴{}4,3,2,1=B A .2.D解析：∵i z 2=，∴i z 2-=，∴222=-=⋅i z z .3.D 解析：实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，作出可行域如图：由y x z 5-=可得z x y 5151-=，即z 的几何意义为z x y 5151-=的截距的51-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线z x y 5151-=过点A，联立⎩⎨⎧=-+=--09620334y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==123y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23A ，则271523min -=⨯-=z .4.D解析：法一：利用等差数列的基本量由19=S ，根据等差数列的求和公式1289919=⨯+=d a S ，整理得13691=+d a ，又()92369928262111173=+=+=+++=+d a d a d a d a a a .法二：特殊值法不妨取等差数列公差0=d ，则有1991a S ==，∴911=a ，故有922173==+a a a .5.B解析：当甲排在排尾，乙排在第一位，丙有2种排法，丁有1种排法，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁有1种排法，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理，乙排在排尾共4种排法，于是共8种排法，基本事件总数显然是2444=A ,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为31248=.6.C解析：由题意，()4,01F ，()402-，F ，()4,6-P，则()()6446,10446,8222222121=-+==++===PF PF c F F ，则4610221=-=-=PF PF a ,24822===a c e .7.A解析：()365+='x x f ，则()30='f ，∴该切线方程为x y 31=-，即13+=x y ，令0=x ，则1=y ，令0=y ，则31-=x ，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积6131121=-⨯⨯=S .8.B解析：()()()()()x f x e e x x e ex x f x x x x=-+-=--+-=---sin sin 22，又函数定义域为[]8.2,8.2-，故函数为偶函数，可排除A,C，又()021*******sin 111sin 111>->--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=e e e e e e e f π，故排除D.9.B 解析：∵cos cos sin ααα=-，∴3tan 11=-α，解得331tan -=α，∴132tan 11tan 4tan -=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπα.10.C 解析：由题意可得圆的标准方程为：()5222=++y x ，∴圆心()20-，C ,半径为5，直线02=-++a y ax 可化为()()021=++-y x a ，∴直线过定点()21-，D ,当AB CD ⊥时，AB 最小，易得1=CD ，故()415222=-⨯=AB .11.A 解析：对①，当α⊂n ，∵n m ∥，β⊂n ，则β∥n ，当β⊂n ，∵n m ∥，α⊂m ，则α∥n ，当n 既不在α也不在β内，∵n m ∥，βα⊂⊂m m ,，则α∥n 且β∥n ，故①正确；对②，若n m ⊥，则n 与βα，不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与βα，分别相交于直线s 和直线t ，∵α∥n ，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知s n ∥，同理可得t n ∥，则t s ∥，∵⊄s 平面β，⊂t 平面β，则∥s 平面β，∵⊂s 平面α，m =βα ，则m s ∥，又∵s n ∥，则n m ∥，故③正确；对④，若m =βα ，n 与βα，所成的角相等，如果βα∥，∥n n ，则n m ∥，故④错误；综上，①③正确.12.C 解析：∵3π=B ，294b ac =，则由正弦定理得31sin 94sin sin 2==B C A .由余弦定理可得：ac ac c a b 49222=-+=，即ac c a 41322=+，根据正弦定理得1213sin sin 413sin sin 22==+C A C A ，∴()47sin sin 2sin sin sin sin 222=++=+C A C A C A ，∵A,C 为三角形内角，则0sin sin >+C A ，则27sin sin =+C A .二、填空题13.2解析：()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=3sin 2cos 23sin 212cos 3sin πx x x x x x f ，当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,33πππx ，当23ππ=-x 时，即65π=x 时()2max =x f .14.46解析：由题可得两个圆台的高分别为：()[]()()1221221232r r r r r r h -=---=甲，()[]())12212212223r r r r r r h -=---=乙∴()()()()462233131121212121212=--==++++=r r r r h h h S S S S h S S S S V V 乙甲乙甲乙甲.15.64解析：由25log 21log 34log 1log 1228-=-=-a a a a ，整理得()06log 5log 222=--a a ，可得1log 2-=a 或6log 2=a ，又1>a ，∴6log 2=a ，∴6426==a .16.()1,2-解析：令()a x x x +--=-2313，即1523+-+=x x x a ，令()()01523>+-+=x x x x x g ，则()()()1535232-+=-+='x x x x x g ，令()()00>='x x g 得1=x ，当()1,0∈x 时，()0<'x g ，()x g 单调递减；当()+∞∈,1x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增，()()21,10-==g g ，∵曲线x x y 33-=与()a x y +--=21在()∞+，0上有两个不同的交点，∴等价于a y =与()x g 有两个交点，∴()1,2-∈a .三、解答题17.解：（1）∵3321-=+n n a S ，∴33221-=++n n a S ，两式相减可得121332+++-=n n n a a a ，即1253++=n n a a ，∴等比数列{}n a 的公比35=q ，当1=n 时有35332121-=-=a a S ，∴11=a ，∴135-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a .（2）由等比数列求和公式得2335233513511-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=nn n S ，∴数列{}n S 的前n 项和nS S S S T nn n 23353535352332321-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=++++= 4152335415233513513523--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=n n n n.18.解：（1）根据题意可得列联表：可得()6875.416755496100507024302615022==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，∵635.66875.4841.3<<，∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为64.015096=，用频率估计概率可得64.0=p ，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p ，则()()568.0247.125.065.15.01505.015.065.15.0165.1≈⨯+≈-⨯⨯+=-+n p p p ，可知()np p p p -+>165.1，∴可以认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.解：（1）∵AD BC ∥，2=EF ，4=AD ，M 为AD 的中点，∴MD BC MD BC =，∥，则四边形BCDM 为平行四边形，∴CD BM ∥，又∵⊄BM 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，∴∥BM 平面CDE .（2）如图所示，作AD BO ⊥交AD 于点O ，连接OF .∵四边形ABCD 为等腰梯形，4,=AD AD BC ∥，2==BC AB ，∴2=CD ，结合（1）可知四边形BCDM 为平行四边形，可得2==CD BM ，又2=AM ，∴ABM ∆为等边三角形，O 为AM 的中点，∴3=OB .又∵四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，∴MD EF MD EF ∥,=，四边形EFMD 为平行四边形，AF ED FM ==，∴AFM ∆为等腰三角形，ABM ∆与AFM ∆底边上中点O 重合，3,22=-=⊥AO AF OF AM OF ，∵222BF OFOB =+，∴OF OB ⊥，∴OF OD OB ,,互相垂直，由等体积法可得ABM F ABF M V V --=，233243213121312=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∆-FO S V ABM ABM F ,由余弦定理，()()10212102322102cos 222222=⋅⋅-+=⋅-+=∠ABF A FB AB F A F AB ，∴10239cos 1sin 2=∠-=∠F AB F AB .则2391023921021sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅=∆F AB AB F A S F AB ，设点M 到面ABF 的距离为d ，则有232393131=⋅⋅=⋅⋅==∆--d d S V V F AB ABM F ABF M ，解得13133=d ，即点M 到面ABF 的距离为13133.20.解：（1）由题意可得()x f 定义域为()∞+，0，()xax x a x f 11-=-='，当0≤a 时，()0<'x f ，故()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，令()0='x f ，解得ax 1=，当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1a x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 1,0时，()0<'x f ，()x f 单调递减；综上所述：当0≤a 时，()x f 在()∞+，0上单调递减；当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减.（2）当2≤a 且1>x 时，()()x x e x x a e x f ex x x ln 121ln 1111+++≥-+--=----，令()()1ln 121>++-=-x x x ex g x ，则()()1121>+-='-x xe x g x ，令()()x g x h '=，则()()1121>-='-x xex h x ，显然()x h '在()∞+，1上单调递增，则()()0110=-='>'e h x h ，因()()x h x g ='，则()x g '在()∞+，1上单调递增，故()()01210=+-='>'e g x g ，即()x g 在()∞+，1上单调递增，故()()01ln 1210=++-=>e g x g ，即()()()01ln 111>≥-+--=---x g x x a e x f ex x ，∴当1>x 时，()1-<x ex f 恒成立.21.解：（1）设()0,c F ，由题设有1=c ，且232=a b ，故2312=-a a ，解得2=a ，故3=b ，故椭圆方程为：13422=+y x .（2）由题意知，直线AB 额斜率一定存在，设为k ，设()()()2211,,,,4:y x B y x A x k y AB -=，由()⎪⎩⎪⎨⎧-==+413422x k y y x 可得()0126432432222=-+-+k x k x k ，∵()()012644341024224>-+-=∆kkk ，∴2121<<-k ，由韦达定理可得22212221431264,4332kk x x k k x x +-=+=+，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25N ，∴直线⎪⎭⎫ ⎝⎛--=252522x x y y BN ：，故52325232222--=--=x y x y y Q，∴()()()()524352452352523222122212211--+-⋅-=-+-=-+=-x x k x x k x y x y x y y y y Q()0528433254312642528522222222121=-++⨯-+-⨯=-++-=x k k k k k x x x x x k 故Q y y =1，即AQ y ⊥轴．22.解：（1）由1cos +=θρρ，将⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy x θρρcos 22代入1cos +=θρρ，可得122+=+x y x ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为122+=x y .（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为a x y +=.法一：直线l 的斜率为1，故倾斜角为4π，故直线的参数方程可设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==s a y s x 2222，R s ∈.将其代入122+=x y 中得)()01212222=-+-+a s a s .设B A ,两点对应的参数分别为21,s s ，则()()12,12222121-=--=+a s s a s s ，且()()01616181822>-=---=∆a a a ，故1<a ，∴()()()218184222122121=---=-+=-=a a s s s s s s AB ，解得43=a .法二：联立⎩⎨⎧+=+=122x y ax y ，得()012222=-+-+a x a x ，()()088142222>+-=---=∆a a a ，解得1<a ，设()()2211,,,y x B y x A ，∴1,2222121-=-=+a x x a x x ，则()()()21422241122212212=---⋅=-+⋅+=a a x x x x AB ，解得43=a .23.解：（1）∵()()0222222222≥-=+-=+-+b a b ab a b a b a ，当b a =时等号成立，则()22222b a b a +≥+，∵3≥+b a ，∴()b a b a b a +>+≥+22222.（2）()b a b a a b b a ab b a +-+=-+-≥-+-222222222222()()()()()623122222=⨯≥-++=+-+≥+-+=b a b a b a b a b a b a .。

