欧几里得几何学的公理体系.
欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古
埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要
进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是
“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid
《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理
出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包
含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接
研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为
《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）
几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在
这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家
把萌芽中的代数学也包括在几何学中.
“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于
代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、
分析学等独立的数学分支，数学家首先
建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化
为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何
问题.
于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接
研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学
的进一步发展，就是射影几何学.
十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否
定了欧几里得几何中的平行线公理.
在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了
n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.
把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是
“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国
数学家的一篇不朽论文）：每种几何学视为
由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对于G来说不变的性质，这就是几何学.
在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学
的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何
学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世
瞩目.
欧几里得几何学：
以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心
是：“第五共设”
两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一
侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两
条直线必在此侧相交.
它等价于
过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且
仅有一条.
最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到
空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必
须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、
合乎逻辑的几何学思想.
《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，
但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世
纪后半叶，（就是在1900年世界数学家
大会上提出着名的Hilbert的23问题的着名数学
家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）
公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、
更加完善的几何公理体系.
欧几里得《几何原本》的简单介绍——
全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例
和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.
第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；
第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；
第3卷：关于圆的定理；
第4卷：圆的内接与外切多边形定理；
第6卷：相似理论；
第11、12、13卷：立体几何.
《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构
是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.
开始给出了23个定义. 前6个定义是：
（1）点没有大小；
（2）线有长度没有宽度；
（3）线的界是点；
（4）直线上的点是同样放置的；
（5）面只有长度没有宽度；
（6）面的界是线.
其次是5个共设：
（1）从任一点到另一点可以引一直线；
（2）有限直线可以无限延长；
（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；
（4）所有直角都相等；
（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角
之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.
然后是5个公理：
（1）等于同量的量相等；
（2）等量加等量其和相等；
（3）等量减等量其差相等；
（4）可重合的图形全等；
（5）全体大于部分.
公理之后是一些重要的命题.
要强调两点——
1、“第五共设”等价于“平行公理”：
2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何
逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、
甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多
定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯
物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的着作.
19世纪末，德国数学家于1899年
发表了着名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得
几何的完整的公理体系，称为着名的Hilbert公理体
系.
希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、
合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可
以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的
全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构
非常完善而严谨的几何体系.
希尔伯特《几何基础》的简单介绍——
希尔伯特公理体系：
一、结合公理 （incidence axioms ）——
结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为
“在K 上”或“K 通过K ”.
（1） 对于两点
A 、
B ，存在通过A 、B 的直线L ； （2） 当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线
L 是唯一的；
（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点
不在同一条直线上；
（4） 对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，
存在通过这三点的唯一的一个平面
π； （5） 每个平面上至少有一个点；
（6） 若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上
的每一点都在平面
π上； （7） 若两平面
1π、2π通过一点A ，则它们必通过 另一点B ；
（8） 至少存在4个点不在同一个平面上.
二、顺序公理（order axioms ）
顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为
“在
K 之间”. （1） 若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在
A 与C 之间”，则“
B 在
C 与A 之间”； （2） 对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L
上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；
（3） 对于在一条直线上
L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；
（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、
C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；
② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为
端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB
的内部，外部） （4） 设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π
是 通过三点的平面，也记为
ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过
A 、
B 、
C 中的任何一点. 若直线
L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线 段
AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；
（Pasch ，帕施公理）.
B ? L
C ?
A ? L
三、合同公理（congruence axioms ）
合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为
“K 合同于K ”或“K 等于K ”.
（1） 如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条
或另一条直线
'L 上，则直线'L 上的点'A 的一 侧存在点
'B ，使得线段''A B “合同”于AB ， 记为''A B AB ≡；
A ?
B ?
'L L
（2） 线段的合同关系是一个等价关系；
AB BA ≡；
''A B AB ≡ ? ''AB A B ≡；
''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ? ''''''A B A B ≡；
（3） 设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内
点，又设
''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同， 或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若
''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；
（4） 设平面
π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π?，并
且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线
'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上
引射线
'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一 条射线
'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠， 记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；
（5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面
π上通过同一点O 的 两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上
引两条射线，记为k 、h .
