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第七章线性空间与线性变换2

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《高等代数》第七章 线性变换

《高等代数》第七章 线性变换

线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使

第七章 线性变换

第七章 线性变换

(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应

第七章 线性空间与线性变换(2)

第七章 线性空间与线性变换(2)

基.
推论 如果U是V的子空间, 则U的维数不大于V的维数, 而且当U的维数等于V的维数时一定有U=V.
如果已知线性空间Vn的一个基1, 2,…, n, 则对V中 任意向量，都有唯一一个有序数组(k1, k2,…,kn)T, 使得
= k11+k22+…+knn, 反之, 对任意一个有序数组(k1,
V. 容易验证, 当集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭 时, V中的运算就满足上述八条规律. 显然, 那里的向量空 间只是现在定义的的特殊情形. 比较起来, 现在的定义有了 很大的推广. 向量空间中的向量是更广义的向量, 不一定是
n元有序数组. 向量空间中加法和数乘两种运算只要求满足
八条运算规律, 也不一定是有序数组的加法和数乘运算. 下面举一些线性空间的例子. 例7.1 验证所有mn实矩阵集合Rmn对矩阵的加法和 数乘运算是一个线性空间.
阶下三角矩阵集合等都是Rnn的子空间. 所有n阶正交矩阵集合等都不是Rnn的子空间.
但是, 所有n阶可逆矩阵集合、所有n阶奇异矩阵集合、
在第三章介绍了向量空间中向量的线性表示、线性组 合、向量组的线性相关性, 这些概念可以完全类似地推广 到一般线性空间中的向量和向量组上去. 我们在线性空间
的讨论中将直接引用这些概念和性质. 例如, 设1, 2,…r是线性空间V中的一组向量, 也称
立, 所以称1, x, x2是线性空间R[x]3中的线性无关向量组.
§2 维数、基与坐标
定义7.3 在线性空间V中, 如果有n个向量1, 2,…,n
线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1,
2,…,n为V的一个基, n称为V的维数, V称为n维线性空间, 记作Vn. 仅含零向量的线性空间(没有基)维数是零, 如果V中有 任意多个线性无关的向量, 称其为无限维线性空间, 如K[x], C[a, b]等. 在线性代数中, 只讨论有限维线性空间. 对于n维线性空间Vn, 若1, 2,…,n是Vn的一个基, 则

高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案

高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案

第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。

线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换

线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换

§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.

a
,
b
,
c

R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和

大学数学高数微积分第七章线性变换第二节课堂讲义

大学数学高数微积分第七章线性变换第二节课堂讲义
2!
an1 f (n1)(),
(n1)!
可知 Sa 实质上是 D 的多项式：
Sa =E + aD +
a2 D2 + … +
2!
a n1 D n -1 .
( n 1 )!
本若请本若请本若本节请想若单节想请若单本若本节请请本若想本内单结节请击想若本内请结若单若想本击节想请节本本内请单请请单结节 想若若容击若束单内返想本若结本请单若节本请若击容束想想节结返本内单结内本若若击节节击容束单请请单单本想内 结想本返想已若结若回击容节想束节本击单若想节想单内返请请本结已结内请回击束节容束本容节想想返返内内已本单单结击击击结节回堂结结容 束若本束想想按返请节返本内结本内已结内结击单单想若回击容堂束束容请结本单返按节内已已本请本内结结若回回堂击击容容结束束按课束本返返返束内想节本已本请结钮结单回内回节容束堂容束若容击束击结想按返返结已课单已本本束节内回击钮结容结容堂束束堂单想按按课返返本钮,本已已本束结内节堂回回回容结束.束击按容堂单按!想返返本已内已本课本已钮结束回回结束击,堂堂结容按返内束.已已束本本课结钮钮课击堂,.堂回回堂结!结束容课内已返钮本按按按本已束束 课!击回结回钮堂结堂结堂容,结.束按束返已按本课课钮束回结容堂堂!结束,..课课按按,返课本!已束束!回结.堂堂容钮钮钮按结束按,返课束课.本束课已束!结回钮!,.,钮.堂束按课课!,本,束已钮钮堂,结回!按束课课钮本钮已...!束!,,回堂,结束按.!..课!!,,钮堂课..结束!钮按!,,.堂.!结课按束钮!!,课.,束.钮!课束,钮.!,,.!.!
第二节 线性变换的运算
主要内容
线性变换的乘积 线性变换的加法 线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式