2024年内蒙古高考数学(文)试题及答案注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：A2. 设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B. 12C. 2- D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理..【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A.14B.13C. 12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.的在【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16C. 12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】.【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，21111233232F ABM ABM V S FO -=⋅⋅=⋅⋅=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅==△，解得d =M 到ABF 17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-=当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--为()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

第1页 共18页 ◎ 第2页 共18页2017年文数高考真题全国Ⅱ卷（内蒙古用)答案组题人：李明辉1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．（2017新课标全国卷II 文科）(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i +【答案】B 【解析】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i)(+i)()+a b c d ac bd =-(+)i(,,,)ad bc a b c d R ∈. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭复数为i a b -.3．函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π2【答案】C 【解析】 由题意22T ππ==，故选C ． 【名师点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y B A y B A =-，. (2)最小正周期2.T πω=(3)由()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间.4．（2017新课标全国Ⅱ文科）设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥b B ．=a b C ．a ∥b D ．a b >【答案】A 【解析】由+=-a b a b 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0⋅=a b ，则a b ⊥r r ，故选A.点睛:已知1122(,),(,)x y x y ==a b .(1)向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ,11BA AC OA OB λλ=⇔=++u u u r u u u r u u u r u u ur 1OC λλ+u u u r . (2)向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .(3)向量运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .5．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A．)+∞ B．2)C．D ．(1,2)【答案】C【解析】221c a =+，222222111c a e a a a+===+ ，1a >Q ，2101a∴<< ，212e <<，则0e <<，选C. 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为第3页 共18页 ◎ 第4页 共18页A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．7．设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是( )A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，由23302330x y x y +-=⎧⎪⎨⎪-+=⎩可得63x y =-⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()6,3--时， 直线在y 轴上的截距最小，最小值为()26315z =⨯--=-，故选A. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选：D.第5页 共18页 ◎ 第6页 共18页点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