B ?’ A ?’
A ?
h 1L (),h k ∠
O k
2L
将这一对射线的所决定的集合称为平面
π上的角，记 为(),h k ∠或(),k h ∠；
若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此
角为
AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称 为角(),h k ∠的边.
角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π
上的直线（
π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ， 作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条
射线
1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.
1O ? 1k
(),h k ∠ ()','h k ∠
1h
1L
② 角的合同关系是一个等价关系；
③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在
一直线上的三点，如果有
B ?
11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，
则必有
111ABC A B C ∠=∠.
四、平行公理（parallel axioms ）
平行公理确定了直线的平行关系，叙述为
“
K 平行于K ”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与
A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且
不与直线
L 相交.
五、连续公理（continuity axioms ）
（1） 对于任意两线段
AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、L
、 n A ，使得1AA 、12A A 、L
、1n n A A -都合同于 线段DC ，
1121n n CD AA A A A A -====L ，
并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理
（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；
（2） 一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的
（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）
与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；
（直线的完备性公理）.
由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里
得几何的全部内容.
平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4
个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就
可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.
数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体
系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.
仿射几何 ——
（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，
A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ uuu r ，满足：
（1） PP u u u r
等于X 中的零向量；
（2） 任给A 中一点P ，任给X 中的向量a r
，则在A 中
存在唯一的点Q ，使得PQ a =u u u r r
；
（3） 对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+u u u r u u u r u u u r
；
则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；
3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向
量.
仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对
于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，
仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.
（二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形
在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、
单比，等. 三维仿射空间中A 的仿射坐标系： 设1e u r 、2e u u r 、3e u r 是
三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的
一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基
1e u r 、2e u u r 、3e u r 表示123m x e y e z e =++u r u r u u r u r ，把有序实数(),,x y z 称为向
量m u r
的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基
{}123,,e e e u r u u r u r ，合在一起{}123;,,O e e e u r u u r u r 称为空间的一个仿射坐标系
（也称为仿射标架）. 也常用记号
123OM m x e y e z e ==++u u u u r u r u r u u r u r .
仿射坐标系中的1e u r 、2e u u r 、3e u r 只需不共面，不必相互垂直.
若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.
仿射变换： 设仿射空间A 中有两组仿射坐标系
{}123:;,,I O e e e u r u u r u r 、{}123:';',','II O e e e u r u u r u r ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e u r u u r u r
中的坐标为()000,,x y z ，'j e u u r 在{}123:;,,I O e e e u r u u r u r 中的坐标为 ()123,,,1,2,3
j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e u r u u r u r 到{}123:';',','II O e e e u r u u r u r 的点的仿射坐标变 换公式：
设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为
(),,x y z 、()',','x y z ，
则 111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ????????????????=+????????????????????????； ② {}123:;,,I O e e e u r u u r u r 到{}123:';',','II O e e e u r u u r u r 的向量的仿射坐标 变换公式：
设向量OM u u u u r 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、
()123',','u u u ，则
11112131221
2223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ????????????=??????????????????.
射影几何 ——
（一） 射影平面、射影空间
在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称
它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.
在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.
在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.
（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.
平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.
数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.