第七章 线性变换

1
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。

0230第七章线性变换(习题二)解读

第七章 习 题 课（一）一、复习内容1、线性空间的值域、核的概念及表示法；2、线性变换A 的秩(A)r 、A 的零度(A)nul 的概念；3、线性变换A 的秩、零度与线性空间的维数之间的关系；4、等式 1A A (0)V V -=⊕ 是否成立？5、若A 是线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，则 A ?V =。

若A 在基12,,,n εεε的矩阵是A ，则A 的秩为？6、不变子空间（ A -子空间）的概念；7、线性变换A 的值域与核的概念。

二、新课讲解1、设A 是n 维线性空间V 的线性变换，α是V 中一个非零向量。

证明：如果21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，那么1）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是A -子空间；2）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。

证明：1）因为21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，所以A kα可以由21,A ,A ,,A k αααα-线性表示。

因此21,A ,A ,,A k αααα-在A 下的象都在1V 中，故1V 是A -子空间。

2）如果A -子空间W 包含α，则W 包含α的象A α，A α的象2A α，…，2A k α-的象1A k α-，所以211(,A ,A ,,A )k W V L αααα-⊇=，即211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。

2、323 14P 设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 这组基下的矩阵为1021121312552212A ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭2）求A 的值域与核；解：设A 在基1234,,,εεεε的矩阵为A ，先求1A (0)-。