2021年内蒙古高考文科数学试题及答案考前须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，那么A∩B=A． B．{–3，–2，2，3〕C．{–2，0，2} D．{–2，2}2．〔1–i〕4=A．–4 B．4C．–4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．假设k–j=3且j–i=4，那么称a i，a j，a k为原位大三和弦；假设k–j=4且j–i=3，那么称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5 B．8 C．10 D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，那么至少需要志愿者A．10名B．18名C．24名D．32名5．单位向量a，b的夹角为60°，那么在以下向量中，与b垂直的是A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b6．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．假设a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，那么nnS a = A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –17．执行右面的程序框图，假设输入的k =0，a =0，那么输出的k 为A ．2B ．3C ．4D ．58．假设过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，那么圆心到直线2x -y -3=0的间隔 为 A 5B 25C 35D 459．设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：2222 x y a b=l(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．假设△ODE 的面积为8，那么C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．3210．设函数f (x )=x3－31x，那么f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11．△ABC 93O 的球面上．假设球O 的外表积为16π，那么O 到平面ABC 的间隔 为 A 3B ．32C ．1D 3 12．假设2x－2y<3−x－3−y，那么A ．ln(y -x +1)>0B ．ln(y -x +1)<0C ．ln ∣x -y ∣>0D ．ln ∣x -y ∣<0二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2023-2024学年内蒙古呼和浩特市高考数学（文）模拟试题（二模）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项）1.已知集合{22}A x x =-≤≤∣，{(3)0}B x x x =-<∣，则()R A B = ð（）A .{2xx ≤∣或3}x ≥ B.{20}xx -≤≤∣C.{23}xx ≤≤∣ D.{2xx ≤-∣或3}x ≥【正确答案】A【分析】根据不等式解出集合B ，在按照集合的补集与并集运算即可.【详解】解：集合{22}A xx =-≤≤∣，{(3)0}{03}B x x x x x =-<=<<∣∣所以R {|0B x x =≤ð或3}x ≥，则()R A B = ð{2xx ≤∣或3}x ≥.故选：A.2.已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A.2i - B.2iC.2- D.2【正确答案】C【分析】计算2i z =-，确定虚部得到答案.【详解】()()()()24i 2i 24i 10i 2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C3.若函数()()221,0log 3,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f -=（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【分析】根据函数()f x 的解析式由内到外可计算得出()()2f f -的值.【详解】由题意可得()()22215f -=-+=，则()()()225log 83f f f -===.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.3【正确答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .5.《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也．”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为“氟堵”再沿新堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为“阳马”，这个三棱锥称为“鳖臑”，某“阳马”的三视图如图所示，则它最长侧棱的值是（）A.1B.2C.D.【正确答案】D【分析】由三视图得出四棱锥的直观图，再求出各个侧棱长，即可得出答案．【详解】设几何体为四棱锥A BCDE -，如图所示：由三视图得1AB =，1BC =，2CD =，2BE =，因为AB ⊥平面BCDE ，,BC BE ⊂平面BCDE ，所以,AB BC AB BE ⊥⊥，则AC ==，AE ==AD ==，故选：D ．6.已知向量(1,2)a = ，(1,1)= b ，若3c a kb =+ ，且a c ⊥ ，则实数k =（）A.3B.5- C.5D.3-【正确答案】B【分析】计算()3,6c k k =++，根据垂直得到3150a c k ⋅=+=，解得答案.【详解】()()()331,21,13,6c a kb k k k =+=+=++，a c ⊥，则()3263150a c k k k ⋅=+++=+= ，解得5k =-.故选：B 7.函数()5sin cos exx f x x x =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.【详解】首先()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故排除D ，()22f ππ=，故排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，故排除A ，只有C 满足条件.故选：C8.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（）A.3±B. C.3D.-3【正确答案】D【分析】根据双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点重合知()2230y x λλ-=≠焦点在x 轴上，对双曲线表达式进行变形，求出2c ，再令2c =即可求解.【详解】双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化为：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-，2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，那么在不超过12的素数中随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A.310B.25C.12D.35【正确答案】B【分析】利用列举法，结合古典概型的概率计算公式计算出所求概率.【详解】不超过12的素数为：2,3,5,7,11，共5个，从中随机选取两个，有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}2,3,2,5,2,7,2,11,3,5,3,7,3,11,5,7,5,11,7,11，共10种，其中和为奇数的为：{}{}{}{}2,3,2,5,2,7,2,11，共4种，所以和为奇数的概率为42105=.故选：B10.已知m n ､是两条不同的直线，αβ､是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,ααβ⊥⊥m ，则m βB.若,m ααβ∥∥，则m βC.若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥D.若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则n β⊥【正确答案】D【分析】对A,B 选项可能存在m β⊂的情况，对C 选项可能存在α与β相交的情况，对D 选项根据垂直于同一平面的两直线平行得//m n ，结合m β⊥，则可判断其正确.【详解】对A 选项，若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，故A 错误，对B 选项，若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂，故B 错误；对C 选项，若,m n αα⊂⊂，//,//m n ββ，则α与β相交或//αβ，故C 错误；对D 选项，由于,m n αα⊥⊥，所以//m n ，又m β⊥,所以n β⊥，故D 正确，故选：D.11.设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,0ϕ>）的最小正周期为π，且()()8f x f π≤，则下列说法不正确的是A.()f x 的一个零点为8π- B.()f x 的一条对称轴为8x π=C.()f x 在区间35(88ππ，上单调递增 D.