欧几里得与欧几里得几何 亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。他在有攀滋入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继器粕拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干。熬翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传攀擎也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切籀象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧的训练，就应该从戡图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自醺羽主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。 最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派纂糯典。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。 不朽的平面几何学著作 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。 全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭 法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊
欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
物理学的公理体系 基于目前整个物理学逻辑体系的不完备性，给出了物理学公理假设及其七个推论，并由此构成了物理学的公理体系。物理学公理体系的建立意味着物理学逻辑体系框架的建设完成。 【关键词】 物理学公理 ---度规，物理学公理的第一推论--- 物理单位（量纲）的时空数值，物理学公理的第二推论--- 度规物理量，物理学公理的第三推论--- 完备物理常数定理，物理学公理的第四推论--- 物理单位（量纲）的时空组态，物理学公理的第五推论--- 时空组态和时空数值的互易性，物理学公理的第六推论--- 物理量的的时空结构，物理学公理的第七推论--- 物理单位（量纲）时空组态计算法则。 【正文】 迄今为止物理学尚没有公理，自然就没有形成其公理体系，只存在着基本物理单位和导出物理单位基础概念和大量散落分布于诸物理学分支学科中的定义，原理，定律，定理等。尽管存在着一些横跨诸分支学科的普适性很大的基本物理学原理，也被人们普遍认为是普适性的真理，但在逻辑上它们还不是公理，而属于基于基本物理单位和导出物理单位基础物理概念的推论。 物理学发展在目前遇到了很大的困难并处于长期徘徊不前困境，一方面在向全球理论物理学家们暗示需要对他们正在使用的方法论作进一步的考究，另一个情况则显得更加紧迫和严重，那就是物理学基本逻辑体系的完善性建设问题。 由于物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的定义）现在被发现并不是对它们指称的物理实在所固有存在形式（时空结构）的全面反映，因而导致了以它们为基础概念而创立的各种常规物理概
念均无法切入到其指称的各类存在所固有的存在形式之上（时空结构），因而造成了以上述基础物理概念和常规物理概念为基础而建立起来的所有物理学理论从根本上不具有对其欲认识的客观现象及其变化规律给出本质性物理学描述能力，而只能停留在它们的表象层面上给出已有的和将要给出的较好的物理学描述。 但宇宙及其所属各类存在原本是一体的，具有固有的，不可分割和逻辑一致的内在联系。对它们的表象性认识是无法穷尽的，而且表象性的认识往往会产生假象，这些认识假象混杂在正确的表象认识之中鱼目混珠，真假难辨，很容易让人们对宇宙的认识产生模糊甚至混乱。这种模糊和混乱认识局面的理论根本原因就在于非本质性的物理概念以及以其为基础而建立起来的物理学理论无法统一地对宇宙诸表象性认识的众多和繁杂结果进行本质性的筛选，精化，提炼并最终得到实证。 这样，实现对物理学最基础概念的深化认识，将它们在客观中的固有存在形式准确地以物理学概念反映出来，便成为21世纪物理学家们和人类对宇宙实施正确认识的当务之急和头等大事。这在理论上等效于开创性地建设一个可以准确地，完整地并具有实证性地反映宇宙基本存在形式的物理学逻辑公理体系。 目前物理学的逻辑体系不完备，缺少公理体系。物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的符号系统）尚没有实现对其所属物理实在的逻辑形式的全称指称表述。物理学理论的这个逻辑缺陷从根本上制约
几何学的发展简史 上海市第十中学数学教研组王沁 [课前设计] 中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。 可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。 我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。 第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。 第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。 第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、
内容与教材内容的相关程度、在几何史上地位的重要性等方面进行选取。 第四步，组织教案。确定前一部分讲几何学发展简史，后一部分让学生用学习过的几何知识（主要是立体几何）来解决一些实际问题。 数学应用能力是基础数学教育的重要组成部分，同时它也是学生比较薄弱的环节。中学里的数学内容多半是纯粹的数学基础知识，而现在国家提倡数学素质教育,那么提高数学应用能力是其中重要的一环。为了提高同学对立体几何的兴趣，提高学生应用立体几何知识解决实际问题的能力，我选择了四道应用性较强的例题:平改坡问题,遮阳篷的角度,飞机高度测量和蜂巢表面积最小问题。鉴于学生的实际数学水平与能力，我没有让学生从数学实际问题出发自行建立数学模型，而是在帮助他们建立了数学模型后，指导学生如何看懂模型，如何联系学习过的数学知识解决数学问题。 我希望通过我的课，能让更多的学生了解数学的历史，了解中国数学的历史，为我国古代数学家的杰出贡献而自豪。同时让同学看到数学是多么有用的一门学科，多么有趣的一门学科，希望无论是数学成绩好还是数学成绩不理想的同学都能对数学永远保持一分兴趣。 [教案] 教学目标： （1）让学生大致了解几何学（主要是立体几何）学在中外的发展简史；
数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公
理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、
欧式几何VS非欧几何 1什么是欧式几何？ 2.欧式几何的来源？欧几里得 3欧式几何公理有哪些？ 4欧式几何的缺陷——出现非欧几何 5什么是非欧几何？ 包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何 6三种几何的关系
