两个计数原理
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A5 4 B C3 D3
N＝5×4×3×3＝180（种）
例5 将一个四棱锥的每个顶点染上
一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜
色不同，如果只有5种颜色可供使用，求
共有多少种不同的染色方法？
S
涂S点
5
C
涂wk.baidu.com点
4
D
涂D点
3
A
B涂B、C点 7
N＝5×4×3×7＝420（种）
典例讲评
例6 630的正约数（包括1和630）共 有多少个？
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
练习 ：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解
到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专
业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
（2008·重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够
多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1 、B1、C1上各装一个
灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡 都至少用一个的安装方法共有种.（用数字作答）
课堂小结
两大原理：
1、分类加法计数原理： 针对的是“分类”问题.各类方法相互独立。
N 4 3 2 24
答：从书架的1、2、3层各取1本书，有24种不同的取 法。
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不 同的取法？
解： 从书架上任取两本不同学科的书，有三类方法：
第一类方法：取计算机书和文艺书 该方法分两步完成，共4*3=12种方法
（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不 同的取法？
解（：2）从书架的1、2、3层各取1本书，可以分3步来完成：
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法；
根据分步乘法计数原理，从书架的1、2、3层各取1本书， 不同取法的种数是：
解（：1）从书架上任取一本书，有三类方法： 第1类办法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类办法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类办法是：从第3层取1本体育书，有2种方法； 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：
N 4329
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
第二类方法：取计算机书和体育书 该方法分两步完成，共4*2=8种方法
第三类方法：取文艺书和体育书 该方法分两步完成，共3*2=6种方法
所以共有12+8+6=26种方法。
例2 有架楼梯共6级，每次只允
许上一级或两级，求上完这架楼梯共
有多少种不同的走法？
第1类：走3步
1种走法
第2类：走4步
6种走法
第3类：走5步
630＝2×32×5×7
正约数:2a×3b×5c×7d 2×3×2×2＝24（个）
例7 某电视节目中有A、B两个信箱， 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众 来信，其中A信箱中有30封来信，B信箱 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信 箱中抽取1名幸运观众，再由该幸运观众 从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴， 求共有多少种不同的可能结果？
物理学
法学
汉语言文学
工程学
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
推广：
思考2：从甲地到丙地，有3条道路，从丙地到 乙地有2条道路，那么从甲地经丙地到乙地共 有多少种不同的走法 ？
甲地
丙地
乙地
思考3：你能类比分类加法计数原理，概 括出第二种计数原理吗？
5种走法
第4类：走6步
1种走法
N＝1＋6＋5＋1＝13（种）
例3 在1，2，3，…，200这些自 然数中，各个数位上都不含数字8的 自然数共有多少个？
不含8的一位数
8个
不含8的二位数 不含8的三位数
8×9=72个 9×9+1=82个
N＝8＋72＋82＝162（个）
例4 用5种不同颜色给图中A，B， C，D四个区域涂色，每个区域只涂 一种颜色，相邻区域的颜色不同， 求共有多少种不同的涂色方法？
分步乘法计数原理
思考4：类比分类加法原理的推广，分步 乘法原理能推广吗？
思考5:你能说说分类加法原理与分 步乘法原理两个原理的异同点？
分步加法计数原理和分类乘法 计数原理的共同点：
计算做一件事情完成它的所 有不同方法种数的问题。
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别1 完成一件事，共有
n类方案，关键词
“分类”
完成一件事，共分n 个步骤，关键词 “分步”
区别2 每类方案的任何一个 任何一步都不能独立完成
方法都能独立地完成 这件事，只有各个步骤都
这件事情
完成了，才能完成这件事
区别3
相加
相乘
例1：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2 层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体 育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（种）.根据A点和 B1点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:
(1)A, B颜1 色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有3×1=3种;
(2)A, B颜1 色不同，则A处有2种,B处和C处共有3种，则共有
3×2=6（种）.
由分类计数原理得上底面共9种，再由分步计数原理得共有
24×9=216（种）.
例9
2、分步乘法计数原理： 针对的是“分步”问题。每步相互依存。
两种思想：
1、类比思想：由加法原理类比得到乘法原理
2、从特殊到一般思想：原理的推广
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）
例8 ：甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5， 2名，现准备推选两名来自不同班的三好 学生去参加校三好学生代表大会，共有多 少种不同的推选方法？
解析： A处1 4种， B处1 3种， 处C12种，则底面共4×3×2=24
两个计数原理
思考1:从甲地到乙地，可以乘火车，
也可以乘汽车。一天中，火车有3班，
汽车有2班。那么一天中，乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有多少种不
同的走法？
3+2=5（种）
火车1
火车2
甲
火车3
乙
汽车1
汽车2
分类加法计数原理
.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情 况如下:
N＝5×4×3×3＝180（种）
例5 将一个四棱锥的每个顶点染上
一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜
色不同，如果只有5种颜色可供使用，求
共有多少种不同的染色方法？
S
涂S点
5
C
涂wk.baidu.com点
4
D
涂D点
3
A
B涂B、C点 7
N＝5×4×3×7＝420（种）
典例讲评
例6 630的正约数（包括1和630）共 有多少个？
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢?