(8f x π+是偶函数【正确答案】C【详解】 最小正周期为π，22πωπ==，即()()sin 2f x x ϕ=+，又()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭则sin 184f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,4k k Z πϕπ=+∈，()sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，sin 20848f πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯+= ⎪ ⎪⎭⎝⎭-⎝，所以选项A 正确；sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项B 正确；其单调增区间满足222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈即3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以选项C 不正确；(sin(2cos282f x x x ππ+=+=为偶函数，选项D 正确.故选.C12.“对任意(0,2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】当1k <时，sin cos sin 22k k x x x =，构造函数()sin 22kf x x x =-，则()cos 210f x k x =-<'．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()(022f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则()cos 210g x x =-<'，故()g x 在(0,2x π∈递增，故()(022g x g ππ<=-<，则sin cos x x x <．综上所述，“对任意(0,2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．考点：导数的应用．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的相应位置.）13.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【正确答案】2【分析】根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.2c e a =====.故2本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.14.有下列命题：①若“5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”是真命题；②命题“x ∀∈R ，220x x +->”的否定是“x ∀∈R ，220x x +-≤”；③0x ∀>，1x a x+≥为真命题，则a 的最大值为2.其中正确的是______（填序号）.【正确答案】①③【分析】①由于原命题和逆否命题为等价命题，可利用逆否命题判定；②用全称量词的否定判定；③可利用恒成立问题min 1()a x x ≤+，由基本不等式找到12x x+≥判定a 的范围.【详解】对于①，若“5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”的逆否命题为：若2a =且3b =，则5a b +=，显然逆否命题为真命题，由于原命题和逆否命题为等价命题，故该命题是真命题，故①为真命题；对于②，命题“x ∀∈R ，220x x +->”的否定是“0x ∃∈R ，20020x x +-≤”，故②为假命题；对于③，因为0x ∀>，1x a x +≥为真命题，所以min 1(a x x≤+，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，所以2a ≤，即a 的最大值为2，故③为真命题.故①③.15.一组数的()%0,100p p ∈分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有%p 的数据不大于该值，且至少有()100%p -的数据不小于该值．直观来说，一组数的%p 分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于%p 位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的25%分位数是________．【正确答案】6【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为4、5、6、7、8、8、9、9、10、10，又1025% 2.5⨯=，所以这组数据的25%分位数是第3个数6.故616.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件）近似地满足关系式()()22151,2,,1290n nS n n n =--=⋅⋅⋅，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是______.【正确答案】7，8【分析】由n 个月内累积的需求量n S 求出每月的需求量n a ，从而可得结果.【详解】因为()()22151,2,,1290n nS n n n =--=⋅⋅⋅，所以当1n =时，1116a S ==，当2n ≥时，()22121521(1)(1)590901n n n a S S n n n n n n --⎡⎤=-=-------⎣⎦2345271.590n n -+-=>，化为215540n n -+<，解得69n <<，可知当7n =或8，需求量超过1.5万件.故7，8.三、解答题（本大题共：6小题；共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图；在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，14BC AA ==，5AB =，点D 为AB 的中点．（1）求证1AC BC ⊥；（2）求三棱锥11A CDB -的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）8【分析】（1）首先由勾股定理逆定理证得AC BC ⊥，再由1CC ⊥平面ABC 证得1CC AC ⊥，从而证得AC ⊥平面1BCC ，即可证明1AC BC ⊥；（2）过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，首先证得CF ⊥平面11ABB A ，再由1111A B CD C A DB V V --=计算体积即可．【小问1详解】在ABC 中，因为3AC =，5AB =，4BC =，所以222AC BC AB +=，所以ABC 为直角三角形，即AC BC ⊥，又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又1CC BC C ⋂=，1,CC BC ⊂平面1BCC ，所以AC ⊥平面1BCC ，又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1AC BC ⊥．【小问2详解】在ABC 中，过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，由直三棱柱111ABC A B C -得平面11ABB A ⊥平面ABC ，且平面11ABB A 平面ABC AB =，CF AB ⊥，CF ⊂平面ABC ，所以CF ⊥平面11ABB A ，在Rt ABC △中，341255AC BC CF AB ⋅⨯===，又因为1111111541022DA B S A B AA =⋅=⨯⨯= ，所以1111111121083513A B CD C A DB DA B V V S CF --===⨯⋅⨯= ．18.近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位.我国新能源汽车行业取得的成就离不开国家政策的支持，为支持我国新能源汽车行业发展，国家出台了一系列政策，其中《新能源汽车产业发展规划（2021－2035年）》提出，到2025年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的20％左右，力争经过15年的持续努力，我国新能源汽车核心技术达到国际先进水平，质量品牌具备较强国际竞争力.某汽车城从某天开始连续的营业天数x 与新能源汽车销售总量y （单位：辆）的统计数据如表所示：从某天开始连续的营业天数x 1020304050新能源汽车销售总量y /辆6268758189（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；（2）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量.参考数据：5111920iii x y==∑，52128575i i y ==∑， 2.236≈.参考公式：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，线性回归方程ˆˆˆy a bx=+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-.【正确答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.6754.9yx =+，142辆【分析】（1）根据相关系数的计算公式代入数据即可求解，（2）由最小二乘法的计算公式求解线性回归方程，即可代入求解.【小问1详解】1020304050305x ++++==，6268758189755y ++++==，55307511250x y ⋅=⨯⨯=，5222222110203040505500ii x==++++=∑，则相关系数55i ix y x yr -⋅=∑0.999=≈，因为y 与x 的相关系数近似为0.999，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.【小问2详解】由（1）得5152215670ˆ0.6710005i ii ii x y x ybxx ==-⋅===-∑∑，ˆˆ750.673054.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.6754.9y x =+.将130x =代入ˆ0.6754.9yx =+，得ˆ0.6713054.9142y=⨯+=，所以预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量为142辆.