层次分析法的计算步骤(20210228092526)

层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。

它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。

这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。

这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。

（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。

（2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。

（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。

层次分析法的计算步骤
一、定义层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由梅尔·拉斯
菲尔德（M.L. Saaty）于1977年提出的一种多层结构和多维度的层次分
析方法。

它是一种评估决策者面临复杂决策的基于层次结构逻辑的决策分
析方法，可以很轻松地将复杂的主观问题转换为客观的量化问题，从而求
解复杂的决策问题。

二、层次分析法计算流程
（1）决策问题的分类和层次结构的确定
首先，根据决策者的要求，将决策问题确定为一个有层次结构（AHP）和深度（hierarchy）的问题，将决策问题的内容分为n个层次。

（2）建立层次分析矩阵
将决策问题中的n个层次按从上至下的顺序，建立起一个n×n的层
次分析矩阵，称之为层次分析矩阵。

（3）确定层次分析矩阵的元素
在层次分析矩阵中，每一对元素的值都由决策者给出，即根据决策者
的判断，确定每个元素在n个层次层次中的比较的优劣。

（4）计算层次分析矩阵的均值尺度指数
均值尺度指数是由每行元素进行加权求和结果和n相除而得到的。

它
表示每个元素在此行的平均相对权重。

（5）分析层次分析矩阵
一旦层次分析矩阵计算完毕。

1层次分析法首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。

最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。

而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。

如表1-1所示：表1-1 1~9标度及其含义1.1层次分析法计算步骤依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵()ij n nA a ´=，其次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。

（1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：11,(1,2,...,)nni ij j w a i n =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为：'1,(1,2,...,)ii nik w w i n w===∑（3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。

()max 1=nii iAw nw λ=∑（4）一致性检验，由一致性指标：max 1nCI n λ-=-RICI CR =其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。

反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。

并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。

反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。

这样的模型并不具有科学性。

因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。

RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：表1-2 RI 随机一致性指标若CR<0.1则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。

1.2指标权重的确定依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。

1.2.1准则层指标权重确定收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。

（完整版）层次分析法的计算步骤8.3.2 层次分析法的计算步骤⼀、建⽴层次结构模型运⽤AHP进⾏系统分析，⾸先要将所包含的因素分组，每⼀组作为⼀个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。

这些层次⼤体上可分为3类1、最⾼层：在这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此⼜称⽬标层；2、中间层：这⼀层次包括了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可由若⼲个层次组成，包括所需要考虑的准则，⼦准则，因此⼜称为准则层；3、最底层：表⽰为实现⽬标可供选择的各种措施、决策、⽅案等，因此⼜称为措施层或⽅案层。

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这⾥要注意，层次之间的⽀配关系不⼀定是完全的，即可以有元素（⾮底层元素）并不⽀配下⼀层次的所有元素⽽只⽀配其中部分元素。

这种⾃上⽽下的⽀配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，⼀般可不受限制。

为了避免由于⽀配的元素过多⽽给两两⽐较判断带来困难，每层次中各元素所⽀配的元素⼀般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若⼲⼦层。

例如，⼤学毕业的选择问题，毕业⽣需要从收⼊、社会地位及发展机会⽅⾯考虑是否留校⼯作、读研究⽣、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所⽰的层次结构模型。

图8.1再如，国家综合实⼒⽐较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最⾼层表⽰解决问题的⽬的，即应⽤AHP所要达到的⽬标；中间层表⽰采⽤某种措施和政策来实现预定⽬标所涉及的中间环节，⼀般⼜分为策略层、约束层、准则层等；最低层表⽰解决问题的措施或政策（即⽅案）。

然后，⽤连线表明上⼀层因素与下⼀层的联系。

如果某个因素与下⼀层所有因素均有联系，那么称这个因素与下⼀层存在完全层次关系。

有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下⼀层次的部分因素有联系。

层次之间可以建⽴⼦层次。

⼦层次从属于主层次的某个因素。

（一）层次分析法1、层次分析法的概念“层次分析法的基本原理是将复杂系统中的各种因素，依据相互关联及隶属关系划分为一个递阶层次结构；依赖专家经验及直觉评判同一层次内因素的相对重要性，并用一致性准则检验评判的准确性；然后在递阶层次结构内进行合成；以得到决策因素相对于目标的重要性的总排序。

”12、层次分析法的主要步骤（1）构建层次分析的结构模型首先将复杂的问题进行条理化和层次化改造，构造出一个层次分析的结构模型，在该模型中，复杂问题被分解为目标层、准则层和方案层三类不同层次。

其中目标层中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标，其余每一层因素受上一层次因素支配。

准则层包括了实现目标的中间环节，它包括下一层次的子准则，即方案层，方案层为系统层次分析的最直接表现形式。

1张宏华、《AHP在公路BOT项目风险评价中的应用》、科技资讯、2009年层次分析法的结构模型在上图所示模型中，A层次为目标层元素，B 层次为准则层元素，一般也称为一级指标，C层次为方案层元素，也可称为二级指标。

（2）专家评分建立层次分析法判断矩阵为了建立指标权重评判标准和构造判断矩阵，Saaty提出相对重要性比例标度，即1~9 层次比例标度,相对重要性比例标度的含义如表2-3所示。

假设有n个元素C1、C2，...，C n给定一个准则,利用上表所给的相对重要性比例标度方,对元素C i和C j做两两比较判断,获得相对重要度的值a ij，构成矩阵。

专家根据评判准则对各个因素的权重两两比较并进行了打分之后,经过整理,可以得到因素权重的判断矩阵A：矩阵 A中的各元素a ij表示行指标A i对列指标A j相对重要性的比例标度，则判断矩阵A中指标两两比较的特点有a ij＞0，a ij＝1，a ij＝1/a ji（i ，j=1，2，........n ）。

如果a ij ＜1，表示A j 比A i 重要； 如果a ij ＞1，表示A i 比A j 重要； 如果a ij ＝1，表示A j 与A i 同样重要。

层次分析法原理及计算过程详解写在前面：层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。

由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。

网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。

文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。

注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵目录：1.层次分析法概论1.2什么是决策1.3 决策分析法原理2.层次分析法的基本步骤2.1 层次分析法步骤2.2 建立层次结构模型2.3 构造判断矩阵2.4 计算单层权向量并做一致性检验2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验2.6 层次分析法基本步骤归纳3. 层次分析法的优缺点3.1 层次分析法的优点4.注意事项5.可应用的领域6. 完整例子分析6.1 旅游问题6.2 干部选择问题1.层次分析法概论1.1 什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。

它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

是对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。

层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。

是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。

该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

8.3.2 层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP 进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。

这些层次大体上可分为3 类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。

这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。

为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 个，若多于9 个时，可将该层次再划分为若干子层。

例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1 所示的层次结构模型。

图8.1再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图 6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP 所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。

然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。

如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。

有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。

层次之间可以建立子层次。

子层次从属于主层次的某个因素。

它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。