平面向量知识点及方法总结总结
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平面向量知识点小结及常用解题方法
一、平面向量两个定理
1.平面向量的基本定理
2.共线向量定理。 二、平面向量的数量积
1.向量b 在向量a 上的投影:||cos b θ,它是一个实数,但不一定大于0.
2.a b ⋅的几何意义:数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 三坐标运算:设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则
(1)向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++,1212(,)a b x x y y -=--. (2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.
(3)若11(,)A x y ,22(,)B x y ,则2121(,)AB x x y y =--,即一个向量的坐标等于表示这
个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
(4)平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.(5)向量的模:
222222||||a a x y a x y ==+⇔=+. 四、向量平行(共线)的充要条件
221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=. 五、向量垂直的充要条件
12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=. 六.12121122222
1
(,),(,)cos
,.a x y b x y a b x y x ===
+七、向量中一些常用的结论
1.三角形重心公式
在ABC △中,若11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心坐标为1
23123(,)
33
x x x y y y G ++++. 2.三角形“三心”的向量表示
(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心.
(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.
(3)||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心;
3.向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ,使得PA PB PC αβ=+且
1αβ+=. 4.在ABC △中若D 为BC 边中点则1
()2
AD AB AC =+ 5.与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±
七.向量问题中常用的方法
(一)基本结论的应用
1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=
(A )8(B )4(C )2(D )1
2.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→
+=成立,则m=A .2B .3 C .4D .5
3.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,能使||||
a b
a b =
成立的条件是() A 、a b =-B 、//a b C 、2a b =D 、//a b 且||||a b =
4.已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为____________
5.平面向量(1,2)a =,(4,2)b =,c ma b =+(m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =()A 、2-B 、1-C 、1D 、2
6.ABC ∆中13AN NC =,P 是BN 上一点若2
11
AP AC mAB =
+则m=__________ 为ABC ∆平面内一点,若2
2
2
2
2
2
oA BC oB CA oC AB +=+=+则o 是ABC ∆____心 8.(2017课标I 理)已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ,则=+b a 2. (二)利用投影定义
9.如图,在ΔABC 中,AD AB ⊥
,3BC =BD ,1AD =,则
AC AD ⋅=(A )23(B )
32
(C )33
(D
3
10.已知点()1,1A
-.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为
A .322
B .3152
C .322
-
D .3152
-
11设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 4
1
0=
,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00•≥•则
A .090=∠ABC
B .090=∠BA
C C .AC
AB =
D .BC AC =
(二)利用坐标法 12.
已
知
直
角
梯
形
ABCD
中,
AD BC 0
90ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +13.(2017课标II 理)已知ABC ∆是
边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,
()PA PB PC ⋅+的最小值是()2.-A 23.-
B 3
4
.-C 1.-D (三)向量问题基底化
14.在边长为1的正三角形ABC 中,设
2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ⋅=____________.
15.(2017天津理)在ABC ∆中,60A =︒∠,3AB =,2AC =.若2BD DC =,
()AE AC AB λλ∈=-R ,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为___________.
16.见上第11题
(四)数形结合代数问题几何化,几何问题代数化
例题1.ABC ∆中13AN NC =,P 是BN 上一点若2
11
AP AC mAB =+则m=__________ 2.(2017课标I 理)已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ,则=+b a 2
3、如图,在ΔABC
中,
AD AB ⊥,3BC =BD ,1AD =,
则
AC AD ⋅=(A )23(B )
3
(C )3(D
3
17.设向量a ,b ,c 满足a =b =1,a b =12-,
,a c b c --=060,则c 的最大值等于
A .2
B .3
C .2
D .1
18.若a ,b ,c 均为单位向量,且0=⋅b a ,0)()(≤-⋅-c b c a ,则||c b a -+的最大值为
(A )12- (B )1
(C )2
(D )2
19.已知,a b 是单位向量,0a
b =.若向量
c 满足1,c a b c --=则的取值范围是
A .2-1,2+1⎡⎤⎣⎦,
B .2-1,2+2⎡⎤⎣⎦,
C .1,2+1⎡⎤⎣⎦,
D .1,2+2⎡⎤⎣⎦,
20.已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是
(A)a ∥b (B)a ⊥b (C)(D)a +b =a -b (五)向量与解三角形
21.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC =1则___BC =.