导出命题 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 非欧氏几何 非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不 正交（即不成90度） 例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经 过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
数学发展简史 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前 5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前 5 世纪——公元 17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前 5 世纪——公元 17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》
托勒密——三角学 丢番图——不定方程 2．东方（公元 2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前 2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法
欧几里得几何与非欧几何 摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。 关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系 欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。 一、欧几里得几何的发展 （一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础 在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。 最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。 对几何从经验上升到理论作出重要贡献的有毕达哥拉斯学派。他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质有出色的研究。雅典的巧辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研究中心。 柏拉图是那个时代影响最大的哲学家。柏拉图及其后继者把数学概念看作抽象图。柏拉图说数学概念不依赖于经验而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。他是第一个把严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。柏拉图学派的最重要发现是圆锥曲线。还对不可公度量作过一些研究。这些都为欧几里得的研究开辟了道路。 欧多克斯是古希腊时代最大的数学家，他在数学上的第一个大贡献是关于比
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
几何学范畴 1、初等几何 在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。 现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。 初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。 几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。 现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。 古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。 由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派(公元前6世纪)，虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。到现在人们对勾股定理已经至少提供了370种证明。
几何公理和公理系统 1．几何公理 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定． 在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止．因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理． 数学区别于其他学科的主要特征之一是它的推理论证的演绎性质．为了建立某种理论或得出某个结论，天文学家必须借助观察，化学家必须借助于实验，但数学却不行．三角形内角之和等于180°不是通过测量得出和证明的，它的真实性是经事先假定为真实的命题，按逻辑的原则推证出来的．几何的其他命题也是如此． 公理是怎样选定的呢?有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定惟一直线”这条公理；有的就是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们不甚直观显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理．公理总是直接或间接地来源于实践，绝非科学家随心所欲的空想．譬如罗氏平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实(概念、理论、方法)作为基础，受试证欧氏第五公设的启示；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和科学技术的不断革命所决定的，这些都为罗氏平行公理的出现做了必要的准备．这就是为什么到19世纪才产生罗氏几何的原因．理论的产生以实践为基础，但随着实践的发展和水平的提高，它也往往走在实践的前头，“虚数”和“非欧几何”等等都是这样．判断一个理论或公理是否正确，不是依据主观上觉得如何而定，而是依据客观上社会实践的结果如何而定．只有实践才是检验真理的惟一标准．2．几何公理系统 用公理化方法建立一门几何学演绎体系时，最根本的是确立该几何学的公理体系． 作为一门集合学基础的原始概念和全部公理称该几何学的公理系统，满足公理系统的几何图形的集合称为几何空间． 例1欧几里得几何学中的几种不同的公理系统． （1）希尔伯特（D.Hilbert，公元1862年～1943年，德国人）给出的公理系统． 希尔伯特公理系统纲要：
《高观点下中学数学-几何学》练习题一 一、填空题 1．公理法的三个基本问题是（ ）、（ ）和（ ）。 2．仿射变换把平行线变成 3．设共线三点()0,2,(2,0),(1,1)A B C ，则()ACB = 4．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性相关，则a b ?=( ) 5 如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。 6．欧氏几何与罗氏几何的区别在于它们 公理不同 7．仿射变换把矩形变成 8．设共线三点()0,2,(2,0),(1,3)A B C - ，则()ABC = 9．已知向量{}{}123123,,,,,a x x x b y y y ==，则a 与b 之间的内积a b ?= 。 10．空间中三个向量线性相关当且仅当它们 ，空间中的四个向量一定 。 11．公理法的结构是（ ）、（ ）、 （ ）和（ ）。 12．设共线三点()0,2,(2,0),(3,1)A B C - ，则()ABC = 。 13．共点的直线经仿射变换后变成 14．已知向量{}{}1,2,3,3,2,1a b ==，则a 与b 之间的内积a b ?=（ ）。 15．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。 二、选择题 1．三角形内角和等于180度与（ ） A ．欧氏平行公理等价 B ．罗氏平行公理等价 C ．椭圆几何平行公设等价 D ．不可判定 2．在仿射对应下，哪些量不变？（ ） A ．长度 B ．角度 C ．单比 D ．交比 3．设a 与b 是两个非零向量，若a 与b 线性无关，则( )。