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 外接圆的半径为1，且23sin sin sin sin 3b B c C b C a A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）若AC =，AD 是ABC 的内角平分线，求AD 的长度．【正确答案】（1）π3A =（2【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到232cos sin 3bc A ab C =，整理得到tan A =，得到答案.（2）根据正弦定理得到a =2sin 2B =，计算角度得到AD AC =，得到答案.【小问1详解】23sin sin sin sin 3b B c C b C a A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则2223sin 3b c b C a a ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即22223sin 3b c a ab C +-=，则由余弦定理可得232cos sin 3bc A ab C =，所以3sin cos sin sin 3C A A C =．又(0,π)C ∈，sin 0C ≠，所以3cos sin 3A A =，即tan A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =．【小问2详解】由正弦定理可得：22sin sin3πaB ==，解得a =sin B =，b a <，故B 为锐角，π4B =，在ACB △中，ππ5ππ3412C =--=，AD 是ABC 的内角平分线，故π6CAD ∠=，5π5ππ12612πADC ∠=--=，故AD AC ==20.已知抛物线T ：()220y px p =>和椭圆C ：22142x y+=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若p +∈N ，且MN 恰好被AB 平分，求OAB 的面积．【正确答案】（1）（2）4【分析】（1）由椭圆方程求出c ，再由F 恰是椭圆焦点，即可求得p ；（2）设直线:l 2px my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得出12y y +和12y y ，设AB 的中点00(,)G x y ，得出0y mp =，202p x m p =+，设()33,M x y ，()44,N x y ，且直线MN 的斜率为m -，由点差法得出0002x my -=，代入得出212m =，根据由点G 在椭圆内及p +∈N ，得出1p =，根据122A B pS y y =⨯-计算OAB 的面积即可．【小问1详解】在椭圆中，2222c a b =-=，所以c =由2p=，得p =【小问2详解】设直线l ：2px my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，222440m p p ∆=+>，则122122y y mpy y p +=⎧⎨=-⎩，设AB 的中点00(,)G x y ，则0y mp =，202p x m p =+，设()33,M x y ，()44,N x y ，则直线MN 的斜率为m -，2233142x y +=，2244142x y +=，相减得到()()()()34343434042x x x x y y y y -+-++=，即0002x my-=，即22022m m p pp -+=，解得212m =，由点G 在椭圆内，得222()2142p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得22p <，因为p +∈N ，所以p 值是1，所以OAB面积16224A B p S y y =⨯-==．21.已知函数()e e x f x ax =+-，R a ∈（注：e 2.718281=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 只有一个极值点，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）21e y x =+-（2）(),0∞-【分析】（1）根据导数的几何意义求出在()()0,0f 的切线斜率，即可得出切线方程；（2）由()f x 只有一个极值点，得出()0f x '=只有一个根，即e x a =-只有一个解，根据e x y =的值域即可求出实数a 的取值范围，再进行验证即可．【小问1详解】当1a =时，()e e x f x x =+-，()e 1x f x '=+，所以()f x 在()()0,0f 处的切线斜率为()02f '=，又()01e f =-，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为()()()000y f f x ¢-=-，即()()1e 20y x --=-，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为21e y x =+-．【小问2详解】若()f x 只有一个极值点，则()0f x '=只有一个根，所以方程e 0x a +=只有一个根，即e x a =-只有一个解，即y a =-与e x y =只有一个交点，因为e 0x >y=，所以0a ->，所以0a <，所以ln()x a =-，当ln()x a <-时，()0f x '<，当ln()x a >-时，()0f x '>，所以()f x 只有一个极小值点ln()x a =-，故a 的取值范围为(),0∞-．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-4坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 6cos 0ρθθ-=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l：1322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与曲线2C ，1C 的交点从上到下依次为P ，M ，N ，Q ，求PM NQ +的值．【正确答案】（1）22(3)8x y -+=，26y x =（2）【分析】（1）根据22sin cos 1αα+=将曲线1C 的参数方程化为普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程分别代入曲线1C 、2C 的普通方程，根据直线的参数方程中参数的几何意义计算可得.【小问1详解】由曲线1C的参数方程为3x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又22sin cos 1αα+=，所以曲线1C 的普通方程为22(3)8x y -+=．曲线2C 的极坐标方程为2sin 6cos 0ρθθ-=，有22sin 6cos 0ρθρθ-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为26y x =．【小问2详解】将直线l：1322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线2C 的方程得，2316322t t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即24240t t --=．解得两根为12t =+，22t =-由t的几何意义得，1212PQ t t t t =+=-=，同理将直线l：1322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C 的方程得28t =，解得两根为3t =，4t =-，所以由t 的几何意义得，P ，M ，N ，Q 对应的t值为12t =+，3t =，4t =-，22t =-，故()()1342||||PM NQ t t t t -=++=--．【选修4-5不等式选讲】23.已知函数()112222f x x x =++-．（1）求不等式()3f x <的解集；（2）设()f x 的最小值为M ，若正实数a ，b 满足221a b M a b +=+＋，证明：32a b +≥．【正确答案】（1）3344x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）证明过程见详解【分析】（1）对x 进行分类讨论，再结合图象求解绝对值不等式即可；（2）由（1）可知1M =，可得41221a b +=++，再利用基本不等式证明即可．【小问1详解】由题意知()14,4111,4414,4x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，令()3f x =，得34x =-或34，结合图象可知()3f x <的解集为3344x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【小问2详解】由题意可知2121a b a b +=++，4121121a b ∴-+-=++，41221a b ∴+=++，0,0a b >> ，则令22m a =+>，11n b =+>，则412m n+=，()()141141333535432222n m a b m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+-=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当23m n ==，即1a =，12b =时等号成立．。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(全国新课标II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|x|<3，x ∈Z}，B ＝{x||x|>1，x ∈Z}，则A ∩B ＝ A.∅ B.{－3，－2，2，3} C.{－2，0，2} D.{－2，2}2.(1－i)4＝A.－4B.4C.－4iD.4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…a 12，设1≤i ≤j ≤k ≤12。