练习 ：在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解
到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专
业,具体情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
（2008·重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够
多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1 、B1、C1上各装一个
灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡 都至少用一个的安装方法共有种.（用数字作答）
课堂小结
两大原理：
1、分类加法计数原理： 针对的是“分类”问题.各类方法相互独立。
N 4 3 2 24
答：从书架的1、2、3层各取1本书，有24种不同的取 法。
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（3）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不 同的取法？
解： 从书架上任取两本不同学科的书，有三类方法：
第一类方法：取计算机书和文艺书 该方法分两步完成，共4*3=12种方法
（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不 同的取法？
解（：2）从书架的1、2、3层各取1本书，可以分3步来完成：
第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法；
根据分步乘法计数原理，从书架的1、2、3层各取1本书， 不同取法的种数是：
解（：1）从书架上任取一本书，有三类方法： 第1类办法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类办法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类办法是：从第3层取1本体育书，有2种方法； 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：
N 4329
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
第二类方法：取计算机书和体育书 该方法分两步完成，共4*2=8种方法
第三类方法：取文艺书和体育书 该方法分两步完成，共3*2=6种方法
所以共有12+8+6=26种方法。
例2 有架楼梯共6级，每次只允
许上一级或两级，求上完这架楼梯共
有多少种不同的走法？
第1类：走3步
1种走法
第2类：走4步
6种走法
第3类：走5步
630＝2×32×5×7
正约数:2a×3b×5c×7d 2×3×2×2＝24（个）
例7 某电视节目中有A、B两个信箱， 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众 来信，其中A信箱中有30封来信，B信箱 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信 箱中抽取1名幸运观众，再由该幸运观众 从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴， 求共有多少种不同的可能结果？
物理学
法学
汉语言文学
工程学
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
推广：
思考2：从甲地到丙地，有3条道路，从丙地到 乙地有2条道路，那么从甲地经丙地到乙地共 有多少种不同的走法 ？
甲地
丙地
乙地
思考3：你能类比分类加法计数原理，概 括出第二种计数原理吗？
5种走法
第4类：走6步
1种走法
N＝1＋6＋5＋1＝13（种）
例3 在1，2，3，…，200这些自 然数中，各个数位上都不含数字8的 自然数共有多少个？
不含8的一位数
8个
不含8的二位数 不含8的三位数
8×9=72个 9×9+1=82个
N＝8＋72＋82＝162（个）
例4 用5种不同颜色给图中A，B， C，D四个区域涂色，每个区域只涂 一种颜色，相邻区域的颜色不同， 求共有多少种不同的涂色方法？
分步乘法计数原理
思考4：类比分类加法原理的推广，分步 乘法原理能推广吗？
思考5:你能说说分类加法原理与分 步乘法原理两个原理的异同点？
分步加法计数原理和分类乘法 计数原理的共同点：
计算做一件事情完成它的所 有不同方法种数的问题。
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别1 完成一件事，共有
n类方案，关键词
“分类”
完成一件事，共分n 个步骤，关键词 “分步”
区别2 每类方案的任何一个 任何一步都不能独立完成
方法都能独立地完成 这件事，只有各个步骤都
这件事情
完成了，才能完成这件事
区别3
相加
相乘
例1：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2 层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体 育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（种）.根据A点和 B1点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:
(1)A, B颜1 色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有3×1=3种;
(2)A, B颜1 色不同，则A处有2种,B处和C处共有3种，则共有
3×2=6（种）.
由分类计数原理得上底面共9种，再由分步计数原理得共有
24×9=216（种）.
例9
2、分步乘法计数原理： 针对的是“分步”问题。每步相互依存。
两种思想：
1、类比思想：由加法原理类比得到乘法原理
2、从特殊到一般思想：原理的推广
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）
例8 ：甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5， 2名，现准备推选两名来自不同班的三好 学生去参加校三好学生代表大会，共有多 少种不同的推选方法？
解析： A处1 4种， B处1 3种， 处C12种，则底面共4×3×2=24
两个计数原理
思考1:从甲地到乙地，可以乘火车，
也可以乘汽车。一天中，火车有3班，
汽车有2班。那么一天中，乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有多少种不
同的走法？
3+2=5（种）
火车1
火车2
甲
火车3
乙
汽车1
汽车2
分类加法计数原理
.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情 况如下: