定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案

例

1

求lim 丄(循2

丁2『L Vn 3) •

n n

分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函

数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来

找出被积函数与积分上下限.

解 将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为 ％ -,然后把1丄的一个因子-乘

n

n n n

n

入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分•即

lim A (习n 2 ^2n 2 L

Vn 3) = lim -(^—

L ^—) = VXdx - • n n

n

nn,n ,n ° 4

2 -- ------ r

例 2

o (2x x dx = ___________

• 2 . ________

解法1由定积分的几何意义知， °

. 2x x 2dx 等于上半圆周(x 1)2 y 2 1 ( y 0)

与x 轴所围成的图形的面积.故

2

,2x x 2dx = _ • 0 2

'1 sin 2

tcostdt = 2。

2

J sin 2t costdt =2 ： cos 2 tdt^

2

2

x 2 2

x

例 3 (1)若 f (x) x e 七 dt ，则 f (x) = ________; (2)若 f (x) 0 xf (t)dt ,求 f (x)=

分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可

(1) f (x) =2xe x e x

可得

x

f (x) = 0 f (t)dt xf (x) •

x 1

例 4 设 f(x)连续，且。f(t)dt x ，贝U f (26) = _________________

O A

x 1

解 对等式0 f(t)dt

x 两边关于x 求导得

3 2

f(x 1) 3x 1,

解法2本题也可直接用换元法求解.令

x 1

= Sint (

2 t 2)，则

d v(x)

dx u(x)

f(t)dt f[v(x)]v(x) f[u(x)]u (x) • (2) 由于在被积函数中

x 不是积分变量，故可提到积分号外即

x

f (x) x 0 f (t)dt ，则

x 2dx =

3 1 令x 1 26得x 3，所以f (26)

27

故f(x 3 1) 丄

3x 例5函数F(x)

F (x)

1 1

，令F (x) 0得r 3，解之得

x

x

1 1

0 x -，即(0,-)为所求.

9 9

f (x)

x

0 (1 t)arctan tdt 的极值点.

f (x) = (1 x)arctan x .令 f (x) = 0，得 x 1 , x 0.列表

如下:

x

(,0)

0 (0,1) 1

(1,)

f (x)

-

0 +

f (x)的极大值

例7已知两曲线y f (x)与y g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中

arcs inx

g(x) 0

t 2

e dt , x [ 1,1],

试求该切线的方程并求极限 lim nf (?).

n n

分析两曲线y f (x)与y g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件

f(0) g(0)，

f (0)

g (0) •

解由已知条件得

f(0)

g(0)

°e " dt

且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知

f (0)

g(0)

(arcsin x)2

e

1 x 2

故所求切线方程为 y x .而

lim nf (-) n n

Iim3

n

f(-) n

3 0 n

f(0) 一 3f (0) 3 •

x 2

2

sin tdt

lim 0

；

x 0

分析 该极限属于

型未定式，可用洛必达法则. 0

X 2

2

sin tdt lim ------------------ = lim = ( 2) lim

= ( 2)

x 0

：t (t sin t)dt x 0( 1) x (x sinx) 、

7 x 0

x sinx ' 丿

2x(sin x 2)2

2 2

(x ) 3

4x

(x 0)的单调递减开区间为

x 1

(3

点，x 0为极小值点.

由题意先求驻点.于是

12x

=(2) lim =0 . x 0

sinx

注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.

1 x t 2

例9 试求正数a 与b ，使等式lim -------------------- dt 1成立.

x 0

x bsin x 0 ‘ ―t 2

分析 易见该极限属于 0

型的未定式，可用洛必达法则.

1 x 2

lim

.a x 01 bcosx

2

1 x lim

3x 0x 2

故f(x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.

2

例11计算1|x|dx .

分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.

2 2

2

0 2

x 0 x 2

5

1|x|dx = 1( x)dx 0xdx = [ y] 1 [y]0 =-.

在使用牛顿-莱布尼兹公式时

，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如

[-]32丄，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数 」2在x 0处间断且在被

x 6 x 2

lim

__ x 0

x bsin x 0 . a 2

x

_ _t 「dt = lim _— =lim 1

f 2 x 0

1 bcosx x op x 2

x 2

lim

x 0

1 bcosx

由此可知必有 lim(1 bcosx) 0，得 b 1 .又由

得a 4 .即a 4 , si nx

1

x

lim a x 0

1 cosx

b 1为所求. 例10设f (x)

sin t 2dt , g(x) x 3 x 4，则当

0 时，f (x)是 g(x)的( ). A .等价无穷小.

B .同阶但非等价的无穷小.

解法1由于lim 型 lim si 门伽浪)cosx

x 0

g(x) x 0

C .高阶无穷小.

D .低阶无穷小.

mo Hx

3x 2 4x 3

cosx

3 4x

mo Hx

sin (sin x)

x

解法2 将sin t 2展成t 的幕级数, 1 2 3 3!(t)

f (x) 0 sin x 2 [t 2 再逐项积分，得到

1 si n 42

L ]dt 1 . 3 一 sin x

lim 少 x 0

g(x)

.3

1

sin x(- lim -

1 . 4

sin x 42

3

4

x x

1 lim -

x 0

1 ■ 4 . sin x L 4

2 1 x

Udx x