若k －j ＝3且j －i ＝4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k －j ＝4且j －i ＝3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦。

用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则下列向量中，与b 垂直的是 A.a ＋2b B.2a ＋b C.a －2b D.2a －b6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则nnS a = A.2n －1 B.2－21－n C.2－2n －1 D.21－n －1 7.执行右面的程序框图，若输入k ＝0，a ＝0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.58.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为 525 35 459.设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点。

内蒙古2022年高考[文数]考试真题与答案解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则（ ）{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<M N = A. B. C. D. {2,4}{2,4,6}{2,4,6,8}{2,4,6,8,10}本题答案：A本题详解：因为，，所以．故选：A.{}2,4,6,8,10M ={}|16N x x =-<<{}2,4M N = 2. 设，其中为实数，则（ ）(12i)2i a b ++=,a b A. B. C. D. 1,1a b ==-1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-本题答案：A本题详解：因为R ，，所以，解得：．,a b Î()2i 2i a b a ++=0,22a b a +==1,1a b ==-故选：A.3. 已知向量，则（ ）(2,1)(2,4)a b ==-，a b -r r A. 2 B. 3C. 4D. 5本题答案：D本题详解：因为，所以.故选：D ()()()2,12,44,3a b -=--=- 5-== a b 4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6本题答案：C本题详解：对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A 选项7.37.57.42+=结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，860.3750.416=<C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，8130.81250.616=>D 选项结论正确.故选：C5. 若x ，y 满足约束条件则的最大值是（ ）2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩………2z x y =-A. B. 4C. 8D. 122-本题答案：C本题详解：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，2z x y =-2y x z =-上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z 最大，2y x z =-()4,0所以.故选：C.max 2408z =⨯-=6. 设F 为抛物线的焦点，点A 在C 上，点，若，则（）2:4C y x =(3,0)B AF BF =AB =A. 2B.C. 3D. 本题答案：B本题详解：由题意得，，则，()1,0F 2AF BF ==即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，A 1x =-A 121-+=不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：BA x ()1,2A AB ==7. 执行下边的程序框图，输出的（）n =A. 3B. 4C. 5D. 6本题答案：B本题详解：执行第一次循环，，，2123b b a =+=+=312,12a b a n n =-=-==+=；执行第二次循环，，222231220.0124b a -=-=>2347b b a =+=+=，；725,13a b a n n =-=-==+=222271220.01525b a -=-=>执行第三次循环，，271017b b a =+=+=，，此时输出.故选：B 17512,14a b a n n =-=-==+=2222171220.0112144b a -=-=<4n =8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）[3,3]-A. B. C. D. 3231x xy x -+=+321x xy x -=+22cos 1x x y x =+22sin 1x y x =+本题答案：A本题详解：设，则，故排除B;()321x xf x x -=+()10f =设，当时，，()22cos 1x x h x x =+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0cos 1x <<所以，故排除C;()222cos 2111x x xh x x x =<≤++设，则，故排除D.故选：A.()22sin 1x g x x =+()2sin 33010g =>9. 在正方体中，E ，F 分别为的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -,AB BC A. 平面平面 B. 平面平面1B EF ⊥1BDD 1B EF ⊥1A BD C. 平面平面 D. 平面平面1//B EF 1A AC 1//B EF 11AC D本题答案：A本题详解：解：在正方体中，1111ABCD A B C D -且平面，AC BD ⊥1DD ⊥ABCD 又平面，所以，EF ⊂ABCD 1EF DD ⊥因为分别为的中点，,E F ,AB BC所以，所以，又，所以平面，EF AC EF BD ⊥1BD DD D = EF ⊥1BDD 又平面，所以平面平面，故A 正确；EF ⊂1B EF 1B EF ⊥1BDD 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，D 2AB =则，()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，则，，()10,2,2C ()()11,1,0,0,1,2EF EB =-= ()()12,2,0,2,0,2DB DA ==设平面的法向量为，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=- 1B EF ()111,,m x y z =则有，可取，11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()2,2,1m =- 同理可得平面的法向量为，1A BD ()11,1,1n =--平面的法向量为，1A AC ()21,1,0n =平面的法向量为，11AC D ()31,1,1n =-则，122110m n ⋅=-+=≠所以平面与平面不垂直，故B 错误；1B EF 1A BD 因为与不平行，m 2n uu r 所以平面与平面不平行，故C 错误；1B EF 1A AC 因为与不平行，m 3n所以平面与平面不平行，故D 错误，1B EF 11AC D 故选：A.10. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）{}n a 2542a a -=6a =A. 14 B. 12C. 6D. 3本题答案：D本题详解：解：设等比数列的公比为，{}n a ,0q q ≠若，则，与题意矛盾，所以，1q =250a a -=1q ≠则，解得，所以.故选：D.()31123425111168142a q a a a q a a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩5613a a q ==11. 函数在区间的最小值、最大值分别为（）()()cos 1sin 1f x x x x =+++[]0,2πA. B. C. D. ππ22-，3ππ22-，ππ222-+，3ππ222-+，本题答案：D本题详解：，()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x '=-+++=+所以在区间和上，即单调递增；()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 在区间上，即单调递减，π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又，，，()()02π2f f ==ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D ()f x []0,2π3π2-π22+12. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A.B.C.D.1312本题答案：C.本题详解：设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为，则α2111sin 222222ABCDS AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又，则22r h 1+=2123O ABCD V r h -=⋅⋅=≤=当且仅当即时等号成立，故选：C222r h=h 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 记为等差数列的前n 项和．若，则公差_______．n S {}n a 32236S S =+d =本题答案：2本题详解：由可得，化简得，32236S S =+()()123122+36a a a a a +=++31226a a a =++即，解得.故答案为：2.()112+226a d a d =++2d =14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．本题答案：##0.3310本题详解：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率，故答案为：13C 3=310P =31015. 过四点中的三点的一个圆的方程为____________．(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-本题答案：或或或()()222313x y -+-=()()22215x y -+-=224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；本题详解：解：依题意设圆的方程为，()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭220x y Dx Ey F ++++=若过，，，则，解得，()0,0()4,0()1,1-01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以圆的方程为，即；22460x y x y +--=()()222313x y -+-=若过，，，则，解得，()0,0()4,0()4,201640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以圆的方程为，即；22420x y x y +--=()()22215x y -+-=若过，，，则，解得，()0,0()4,2()1,1-0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩所以圆的方程为，即；22814033x y x y +--=224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若过，，，则，解得，()1,1-()4,0()4,21101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩所以圆的方程为，即；2216162055x y x y +---=()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故答案为：或或或()()222313x y -+-=()()22215x y -+-=224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭16. 若是奇函数，则_____，______．()1ln 1f x a b x++-==a b =本题答案： ①. ； ②. ．12-ln 2本题详解：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．