A．0 a b?=B．a与b垂直 C．0 ?=D．以上三个结论都不正确 a b 4．设a与b是两个非零向量，则下列结论正确的是（）。 A．a b a b ?> ?≥D．a b a b ?≤B．a b a b ?=C．a b a b 5．下列性质或量中哪些是仿射的( ) （1）线段的中点；（2）角的平分线； （3）交比；（4）点偶的调和共轭性 （5）角度（6）三角形的面积 （7）两相交线段的比（8）两平行线段的比 （9）对称轴（10）对称中心 6．欧氏几何与黎曼几何的本质区别为（） A、平行公设不同 B、结合公理相同 C、绝对公设不同 D、结合公理不同 7．正方形在仿射变换下变成（） A、正方形 B、平行四边形 C、菱形 D、矩形 8．设a与b是两个非零向量，若0 a b?=，则（）。 A、a与b平行 B、a与b垂直 C、a与b线性相关 D、a与b的夹角为π 9．下列性质或量中哪些在中心射影下保持不变（）。 A、点与线的结合性 B、角的平分线； C、共线四点的交比 D、三角形的面积 10．下列关于正交变换的叙述中，正确的有（） A、正交变换把直线变成直线或点。 B、正交变换保持角的大小不变。 C、正交变换保持点与线的结合性。 D、正交变换保持共线四点的交比不变。 11．欧氏几何与罗氏几何的本质区别为（） A．平行公设不同B．结合公理相同C．绝对公设不同D．结合公理不同 12．在相似变换下，哪些量不变？（） A．长度B．角度C．单比D．交比 13．长方形的下列性质中哪些是仿射的（）
《初等几何研究》作业 一．填空题 1．对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作 . 2．第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是 . 3．罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是 . 4．合同变换包括变换、变换和变换。 5．锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是 . 6．解作图问题的常用方法有：、、、等. 7．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性. 8．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论. 9．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： . 10．几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法. 11．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 . 12．请写出两条作图公法： . 13．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。 14．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。 15．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。 16．不过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。 17．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。 18．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。
19．数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性. 20．常用的几何变换有 等. 21．罗氏平行公理是： . 22．几何计算证明法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等. 23．等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有 的关系 . 24．尺规可作图的充要条件是 . 25.由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性和 性. 26.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应. 27.命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论.28.绝对几何包括有 组公理，它们分别是 . 29.写一条与欧氏平行公理等价的命题： . 30.在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 . 二．问答题 1．在数学公理系统中，模型指的是什么？ 2．定义线段长度的两个条件是什么？ 3．以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？ 4．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 5．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 6．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 7．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？ 8．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 9．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？ 在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。 设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。 10．巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 11．第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？ A B C D 1 2 3 4 5 6
公理化方法 公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。 简介 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会
科学部门，并在其中起着重要作用． 历史发展 产生 公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统． 亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑． 公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性