随机变量及其分布

0, 1 , 3 F ( x) 1 , 2 1,
x0 0 x 1 1 x 2 x2
注意右连续
下面我们从图形上来看一下.
0, 1 / 3, F ( x) 1 / 2, 1,
x0 0 x 1 1 x 2 x2
0 X ~ 1 3
n
二项分布的图形特点： X~B(n,p) Pk 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, .. 随后单调减少. 0
几种常见的离散型随机变量的分布
0-1分布 若随机变量X只可能取0和1两个值，其概 率分布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0<p<1)
则称X服从参数为p的0-1分布.
几种常见的离散型随机变量的分布
二项分布 若随机变量X的概率分布为
Pn (k ) P( X k ) C p q
F(x2)-F(x1)
F(x2-0)-F(x1)
F(x2)-F(x1-0)
分布函数的性质
1.单调不减 2.非负有界
若a b, 则F (a) F (b)
0 F ( x) 1, ( x ), 且
x
lim F ( x) F () 0, lim F ( x) F () 1
i
2
分别求上述各式中的常
数a
例 4：设一汽车在开往目的 路上需经过四组信号灯
地的道 ，每组信号 以X
灯以 p 的概率禁止汽车通过。 表示汽车首次停下时， 信号灯的组数（设各组 作是相互独立的），求
它已通过的 信号灯的工 X 的分布律。
例5. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求 他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
3 3 3 5
1
P( X 1)
P( X 2)
C3 C 2 C
1
10
10 3
6
这样，我们就掌握了X这个 随机变量取值的概率规律.
C3 C 2 C
3 5
例2. 设随机变量X的概率函数为：
P( X k) a

k
,
试确定常数a .
k!
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率函数的性质: 欲使上述函数为概率函数 P(X =k)≥0,
0
1 8
1
a
2
2a
Pk
(1) 求常数a; (2) P(X<1), P(-2<X≤0), P(X≥2).
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P( X x)
0, p1 , p1 p2 , F ( x) i p , k k 1 x x1 x1 x x2 x2 x x3 xi x xi 1 , i 1
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样， 二者建立了一种对 应关系.
例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。
wk={一天中进入
商店k个顾客}
X
k k=(1,2,…)
例2. 从一批含有次品的产品中任意抽查一 个，观察产品情况。 X
1 {产品为正品}
0 1
2 {产品为次品}
随机变量的定义 对于随机试验E， Ω是其样本空间。如 果对每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w)，则称 Ω上的实值函数X(w)为随机 变量 ，简记为X。

可见
P( X k)(1 p)
k 1
p
k1,2,
这就是求所需射击发数X的概率函数.
P( X k)(1 p)
k 1
p
k1,2,
若随机变量X的概率函数如上式，则 称X具有几何分布. 不难验证:

(1 p)
k 1
k 1
p 1
例7.
X
2
a
1
3a
Ω X R X(w)
w
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示
而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.
随机变量的分类 通常分为两类： 所有取值可以逐个 离散型随机变量 一一列举 随 如“取到次品的个数”， 机 “收到的呼叫数”等. 全部可能取值不仅 变 无穷多，而且还不能 量 一一列举，而是充满 连续型随机变量 一个区间. 例如，“电视机的寿命”，实 际中常遇到的“测量误差”等.
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
例6. 某射手连续向一目标射击，直到命中为 止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击 发数X 的概率函数. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
xk x
p
k
例9
解:
0 X ~ 1 3
1 1 6
2 1 ，求 2
F(x).
F(x) = P(X x)
当
当
x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0
0 x < 1 时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =
1 3
例9 解: 当 当
2
2.2
离散型随机变量的概率分布
定义:设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所 取的一切可能值, pk是X取值xk的概率,称
P( X xk ) pk , k 1,2,...
为离散型随机变量X的概率分布或分布律。 X Pk x1 p1 x2 p2
… …
xk pk
… …
分布列
概率分布的性质
画 分布函 数图
1 1 6
2 1 2
概率函数图 分布函数图
P( X x ) F ( x )
1
1 2
12 13 16
O
16
O
O
0
1
2
x
不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形， 在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).
F ( x)
求常数a, b及概率P(|X|<2).
解：根据分布函数的性质有：
F x
F (0 0) F (0) 0 a b=0 b=-1
P( X 2) P(2 X 2) F (2 0) F (2) 1 e
0 X ~ 1 3
1 1 6
2 1 ，求 2
F(x).
F(x) = P(X x)
1 6
1 x < 2 时， 1 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = +
3
=
1 2
x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
故
X是随机变量, x是参变量.
F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.
已知X的分布函数为 F(x)，下列各 事件概率用F(x) 如何表示？
P(X<x) P(X=x) P(X>x) P(x1<X≤x2) P(x1<X<x2) P(x1≤X≤x2)
F(x-0) F(x)-F(x-0) 1-F(x)
数量化 随机试验的结果 随机变量
微积分等数学工具
2.1
在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
1、有些试验结果本身与数值有关（本身 就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从郑州下火车的人数； 昆虫的产卵数；
七月份郑州的最高温度；

2、在有些试验中，试验结果看来与数值无 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化.
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p

设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X=1)=P(A1)=p,
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p
x
3.右连续
F(x+0)=F(x)
例 3。 F ( x ), F1 ( x ), F 2 ( x ) 为分布函数 F (x) 3 5 F1 ( x ) bF 2 ( x ), 求 b
,
例4. 设随机变量X的分布函数为
a be x , F ( x) 0, x 0, x 0,
P( X k) 1
k
应有

a≥0
从中解得
ae

a
k 0 k

k
ae 1

k!
这里用到了常见的 幂级数展开式
e

k 0


k!
例 3：设离散型随机变量 2
i
X 的概率分布为
（1） P { X i} a ( ) , i 1, 2 , 3 ; 3 ( 2 ) P { X i} a ( ) , i 1, 2 , 3
1 5 1 4
二项分布的图形特点： X~B(n,p) Pk 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 当(n+1)p不为整数时，二项概 率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最 大值；