()1ln 1f x a b x++-=由可得，，所以，解得：，即函数的定义101a x +≠-()()110x a ax -+-≠11a x a +==-12a =-域为，再由可得，．即()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞()00f =ln 2b =，在定义域内满足，符合题意．()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--()()f x f x -=-故答案为：；．12-ln 2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知ABC ．()()sin sin sin sin C A B B C A -=-（1）若，求C ；2A B =（2）证明：2222a b c =+本题答案：（1）；（2）证明见解析．5π8【小问1详解】由，可得，，而，2A B =()()sin sin sin sin C A B B C A -=-()sin sin sin sin C B B C A =-π02B <<所以，即有，而，显然，所()sin 0,1B ∈()sin sin 0C C A =->0π,0πC C A <<<-<C C A ≠-以，，而，，所以．πC C A +-=2A B =πA B C ++=5π8C =【小问2详解】由可得，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，再由正弦定理可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，然后根据余弦定理可知，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，化简得：()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，故原等式成立．2222a b c =+18. 如图，四面体中，，E 为AC 的中点．ABCD ,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠（1）证明：平面平面ACD ；BED ⊥（2）设，点F 在BD 上，当的面积最小时，求三棱锥2,60AB BD ACB ==∠=︒AFC △F ABC-的体积．本题答案：（1）证明详见解析 （2【小问1详解】由于，是的中点，所以.由于，所以，AD CD =E AC AC DE ⊥AD CD BD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB CDB ≅△△所以，故，由于，平面，AB CB =AC BD ⊥DE BD D ⋂=,DE BD ÌBED 所以平面，由于平面，所以平面平面.AC ⊥BED AC ⊂ACD BED ⊥ACD 【小问2详解】依题意，，三角形是等边三角形，2AB BD BC ===60ACB ∠=︒ABC 所以2,1,AC AE CE BE ====由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.,AD CD AD CD =⊥ACD 1DE =，所以，222DE BE BD +=DE BE ⊥由于，平面，所以平面.AC BE E ⋂=,AC BE ⊂ABC DE ⊥ABC 由于，所以，由于，所以，ADB CDB ≅△△FBA FBC ∠=∠BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FBA FBC ≅ 所以，所以，AF CF =EF AC ⊥由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.12AFC S AC EF =⋅⋅ EF AFC 过作，垂足为，E EF BD ⊥F 在中，，解得Rt BED △1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅EF =所以，所以.13,222DF BF DF ===-=34BF BD =过作，垂足为，则，所以平面，且，FFH BE ⊥H //FH DE FH ⊥ABC 34FH BF DE BD ==所以,，所以34FH =111323324F ABC ABC V S FH -=⋅⋅=⨯⨯=19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：2m ），得到如下数据：3m 样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种2186m 树木的总材积量的估计值．附：相关系数．1.377r =≈本题答案：（1）； （2） （3）20.06m 30.39m 0.9731209m 【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，20.06m 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】101010x x y y x y xyr ---==0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为，3m Y 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．0.06186=0.39Y3=1209m Y 则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 20. 已知函数．1()(1)ln f x ax a x x=--+（1）当时，求的最大值；0a =()f x （2）若恰有一个零点，求a 的取值范围．()f x 本题答案：（1） （2）1-()0,+∞【小问1详解】当时，，则，0a =()1ln ,0f x x x x =-->()22111xf x x x x-'=-=当时，，单调递增；()0,1∈x ()0f x ¢>()f x当时，，单调递减；()1,x ∈+∞()0f x ¢<()f x 所以；()()max 11f x f ==-【小问2详解】，则，()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=当时，，所以当时，，单调递增；0a ≤10-≤ax ()0,1∈x ()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；()1,x ∈+∞()0f x ¢<()f x 所以，此时函数无零点，不合题意；()()max 110f x f a ==-<当时，，在上，，单调递增；01a <<11a >()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 在上，，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x ¢<单调递减；()f x 又，当x 趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，()110f a =-<()f x 所以仅在有唯一零点，符合题意；()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，，所以单调递增，又，1a =()()2210x f x x-'=≥()f x ()110f a =-=所以有唯一零点，符合题意；()f x 当时，，在上，，单调递增；1a >11a <()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 在上，，单调递减；此时，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭()0f x ¢<()f x ()110f a =->又，当n 趋近正无穷大时，趋近负无穷，()1111ln n n n f a n a a aa-⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1n f a ⎛⎫⎪⎝⎭所以在有一个零点，在无零点，()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以有唯一零点，符合题意；()f x 综上，a 的取值范围为.()0,+∞21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过两点．()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭（1）求E 的方程；（2）设过点的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点()1,2P -T ，点H 满足．证明：直线HN 过定点．MT TH =本题答案：（1） （2）22143y x +=(0,2)-【小问1详解】解：设椭圆E 的方程为，过，221mx ny +=()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭则，解得，，所以椭圆E 的方程为：.41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩13m =14n =22143y x +=【小问2详解】，所以，3(0,2),(,1)2A B --2:23+=AB y x ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，(1,2)P -1x =22134x y+=可得，，代入AB 方程，可得M(1,N 223y x =-，由得到.求得HN方程：T MT TH =H +，过点.(22y x =--(0,2)-②若过点的直线斜率存在，设.(1,2)P -1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=联立得，22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=可得，，1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩且，联立可得1221224(*)34k x y x y k -+=+1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时，1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--将，代入整理得，(0,2)-12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=将代入，得(*)222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-（二）选考题：请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22. 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为，（t 为参数），以坐标原点为极xOy 22sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．本题答案：（1（2）20++=y m 195122-≤≤m 【小问1详解】因为l ：，所以，sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=1sin cos 02ρθρθ⋅+⋅+=m 又因为，所以化简为，sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=102+=y x m 整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将，代入2=x t 2sin y t =中，可得，所以，20++=y m 3cos 22sin 20++=t t m 23(12sin )2sin 20-++=t t m 化简为，要使l 与C 有公共点，则有解，26sin 2sin 320-+++=t t m 226sin 2sin 3=--m t t令，则，令，，sin =t a []1,1a ∈-2()623=--f a a a (11)a -≤≤对称轴为，开口向上，所以，16a =(1)623()5=-=+-=max f f a ，所以，m 的取值范围为.min 11219(()36666==--=-f f a 19256-≤≤m 195122-≤≤m 23. 已知a ，b ，c 都是正数，且，证明：3332221a b c ++=（1）；19abc ≤（2）；a b c b c a c a b ++≤+++本题答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析【小问1详解】证明：因为，，，则，，，0a >0b>0c >320a >320b >320c >所以，3332223a b c ++≥即，所以，当且仅当，即时取等号．()1213abc ≤19abc ≤333222a b c ==a b c ===【小问2详解】证明：因为，，，0a >0b >0c >所以，，，bc +≥a c +≥a b +≥所以，ab c≤=+ba c ≤=+c ab ≤=+a bc b c a c a b ++≤==+++当且仅当时取等号．a b c ==。