第七章 线性变换

第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。

高等代数--第七章 线性变换_OK


是 则
A，向量 在基 1,2,,n下的坐标 A 在基 1,2,,n 下的坐标 ( y1
(x1, x2 ,, xn , y2 ,, yn )
)
可以按公式
y1 x1
y2
A
x2
yn xn
计算
32
证明
由假设
x1
(1,2 ,,n )
x2
.
xn
于是
33
A (A 1, A 2,
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
A () (x12 , x22 , x32 )
判断 A 是否是一个线性变换
11
例7 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成
实数域上一线性空间，以C(a,b)代表. 在这个空间 中，变换
J ( f (x))
x
f (t)dt
a
是一线性变换.
12
简单性质：
1.设A 是V的线性变换,则
A (0) 0,A () A ().
1
1
.
1 0 1 2 0 1 1 2
43
我们可以得到
2
1
k
1
11 1k 1
1 1
1 0 1 2 0 1 1 2
1 11 k 2 1 1 2 0 1 1 1
1 k 1 2 1 k 1 k . 1 2 k 1 1 k k 1
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类似地, 容易验证区间 [a, b] 上所有连续函数的集合 C[a, b]对函数的加法和数乘运算是一个线性空间 .
实数域R对于数的加法和乘法运算是一个线性空间 .
以上各例中, 虽然向量的含义各不相同 (可能是实矩阵 , 也可能是实多项式或连续函数 , 还可能是实数 ), 向量的加 法和数乘运算也是不同的 . 但对各自的向量 , 加法和数乘两 种运算都满足八条运算规律 , 所以, 都是线性空间 .
第七章 线性空间与线性变换
线性空间和线性变换是线性代数的中心内容之一，它 广泛应用于自然科学和工程技术各个领域 . 在第四章中, 我 们已经介绍了以 Rn中向量为元素的向量空间 , 这一章中我 们要把这些概念推广 , 使向量和向量空间的概念更具一般 性.
§1 线性空间的概念与性质
一. 线性空间的定义
则称V是(实数域上的)线性空间(或向量空间 ), V中的元素 (不论其本来的性质如何 )称为(实)向量.
在第四章中 , 我们介绍了向量空间 Rn, 以及Rn的子空间 V. 容易验证, 当集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭 时, V中的运算就满足上述八条规律 . 显然, 那里的向量空 间只是现在定义的的特殊情形 . 比较起来, 现在的定义有了 很大的推广 . 向量空间中的向量是更广义的向量 , 不一定是 n元有序数组 . 向量空间中加法和数乘两种运算只要求满足 八条运算规律 , 也不一定是有序数组的加法和数乘运算 .
为了对线性空间中向量的运算的理解更具一般性 , 再 看一个比较抽象的例子 .
例7.3 用R+表示所有正实数集合 , R为实数域, 对任意 a, b? R+, k? R, 定义a与b的和为a? b＝ab? R+, 定义数k与a 的积为 k? a＝ak ? R+, 验证R+对所定义的加法和数乘两种 运算构成线性空间 .
又如, Rn对通常意义下向量的加法和数乘运算是一个 线性空间.
但如果取Rn中向量通常的加法 , 对R中任意数k与Rn中 任意向量? , 定义数乘运算 k ? =0. 容易验证, Rn对这两种 运算是封闭的 , 但是不满足线性空间定义中运算规律 (5): (1? = ? )，所以Rn对这两种运算不是线性空间 .
二、线性空间的基本性质 性质7.1 向量空间的零向量是唯一的 .
01=01+02=02 性质7. 2 向量空间中每个向量的负向量是唯一的 .
- ? 1=(-? 1)+0=(-? 1)+(? +(-? 2)) =((- ? 1)+? )+(-? 2)=0+(-? 2)=-? 2
性质7.3 0? =0, (-1)? =-? , k0=0, ??? V, k? K 0 ? +? =0? +1? =(0+1)? =? , 得 0? =0 . ? +(-1) ? =(1-1)? =0, 得 (-1)? =- ? . k 0=k(? -? )=k? -k? =(k-k) ? =0 ? =0
例7.2 记R[x]n为所有次数小于 n的实多项式集合 , 即
R[ x]n ? {a0 ? a1x ? ? ? an?1xn?1 | a0 , a1,? an?1 ? R}
证明R[x] n对多项式的加法和数乘运算是一个线性空间 .
证明 容易验证R[x] n对这两种运算是封闭的，
ห้องสมุดไป่ตู้
而且多项式的加法和数乘运算满足线性空间定义中八 条规律, 所以R[x] n是一个线性空间 .
类似地可以验证所有实多项式集合 R[x], 对多项式的 加法和数乘运算也是一个线性空间 .
但是，所有 n次实多项式的集合，即
Pn ? {a0 ? a1x ? ? ? an xn | a0 , a1,? an ? R, an ? 0}
对多项式的加法和数乘运算不是线性空间 . 因为不满足线 性空间定义中规律 (3), 即集合中没有零元素 .
下面举一些线性空间的例子 . 例7.1 验证所有m? n实矩阵集合 Rm?n对矩阵的加法和 数乘运算是一个线性空间 . 证明 容易验证Rm?n对这两种运算是封闭的，
而且矩阵的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条 规律, 所以Rm?n是一个线性空间 .
特别地，取n=1, 说明Rm是一个线性空间 . 如果记V是所有n阶奇异矩阵集合 , 虽然V中矩阵的加 法和数乘运算仍满足上述八条规律 , 但V不是线性空间 , 因 为V对加法运算不封闭 .
定义7.1 设V是一个非空集合 , R是实数域, 如果在V 上定义了加法和与 R中数的乘法两种运算 , 即?? , ?? V, k? R, 都有?=? +? , ?=k?? V与之对应, 且满足
(1) ? +? =? +? (加法交换律 ); (2) (? +? )+?=? +(? +?) (加法结合律 ); (3) V中有零元素 0, 使? ? ? V有 ? +0=? ; (4) ? ? ? V, ? -? ? V, 使 ? +(-? )=0, 称-? 为? 的负元素; (5) 1? =? , ? ? ? V, 1? R; (6) (kl)? =k(l ? ) , ? ? ? V, k, l? R; (7) (k+l) ? =k? +l ? , ? ? ? V, k, l? R; (8) k(? +? )=k? +k? , ? ? , ? ? V, k? R;
解 由于a? b＝ab , 所以加法满足交换律和结合律 .
R+中有零元素1, 使得对任意 a? R+有a? 1＝a·1＝a. 对任意a? R+, R+中有负元素 a－1, 使得有a? a－1＝1. 对任意a, b? R+, k, l? R, 满足： 1? a=a1＝a, ? a? R+, 1? R. (kl)? a=akl＝(al)k＝k? (l? a); (k+l)? a=ak+l＝akal＝k? a? l? a; k? (a? b)=(ab)k=akbk＝k? a? k? b; 所以, R+对所定义的加法和数乘运算构成线性空间 . 如果将满足八条运算规律的加法和数乘运算称为线性 运算, 那么, 线性空间就是定义了线性运算的集合 .