2023年内蒙古高考文科数学真题+答案（完整版）2023年内蒙古高考文科数学真题+答案（完整版）小编整理了2023年内蒙古高考文科数学真题+答案，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。

下面是小编为大家整理的2023年内蒙古高考文科数学真题+答案，希望能帮助到大家!2023年内蒙古高考文科数学真题+答案2023年高考试卷类型有哪些2023年除了浙江省高考试卷有所调整外，其余各省市采用的试卷基本与2022保持一致，浙江省语数外三科由原来的自主命题变为采用新高考一卷。

这样新高考一卷就增加到了8个省份，试卷类型也由去年的八套试卷，变成了今年的七套试卷，详情如下：一、全国甲卷(5省区)：云南、四川、广西、贵州、西藏二、全国乙卷(12省区)：内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南三、新高考全国一卷(8省)：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江四、新高考全国二卷(3省市)：辽宁、重庆、海南五、天津卷：天津市六、上海卷：上海市七、北京卷：北京市注：2023年实行新高考的14省市的物理、化学、生物、政治、历史、地理6科由本省市单独命卷。

其中，浙江还另有技术科(含通用技术和信息技术)。

具体以各省市发布官方信息为准。

高考前焦虑情绪怎么缓解1、从根本上解决焦虑问题。

首先是提高自信心，那就要从平时的复习抓起，砸实每一个知识点，除自己增强自信外，同时他人也要多鼓励、多给予中肯的评价。

其次是多休息、多运动，保持充足的睡眠与锻炼，多与他人交流、沟通，这样能让自己的负面情绪排解出去。

2、就是家长要给孩子营造一个和谐的家庭氛围，让孩子在一个轻松愉快的环境里准备考试，不用有任何的顾虑，减少焦虑。

如果焦虑症严重的话，还可以根据实际情况请一个心理医生。

3、考前焦虑其实每个人或多或少都会有，只不过有的早有的晚，有的长有点短，每个人克服考前焦虑的方法也各不相同，有的人选择淡化它，有的人却久久不能释怀。

2021年内蒙古高考数学试卷（文科）（乙卷）1.已知全集，集合，，则() A. B. C. D.2.设，则()A. B. C. D.3.已知命题p ：，；命题q ：，，则下列命题中为真命题的是() A. B. C. D.4.函数的最小正周期和最大值分别是()A.和 B.和2 C.和 D.和25.若x ，y 满足约束条件则的最小值为()A.18B.10C.6D.4 6.()A. B. C. D.7.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为()A. B. C. D.8.下列函数中最小值为4的是()A. B.C. D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是()A. B. C. D.10.在正方体中，P 为的中点，则直线PB 与所成的角为()A. B. C. D.11.设B 是椭圆C ：的上顶点，点P 在C 上，则的最大值为()A. B. C. D.212.设，若为函数的极大值点，则() A. B. C. D.13.已知向量，，若，则__________.14.双曲线的右焦点到直线的距离为________.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则__________.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______写出符合要求的一组答案即可17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备新设备旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和求，，，；判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，M为BC的中点，且证明：平面平面PBD；若，求四棱锥的体积.19.设是首项为1的等比数列，数列满足已知，，成等差数列．求和的通项公式；记和分别为和的前n项和．证明：20.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为求C的方程；已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.21.已知函数讨论的单调性；求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.22.在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为写出的一个参数方程；过点作的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数当时，求不等式的解集；若，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题．利用并集定义先求出，由此能求出【解答】解：全集，集合，，，故答案选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于命题p：，，当时，，故命题p为真命题，为假命题；对于命题q：，，因为，又函数为单调递增函数，故，故命题q为真命题，为假命题，所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，故选：4.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．【解答】解：，最小正周期当时，函数取得最大值；函数的最小正周期为，最大值故选：5.【答案】C 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，二倍角的余弦及诱导公式，属于中档题．直接利用诱导公式及二倍角的余弦化简求值即可．【解答】解：故选7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为，构成该事件的区域长度为，所以取到的数小于的概率故选：我们分别计算出区间和的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项【解答】解：对于A，，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项B错误；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．【解答】解：因为，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数．故选：10.【答案】D【解析】解法一：，是直线PB与所成的角或所成角的补角，设正方体的棱长为2，则，，，，，直线PB与所成的角为解法二：，直线PB与所成角为，在正中，BP是的平分线，直线PB与所成的角为故选：法一：由，得是直线PB与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线PB与所成的角．法二：，从而直线PB与所成角为，在正中，BP是的平分线，由此能求出直线PB与所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，三角函数最值的求法，涉及二次函数求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．求出B的坐标，设，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性及二次函数的最值，转化求解距离的最大值即可．【解答】解：B是椭圆C：的上顶点，所以，点P在椭圆C上，设，所以，当时，取得最大值，最大值为故选：12.【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于较难题.根据，且为函数的极大值点，利用导数来判断a，b该满足的条件，为此需要判断函数在左右的单调性，本题需要分，并且，，并且，，并且，，并且共5种情况讨论，由此可以推出：并且或并且，然后可判断选项的正确性.【解答】解：因为，所以当时，函数在单调，无极值，不合条件；当时，因为，所以，①若并且时，，由，得：或，由，得：，所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；②若，并且时，，由，得：或，由，得：，所以这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；③若，并且时，，由，得：，由，得：或，这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；④若，并且时，，由，得：，由，得：或，所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；因此，若为函数的极大值点，则a，b必须满足条件：并且或并且由此可见，A，B均错误；又总有成立，所以C错误，D正确.故选13.【答案】【分析】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．根据题意，由，可得关于的方程，再求出即可．【解答】解：因为，，，所以，解得故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：双曲线的右焦点，所以右焦点到直线的距离为故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．【解答】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，，又，负值舍故答案为：16.【答案】②⑤或③④【解析】该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．17.【答案】解：由题中的数据可得，，，；；，，所以，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力．利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；比较与的大小，即可判断得到答案．18.【答案】证明：底面ABCD，平面ABCD，，又，，PB，平面平面平面PAM，平面平面PBD；解：由底面ABCD，即为四棱锥的高，是直角三角形；是矩形，，M为BC的中点，且设，取CP的中点为F，CD的中点为连接MF，AF，EF，AE，可得，，那么且，，，是直角三角形，，则；由是直角三角形，可得，解得底面ABCD的面积，则四棱锥的体积【解析】通过线面垂直即可证明；即只需证明平面根据底面ABCD，可得PD即为四棱锥的高，设，运用勾股定理求出a，进而利用四棱锥体积公式计算即可．本题考查平面与平面垂直的判定，考查四棱锥的体积计算，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：，，成等差数列，，是首项为1的等比数列，设其公比为q，则，，，证明：由知，，，，①，②①-②得，，，，【解析】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n项和公式和利用错位相减法求数列的前n项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．根据，，成等差数列，是首项为1的等比数列，求出公比q，进一步求出和的通项公式；分别利用等比数列的前n项和公式和错位相减法，求出和，再利用作差法证明20.【答案】解：抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，由知，抛物线C：，，设点Q的坐标为，则，点坐标为，将点P代入C得，整理得，直线OQ斜率，当时，，当时，，即，当且仅当，即时，取等号，当时，，即，当且仅当，即时，取等号，综上所述，，所以直线OQ斜率的最大值为【解析】本题考查抛物线的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题．根据焦点F到准线的距离为2求出p，进而得到抛物线方程，设出点Q的坐标，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，得表示出OQ斜率k，结合基本不等式分别讨论，，时k的取值范围，可得结论．21.【答案】解：，，①当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在R上单调递增；②当，即时，令，解得，令，解得或，令，解得，在，单调递增，在单调递减；综上，当时，在R上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．设曲线过坐标原点的切线为l，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得，切线方程为，令，即，解得或，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【解析】对函数求导，分及讨论导函数与零的关系，进而得出的单调性情况；先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．22.【答案】解：的圆心为，半径为1，则的标准方程为，的一个参数方程为为参数由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为，因为，，所以这两条切线的极坐标方程为【解析】本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．求出的标准方程，即可求得的参数方程；求出直角坐标系中的切线方程，再由，即可求解这两条切线的极坐标方程．23.【答案】解：当时，，，或或，或，不等式的解集为，若，则，两边平方可得，解得，即a的取值范围是【解析】将代入中，根据，利用零点分段法解不等式即可；利用绝对值三角不等式可得，然后根据，得到，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。